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第4 讲 基本不等式及其应用·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
①已知
，求
的最小值；解答过程：
；
②求函数
的最小值；解答过程：可化得
；
③设
，求
的最小值；解答过程：
，当且仅当
即
时等号成立，把
代入
得最小值为4．
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
2.（2025·广东·3 月联考）已知正数
满足
，则
的
最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2026·江西萍乡·二模）已知
，
，则
的最小值为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4.（2026·湖北十堰·一模）已知正数
满足
，则
的最小值为（
）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
5.（2026·湖北黄冈·一模）已知
为正实数，且
，则
的最小值为（
）
A. 12
B. 16
C. 18
D. 20
6.（2025·上进联考·5 月测评）已知正实数
满足
，则
的最大
值为（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
7.（2026·厦门双十·适应练习）设
且
，
且
，若
，
则
的最小值为（ ）
A. 3
B.
C. 9
D. 18
8.（2026·精诚联盟·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C. 5
D. 9
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.已知
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知
，且
，则（ ）
A.
的最小值为 4
B.
的最
小值为
C.
的最大值为
D.
的最小值为
11.（2026·安徽铜陵·一模）下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则函数
的最小值为 3
B. 若
，则
的最小值为
C. 函数
的最小值为
D. 若
，且
，则
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.若
，
，则
的最小值为＿＿＿＿＿＿.
13.已知
，
，满足
，则
的最小值为＿＿＿＿＿＿.
14.若
，
，
，
，则
的最小值为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）利用基本不等式证明：已知
都是正数，求证：
16.（15 分）（2024·河南·阶段练习）已知
，
，
为正数，证明：
（1） 若
，则
；
（2） 若
，则
．
17.（15 分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为
主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为
一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理
成本
(元) 与月处理量
(吨) 之间的函数关系可近似的表示为
，
且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元.
（1） 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2） 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补
贴多少元才能使单位不亏损？
18.（17 分）已知
，求
的最大值.
19.（17 分）（2024·湖北孝感·开学考试）截至 2022 年 12 月 12 日，全国新型冠状病毒
的感染人数突破 44200000 人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
（1） 我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验
阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量
(单位：mg/L) 随着时间 (单位：h).的
变化用指数模型
描述，假定某药物的消除速率常数
(单位：
)，刚注
射这种新药后的初始血药含量
，且这种新药在病人体内的血药含量不低于
时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病
人有疗效的时长大约为多少小时？ (精确到 0.01，参考数据：
，
)
（2） 为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底
面积为
平方米 (
)，侧面长为
米，且
不超过 8，房高为 4 米.房屋正面
造价 400 元 / 平方米，侧面造价 150 元 / 平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，
则侧面长为多少时，总价最低？
