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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 重难点专题04 二元一次方程与一次函数 模块一、求一次函数解析式 重难点一、待定系数法求解析式 待定系数法是求解析式核心方法。先设通用形式y=kx+b(k≠0)，将函数图 像上两个点坐标代入式子，得到关于k、b 的二元一次方程组。解方程组求出系数，再代 回写出完整解析式。计算仔细留意符号，最后把点代入解析式验算，确保结果准确。 1．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）已知一次函数 的图象经过点 和 ，则 k、b 的值分别为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级下·湖南常德·期末）已知一次函数的图象经过点 、 ，则此函数的解 析式为（ ） A． B． C． D． 3．（2022 九年级·广西防城港·竞赛）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，则直线 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 的函数解析式为___________． 4．（22-23 八年级上·安徽合肥·开学考试）函数 的图像经过 和 点，求这个函数的解 析式． 5．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，一次函数 （ 、 为常数）的图象与 轴交于点 ，点 为两函数图象的交点，且点 的横坐标为 2．求 点坐标及一次函数 的函数解析式． 6．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知 是 的一次函数，当 时， ；当 时， ． (1)求这个一次函数的表达式． (2)当 时，求函数 的值． (3)当函数 的值为 时，求 的值． 7．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ． (1)求 ， 两点的坐标； (2)过点 作直线 ，与 轴相交于点 ，求直线 的函数表达式． 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 八年级下·贵州安顺·期末）秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用 秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 （厘 米）时，秤钩所挂物重为 （斤），则 是 的一次函数．下表为若干次称重时所记录的一些数据． /厘米 1 2 4 7 11 12 /斤 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表 ， 的数据中，发现有一对数据记录错误．请在图2 中通过描点的方法，并用坐标的形式写出 这组错误的数据． (2)求 与 之间的函数关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16 厘米时，秤钩所挂物重有多少斤？ 9．（25-26 八年级下·甘肃嘉峪关·期末）我市医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果 按指定剂量服用，每毫升血液中含药量 （微克）随时间 （时）的变化情况如图所示． (1)求 与 之间的函数表达式（ ）； (2)若每毫升血液中含药量为4 微克及以上时治疗疾病才有效，求这个有效时长． 10．（25-26 八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴、y 轴分 别交于点C、E，与直线 交于点 ，点D 的坐标为 ，点B 在x 轴上． 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 (1)求m 的值； (2)求直线 的函数解析式； (3)若点P 是直线 上一动点（不与点C 重合），连接 ，当 时，求点P 的坐标． 重难点二、通过图形变换求解析式 直线平移规律：k 值保持不变，遵循上加下减、左加右减。对称变换斜率会 发生改变，先确定变换后的斜率，再找到直线上定点，结合待定系数法求解。分清平移针 对 x 还是整体常数项，切勿混淆变换规则，做完可以选取特殊点验证变换结果。 1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一次函数 的图象向上平移2 个单位长度，所得 新函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数 （ 为常数，且 ）的图象先向上平移1 个单位长度，再向右平移3 个单位长度得到的函数图象经过点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）已知正比例函数 的图象平移之后过点 ，则平移之 后的图象的解析式为________． 4．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，将直线 （ 为常数）向上平移 个单位长度后得到的直线经过坐标原点，则 的值为________． 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 模块二、二元一次方程与一次函数应用 重难点一、两直线的交点与二元一次方程组的解 数形结合核心知识点：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 想求交点，联立两条直线解析式组成方程组求解；已知方程组的解，可直接得到交点坐 标。做题灵活互转代数与几何条件，这是函数和方程综合题型最常考的转化思路。 1．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的 所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直 线．如图所示是关于 ， 的方程组 中两个二元一次方程的图象直线 和直线 ，两直线交于 点 ，则该方程组的解为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）若一次函数 （ 、 为常数，且 ）与一次函数 的图象交点的横坐标为2，则关于 、 的方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数 与 的图象如图 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 所示， 则下列结论： ① ；② ；③x 的值每增加1， 的值增加 ；④ ．其中正确 的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 4．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线 与 交点的横坐标为，则关于 ， 的二元一次方程组 的解为________． 5．（25-26 八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数 与 （k、b 为常数，且 ）的 图象交点的纵坐标为 ，则关于 、 的二元一次方程组 的解是____________． 6．（24-25 八年级下·新疆塔城·期末）已知一次函数 与 的图象的交点坐标为 ．则关于 的方程组 的解是_________． 7．（25-26 八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图所示，已知函数 与函数 的图像交于 点P，则方程组 的解为_________． 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 8．（21-22 八年级下·山东德州·阶段检测）已知：一次函数 (1)若函数图象过 ，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线 平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与 的交点． 9．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ． (1)求 ， ， 的值． (2)如图2， 是 轴负半轴上一动点，过点 作 轴的垂线，分别交直线 ， 于点 ， ，连接 ．设点 的坐标为 ． ①求点 和点 的坐标（用含 的代数式表示）； ②当 时，求点 的坐标． 10．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另外一种几何图形 的过程叫作几何变换，因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的． 在平面直角坐标系中，设直线上一点 ， 变换可以把点 对应到点 ，记为 ，所有 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 点 组成一条直线，称是直线的 变换线． 定义如下：点 在直线 上， ， 即点 坐标为 例如：点 在直线： 上， ，即 如图，直线： 与直线 ： 相交于点 ， (1)分别求出 ， 所对应的点 ， 的坐标； (2)点 在 轴上，过点 作 轴的垂线，与相交于点 ，与 相交于点 ， ， ①当 时，求 的面积； ②当 时，直线 与 轴的交点的坐标________； ③当线段 与直线， 组成的图形只有两个交点时．直接写出 的取值范围________． 重难点二、图象法解二元一次方程组 图像法解方程重在数形转化。先把方程组里两个方程整理成一次函数形式， 在平面直角坐标系画出两条直线，读出两条直线交点横、纵坐标，该坐标就是方程组的 解。注意图像作图存在误差，适合直观分析，精确计算依旧优先使用消元法。 1．（22-23 八年级下·四川眉山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图，则方程组 的解为（ ） 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2．（25-26 八年级上·安徽安庆·阶段检测）利用一次函数的图象解二元一次方程组 3．（23-24 八年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线 的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数 的图象； (2)用作图象的方法解方程组： ． 重难点三、求直线围成的图形面积 直线围成图形大多为三角形。先求出各直线交点、坐标轴交点坐标，确定图 形顶点。以坐标轴上线段为底，找到对应高；没有边在坐标轴时，采用割补法转化图形。 面积计算认准底和高，坐标计算长度注意绝对值，避免出现面积为负数的错误。 1．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）如图，直线 与直线 交于点A，两条直线分别 交x 轴于点B，点C，则 的面积为（ ） 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A． B．5 C． D．7 2．（25-26 八年级下·云南曲靖·阶段检测）直线 与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26 八年级下·上海普陀·期末）已知一次函数 的图像与x 轴、y 轴分别交于点A、B． (1)求点A、B 的坐标； (2)求 的面积． 4．（25-26 八年级下·广东珠海·期中）已知，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ， ． (1)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； (2)请写出A，B 两点坐标：A： ；B： ； (3)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 5．（25-26 八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已 知一次函数 ，其图象记为l．如图是绘图软件的视窗，可视范围为 ． 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 (1)在第二、四象限内分别写出一个整点的坐标，要求这两个点在图象l 上，且在视窗的可视范围内； (2)利用（1）中的整点画出一次函数 的图象l； (3)求图象l 与两坐标轴围成的三角形的面积． 6．（21-22 七年级上·山东济南·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A、B，点的坐 标是 ， 是直线 在x 轴上方这部分上的一点，连接 ． (1)试求出 的值； (2)求 的面积． 7．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）如图，直线 分别交 轴， 轴于 两点，直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，直线， 交于点 ． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 (1)观察图象，写出方程组 的解：_____； (2)求直线 与 轴围成的 的面积． 8．（25-26 八年级下·河北承德·期末）已知一次函数的图象经过 ， 两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标； (4)该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 9．（21-22 八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与 直线 交于点 ．直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求点 的坐标； (2) 在直线 上， 的面积为2，求点 的坐标． 10．（21-22 八年级下·河南漯河·阶段检测）如图，直线的解析式为 ，且直线分别与 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 轴， 轴交于 ， 两点，直线 经过原点，并与直线相交于点 ， 平分 交 轴于点 ． (1)求直线 的解析式； (2)求 的值； (3)一次函数 的图象为直线 ，且， ， 不能围成三角形，请直接写出 的值． 11．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，直线： 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， 直线 ： 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，直线与 交于点 ． (1)求点 的坐标及直线 的解析式； (2)在直线 上确定一点 ，使 ，求点 的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请 求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
