文档文本内容
1
【全等辅助线之倍长中线类】题集【B】
1. 倍长中线
证明线段不等关系
1.
【解析】
【标注】
如图，已知
中，
，
是
边上的中线．求证：
．
【答案】证明见解析．
延长
至
，使得
，
易证
≌
，
故
，
，
又
，因此
，
故在
中，
，
所以
，得证．
【知识点】中点类辅助线
2. 如图，在
中，
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
作出
的平分线
．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
若
的平分线
与
交于点
，且
，
，则
的面积
为 ．
若
中
，
为
边上的中线，且
，
，则中线
的取值范
围为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
如图所示．
作
于
，
∵
平分
，
，
，
∴
，
∴
，
即
的面积为
．
根据题意画出图形，延长
至
，使
，连接
，
∵
是
的中线，
∴
，
∵
，
，
，
∴
≌
（
），
3
【标注】
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
即答案为：
．
【知识点】中点类辅助线
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
在
中，
是
边上的中线．
求证：
．
若
，
，求
的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
延长
到点
，使得
，连接
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
4
（2 ）
【标注】
∴
．
根据三角形三边关系有：
，
∴
．
【知识点】中点类辅助线
证明线段或角相等
【解析】
【标注】
已知在
中，
是
边上的中线，
是
上一点，且
，延长
交
于
，求
证：
．
【答案】证明见解析．
延长
至
，使
，连接
，
∵
为
中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】中点类辅助线
5
证明线段倍分关系
1.
【解析】
【标注】
如图，
中，
是
中点，
是
中点，且
．求证：
．
A
D
C
B
E
【答案】证明见解析．
延长
至
，则
≌
，
A
D
C
B
E
F
∴
，
∴
是等腰三角形，
，
又∵
≌
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】中点类辅助线
2. 已知：如图，
是
的中线，
，
，
，
，连接
．试
猜想线段
与
的关系，并加以证明．
6
B
A
F
C
E
D
方法一：
【解析】
【答案】数量关系：
，位置关系：
，证明见解析．
延长
至点
，使
，连接
，反向延长
交
于
．
F
E
Q
依题意可知，
，
，
，
，
∵
是
的中线，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
（
）．
∴
，
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
∵
，
∴
≌
（
）．
∴
，
．
∵
，
7
方法二：
【标注】
∴
，
∴
．
延长
至点
，使
，连接
，
取
的中点
，连接
．
B
A
F
C
E
D
M
Q
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
≌
（
）．
∵
为
的中线，
为
的中线，
与
为对应边，
∴
．
又∵
为
的中点，
为
的中点，
∴
，
．
∴
，即
．
易证
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】中点类辅助线
3. 如图，
是
的中线，
，
，
．试探究线段
与
数量和位置关系．
8
【解析】
【答案】
，
．
延长
至
，使
，连接
，
∴
，
∵
是
的中线，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
延长
交
于
，
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【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
，
．
【知识点】中点类辅助线
4.
【解析】
如图，
是
的中线，
，
，
，
．求证：
，
．
【答案】证明见解析．
延长
至
使
，连接
，
∵
是
的中线，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
10
【标注】
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
∴
．
【知识点】中点类辅助线
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在
中，
，
，求
边上的中线
的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）：
图
①延长
到
，使得
．
②再连接
，把
、
、
集中在
中．
③利用三角形的三边关系可得
，则
的取值范围是 ．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角
形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请你写出图中
与
的位置关系并证明．
思考：已知，如图，
是
的中线，
，
，
．试探究线段
与
的数量和位置关系，并加以证明．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
，
；证明见解析．
延长
到
，使得
，连接
．
∵
是
的中线，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
在
和
中，如图：
图
，
∴
≌
（
）．
∴
．
∴
．
，
，
12
理由：如图，延长
到
，使得
，连接
，
图
由（）知，
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
延长
交
于
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
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【标注】
即：
，
．
【知识点】辅助线综合运用
2. 倍长“类”中线
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 在青大附课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
【探究】如上图
中，若
，
，点
是
边上的中点，试探究
边中
线
的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长
到点
，使
，请补充完整证明
≌
的推理过程：
求证
≌
．
证明：延长
到点
，使得
，
在
和
中，
，
∴
≌
（ ）
探究得
的取值范围是 ．
【感悟】解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角
形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，
是
的中线，
、
分别在
、
上，且
，求证：
．
【答案】（1 ）对顶角相等，
（已作）
（中点定义）
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）证明见解析．
∵延长
到点
，使
，
在
和
中，
，
（对顶角相等），
（中点定义），
∴
≌
，
因此，本题正确答案是：对顶角相等，
．
∵
≌
，
∴
，
∴
，即
，
因此，本题正确答案是：
．
延长
至
，使得
，连接
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵在
和
中
∴
≌
，
∴
在
中，两边之和大于第三边，
∴
又∵
，
，
∴
．
【知识点】中点类辅助线
2. 如图，
，
为
的中点，
．
15
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
求证：
平分
，
平分
．
线段
、
、
有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
；证明见解析．
如图所示，延长
交
的延长线于
，
∵
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
16
（2 ）
【标注】
∴
平分
，
平分
．
由（）可得，
≌
，
∴
，
即
，
由（）可得，
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
3.
【解析】
【标注】
如图：在梯形
中，
，
，
为
的中点，求证：
．
【答案】证明见解析．
延长
、
交于点
，
∵
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
≌
,
∴
，
,
∵
，
∴
，
∴
.
【知识点】利用平行线+中点构造全等
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4.
【解析】
如图，在
中，
，
为
边的中点，
为
的平分线，过
作
的平
行线，交
于
，交
的延长线于
．求证：
．
F
B
C
E
G
A
D
【答案】证明见解析．
延长
至
，使
，连接
，
F
B
C
D
G
A
E
Q
∵
为
边的中点，
∴
，
∵在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
18
【标注】
∴
，
∵
，
∴
．
，
∴
．
【知识点】SAS
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
在
中，
是
的角平分线．
如图，过
作
交
延长线于点
，若
为
的中点，连结
，求证：
．
如图，
为
的中点，过
作
交
于点
，若
，
，求
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
∵
为
的角平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
19
（2 ）
【标注】
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
．
倍长类中线解：延长
与
延长线于点
，
过
作
交
延长线点
，
∴
，
，
∵
为
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
设
，则
，
，
，
∴
，
解得
，
∴
．
【知识点】中点类辅助线
