第4 讲 综合测试 解析卷
答案速查表
1
2
3
4
5
A
D
A
D
B
6
7
8
9
10
A
B
B
BC
ACD
11
12
13
14
15
BCD
2
❑√6
2+2❑√2
见解析
16
17
18
19
见解析
（1）400吨
（2）不获利，
最大利润为
- 40000元，至
少补贴40000元
2❑√2
3
（1）6.93小时
（2）当0<a≤1
时，x =8 ❑√a；
当a>1时，x =8
1.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
①已知 ab≠0，求 a
b + b
a 的最小值；解答过程：a
b + b
a ≥2❑√
a
b × b
a =2；
②求函数 y = x
2+5
x
2+ 4 的最小值；解答过程：可化得 y =
❑√x
2+ 4+
1
❑√x
2+ 4
≥2；
③设 x>1，求 y = x +
2
x -1 的最小值；解答过程：y = x +
2
x -1 ≥2❑√
2 x
x -1，当且仅当
x =
2
x -1 即 x =2 时等号成立，把 x =2 代入 2❑√
2 x
x -1 得最小值为4．
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【答案】A
【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当 ab<0，a
b 与 b
a 均为负值，此时
a
b + b
a =-[(- a
b)+(- b
a)]≤-2❑√(- a
b)⋅(- b
a)=-2，当且仅当 a
b = b
a，即 a=b<0 时等号成立，故
①的用法有误，故①错误；
对②：y =
❑√x
2+ 4+
1
❑√x
2+ 4
≥2，当且仅当
❑√x
2+ 4 =
1
❑√x
2+ 4 ，即 x
2+ 4 =1 时取等号，但
❑√x
2+ 4≥2，则等号取不到，故②的用法有误；
对③：x>1，x -1>0，y = x +
2
x -1 = x -1+
2
x -1 +1≥2❑√2+1，当且仅当 x -1= ❑√2，即
x = ❑√2+1 时取等号，故③的用法有误；
故使用正确的个数是0 个，对应选项A.
【点拨】应用基本不等式求最值时，必须严格检验“一正、二定、三相等”三个条件是否同时满
足，切忌盲目套用公式.
2.（2025·广东·3 月联考）已知正数 a,b,c 满足 2a+6b+3c =8，则 a+b+2c
b+c
+
1
a+c 的最
小值为（ ）
A. 2❑√2
B. 3+2❑√2
4
C. 3 ❑√2-1
D. 5+2❑√2
2
【答案】D
【解析】设 t =a+c，则 b+c =8-2(a+c)=8-2t，
故 a+b+2c
b+c
+
1
a+c = a+c
b+c +
1
a+c +1=
t
8-2t + 1
t +1
= t - 4+ 4
8-2t + 1
t +1=
2
4 -t + 1
t + 1
2
= 1
4 (4 -t +t )⋅(
2
4 -t + 1
t)+ 1
2
= 1
4(
2t
4 -t + 4 -t
t
+3)+ 1
2
≥1
4 (2❑√2+3)+ 1
2 = 5+2❑√2
4
，当且仅当 t = 4 ❑√2- 4 时取等号.
【点拨】本题原卷选项D 存在排版笔误，实际计算结果为 5+2❑√2
4
.解题核心在于通过换元法将多
元问题转化为一元或双变量问题，再利用“乘1 法”构造基本不等式.
3.（2026·江西萍乡·二模）已知 a>0,b>0，4 a+b=1，则 b
a + 1
b 的最小值为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A
【解析】因为 a>0,b>0，4 a+b=1，
则 b
a + 1
b = b
a + 4 a+b
b
= b
a + 4 a
b +1
≥2❑√
b
a ⋅4 a
b +1=2×2+1=5.
当且仅当 b
a = 4 a
b ，即 b=2a，结合 4 a+b=1 得 a= 1
6 ,b= 1
3 时等号成立.
所以最小值为5.
【点拨】处理条件等式求最值时，常将常数项替换为已知表达式，展开后利用基本不等式求解.
4.（2026·湖北十堰·一模）已知正数 x , y 满足 x + y = xy，则 x + 4 y 的最小值为
（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D
【解析】因为正数 x , y 满足 x + y = xy，两边同除以 xy 则 1
x + 1
y =1，
可得 x + 4 y =( x + 4 y)(
1
x + 1
y)=1+ 4 + 4 y
x + x
y =5+ 4 y
x + x
y
≥5+2❑√
4 y
x ⋅x
y =5+ 4 =9，
当且仅当 4 y
x = x
y ，即 x =2 y =3 时，等号成立，
所以 x + 4 y 的最小值为9.
【点拨】遇到“和等于积”的条件，优先考虑两边同除以积，转化为倒数和为定值的形式，再利
用“乘1 法”求解.
5.（2026·湖北黄冈·一模）已知 x , y 为正实数，且 x + y =1，则 x +9 y
xy
的最小值为（
）
A. 12
B. 16
C. 18
D. 20
【答案】B
【解析】由题可得 x +9 y
xy
= 1
y + 9
x ，
因为 x + y =1，
所以 1
y + 9
x =( x + y)(
9
x + 1
y)=9+1+ 9 y
x + x
y =10+ 9 y
x + x
y
≥10+2❑√
9 y
x ⋅x
y =10+6=16.
当且仅当 9 y
x = x
y ，即 x = 3
4 , y = 1
4 时取等号.
故选：B.
【点拨】分离分子是处理分式求最值的常见手段，分离后结合已知条件构造基本不等式的形式.
6.（2025·上进·5 月测评）已知正实数 x , y 满足 x
2+ y =6，则 log3 x + log9 y 的最大值为
（ ）
A. 1
B. ❑√2
C. ❑√3
D. 2
【答案】A
【解析】log3 x + log9 y = log3 x + 1
2 log3 y = log3 x + log3
❑√y = log3( x ❑√y).
因为 x
2+ y =6，且 x , y >0，
由基本不等式 x
2+ y ≥2 x ❑√y，即 6≥2 x ❑√y，
所以 x ❑√y ≤3，当且仅当 x
2= y =3 时等号成立.
因为 y = log3t 在 (0,+∞) 上单调递增，
所以 log3( x ❑√y)≤log33=1.
故最大值为1.
【点拨】对数运算与基本不等式的结合，关键在于利用对数运算法则将和转化为积，再利用基本
不等式求真数的最值.
7.（2026·厦门双十·适应练习）设 a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1，若
1
loga3 +
1
logb3 =1，则
a+9b 的最小值为（ ）
A. 3
B. 6 ❑√3
C. 9
D. 18
【答案】B
【解析】由换底公式可得
1
loga3 +
1
logb3 =1⇒log3a+ log3b=1⇒log3(ab)=1⇒ab=3.
因为 a>0,b>0，
所以 a+9b≥2❑√a⋅9b=2❑√9ab=2❑√27=6 ❑√3.
当且仅当 a=9b，即 a=3 ❑√3,b=
❑√3
3 时等号成立.
所以最小值为 6 ❑√3.
【点拨】利用对数的换底公式将条件转化为乘积为定值，进而直接利用基本不等式求和的最小值.
8.（2026·精诚·二模）已知 0<a<1，则
1
2-2a + 2
a 的最小值为（ ）
A. 5
2
B. 9
2
C. 5
D. 9
【答案】B
【解析】因为 0<a<1，所以 2-2a>0，且 (2-2a)+2a=2，
所以
1
2-2a + 2
a = 1
2(
1
2-2a + 2
a)[(2-2a)+2a]
= 1
2(1+ 4 +
2a
2-2a + 2(2-2a)
a
)
= 5
2 + 1
2(
2a
2-2a + 4 - 4 a
a )
≥5
2 + 1
2 ⋅2❑√
2a
2-2a ⋅4 - 4 a
a
= 5
2 + 1
2 ⋅4 = 9
2
.
当且仅当 2a
2-2a = 4 - 4 a
a
，即 a= 2
3 时等号成立.
【点拨】通过观察分母特征，提取常数构造出和为定值的两项，再利用“乘1 法”是解决此类题
目的标准流程.
9.已知 x>0，y >0，且 x + y - xy +3=0，则下列说法正确的是（ ）
A. 3< xy ≤12
B. x + y ≥6
C. x
2+ y
2≥18
D. 0< 1
x + 1
y ≤1
3
【答案】BC
【解析】对于A：由 xy -3= x + y ≥2❑√xy，得 xy -3≥2❑√xy，当且仅当 x = y 时等号成立，
即 (❑√xy )
2-2❑√xy -3≥0，解得 ❑√xy ≥3，即 xy ≥9，故A 不正确；
对于B：由 x + y +3= xy ≤(
x + y
2 )
2
，得 x + y +3≤(
x + y
2 )
2
，当且仅当 x = y 时等号成立，
即 ( x + y )
2- 4( x + y )-12≥0，解得 x + y ≥6，或 x + y ≤-2（舍去），故B 正确；
对于C：x
2+ y
2=( x + y)
2-2 xy =( x + y)
2-2( x + y +3)=( x + y)
2-2( x + y)-6，
令 t = x + y ≥6，则 x
2+ y
2=t
2-2t -6=(t -1)
2-7≥(6-1)
2-7 =18，即 x
2+ y
2≥18，故C 正确；
对于D：1
x + 1
y = x + y
xy = xy -3
xy
=1- 3
xy ，
令 t = xy ≥9，则 1
x + 1
y =1- 3
t ≥1- 3
9 = 2
3，即 1
x + 1
y ≥2
3，故D 不正确.
【点拨】处理含有 x + y 和 xy 的等式时，常利用 x + y ≥2❑√xy 或 xy ≤(
x + y
2 )
2
将双变量转化
为单变量的不等式求解.
10.已知 a>0,b>0，且 a+ 1
b =1，则（ ）
A. 1
a +b 的最小值为 4 B. a
2+ 1
b
2 的最小值为 1
4
C. a
b 的最大值为 1
4
D. 1
2 b-a 的最小值为 ❑√2-1
【答案】ACD
【解析】对于A，1
a +b=(
1
a +b)(a+ 1
b)=1+1+ab+ 1
ab ≥2+2❑√ab⋅1
ab = 4，当且仅当 ab=1，即
a= 1
2 ,b=2 时取等号，则A 正确；
对于B，a
2+ 1
b
2 ≥1
2(a+ 1
b)
2
= 1
2 ×1
2= 1
2，即 a
2+ 1
b
2 ≥1
2，当且仅当 a= 1
b，即 a= 1
2 ,b=2 时取等
号，则B 错误；
对于C，a
b =a⋅1
b ≤(
a+ 1
b
2 )
2
= 1
4
，当且仅当 a= 1
b = 1
2，即 b=2 时，(
a
b)max
= 1
4 ，则C 正确；
对于D，1
2 b-a= 1
2 b- b-1
b
= b
2 + 1
b -1≥2❑√
b
2 ⋅1
b -1= ❑√2-1，当且仅当 b
2 = 1
b 且 a=1- 1
b，即
b= ❑√2,a=1-
❑√2
2 时取等号，则D 正确.
【点拨】灵活运用基本不等式的各种变形形式（如 a
2+b
2≥(a+b)
2
2
和 ab≤(a+b)
2
4
）是快速判
断选项的关键.
11.（2026·安徽铜陵·一模）下列说法正确的是（ ）
A. 若 x<1，则函数 y = x +
1
x -1 的最小值为 3
B. 若 x +2 y =3，
则 2
x+ 4
y 的最小值为 4 ❑√2
C. 函数 y =
2
sin
2 x
+
1
cos
2 x 的最小值为 3+2❑√2
D. 若 x>0, y >0，
且 x +2 y =2，则 ( xy)max= 1
2
【答案】BCD
【解析】对于A，∵x<1，∴x -1<0，
∴y = x +
1
x -1 = x -1+
1
x -1 +1=-[-( x -1)+(-
1
x -1)]+1≤-2❑√-( x -1)×(-
1
x -1)+1=-1，
当且仅当 1- x =-
1
x -1，即 x =0 时，取得最大值 -1，故A 错误；
对于B，2
x+ 4
y≥2
❑√2
x⋅4
y =2
❑√2
x +2 y =2
❑√2
3= 4 ❑√2，
当且仅当 2
x = 4
y 即 x =2 y，结合 x +2 y =3 得 x = 3
2 , y = 3
4 时，2
x+ 4
y 取到最小值为 4 ❑√2，
故B 正确；
对于C，
y =
2
sin
2 x
+
1
cos
2 x
=(
2
sin
2 x
+
1
cos
2 x)(sin
2 x +cos
2 x)=3+ 2cos
2 x
sin
2 x
+ sin
2 x
cos
2 x
≥3+2❑√
2cos
2 x
sin
2 x
× sin
2 x
cos
2 x
=3+2❑√2
，
当且仅当 2cos
2 x
sin
2 x
= sin
2 x
cos
2 x 即 tan
2 x = ❑√2 时取等号，故C 正确；
对于D，当 x>0, y >0，且 x +2 y =2 时，2= x +2 y ≥2❑√x⋅2 y =2❑√2❑√xy，∴❑√xy ≤
❑√2
2 ，即
xy ≤1
2，
当且仅当 x =2 y =1 时，xy 取最大值 1
2，故D 正确.
【点拨】应用基本不等式时，必须保证各项均为正数，若为负数则需提取负号转化为正数再使用.
三角函数求最值常利用 sin
2 x +cos
2 x =1 进行代换.
12.若 x , y ∈R
+，( x - y )
2=( xy )
3，则 1
x + 1
y 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【解析】因为 ( x - y)
2=( xy )
3 且 x , y ∈R
+，则两边同除以 ( xy )
2，得 (
1
y - 1
x)
2
= xy，
又因为 (
1
x + 1
y)
2
=(
1
y - 1
x)
2
+ 4
xy = xy + 4
xy ≥2❑√xy ⋅4
xy = 4，
当且仅当 xy = 4
xy ，即 xy =2，结合 (
1
y - 1
x)
2
=2 可解得 x =2+ ❑√2, y =2- ❑√2 时等号成立，
所以 1
x + 1
y ≥❑√4 =2.
【点拨】通过代数变形找出目标式与已知条件之间的联系，利用完全平方公式的展开式进行转化
是解题的突破口.
13.已知 x>0，y >0，满足 x
2+2 xy -2=0，则 2 x + y 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】❑√6
【解析】由 x
2+2 xy -2=0，得 y = 2- x
2
2 x = 1
x - x
2，
因为 y >0，所以 x∈(0,❑√2)，
所以 2 x + y =2 x + 1
x - x
2 = 3 x
2 + 1
x ≥2❑√
3 x
2 ⋅1
x =2❑√
3
2 = ❑√6.
当且仅当 3 x
2 = 1
x 即 x =
❑√6
3 时等号成立，
所以 2 x + y 的最小值是 ❑√6.
【点拨】消元法是求最值的基本方法之一，将双变量问题转化为单变量问题后，再利用基本不等
式求解.
14.若 a>0，b>0，c>0，a+b+c =2，则 4
a+b + a+b
c
的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2+2❑√2
【解析】由题意，a>0，b>0，c>0，a+b+c =2，
设 a+b=m，c =n，则 m>0,n>0，且 m+n=2.
故 4
a+b + a+b
c
= 4
m + m
n = 4
m + 2-n
n
= 4
m + 2
n -1
= m+n
2 (
4
m + 2
n)-1= 1
2(4+2+ 4 n
m + 2m
n )-1
=3+ 2n
m + m
n -1=2+ 2n
m + m
n ≥2+2❑√
2n
m ⋅m
n =2+2❑√2.
当且仅当 2n
m = m
n ，即 m
2=2n
2，结合 m+n=2 解得 m= 4 -2❑√2,n=c =2❑√2-2 时取得等号.
【点拨】通过整体换元简化表达式，再利用“乘1 法”将分式展开，是处理此类连加分式求最值
的有效策略.
15.（13 分）利用基本不等式证明：已知 a,b,c 都是正数，求证：
(a+b)(b+c)(c +a)≥8abc
【答案】见解析
【解析】∵a,b,c 都是正数，
∴a+b≥2❑√ab>0（当且仅当 a=b 时取等号）；............................................................................3 分
b+c≥2❑√bc>0（当且仅当 b=c 时取等号）；................................................................................6 分
c +a≥2❑√ca>0（当且仅当 c =a 时取等号）；................................................................................9 分
将上述三个不等式同向相乘可得：
(a+b)(b+c)(c +a)≥2❑√ab⋅2❑√bc⋅2❑√ca=8abc，....................................................................11 分
当且仅当 a=b=c 时取等号，
即 (a+b)(b+c)(c +a)≥8abc 成立.................................................................................................13 分
【点拨】本题考查基本不等式的连用.在连续使用基本不等式并相乘时，必须确保不等式两边均为
正数，且各不等式取等号的条件能够同时满足.
16.（15 分）（2024·河南·阶段练习）已知 x，y，z 为正数，证明：
（1） 若 xyz =2，则 1
x + 1
y + 1
z ≤x
2+ y
2+ z
2
2
；
（2） 若 2 x + y +2 z =9，则 x
2+ y
2+ z
2≥9．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1） 因为 xyz =2，所以 2
x = yz≤y
2+ z
2
2
，同理可得 2
y ≤x
2+ z
2
2
，2
z ≤x
2+ y
2
2
，......3 分
将以上三式相加可得：
2
x + 2
y + 2
z ≤y
2+ z
2
2
+ x
2+ z
2
2
+ x
2+ y
2
2
= x
2+ y
2+ z
2，............................................................................5 分
两边同除以2，故 1
x + 1
y + 1
z ≤x
2+ y
2+ z
2
2
，
当且仅当 x = y = z 时等号成立．.........................................................................................................7 分
（2） 由柯西不等式可得：
(2
2+1
2+2
2)( x
2+ y
2+ z
2)≥(2 x + y +2 z)
2，.......................................................................................11 分
即 9( x
2+ y
2+ z
2)≥(2 x + y +2 z)
2，
因为 2 x + y +2 z =9，
所以 9( x
2+ y
2+ z
2)≥9
2=81，............................................................................................................13 分
所以 x
2+ y
2+ z
2≥9，
当且仅当 x
2 = y
1 = z
2，结合 2 x + y +2 z =9 即 x =2, y =1, z =2 时等号成立．..........................15 分
【点拨】第一问巧妙利用乘积条件将倒数转化为两数之积，再利用基本不等式放缩；第二问是典
型的利用柯西不等式求平方和最小值的模型，注意构造系数.
17.（15 分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为
主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为
一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理
成本 y (元) 与月处理量 x (吨) 之间的函数关系可近似的表示为 y = 1
2 x
2-200 x +80000，
且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元.
（1） 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2） 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补
贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】（1）400 吨 （2）不获利，最大利润为- 40000元，至少补贴40000 元
【解析】（1） 由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为：
y
x =
1
2 x
2-200 x +80000
x
= 1
2 x + 80000
x
-200......................................................................................3 分
≥2❑√
1
2 x⋅80000
x
-200=2❑√40000-200=200；...............................................................................5 分
当且仅当 1
2 x = 80000
x
，即 x = 400 时等号成立，
故该当每月处理量为400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200 元...................................7 分
（2） 设该单位每个月获利为 S 元，则
S =100 x - y =100 x -(
1
2 x
2-200 x +80000).....................................................................................10 分
=- 1
2 x
2+300 x -80000
=- 1
2 ( x -300)
2-35000，.................................................................................................................... 12 分
因为 x∈[ 400,600]，二次函数 S 在 [ 400,600] 上单调递减，
所以当 x = 400 时，S 取得最大值，Smax=- 1
2 (400-300)
2-35000=- 40000，
即 S∈[-80000,- 40000]，............................................................................................................. 14 分
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000 元才能不亏损.....................................15 分
【点拨】实际应用题中，建立正确的函数模型是关键.求平均成本最低时利用基本不等式，求总利
润最大时利用二次函数的性质，注意自变量的实际取值范围对最值的影响.
18.（17 分）已知 x>0, y >0，求
2 xy
x
2+ 4 y
2 +
xy
x
2+ y
2 的最大值.
【答案】2❑√2
3
【解析】因为 x>0, y >0，将原式分子分母同除以 xy 得：
2 xy
x
2+ 4 y
2 +
xy
x
2+ y
2 =
2
x
y + 4 y
x
+
1
x
y + y
x
，................................................................................................4 分
设 t = x
y (t >0)，所以原式化为：
2
t + 4
t
+
1
t + 1
t
= 2t
t
2+ 4
+
t
t
2+1
= 2t(t
2+1)+t(t
2+ 4)
(t
2+ 4)(t
2+1)
= 3t
3+6t
t
4+5t
2+ 4
= 3(t
3+2t )
t
4+5t
2+ 4
，
分子分母同除以 t
2 得：
3(t + 2
t)
t
2+5+ 4
t
2
，..............................................................................................................................................8 分
令 u=t + 2
t (t >0)，由基本不等式得 u≥2❑√t ⋅2
t =2❑√2.................................................................11 分
此时 t
2+ 4
t
2 =(t + 2
t)
2
- 4 =u
2- 4，
所以原式 =
3u
u
2- 4+5
= 3u
u
2+1
=
3
u+ 1
u
，..............................................................................................14 分
因为函数 f (u)=u+ 1
u 在 [2❑√2,+ ∞) 上单调递增，
所以当 u=2❑√2 时，f (u) 取得最小值 2❑√2+
1
2❑√2 = 9 ❑√2
4
，
此时原式取得最大值
3
9 ❑√2
4
=
4
3 ❑√2 = 2❑√2
3
.
当且仅当 t = 2
t ，即 t = ❑√2，也就是 x = ❑√2 y 时等号成立.
故最大值为 2❑√2
3
..................................................................................................................................17 分
【点拨】齐次分式求最值，常通过分子分母同除以某一项转化为单变量函数.本题两次使用换元法，
第二次换元后利用对勾函数的单调性求最值是核心技巧.
19.（17 分）（2024·湖北孝感·开学考试）截至 2022 年 12 月 12 日，全国新型冠状病毒
的感染人数突破 44200000 人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
（1） 我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验
阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量 c(t )(单位：mg/L) 随着时间 t(单位：h).的变
化用指数模型 c(t )=c0e
-kt描述，假定某药物的消除速率常数 k =0.1(单位：h
-1)，刚注射
这种新药后的初始血药含量 c0=2000mg/ L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于
1000mg/ L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病
人有疗效的时长大约为多少小时？ (精确到 0.01，参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)
（2） 为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底
面积为 48a 平方米 (a>0)，侧面长为 x 米，且 x 不超过 8，房高为 4 米.房屋正面造
价 400 元 / 平方米，侧面造价 150 元 / 平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则
侧面长为多少时，总价最低？
【答案】（1）6.93 小时 （2）当0<a≤1时，x =8 ❑√a；当a>1时，x =8
【解析】（1） 由题意得，c(t )=c0e
-kt =2000e
-0.1t，
设该药在病人体内的血药含量变为 1000mg/ L 时需要是时间为 t1，
由 c(t1)=2000e
-0.1t1≥1000，..............................................................................................................2 分
得 e
-0.1t1≥1
2，......................................................................................................................................... 4 分
两边取自然对数得 -0.1t1≥- ln2，
∴t1≤ln2
0.1 ≈0.693
0.1 =6.93h.
∴ 该新药对病人有疗效的时长大约为 6.93h.....................................................................................7 分
（2） 由题意，底面积为 48a，侧面长为 x，则正面长为 48a
x 米，.........................................9 分
故总造价 y = 400×4× 48a
x
+2×150×4 x，
即 y = 76800a
x
+1200 x ,(0< x ≤8)....................................................................................................11 分
由基本不等式有 y = 76800a
x
+1200 x ≥2❑√
76800a
x
×1200 x =19200 ❑√a，
当且仅当 76800a
x
=1200 x，即 x
2=64 a，x =8 ❑√a 时取等号.....................................................13 分
故当 8 ❑√a≤8，即 0<a≤1 时，x =8 ❑√a 在定义域内，此时 x =8 ❑√a 时总价最低；..............15 分
当 8 ❑√a>8，即 a>1 时，函数 y = 76800a
x
+1200 x 在 (0,8 ❑√a) 上单调递减，
因为 x∈(0,8]，所以函数在 (0,8] 上单调递减，
可得当 x =8 时总价最低；
综上，当 0<a≤1 时，侧面长 x =8 ❑√a 时总价最低；当 a>1 时，侧面长 x =8 时总价最低..17
分
【点拨】本题是含参的最值问题.在利用基本不等式求最值时，求出的等号成立条件必须与自变量
的实际取值范围进行比对，若等号条件不在范围内，则需利用函数的单调性求解边界最值.
