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重难点专题04 二元一次方程与一次函数
模块一、求一次函数解析式
重难点一、待定系数法求解析式
待定系数法是求解析式核心方法。先设通用形式y=kx+b(k≠0)，将函数图
像上两个点坐标代入式子，得到关于k、b 的二元一次方程组。解方程组求出系数，再代
回写出完整解析式。计算仔细留意符号，最后把点代入解析式验算，确保结果准确。
1．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）已知一次函数
的图象经过点
和
，则 k、b
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式
【分析】将点
和
代入
求解即可．
【详解】解：将点
和
代入
，得：
，
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解得：
．
2．（25-26 八年级下·湖南常德·期末）已知一次函数的图象经过点
、
，则此函数的解
析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式
【分析】利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为
，
∵函数图象经过点
和
，
∴
，解得
，
∴此函数的解析式为
．
3．（2022 九年级·广西防城港·竞赛）直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，则直线
的函数解析式为___________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式
【分析】将已知两点坐标代入所设解析式，求解方程组得到系数的值，即可得到直线
的函数解析式．
【详解】解：设直线
的函数解析式为
，
将
，
代入解析式得：
，
解得
，
因此直线
的函数解析式为
．
4．（22-23 八年级上·安徽合肥·开学考试）函数
的图像经过
和
点，求这个函数的解
析式．
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【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式
【详解】解：把
和
代入
，得： { 𝑘+ 𝑏= 1
2𝑘+ 𝑏= 0，
解得{𝑘= −1
𝑏= 2 ，
∴这个函数的解析式为
.
5．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）如图，一次函数
的图象与
轴交于点
，一次函数
（
、
为常数）的图象与
轴交于点
，点
为两函数图象的交点，且点
的横坐标为
2．求
点坐标及一次函数
的函数解析式．
【答案】
，
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式
【分析】将
代入
求出
，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：将
代入
得，
∴
将
，
代入
得，
解得
∴
．
6．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知
是
的一次函数，当
时，
；当
时，
．
(1)求这个一次函数的表达式．
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(2)当
时，求函数
的值．
(3)当函数
的值为
时，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将
代入函数解析式求解即可；
（3）将
代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为
，
∵当
时，
；当
时，
，
∴
，
解得
，
∴这个一次函数的表达式为
．
（2）解：将
代入函数
得：
．
（3）解：将
代入函数
得：
，
解得
．
7．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）如图，直线
与
轴相交于点
，与
轴相交于点
．
(1)求
，
两点的坐标；
(2)过点
作直线
，与
轴相交于点
，求直线
的函数表达式．
【答案】(1)
；
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(2)
【难度】0.7
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）令
算出
值得到
轴交点
坐标，令
列方程求解
值得到
轴交点
坐标．
（2）先设一次函数一般式
，把已知两点
、
坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组
求出
、
的值，代回式子得到直线
函数表达式．
【详解】（1）解：在
中，令
得
，
，
在
中，令
得：
，
解得
，
．
（2）设直线
的函数表达式为
，
将
，
代入得：
，
解得
，
直线
的函数表达式为
．
8．（25-26 八年级下·贵州安顺·期末）秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用
秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为
（厘
米）时，秤钩所挂物重为
（斤），则
是
的一次函数．下表为若干次称重时所记录的一些数据．
/厘米
1
2
4
7
11
12
/斤
0.75
1.00
2.00
2.25
3.25
3.50
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(1)在上表
，
的数据中，发现有一对数据记录错误．请在图2 中通过描点的方法，并用坐标的形式写出
这组错误的数据．
(2)求
与
之间的函数关系式．
(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16 厘米时，秤钩所挂物重有多少斤？
【答案】(1)
；错误的数据坐标为
(2)
(3)水平距离为16 厘米时，秤钩所挂物重为4.5 斤
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、坐标系中描点、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函
数值
【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断；
（2）设函数关系式为
，利用待定系数法解决问题即可；
（3）根据（2）中求得的函数解析式，求出当
时的函数值即可；
【详解】（1）略
（2）解：设
与
之间的函数关系式为
（
），
将
代入，可得
，
解得
，
与
之间的函数关系式为
．
（3）解：将
代入函数关系式，得
．
答：水平距离为16 厘米时，秤钩所挂物重为4.5 斤．
9．（25-26 八年级下·甘肃嘉峪关·期末）我市医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果
按指定剂量服用，每毫升血液中含药量
（微克）随时间
（时）的变化情况如图所示．
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(1)求
与
之间的函数表达式（
）；
(2)若每毫升血液中含药量为4 微克及以上时治疗疾病才有效，求这个有效时长．
【答案】(1)
(2)有效时长为5 小时
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数自
变量或函数值
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数即可；
（2）根据分段函数解析式以及点的纵坐标求出横坐标，进而求出有效时间即可．
【详解】（1）解：当
时，设一次函数表达式
，
将
，
分别代入
（
），
可得
，
解得
，
；
（2）解：当
时，设一次函数
，
将
代入
，可得
，解得：
，
，
当
时，
；
当
时，
，
，
有效时长为5 小时．
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10．（25-26 八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线
与x 轴、y 轴分
别交于点C、E，与直线
交于点
，点D 的坐标为
，点B 在x 轴上．
(1)求m 的值；
(2)求直线
的函数解析式；
(3)若点P 是直线
上一动点（不与点C 重合），连接
，当
时，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.45
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）把点
代入直线
即可求出答案；
（2）利用待定系数法求出直线
的函数解析式即可；
（3）先求出点B 的坐标为
，根据
得到
，即
轴，则点P 的横坐标为
3，将
代入
，得
，即可得到点P 的坐标．
【详解】（1）解：
点
在直线
上，
将
代入
，得
．
（2）解：由（1）得点A 的坐标为
，
设直线
的函数解析式为
，
将
、
代入得
，
解得
，
直线
的函数解析式为
．
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（3）解：令
，解得
，
点B 的坐标为
．
，即
轴，
点P 的横坐标为3，
将
代入
，得
，
点P 的坐标为
重难点二、通过图形变换求解析式
直线平移规律：k 值保持不变，遵循上加下减、左加右减。对称变换斜率会
发生改变，先确定变换后的斜率，再找到直线上定点，结合待定系数法求解。分清平移针
对 x 还是整体常数项，切勿混淆变换规则，做完可以选取特殊点验证变换结果。
1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一次函数
的图象向上平移2 个单位长度，所得
新函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】根据一次函数图象的平移规律，上下平移遵循“上加下减”的规则，仅改变常数项，不改变一
次项系数，按规律计算即可得到结果．
【详解】解：将
向上平移2 个单位长度，可得新解析式
．
2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数
（
为常数，且
）的图象先向上平移1 个单位长度，再向右平移3 个单位长度得到的函数图象经过点
，则
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的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.7
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】先求出平移后的函数解析式，再将
代入计算即可．
【详解】解：将正比例函数
（
为常数，且
）的图象先向上平移1 个单位长度，再向右平移3
个单位长度得到的函数解析式为
，
∵函数图象经过点
，
∴
，
解得：
．
3．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）已知正比例函数
的图象平移之后过点
，则平移之
后的图象的解析式为________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】设平移后函数解析式，代入点
的坐标即可得到平移后的解析式．
【详解】解： 设平移后图象的解析式为
，
把
代入得：
，解得
，
则平移之后的图象的解析式为
．
4．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，将直线
（
为常数）向上平移
个单位长度后得到的直线经过坐标原点，则
的值为________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
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【分析】本题考查一次函数图象的平移变换，掌握平移规律“上加下减”是解题的关键，先求出平移后
直线的解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出
的值．
【详解】解：
将直线
向上平移个单位长度，
平移后的直线的解析式为
，
把
代入
得
，
解得
．
模块二、二元一次方程与一次函数应用
重难点一、两直线的交点与二元一次方程组的解
数形结合核心知识点：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。
想求交点，联立两条直线解析式组成方程组求解；已知方程组的解，可直接得到交点坐
标。做题灵活互转代数与几何条件，这是函数和方程综合题型最常考的转化思路。
1．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的
所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直
线．如图所示是关于
，
的方程组
中两个二元一次方程的图象直线
和直线
，两直线交于
点
，则该方程组的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【难度】0.85
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】根据两个一次函数的交点和二元一次方程组的解的关系解题．
【详解】解：由题意知，直线
和直线
的交点坐标为
，
即关于
，
的方程组
的解为
．
2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）若一次函数
（
、
为常数，且
）与一次函数
的图象交点的横坐标为2，则关于
、
的方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.64
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【详解】解：当
时，
，
∵一次函数
（
、
为常数，且
）与一次函数
的图象交点的横坐标为2，
∴一次函数
（
、
为常数，且
）与一次函数
的图象交点坐标为
，
∴关于
、
的方程组
的解是
．
3．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数
与
的图象如图
所示， 则下列结论：
①
；②
；③x 的值每增加1，
的值增加
；④
．其中正确
的是（ ）
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A．①②
B．②③
C．①②④
D．①②③④
【答案】C
【难度】0.45
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、两直线的交点与二元一次方程组的解、判断一次函数的增
减性
【分析】①根据函数图象直接得到
，进一步即可得到
；②根据当
时，
，即可求得
；③求得
，即
可判断③；④当
时，代入两个函数解析式，借助图象即可判断．
【详解】解：①由图象可得：
，
∴
，
∴
，故①正确；
∵一次函数
与
的图象的交点的横坐标为3，
．∴
，
．∴
，即
，故②正确；
∵
，
∴
当
的值每增加，
，故③错误，
当
时，
，
由图象可得：当
时，
，即
，故④正确．
综上所述，正确的有①②④．
4．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线
与
交点的横坐标为，则关于
，
的二元一次方程组
的解为________．
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【答案】
【难度】0.85
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】先将横坐标为1 代入
解得两直线交点坐标
，再结合图像得出关于
，
的方程组
的解为
．
【详解】解：
直线
与
交点的横坐标为1，
纵坐标为
，
两直线交点坐标
，
关于
，
的方程组
的解为
．
故答案为：
．
5．（25-26 八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数
与
（k、b 为常数，且
）的
图象交点的纵坐标为
，则关于
、
的二元一次方程组
的解是____________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】求出这两个一次函数的交点的坐标即可．
【详解】解：由题意得：将
代入一次函数
得：
，
解得
，
∴这两个一次函数的交点的坐标为
，
∵方程组
可变形为
，
∴关于
、
的二元一次方程组
的解是这两个一次函数的交点的坐标，即
．
6．（24-25 八年级下·新疆塔城·期末）已知一次函数
与
的图象的交点坐标为
．则关于
的方程组
的解是_________．
【答案】
【难度】0.85
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【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【详解】解：将一次函数
移项整理得
，
将一次函数
移项整理得
，
因此题目给出的方程组
就是由已知两个一次函数组成的方程组，
∵一次函数
与
的图象交点坐标为
，
∴方程组
的解是
．
7．（25-26 八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图所示，已知函数
与函数
的图像交于
点P，则方程组
的解为_________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】根据两个一次函数图象的交点，就是这两个函数的解析式组成的方程组的解即可得．
【详解】解：∵函数
与函数
的图像交于点
，
∴方程组
的解为
．
8．（21-22 八年级下·山东德州·阶段检测）已知：一次函数
(1)若函数图象过
，求此函数的解析式．
(2)若函数图象与直线
平行，求该函数的解析式．
(3)求满足（2）条件的直线与
的交点．
【答案】(1)
(2)
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(3)
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把
代入
求出m 的值即可得
到一次函数解析式；
（2）根据两直线平行的条件得到
，解出m=1，从而可确定一次函数解析式．
（3）两直线的解析式联立方程组，解方程组即可求得．
【详解】（1）解：把
代入
，
得：
，
解得
，
所以一次函数解析式为
；
（2）解：因为函数
的图象与直线
平行，
所以
，
解得
，
所以一次函数解析式为
．
（3）解：联立方程组得
，
解得
，
∴两直线的交点为
．
9．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线
：
与直线
：
相交于点
，与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
．
(1)求
，
，
的值．
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(2)如图2，
是
轴负半轴上一动点，过点
作
轴的垂线，分别交直线
，
于点
，
，连接
．设点
的坐标为
．
①求点
和点
的坐标（用含
的代数式表示）；
②当
时，求点
的坐标．
【答案】(1)
，
，
。
(2)①
，
；
【难度】0.65
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、绝对值方程、两直线的交点与二元一次方程组的
解、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】（1）把
代入
可求得b，得直线
的解析式为
，把
代入
可求得m，即点
，将其代入
，即可求得k 的值；
（2）①将
代入
，
分别求出x 即可求解；②由两点坐标可得
，当
时，即
，再解绝对值发出即可解答；
【详解】（1）解：把
代入
，得
，
解得：
，
即直线
的解析式为：
，
把
代入
，得
，
解得：
，
即
，
把
代入
，得
，
解得：
.
（2）解：①∵点
的坐标为
，过点P 作y 轴的垂线，分别交直线
，
于点
，
，
∴对于
，当
时，
，
可得
，即：
；
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对于
，当
时，
，
∴
，即：
；
②由①知
，
，则
，
∵
，
∴
，
当
时，即：
，
解得：
或
，
此时，点P 的坐标为
或
.
10．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另外一种几何图形
的过程叫作几何变换，因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的．
在平面直角坐标系中，设直线上一点
，
变换可以把点
对应到点
，记为
，所有
点
组成一条直线，称是直线的
变换线．
定义如下：点
在直线
上，
，
即点
坐标为
例如：点
在直线：
上，
，即
如图，直线：
与直线
：
相交于点
，
(1)分别求出
，
所对应的点
，
的坐标；
(2)点
在
轴上，过点
作
轴的垂线，与相交于点
，与
相交于点
，
，
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①当
时，求
的面积；
②当
时，直线
与
轴的交点的坐标________；
③当线段
与直线，
组成的图形只有两个交点时．直接写出
的取值范围________．
【答案】(1)
(2)①
；②
；③
或
【难度】0.25
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交
点与二元一次方程组的解
【分析】（1）求出点A 的坐标，再根据定义求解即可；
（2）①求出点M 和点N 的坐标，再根据定义求出点
和点
的坐标，再根据三角形的面积公式求解即
可，；②求出点M 和点N 的坐标，再根据定义求出点
和点
的坐标，再利用待定系数法求出直线
的解析式即可得到答案；③可求出点
在直线
上，点
在直线
上；可证明不管a
取何值，线段
与直线一定交于点
；求出点
恰好与点
重合和点
恰好与点
重
合时a 的值，结合函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：联立两直线解析式得
，解得
，
∴点A 的坐标为
，
∴点
的横坐标为
，纵坐标为
，
点
的横坐标为
，纵坐标为
，
∴
的坐标为
，点
的坐标为
；
（2）解：①在
中，当
时，
，
在
中，当
时，
，
∴
，
∴点
的横坐标为
，纵坐标为
，
点
的横坐标为
，纵坐标为
，
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∴点
的坐标为
，点
的坐标为
，
∵点B 的坐标为
，
∴
，
∴
；
②在
中，当
时，
，
在
中，当
时，
，
∴
，
∴点
的横坐标为
，纵坐标为
，
点
的横坐标为
，纵坐标为
，
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
；
设直线
的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
在
中，当
时，
，
∴直线
与y 轴的交点的坐标为
；
③由（2）②得点
的坐标为
，点
的坐标为
，
∴点
在直线
上，点
在直线
上；
在
中，当
时，
，
在
中，当
时，
，
∴直线与y 轴的交点的坐标为
，直线
与y 轴的交点的坐标为
；
当
时，点
的坐标为
，点
的坐标为
，
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此时线段
与直线交于点
，与直线
交于点
，符合题意；
当
时，则点
在y 轴右侧，点
在y 轴左侧，
∴此时线段
与直线交于点
；
当
时，则点
在y 轴左侧，点
在y 轴右侧，
∴此时线段
与直线交于点
；
∴不管a 取何值，线段
与直线一定交于点
；
联立
，解得
，联立
，解得
，
如图所示，当点
恰好与点
重合时，
∴
，
解得
，
在
中，当
时，
，
当
时，
，
∴此时线段
与直线
必有一个交点，
∴当
时，线段
与直线，
组成的图形只有两个交点；
如图所示，当点
恰好与点
重合时，
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∴
，
解得
，
此时点
的坐标为
，
在
中，当
时，
，
∴此时点
在直线
上；
在
中，当
时，
，
当
时，
，
∴此时线段
与直线
必有一个交点；
∴当
时，线段
与直线，
组成的图形只有两个交点；
当
时，
，
∴此时线段
与直线
没有交点，不符合题意；
综上所述，当
或
时，线段
与直线，
组成的图形只有两个交点．
重难点二、图象法解二元一次方程组
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图像法解方程重在数形转化。先把方程组里两个方程整理成一次函数形式，
在平面直角坐标系画出两条直线，读出两条直线交点横、纵坐标，该坐标就是方程组的
解。注意图像作图存在误差，适合直观分析，精确计算依旧优先使用消元法。
1．（22-23 八年级下·四川眉山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数
与
的图象如图，则方程组
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】图象法解二元一次方程组
【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键；
根据方程组
变形可得
，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解．
【详解】方程组
的解即为方程组
的解，
一次函数
与
的图象交于点
，
方程组
的解为
，
即方程组
的解为
，
故选：C．
2．（25-26 八年级上·安徽安庆·阶段检测）利用一次函数的图象解二元一次方程组
【答案】
【难度】0.85
【知识点】图象法解二元一次方程组
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【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的
交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的
两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图
象，交点的坐标就是方程组的解．
【详解】解：画出函数
与
的图象，
列表：
0
2
2
0
2
描点，连线，如图所示，
两个一次函数与
与
的交点坐标为
；
因此方程组
的解
．
3．（23-24 八年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线
的图象，如图所示．
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(1)在同一坐标系中，作出一次函数
的图象；
(2)用作图象的方法解方程组：
．
【答案】(1)画出函数图形如下：
(2)
【难度】0.85
【知识点】画一次函数图象、图象法解二元一次方程组
【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函
数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤．
（1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象；
（2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答．
【详解】（1）解：列出表格如下：
x
……
0
1
2
3
……
y
……
1
……
（2）解：∵
可整理为
，
可整理为
，
∴由图可知，
的解为
．
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重难点三、求直线围成的图形面积
直线围成图形大多为三角形。先求出各直线交点、坐标轴交点坐标，确定图
形顶点。以坐标轴上线段为底，找到对应高；没有边在坐标轴时，采用割补法转化图形。
面积计算认准底和高，坐标计算长度注意绝对值，避免出现面积为负数的错误。
1．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）如图，直线
与直线
交于点A，两条直线分别
交x 轴于点B，点C，则
的面积为（ ）
A．
B．5
C．
D．7
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图
形面积
【分析】联立两个函数求出交点
，然后分别求出
，
，结合图形求面积即可．
【详解】解：联立
，
解得：
，
∴交点
；
，
当
时，
，
∴
与x 轴交于点
，
，当
时，
，
∴
与x 轴交于点
，
∴
，
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∴
．
2．（25-26 八年级下·云南曲靖·阶段检测）直线
与坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积
【分析】先求出直线与
轴、
轴的交点坐标，利用交点坐标得到直角三角形两条直角边的长度，再代入
三角形面积公式计算即可．
【详解】解：令
，则
，
∴直线
与
轴的交点坐标为
，
令
，则
，
解得：
，
∴直线
与
轴的交点坐标为
，
∵坐标轴互相垂直，
∴围成的三角形是直角三角形，
∴直线
与坐标轴围成的三角形面积为：
．
3．（25-26 八年级下·上海普陀·期末）已知一次函数
的图像与x 轴、y 轴分别交于点A、B．
(1)求点A、B 的坐标；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
，
(2)
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征，x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0，分别代入一
次函数解析式，即可求出A、B 两点的坐标；
（2）由A、B 坐标得到
的两条直角边
的长度，代入直角三角形面积公式即可求出面积．
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【详解】（1）解：已知一次函数解析式为
，
当
时，代入得
解得
当
时，代入得
（2）解：由（1）得
，
，
．
4．（25-26 八年级下·广东珠海·期中）已知，一次函数
的图象分别与
轴，
轴交于点
，
．
(1)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）；
(2)请写出A，B 两点坐标：A： ；B： ；
(3)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4
【难度】0.85
【知识点】画一次函数图象、写出直角坐标系中点的坐标、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线
围成的图形面积
【分析】（1）根据函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后画出函数图象即可；
（2）通过函数图象得出交点坐标；
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（3）根据交点坐标求出线段长度，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：当
时，
；
当
时，
，解得
；
∴直线经过
两点，画图如下：
（2）解：由（1）得
；
（3）解：∵
，
∴
，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是
．
5．（25-26 八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已
知一次函数
，其图象记为l．如图是绘图软件的视窗，可视范围为
．
(1)在第二、四象限内分别写出一个整点的坐标，要求这两个点在图象l 上，且在视窗的可视范围内；
(2)利用（1）中的整点画出一次函数
的图象l；
(3)求图象l 与两坐标轴围成的三角形的面积．
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【答案】(1)
或
(2)见解析
(3)1
【难度】0.85
【知识点】画一次函数图象、求一次函数自变量或函数值、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线
围成的图形面积
【分析】（1）根据一次函数解析式分别求出整点值即可．
（2）根据（1）中整点值画出一次函数图象l 即可．
（3）分别求出一次函数与x 轴和y 轴的交点坐标，然后求图象l 与两坐标轴围成的三角形的面积即可．
【详解】（1）解：当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
则在第二、四象限内整点的坐标为
或
．
（2）解：图象l 如图所示：
（3）解：当
时，
，可知图象l 与y 轴交于点
，
当
时，
解得
，可知图象l 与x 轴交于点
，
∴图象l 与两坐标轴围成的三角形的面积等于
．
6．（21-22 七年级上·山东济南·期末）如图，直线
与
轴、
轴分别相交于点A、B，点的坐
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标是
，
是直线
在x 轴上方这部分上的一点，连接
．
(1)试求出
的值；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积
【分析】（1）待定系数法即可求解；
（2）代入可得
的坐标即可求出三角形的面积．
【详解】（1）解：将点
代入
，
得
，
解得：
，
（2）解：由（1）可知，
，
则直线
，
将
代入
，
得
，
解得：
，
则
，
∵点
，
小学
初中
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∴
，
则
．
7．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）如图，直线
分别交
轴，
轴于
两点，直线
分别交
轴，
轴于
，
两点，直线，
交于点
．
(1)观察图象，写出方程组
的解：_____；
(2)求直线
与
轴围成的
的面积．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图
形面积
【分析】（1）根据两直线的交点求方程组的解即可；
（2）根据直线与坐标轴的交点的计算得到
，
，则
，由
代入计算即可．
【详解】（1）解：∵直线，
和变于点
，
∴方程组
的解为
；
（2）解：直线
分别交
轴，
轴于
两点，
当
时，
，则
，
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直线
分别交
轴，
轴于
，
两点，
当
时，
，则
，
∴
，
∴
．
8．（25-26 八年级下·河北承德·期末）已知一次函数的图象经过
，
两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)画出这个一次函数的图象；
(3)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标；
(4)该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)一次函数的图象如下：
(3)图象与
轴交于点
，与y 轴交于点
(4)
【难度】0.7
【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图
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形面积
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用“两点法”画出函数图象即可；
（3）分别令
，
，即可求解；
（4）利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为：
，
将点
，
代入上式得∶
，
解得
，
∴这个一次函数的解析式为：
；
（2）略
（3）解：对于
，当
时，
，
∴图象与y 轴交点坐标
，
当
时，
，则
∴图象与
轴交于点
；
（4）解：∵图象与
轴交于点
，与y 轴交点坐标
，
该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
．
9．（21-22 八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，与
直线
交于点
．直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
．
(1)求点
的坐标；
(2)
在直线
上，
的面积为2，求点
的坐标．
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【答案】(1)
(2)
或
【难度】0.52
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积
【分析】（1）联立
，即可求解；
（2）求出点A，C 的坐标，可得
，从而得到
，然后分两种情况：当点P 在点D 的右侧
时，当点P 在点D 的左侧时．即可求解．
【详解】（1）解：联立得：
，
解得：
，
∴点
；
（2）解：对于
，当
时，
，
∴点
，
对于
，当
时，
，
∴点
，
∴
，
∵点
，
∴
，
如图，当点P 在点D 的右侧时，
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∵
的面积为2，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，解得，
，
∴点P 的坐标为
；
如图，当点P 在点D 的左侧时，
∵
的面积为2，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点P 的坐标为
；
综上所述，点P 的坐标为
或
．
10．（21-22 八年级下·河南漯河·阶段检测）如图，直线的解析式为
，且直线分别与
轴，
轴交于
，
两点，直线
经过原点，并与直线相交于点
，
平分
交
轴于点
．
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(1)求直线
的解析式；
(2)求
的值；
(3)一次函数
的图象为直线
，且，
，
不能围成三角形，请直接写出
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
的值为：
或
或
【难度】0.5
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、角平分线的性质定理
【分析】（1）根据
在直线上求出
，根据直线
经过原点，可得
是正比例函数，设
的
解析式为
，把
代入解出即可得直线
的解析式．
（2）过点
作
，根据角平分线性质得
，根据直线分别与
轴，
轴交于
，
两
点，求出
，
，进一步求出
，
，根据勾股定理求出
，根据三角形面积公式求出
，
，代入
，计算即可得答案．
（3）根据直线
与
，
不能围成三角形，必须满足
经过点
或
或
，把
代入
解析式可解出
，再根据两平行线的解析式比例系数相等，即可求出其它两种情况，综上所述即可得直线
与
，
不能围成三角形时的
值．
【详解】（1）解：∵点
在直线：
上，
∴
，解得：
，
∴
，
∵直线
经过原点，
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∴可设直线
的解析式为：
，
∵直线
与直线相交于点
，
∴
，解得：
，
∴直线
的解析式为
．
（2）解：如图，
过点
作
，
∵
平分
交
轴于点
，
，
∴
，
∵直线：
分别与
轴，
轴交于
，
两点，
∴当
时，
；当
时，
，解得：
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
（3）解：∵直线
：
与
，
不能围成三角形，
∴
：
经过点
或
或
，
当
：
经过点
时，
，解得：
，
∴
时，直线
与
，
不能围成三角形．
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当
时，
∵直线：
的比例系数
，
∴
的比例系数
，
∴
时，直线
与
，
不能围成三角形．
当
时，
由（1）得：直线
的解析式为
，
∴直线
的比例系数
，
∴
的比例系数
，
∴
时，直线
与
，
不能围成三角形．
综上所述，
的值为
或
或
时，直线
与
，
不能围成三角形．
11．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，直线：
分别与
轴，
轴交于
，
两点，
直线
：
分别与
轴，
轴交于
，
两点，直线与
交于点
．
(1)求点
的坐标及直线
的解析式；
(2)在直线
上确定一点
，使
，求点
的坐标；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点
，使得
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请
求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)点M 的坐标为
或
(3)存在，点
的坐标为
和
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【难度】0.4
【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA 或者AAS）、求直线围成的图形面积
【分析】（1）先求出点E 的纵坐标，再把点E 的坐标代入解析式即可求出
．即可得到一次函数解
析式；
（2）分点
在线段
上和点
位于线段
的延长线上两种情况进行解答即可；
（3）设
的坐标为
，分点
位于直线
右侧和点
位于直线
左侧两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：将点
代入
，得
．
将点
代入
，得
，
解得
．
∴直线
的解析式为：
．
（2）解：对于，当
时，
，解得
．
对于
，当
时，
；当
时，
，解得
．
，
，
．
，
．
．
分情况讨论如下：
①如图，当点
在线段
上时，
，
即
，解得
．
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将
代入
，得
，解得
．
的坐标为
．
②如图，当点
位于线段
的延长线上时，
，
即
，解得
．
将
代入
，得
，解得
．
的坐标为
．
综上，点M 的坐标为
或
．
（3）设
的坐标为
，分情况讨论如下：
①如图，当点
位于直线
右侧时，
过点
作
轴交于点
，过点
作
于点
．
，
，
，
又
，
，
．
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，
，
，解得
．
的坐标为
．
②如图，当点
位于直线
左侧时，
过点
作
轴交于点
，过点
作
于点
．
，
，
，
又
，
，
．
，
，
，解得
．
的坐标为
．
综上，点
的坐标为
和
．
