第4 讲 基本不等式及其应用·分类练习（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
D
B
BC
C
C
6
7
8
9
10
见解析
（1）见解析
（2）见解析
（1）
m=-1,n=-1
（2）见解析
A
C
11
12
13
14
15
D
BC
2
[9,+∞)
B
16
17
18
19
20
0
2❑√5+ 4
A
C
ABC
21
22
23
24
25
2❑√2
B
B
C
C
26
27
28
29
30
BD
2❑√2
2
2+2❑√2
D
31
32
33
34
35
B
BCD
-3
B
ACD
36
37
38
39
8
D
（1）400吨
（2）不获利，
40000元
（1）6.93h
（2）见解析
考点一：基本不等式的理解与证明
考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件
1.已知x，y都是正数，且x≠y，则下列选项不恒成立的是（ ）
A. x + y
2
>❑√xy
B. x
y + y
x >2
C. 2 xy
x + y <❑√xy
D. xy + 1
xy >2
【答案】D
【解析】x，y都是正数，由基本不等式，x + y
2
≥❑√xy，y
x + x
y ≥2，2 xy
x + y ≤2 xy
2❑√xy = ❑√xy，这三个
不等式都是当且仅当x = y时等号成立，而题中x≠y，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒
成立；xy + 1
xy ≥2中当且仅当xy =1时取等号，如x = 1
2 , y =2即可取等号，D 中不等式不恒成立.
【点拨】本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件是解题的关键.
2.（2026·湖北随州·三模）已知a>0，b>0，则“a+b>2”是“1
a + 1
b <2”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】利用基本不等式2❑√ab≤a+b，举反例，应用必要不充分条件定义的判断.由a>0，b>0，
a+b>2，令a= 1
2，b=2，得1
a + 1
b = 5
2 >2，则1
a + 1
b <2不成立，所以“a+b>2”是“1
a + 1
b <2”的
不充分条件；因为a>0，b>0，1
a + 1
b <2，即a+b
ab <2，得a+b<2ab，又因为2❑√ab≤a+b，所以
4 ab
(a+b)
2 ≤1，所以a+b>2ab≤(a+b)
2
2
，所以a+b>2，所以“a+b>2”是“1
a + 1
b <2”的必要条
件；综上，“a+b>2”是“1
a + 1
b <2”的必要不充分条件.
【点拨】本题考查充分必要条件的判断，结合基本不等式及举反例的方法是解决此类问题的有效
途径.
3.（2026·湖北圆创·一模）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 若x>1，则x + 1
x 的最小值为2
B. 若x<0，则x + 1
x 的最大值为-2
C. 若a>0,b>0，且a+b=1，则❑√a+ ❑√b的最大值为❑√2
D. 若a>0，则a
b + b
a的最小值为2
【答案】BC
【解析】对于A，x + 1
x ≥2❑√x⋅1
x =2，当且仅当x =1时等号成立，但x>1，所以等号取不到，故
A 错误；对于B，因为x<0，所以- x>0，所以- x + 1
- x ≥2，所以x + 1
x ≤-2，当且仅当x =-1时等
号成立，所以最大值为-2，故B 正确；对于C，❑√a+ ❑√b= ❑√a+b+2❑√ab≤❑√1+a+b= ❑√2，当且
仅当a=b= 1
2时等号成立，故C 正确；对于D，若a>0，b<0，则a
b + b
a <0，最小值为2 不成立，
故D 错误.
【点拨】本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件以及变量的符号.
考法2：利用几何意义理解基本不等式
4.数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等
腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设
AD =a，BD =b，用该图形能证明的不等式为【图片】（ ）
A. a+b
2
≥❑√ab(a>0,b>0)
B. 2ab
a+b ≤❑√ab(a>0,b>0)
C. a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
D. a
2+b
2≥2ab(a>0,b>0)
【答案】C
【解析】由图知：OC = 1
2 AB = a+b
2
，OD =|OB - BD|=| a+b
2
-b|=| a-b
2
|，在Rt△OCD中，
CD =
❑√OC
2+O D
2=
❑√
a
2+b
2
2
，所以OC ≤CD，即a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0).
【点拨】本题考查基本不等式的几何意义，通过构造直角三角形利用斜边大于直角边进行证明.
考法3：利用基本不等式证明不等式
5.（2026·山东师大附中·3 月检测）已知实数a，b满足a<0<b，则（ ）
A. 1
a > 1
b
B. lg(-a)<lgb
C. b
a + a
b ≤-2
D. e
a
b <e
b
a
【答案】C
【解析】对于A，a<0<b，则1
a <0, 1
b >0，所以1
a < 1
b，该选项错误；对于B，若a=-10,b=10，
满足a<0<b，但lg(-a)=lgb，该选项错误；对于C，因为a<0<b，所以b
a <0, a
b <0，则
b
a + a
b =-[(- b
a )+(- a
b )]≤-2❑√(- b
a )×(- a
b )=-2，当且仅当- b
a =- a
b，即a=-b时，等号成立，所
以b
a + a
b ≤-2，该选项正确；对于D，e
a
b >0,e
b
a >0，所以e
a
b
e
b
a
=e
a
2-b
2
ab ，因为a<0<b，所以ab<0，但
a
2-b
2跟0 的大小关系不确定，不能确定e
a
2-b
2
ab <e
0，不能得到e
a
b <e
b
a，该选项错误.
【点拨】本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，利用特殊值法及基本不等式逐项判断即可.
6.利用基本不等式证明：已知a,b,c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c +a)≥8abc．
【答案】见解析
【解析】证明：∵a,b,c都是正数，
∴a+b≥2❑√ab>0(当且仅当a=b时取等号)；
b+c≥2❑√bc>0(当且仅当b=c时取等号)；
c +a≥2❑√ca>0(当且仅当c =a时取等号)；
∴(a+b)(b+c)(c +a)≥2❑√ab⋅2❑√bc⋅2❑√ca=8abc(当且仅当a=b=c时取等号)，
即(a+b)(b+c)(c +a)≥8abc．
【点拨】本题考查利用基本不等式证明不等式，多次使用基本不等式时需注意等号成立的条件是
否能同时满足.
7.已知x，y，z为正数，证明：
（1）若xyz =2，则1
x + 1
y + 1
z ≤x
2+ y
2+ z
2
2
；
（2）若2 x + y +2 z =9，则x
2+ y
2+ z
2≥9．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】证明：（1）因为xyz =2，所以2
x = yz≤y
2+ z
2
2
，
同理可得2
y ≤x
2+ z
2
2
，2
z ≤x
2+ y
2
2
，
所以2
x + 2
y + 2
z ≤y
2+ z
2
2
+ x
2+ z
2
2
+ x
2+ y
2
2
，
故1
x + 1
y + 1
z ≤x
2+ y
2+ z
2
2
，当且仅当x = y = z时等号成立．
（2）x
2+ y
2+ z
2= 1
9 (2
2+1
2+2
2)( x
2+ y
2+ z
2)≥1
9 (2 x + y +2 z)
2，
因为2 x + y +2 z =9，所以x
2+ y
2+ z
2≥9，当且仅当x =2 y = z时等号成立．
【点拨】本题考查基本不等式及柯西不等式的应用，巧妙地利用常数代换和不等式放缩是解题的
关键.
8.已知函数f ( x)=|2 x +1|+| x +m|，若f ( x)≤3的解集为[n,1]．
（1）求实数m，n的值；
（2）已知a,b均为正数，且满足1
2a + 2
b +2m=0，求证：16a
2+b
2≥8．
【答案】（1）m=-1,n=-1 （2）见解析
【解析】（1）因为f ( x)≤3的解集为[n,1]，所以f （1）≤3，即3+|1+m|≤3，所以
|1+m|≤0，
又|1+m|≥0，所以1+m=0，即m=-1.
所以f ( x)=|2 x +1|+| x -1|，
当x<- 1
2时，f ( x)=-2 x -1- x +1=-3 x ≤3, 得x ≥-1，则-1≤x<- 1
2，
当- 1
2 ≤x ≤1时，f ( x)=2 x +1- x +1= x +2≤3，得x ≤1，则- 1
2 ≤x ≤1，
当x>1时，f ( x)=2 x +1+ x -1=3 x ≤3，得x ≤1，不成立，
综上所述：f ( x)≤3的解集为[-1,1]，
因为f ( x)≤3的解集为[n,1]．所以n=-1.
（2）证明：由（1）知，m=-1，所以1
2a + 2
b =2(a>0,b>0)，
所以2= 1
2a + 2
b ≥2❑√
1
2a ⋅2
b =
2
❑√ab，当且仅当a= 1
2，b=2时，等号成立，
所以ab≥1，
所以16a
2+b
2≥2
❑√16a
2b
2=8ab≥8，当且仅当a= 1
2，b=2时，等号成立.
【点拨】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式求最值，利用零点分段法解绝对值不等式
是常规思路.
考点二：基本不等式求最值
考法4：利用直接法求和与积的最值
9.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为（ ）
A. 6
B. 12
C. 2
D. 4
【答案】A
【解析】y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 ≥2❑√
y
2
x
2 × 9 x
2
y
2 =6，当且仅当y
2
x
2 = 9 x
2
y
2 ，即y
2=3 x
2>0，等号成立，所以
y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为6.
【点拨】本题考查利用基本不等式求最值，直接应用基本不等式即可.
10.（2026·河北NT20·5 月检测）若a,b>0，且ab=a+b+ 4，则a+b的最小值为（ ）
A. 12
B. 16
C. 2+2❑√5
D. 41
2
【答案】C
【解析】由a,b为正实数且a+b+ 4 =ab，根据基本不等式ab≤( a+b
2
)
2，可得(a+b)
2
4
≥a+b+ 4，
即(a+b)
2- 4(a+b)-16≥0，解得a+b≥2+2❑√5或a+b≤2-2❑√5（舍去），当且仅当
a=b=1+ ❑√5时取等号，所以a+b的最小值为2+2❑√5.
【点拨】本题考查基本不等式的应用，利用ab≤( a+b
2
)
2将条件转化为关于a+b的一元二次不等式
是解题关键.
11.（2024·深圳高级中学·二诊）已知a,b都是正实数，ab+2a+b= 4，则a+b的最小值为（
）
A. 2
B. ❑√6-2
C. 2❑√6-3
D. ❑√6-1
【答案】D
【解析】因为a,b都是正实数，ab+2a+b= 4，即(a+1)(b+2)=6，所以
a+b=(a+1)+(b+2)-3≥2❑√(a+1)(b+2)-3=2❑√6-3，当且仅当a+1=b+2，即
a= ❑√6-1,b= ❑√6-2时等号成立.所以a+b的最小值为2❑√6-3.
【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题的关键.
12.（多选）若实数a，b满足a
2+b
2=ab+1，则（ ）
A. a-b≥-1
B. a-b≤2❑√3
3
C. ab≥- 1
3
D. ab≤1
3
【答案】BC
【解析】∵a
2+b
2=ab+1，当ab>0时，a
2+b
2≥2ab⇒ab+1≥2ab⇒ab≤1，当且仅当a=b=1或
a=b=-1时等号成立，得0<ab≤1，当ab<0时，a
2+b
2≥-2ab⇒ab+1≥-2ab⇒ab≥- 1
3，当且
仅当a=
❑√3
3 ,b=-
❑√3
3 或a=-
❑√3
3 ,b=
❑√3
3 时等号成立，得- 1
3 ≤ab<0，当ab=0时，由a
2+b
2=ab+1
可得a=0,b=±1或b=0,a=±1，综合可得- 1
3 ≤ab≤1，故C 正确，D 错误；
∵a
2+b
2-2ab=1-ab⇒(a-b)
2=1-ab⇒1-(a-b)
2=ab，当ab≥- 1
3时，
1-(a-b)
2≥- 1
3 ⇒(a-b)
2≤4
3 ⇒- 2❑√3
3
≤a-b≤2❑√3
3
，故A 错误，B 正确.
【点拨】本题考查基本不等式的应用，通过分类讨论和基本不等式求出ab的范围是解题的关键.
13.（2025·安徽淮北·二模）若实数m和n的等差中项为1，则m
2+n
2的最小值为＿＿＿＿＿
＿．
【答案】2
【解析】若实数m和n的等差中项为1，则m+n=2，m
2+n
2≥2mn，即2(m
2+n
2)≥(m+n)
2，即
m
2+n
2≥(m+n)
2
2
= 2
2
2 =2，当且仅当m=n=1取等号.故m
2+n
2的最小值为2.
【点拨】本题考查等差中项的性质及基本不等式求最值，利用平方和不等式即可求解.
14.（2026·山东东营·二模）若a,b>0，且ab=a+b+3，则ab的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
【答案】[9,+∞)
【解析】因为a,b>0，且ab=a+b+3，由基本不等式可得a+b≥2❑√ab，所以ab-3=a+b≥2❑√ab，
即(❑√ab)
2-2❑√ab-3≥0，解得❑√ab≥3或❑√ab≤-1（舍去），所以ab≥9，当且仅当a=b=3时等号
成立，所以ab的取值范围为[9,+ ∞).
【点拨】本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式将条件转化为关于❑√ab的一元二次不等式
是解题的关键.
考法5：利用凑配法求最值
15.（2026·浙江精诚·二模）已知0<a<1，则
1
2-2a + 2
a的最小值为（ ）
A. 5
2
B. 9
2
C. 5
D. 9
【答案】B
【解析】
1
2-2a + 2
a = 1
2 (
1
1-a + 4
a )= 1
2 (
1
1-a + 4
a )[(1-a)+a]= 1
2 (1+ 4+
a
1-a + 4(1-a)
a
)≥1
2 (5+2❑√
a
1-a ⋅4(1-a)
a
)= 1
2 (
当且仅当a
1-a = 4(1-a)
a
，即a= 2
3时等号成立.
【点拨】本题考查利用“1”的代换（凑配法）求最值，构造出积为定值的形式是解题的关键.
16.若x>-2，则f ( x)= x +
1
x +2的最小值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】0
【解析】由x>-2，得x +2>0，1
x +2 >0，所以
f ( x)= x +
1
x +2 = x +2+
1
x +2 -2≥2❑√( x +2)×
1
x +2 -2=0，当且仅当x +2=
1
x +2即x =-1时等号成
立.
【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过凑项构造出积为定值的形式是常用的技巧.
17.若x>1，则x
2+2 x +2
x -1
的最小值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】2❑√5+ 4
【解析】由x>1，则x -1>0.因为x
2+2 x +2=( x -1)
2+ 4( x -1)+5，所以
x
2+2 x +2
x -1
=( x -1)+
5
x -1 + 4≥2❑√( x -1)⋅
5
x -1 + 4 =2❑√5+ 4，当且仅当x -1=
5
x -1，即x = ❑√5+1
时等号成立，故x
2+2 x +2
x -1
的最小值为2❑√5+ 4.
【点拨】本题考查分式函数求最值，通过分离常数将其转化为可用基本不等式的形式是解题关键.
考法6：利用“1”的代换求最值
18.（2026·山东泰安·二模）当0< x<3时，4
x +
1
3- x 的最小值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 10
3
D. 8
3
【答案】A
【解析】当0< x<3时，
4
x +
1
3- x = 1
3 ( 4
x +
1
3- x )[ x +(3- x)]= 1
3 (4+1+ 4(3- x)
x
+
x
3- x )≥1
3 (5+2❑√
4(3- x)
x
⋅
x
3- x )= 1
3 (5+ 4)=3
当且仅当4(3- x)
x
=
x
3- x ，即x =2时等号成立.
【点拨】本题考查利用“1”的代换求最值，将常数转化为变量之和是解题的关键.
19.（2025·河北沧州·二模）若正数x，y满足x +3 y =5 xy，则3 x + 4 y的最小值是（ ）
A. 24
5
B. 28
5
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】由已知可得3
5 x + 1
5 y =1，则
3 x + 4 y =( 3
5 x + 1
5 y )(3 x + 4 y)= 9
5 + 4
5 + 12 y
5 x + 3 x
5 y ≥13
5 +2❑√
12 y
5 x ⋅3 x
5 y = 13
5 + 12
5 =5，所以
3 x + 4 y的最小值5.
【点拨】本题考查利用基本不等式求最值，将条件等式转化为1
x 与1
y 的线性组合等于1 的形式是解
题关键.
20.（2025·江西上饶·二模）（多选）若正实数a,b满足a+b=1，则（ ）
A. ❑√a+ ❑√b的最大值是❑√2
B. 1
a + 4
b 的最小值是9 C. (1+a)(1+b)
的最大值是9
4
D. a
2+2b
2的最小值是3
4
【答案】ABC
【解析】对于A，❑√a+ ❑√b= ❑√a+b+2❑√ab≤❑√a+b+(a+b)= ❑√2，当且仅当a=b= 1
2时取等号，A
正确；对于B，1
a + 4
b =(a+b)( 1
a + 4
b )=5+ b
a + 4 a
b ≥5+2❑√
b
a ⋅4 a
b =9，当且仅当b=2a= 2
3时取等
号，B 正确；对于C，(1+a)(1+b)≤( 1+a+1+b
2
)
2= 9
4 ，当且仅当a=b= 1
2时取等号，C 正确；对
于D，a=1-b,0<b<1，则a
2+2b
2=(1-b)
2+2b
2=3b
2-2b+1=3(b- 1
3 )
2+ 2
3 ≥2
3，当且仅当
b= 1
3时取等号，D 错误.
【点拨】本题综合考查了利用基本不等式求最值，熟练掌握“1”的代换以及二次函数求最值的方
法是解题的关键.
21.（2026·安徽A10·最后一卷）已知a>0,b>0，且ab=2，则1
a + 1
b +
4
a+b的最小值为＿＿＿
＿＿＿．
【答案】2❑√2
【解析】由题意得，1
a + 1
b +
4
a+b = a+b
ab +
4
a+b = a+b
2
+
4
a+b ≥2❑√
a+b
2
⋅
4
a+b =2❑√2，当且仅当
a+b
2
=
4
a+b，ab=2，即a=b= ❑√2时，等号成立.
【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过通分将代数式转化为可用基本不等式的形式是解题关
键.
考法7：利用换元法与消元法求最值
22.已知正实数a，b满足ab+2a-2=0，则4 a+b的最小值是（ ）
A. 2
B. 4 ❑√2-2
C. 4 ❑√3-2
D. 6
【答案】B
【解析】由ab+2a-2=0，得a=
2
b+2，所以
4 a+b=
8
b+2 +b=
8
b+2 +(b+2)-2≥2❑√
8
b+2 ⋅(b+2)-2= 4 ❑√2-2，当且仅当a=
2
b+2，
8
b+2 =b+2，即a=
❑√2
2 ，b=2❑√2-2取等号.
【点拨】本题考查消元法结合基本不等式求最值，将双变量问题转化为单变量问题是常用的解题
策略.
23.（2025·河北衡水·3 月联考）已知正数a,b,c满足2a+b+3c =8，则a+b+2c
b+c
+
1
a+c的最
小值为（ ）
A. 2❑√2
B. 3+2❑√2
4
C. 3 ❑√2-1
D. 5+2❑√2
4
【答案】D
【解析】设t =a+c，则b+c =8-2(a+c)=8-2t，故
a+b+2c
b+c
+
1
a+c = a+c
b+c +1+
1
a+c =
t
8-2t + 1
t +1= t - 4+ 4
8-2t + 1
t +1=-2(4 -t )+ 4
2(4 -t )
+ 1
t +1= 1
4 (4 -t +t )( 2
4 -t + 1
t )=
当且仅当t = 4 ❑√2- 4时取等号.
【点拨】本题考查利用换元法和“1”的代换求最值，整体代换是简化运算的有效手段.
24.（2026·湖南新高考·3 月联考）若a,b>0，且ab=a+b+ 4，则a+b的最小值为（ ）
A. 12
B. 16
C. 2+2❑√5
D. 41
2
【答案】C
【解析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题.因为ab≤( a+b
2
)
2，ab=a+b+ 4，所以
( a+b
2
)
2≥a+b+ 4，令t =a+b,t >0，所以t
2- 4 t -16≥0，解得t ≤2-2❑√5（舍去）或t ≥2+2❑√5，
即a+b≥2+2❑√5，当且仅当a=b=1+ ❑√5时取等号，所以a+b的最小值为2+2❑√5.
【点拨】本题考查基本不等式的应用，利用ab≤( a+b
2
)
2将条件转化为关于a+b的一元二次不等式
是解题关键.
25.（2026·广东江门·二模）已知a>1，b>1，且ab=a+b+3，则4 a+b的最小值为
（ ）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
【答案】C
【解析】由ab=a+b+3，可得(a-1)(b-1)= 4，因为a>1，b>1，所以a-1>0，b-1>0，则
4 a+b= 4(a-1)+(b-1)+5≥2❑√4(a-1)(b-1)+5=13，当且仅当4(a-1)=b-1，即a=2，b=5
时，等号成立，故4 a+b的最小值为13.
【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题的关键.
26.（2026·安徽滁州·一模）（多选）下列选项正确的有（ ）
A. 若x +2 y =2，则1
x + 2
y 最小值为9
2
B. 若x ≥2，则x
2- x +1
x -1
最小值为3
C. 若x∈(0,2π )，则sin
2 x +
9
sin
2 x +1的最小值为5
D. 若x
2
4 + y
2=1，
则2 x + y的最大值为
❑√17
【答案】BD
【解析】对于选项A，∵x +2 y =2，
∴1
x + 2
y = 1
2 ( 1
x + 2
y )( x +2 y)= 1
2 (1+ 2 y
x + 2 x
y + 4)= 1
2 ( 2 y
x + 2 x
y +5)，当xy >0时，
1
x + 2
y = 1
2 ( 2 y
x + 2 x
y +5)≥1
2 (2❑√
2 y
x ⋅2 x
y +5)= 9
2，当且仅当2 y
x = 2 x
y ，即x = y = 2
3时，等号成立；
当xy <0时，假设x =-2, y =2，满足x +2 y =2，而1
x + 2
y = 1
-2 + 2
2 = 1
2 < 9
2，故选项A 错误；对于选
项B，设x -1=t，∵x ≥2，∴t ≥1，x =t +1，
∴x
2- x +1
x -1
= (t +1)
2-(t +1)+1
t
= t
2+2t +1-t -1+1
t
= t
2+t +1
t
=t + 1
t +1≥2❑√t ⋅1
t +1=3，当且仅
当t = 1
t 时，即t =1时取等号，则x
2- x +1
x -1
的最小值为3，故选项B 正确；对于选项C，
∵x∈(0,2π )，∴sin x∈[-1,1]，
∴sin
2 x +
9
sin
2 x +1
=(sin
2 x +1)+
9
sin
2 x +1
-1≥2❑√
(sin
2 x +1)⋅
9
sin
2 x +1
-1=5，当且仅当
sin
2 x +1=
9
sin
2 x +1，即sin
2 x =2，等号成立，但是sin
2 x =2无解，故等号不能成立，则
sin
2 x +
9
sin
2 x +1
>5，故选项C 错误；对于选项D，∵x
2
4 + y
2=1，∴设cosα = x
2 ,sin α = y，
∴x =2cosα , y =sin α，∴2 x + y = 4 cosα +sin α = ❑√17sin(α + β)，其中tan β = 4，
∵sin(α + β)∈[-1,1]，∴❑√17sin(α + β)∈[- ❑√17,❑√17]，∴2 x + y的最大值为❑√17，故选项D
正确.
【点拨】本题综合考查基本不等式求最值、三角换元求最值，注意基本不等式成立的条件“一正
二定三相等”.
27.（2026·湖南雅礼中学·5 月模拟）已知x> y >0，若x
2+ 2
x
2 = y
2+ 2
y
2，则x + ❑√2 y的最小值为
＿＿＿＿＿＿．
【答案】2❑√2
【解析】因为x
2+ 2
x
2 = y
2+ 2
y
2，所以x
2- y
2+ 2
x
2 - 2
y
2 =0，整理可得( x
2- y
2)-
2
x
2 y
2 ( x
2- y
2)=0，
由已知x> y >0，则x
2- y
2>0，可得1-
2
x
2 y
2 =0，即x
2 y
2=2，所以xy = ❑√2，所以x⋅❑√2 y =2，所
以x + ❑√2 y ≥2❑√x⋅❑√2 y =2❑√2，当且仅当x = ❑√2 y时取等号，又x⋅❑√2 y =2，所以x = ❑√2, y =1时
取到最小值.
【点拨】本题考查基本不等式的应用，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题关键.
28.若x , y ∈R
+，( x - y )
2=( xy )
3，则1
x + 1
y 的最小值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】2
【解析】因为( x - y )
2=( xy )
3且x , y ∈R
+，则两边同除以( xy )
2，得( 1
y - 1
x )
2= xy，又因为
( 1
x + 1
y )
2=( 1
y - 1
x )
2+ 4
xy = xy + 4
xy ≥2❑√xy ⋅4
xy = 4，当且仅当xy = 4
xy ，即x =2+ ❑√2, y =2- ❑√2时等
号成立，所以1
x + 1
y ≥❑√4 =2.
【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过代数式的恒等变形将和的最值转化为基本不等式模型
是解题关键.
29.若a>0，b>0，c>0，a+b+c =2，则4
a+b + a+b
c
的最小值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】2+2❑√2
【解析】由题意，a>0，b>0，c>0，a+b+c =2得：a+b=2-c，设2-c =m,c =n,(m>0,n>0)，
则m+n=2，故
4
a+b + a+b
c
=
4
2-c + 2-c
c
=
4
2-c + 2
c -1= 4
m + 2
n -1= m+n
2
×( 4
m + 2
n )-1=3+ 2n
m + m
n -1≥2+2❑√
2n
m ⋅m
n =2+2❑√2
当且仅当m
2=2n
2，即m= 4 -2❑√2,n=c =2❑√2-2时取得等号，故4
a+b + a+b
c
的最小值为2+2❑√2.
【点拨】本题考查换元法与基本不等式求最值，通过整体代换将多元问题转化为双变量问题是解
题关键.
考点三：基本不等式的综合应用
考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值
30.（2026·安徽铜陵·一模）已知a>0,b>0，
❑√ab= 1
a + 1
b，则
1
loga2 +
1
logb2的最小值为（
）
A. 3
B. 2
C. ❑√2
D. 1
【答案】D
【解析】因为a>0,b>0，
❑√ab= 1
a + 1
b = a+b
ab ≥2❑√ab
ab
，所以ab≥2，当且仅当a=b=2时取等号，
所以
1
loga2 +
1
logb2 = log2a+ log2b= log2(ab)≥log22=1，故选：.....................................................D.
【点拨】本题考查基本不等式与对数运算的结合，注意对数换底公式的灵活应用.
31.（2025·江苏高邮·一模）已知a、b∈R，且4 a+b=2，则16
a+2
b的最小值是（ ）
A. 2❑√2
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】B
【解析】因为a、b∈R，且4 a+b=2，则16
a+2
b=2
4 a+2
b≥2
❑√2
4 a⋅2
b=2
❑√2
4 a+b=2
❑√2
2= 4，当
且仅当2
4 a=2
b时，即当a= 1
4 ,b=1时，等号成立，因此，16
a+2
b的最小值是4.
【点拨】本题考查基本不等式与指数运算的结合，将和的最值转化为指数幂的乘积是解题关键.
32.（2026·河北石家庄一中·一模）（多选）已知a>0，b>0，a+2b=1，则（ ）
A. 2
a + 1
b的最小值为4 B. a
2+b
2的最小值为1
5
C. log 1
2
a+ log 1
2
b的最小值为3
D. 2
a+ 4
b的最小值为2❑√2
【答案】BCD
【解析】对于A，2
a + 1
b =( 2
a + 1
b )(a+2b)=2+2+ 4 b
a + a
b ≥4+2❑√
4 b
a ⋅a
b =8，当且仅当a=2b= 1
2
时等号成立，故A 错误；对于B，a
2+b
2=a
2+( 1-a
2
)
2= 5
4 a
2- 1
2 a+ 1
4 = 5
4 (a- 1
5 )
2+ 1
5 ≥1
5，当且仅
当a= 1
5 ,b= 2
5时等号成立，故B 正确；对于C，log 1
2
a+ log 1
2
b= log 1
2
(ab)，因为a+2b≥2❑√2ab，
所以ab≤1
8，所以log 1
2
(ab)≥log 1
2
1
8 =3，当且仅当a=2b= 1
2时等号成立，故C 正确；对于D，
2
a+ 4
b=2
a+2
2b≥2
❑√2
a+2b=2❑√2，当且仅当a=2b= 1
2时等号成立，故D 正确.
【点拨】本题综合考查基本不等式在求最值中的应用，涉及“1”的代换、二次函数最值以及指对
数运算.
33.（2025·河北邢台·一模）已知2a+b=1(a>0,b>0)，则log2a+ log2b的最大值为＿＿＿＿
＿＿．
【答案】-3
【解析】因为2a+b=1，所以1=2a+b≥2❑√2ab，解得ab≤1
8，当且仅当2a=b= 1
2时等号成立.所
以log2a+ log2b= log2(ab)≤log2 1
8 =-3.
【点拨】本题考查基本不等式与对数运算的结合，利用基本不等式求出ab的最大值是解题的关键.
考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合
34.（2026·湖南常德·一模）已知实数b>0，若对任意的x∈R，x
2-ax +2-b≥0恒成立，则
ab的最大值为（ ）
A. 4 ❑√6
9
B. 8 ❑√6
9
C. 10 ❑√6
9
D. 4 ❑√6
3
【答案】B
【解析】因为对任意的x∈R，x
2-ax +2-b≥0恒成立，所以Δ=a
2- 4(2-b)≤0，即a
2+ 4 b≤8.
因为b>0，要求ab的最大值，只需考虑a>0的情况.由基本不等式可得
8≥a
2+ 4 b=a
2+2b+2b≥3
3√a
2⋅2b⋅2b=3
3√4 a
2b
2，当且仅当a
2=2b= 8
3，即a= 2❑√6
3
,b= 4
3 时等
号成立.所以4 a
2b
2≤( 8
3 )
3= 512
27 ，解得ab≤❑√
128
27 = 8 ❑√6
9
.对应选项B.
【点拨】本题考查一元二次不等式恒成立问题以及利用导数求最值，将多元问题转化为单变量函
数求最值是解题关键.
35.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知a>0，b>0，则下列说法正确的是（ ）
A. 若ab=a+b+3，则ab≥9
B. a
2+ 4
a
2+3 的最小值为1
C. 若a+b=9，则36
a + a
b的最小值为8
D. 若❑√a+ ❑√5b≤k ❑√a+b恒成立，则k的最小值为❑√6
【答案】ACD
【解析】对于 A，∵ a > 0,b > 0，∴ ab - 3 = a + b ≥ 2\sqrt{ab}，当且仅当 a = b = 3 时取等号，∴
ab - 2\sqrt{ab} - 3 ≥ 0，解得 \sqrt{ab} ≥ 3，即 ab ≥ 9，故 A 正确；对于 B，(a^2+4)/(a^2+3) =
(a^2+3+1)/(a^2+3) = 1 + 1/(a^2+3)，因为 a > 0，所以 a^2+3 > 3，所以 0 < 1/(a^2+3) < 1/3，所以 1
< (a^2+4)/(a^2+3) < 4/3，无最小值，故 B 错误；对于 C，因为 a+b=9，所以 36/a + a/b = 4(a+b)/a
+ a/b = 4 + 4b/a + a/b ≥ 4 + 2\sqrt{4b/a \cdot a/b} = 8，当且仅当 4b/a = a/b，即 a=2b=6, b=3 时，等
号成立，故 C 正确；对于 D，(\sqrt{a} + \sqrt{5b})^2 = a + 5b + 2\sqrt{5ab} \leq a + 5b + 5a + b =
6(a+b)，当且仅当 5a=b 时取等号，所以 \sqrt{a} + \sqrt{5b} \leq \sqrt{6}\sqrt{a+b}，又 \sqrt{a} +
\sqrt{5b} \leq k\sqrt{a+b} 恒成立，所以 k \geq \sqrt{6}，即 k 的最小值为 \sqrt{6}，故 D 正确.
【点拨】本题综合考查基本不等式及柯西不等式的应用，灵活运用不等式性质求最值是解题的关
键.
36.若关于x的不等式x
2+bx +c≥0(b>1)的解集为R，则1+2b+ 4 c
b-1
的最小值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】8
【解析】因为不等式 x^2+ bx + c ≥ 0(b > 1) 的解集为 R，则 Δ = b^2- 4c ≤ 0 ⇒ c ≥ b^2/4 ，因为 b
> 1，所以 b - 1 > 0，∴ (1+2b+4c)/(b-1) ≥ (b^2+2b+1)/(b-1) = ((b-1)^2+4(b-1)+4)/(b-1) = (b - 1) +
4/(b-1) + 4 ≥ 2\sqrt{(b-1) \times 4/(b-1)} + 4 = 8．当且仅当 b - 1 = 4/(b-1) ，即 b = 3 时，取到等号．
【点拨】本题考查一元二次不等式恒成立问题与基本不等式求最值的综合，利用判别式消去参数c
是解题关键.
考法10：利用基本不等式解决实际问题
37.（2026·安徽皖江·最后一卷）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占
用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加(订货费
不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本)．因此需要决定多长
时间订购一次，使每天所需平均成本费用(不包括购买原料费用)最少．设时间以天为单位，
工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为r吨，每次订货费为C1元，每天
每吨原料贮存费为C2元，当贮存量降到0 时订货可立即送达，订货费C1、贮存费C2和需求
量r均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为T(即每T天订一次货)，则每次订货
量为Q =r ⋅T，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存
量为Q⋅T
2
，所以一个订货周期的贮存费为1
2 C2⋅r ⋅T
2，要使每天所需平均成本费用最低，
则T =（ ）
A. ❑√2C1⋅C2⋅r
B. 2C1⋅C2⋅r
C. 2C1
C2⋅r
D. ❑√
2C1
C2⋅r
【答案】D
【解析】一个订货周期的总费用为 C_1 + 1/2 C_2 \cdot r \cdot T^2，每天所需平均成本费用为
C_1/T + 1/2 C_2 \cdot r \cdot T \geq 2\sqrt{C_1/T \cdot 1/2 C_2 \cdot r \cdot T} = \sqrt{2C_1 \cdot C_2
\cdot r}，当且仅当 C_1/T = 1/2 C_2 r T，即 T = \sqrt{2C_1/(C_2 \cdot r)} 时，等号成立.
【点拨】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，根据题意列出平均成本费用的函数关系式是
解题关键.
38.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某
单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利
用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600 吨，月处理成本y(元)
与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y = 1
2 x
2-200 x +80000，且处理每吨二氧
化碳得到可利用的化工产品价值为100 元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补
贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】（1）400吨 （2）不获利，40000元
【解析】（1） 由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为 y/x = 1/2 x + 80000/x - 200 ≥ 2\sqrt{1/2
x \cdot 80000/x} - 200 = 200；当且仅当 1/2 x = 80000/x ，即 x = 400 时等号成立，故该当每月处理
量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为 200 元.
（2） 不获利，设该单位每个月获利为 S 元，则 S = 100x - y = 100x - (1/2 x^2 - 200x + 80000) =
-1/2 x^2 + 300x - 80000 = -1/2(x - 300)^2 - 35000，因为 x ∈ [400,600]，则 S ∈ [-80000,-40000]，故
该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴 40000 元才能不亏损.
【点拨】本题考查函数模型在实际问题中的应用，涉及基本不等式求最值和二次函数求最值.
39.截至2022 年12 月12 日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000 人．疫情严峻，
请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．【图片】
（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验
阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t )(单位：mg/L)随着时间t(单位：h)的变化
用指数模型c(t )=c0e
-kt描述，假定某药物的消除速率常数k =0.1(单位：h
-1)，刚注射这种
新药后的初始血药含量c0=2000 mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000 mg/L
时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时
长大约为多少小时？(精确到0.01，参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)
（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底
面积为48a平方米(a>0)，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4 米．房屋正面造价400
元/平方米，侧面造价150 元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为
多少时，总价最低？
【答案】（1）6.93h （2）见解析
【解析】（1） 由题意得，c(t) = c_0e^{-kt} = 2000e^{-0.1t}，设该药在病人体内的血药含量变为
1000mg/L 时需要是时间为 t_1，由 c(t_1) = 2000e^{-0.1t_1} ≥ 1000，得 e^{-0.1t_1} ≥ 1/2 ，故
-0.1t_1 ≥ -ln2，∴ t_1 ≤ ln2/0.1 ≈ 6.93h．∴ 该新药对病人有疗效的时长大约为 6.93h．
（2） 由题意，正面长为 48a/x 米，故总造价 y = 400 × 4 × 48a/x + 2 × 150 × 4x，即 y = 76800a/x
+ 1200x, (0 < x ≤ 8). 由基本不等式有 y = 76800a/x + 1200x ≥ 2\sqrt{76800a/x \times 1200x} ，当且仅
当 76800a/x = 1200x，即 x = 8\sqrt{a} 时取等号. 故当 8\sqrt{a} ≤ 8，即 a ≤ 1，x = 8\sqrt{a} 时总
价最低；当 8\sqrt{a} > 8，即 a > 1 时，由对勾函数的性质可得，x = 8 时总价最低；综上，当 0 <
a ≤ 1 时，x = 8\sqrt{a} 时总价最低；当 a > 1 时，x = 8 时总价最低.
【点拨】本题考查指数函数模型与基本不等式在实际生活中的应用，注意自变量的取值范围对最
值的影响.
