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【全等辅助线之倍长中线类】题集【A】
1. 倍长中线
证明线段不等关系
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，中线
，则
边的取值范围是（ ）．
【答案】C
延长
至
，使
，连接
，
可先证明
≌
，
则
，在
中，
根据三角形的三边关系，得
，
即
．
则
．
故选．
【知识点】求三角形第三边的取值范围；中点类辅助线
2.
【解析】
在
中，
，
，则
边上的中线
的长的取值范围是 ．
【答案】
．
倍长中线，
．
2
【标注】【知识点】中点类辅助线
A. 可证明
B. 不可证明
C. 无法判断
3.
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
是中线．能否证明
（ ）．（提示：三角形
中，大边对大角，等边对等角）
【答案】A
延长
到
，使
，连结
．
在
和
中
，
∴
，
∴
，
．
在
中，
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的判定
证明线段或角相等
1. 如图，将
的中线
延长至点
，使
，连接
，则下列结论正确的是
①
②
③
≌
④
3
【解析】
【标注】
【答案】①②③④
倍长中线后，
≌
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：①②③④．
【知识点】中点类辅助线
2.
【解析】
如图，已知在
中，
是
边上的中线，
是
上一点，且
，延长
交
于
，求证：
．
B
C
A
D
F
E
【答案】证明见解析．
如图，延长
到点
，使得
，连接
，
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【标注】
B
C
A
D
F
E
G
∵
是
边上的中线，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
， 即
，
∴
．
【知识点】中点类辅助线
证明线段倍分关系
1. 如图所示，在
中，
，延长
到
，使
，
为
的中点，连接
、
，求证
．
5
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
如图所示，延长
到
，使
．
容易证明
≌
，从而
，而
，故
．
注意到
，
，
故
，而
公用，故
≌
，
因此
．
如图所示，取
的中点
，连接
．
因为
是
的中点，
是
的中点，
故
是
的中位线，从而
，
由
可得
，故
≌
，
从而
，
．
【知识点】辅助线综合运用
2. 已知在
中，
，
为
斜边上的中线，求证：
．
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【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
延长
至
，使
，连接
．在
和
中
∴
≌
（
）
∴
，
∴
∴
在
和
中
∴
≌
（
）
∴
∴
．
【知识点】中点类辅助线
2. 倍长类中线
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A
B
C
D
E
F
1.
方法一：
方法二：
【解析】
已知如图，
中，
是
中点，
，试判断
与
的大小关系．并证明你的
结论．
【答案】
．
如图，延长
使得
，连接
，
，
A
B
C
D
E
F
G
图
∴易证
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
．
如图，过点
作
的平行线，交
的延长线于点
，
A
B
C
D
E
F
G
图
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方法三：
∵
，（已知）
∴
，（两直线平行，内错角相等）
∵
是
中点，（已知）
∴
（中点定义）
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，（全等三角形对应边相等）
∵
，（已知）
∴
，（垂直定义）
易证
≌
，
∴
（全等三角形对应边相等）
∵在
中，
，（三角形中两边之和大于第三边）
∴
．（等量代换）
，证明如下：
如图，延长
到点
，使
，连接
，
．
A
B
C
D
E
F
G
图
∵
是
的中点，
∴
，
在
和
中，
∴
≌
，
∴
，
又
，
∴
，
在
中，
，
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【标注】
∴
．
【知识点】截长补短
A.
B.
C.
D. 无法判断
2.
【解析】
【标注】
如图所示，在
中，
平分
，点
为
中点，且
，则
与
的数量关系
（ ）．
【答案】A
延长
到点
，使得
，
则易证
≌
，
则
，
， 又
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
3. 如图，点
在
的延长线上，
，点
在
上，连接
，
，求证：
．
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【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
延长
至
，使
，连接
，
则在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
，
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】中点类辅助线
4.
【解析】
已知：如图，在
中，点
是
的中点，过点
作直线交
，
的延长线于点
，
．当
时，求证：
．
【答案】证明见解析．
延长
至
，使得
，连接
．
∵点
是
的中点，
∴
．
在
和
中，
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【标注】
，
∴
≌
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】中点类辅助线
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
边上的中线
的长为，则
的长可能是（ ）．
【答案】B
延长
至
，使
，连接
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
在
中，
，
即
，
，
故
的长可能是
．
故选．
【知识点】中点类辅助线
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