第34 讲 三角形中最值与范围 · 分类练习
考点一：周长问题..............................................................................................................................1
考法1：求周长最值与范围...................................................................................................1
考点二：面积问题..............................................................................................................................1
考法2：利用基本不等式求面积最值...................................................................................1
考法3：利用三角函数求面积最值.......................................................................................1
考法4：结合向量与四边形求面积最值...............................................................................2
考法5：已知面积求边长或代数式最值...............................................................................2
考点三：长度问题..............................................................................................................................2
考法6：利用三角函数求线段长度范围...............................................................................2
考法7：利用基本不等式求线段长度最值...........................................................................3
考法8：特殊线段长度范围求解...........................................................................................3
考点四：转化为角范围问题..............................................................................................................3
考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围...................................................................3
考点五：倍角问题..............................................................................................................................4
考法10：倍角条件下的最值与范围问题.............................................................................4
考点六：角平分线与中线问题..........................................................................................................4
考法11：角平分线相关最值与范围问题.............................................................................4
考法12：中线相关最值与范围问题.....................................................................................4
考点七：四心问题..............................................................................................................................5
考法13：三角形四心相关最值与范围问题.........................................................................5
考点八：坐标法与隐圆问题..............................................................................................................5
考法14：建系法与代数式几何意义求最值.........................................................................5
考法15：隐圆模型求最值.....................................................................................................5
考点九：两边夹与正切最值问题......................................................................................................6
考法16：两边夹角关系求最值与范围.................................................................................6
考法17：化简为正切函数求最值与范围.............................................................................6
考点十：最大角与特殊点问题..........................................................................................................7
考法18：最大角问题.............................................................................................................7
考法19：新定义几何问题求解.............................................................................................7
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法..............................................................................7
考法20：托勒密定理与旋转相似应用.................................................................................7
考法21：等面积法与张角定理应用.....................................................................................8
考点十二：平方问题与基本不等式综合..........................................................................................8
考法22：平方和问题与基本不等式综合.............................................................................8
考点一：周长问题
考法1：求周长最值与范围
1.（2026·安徽A10 联盟·模拟）在锐角△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且a>1，
a
2=(4 a- 4)⋅sin 2B，则a+ ❑√2b的取值范围为（ ）
A. (4 ,2+2❑√2)
B. (4 ,4+ ❑√2)
C. (2❑√2,4)
D. (2,4)
2.（2025·南阳一中·三模）已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
sin
2 A +sin
2B -sin
2C
c
=
sin A sin B
acos B+bcos A ，若a+b= 4，则c的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
考点二：面积问题
考法2：利用基本不等式求面积最值
3.（2026·菏泽·一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=5，c =2，
则△ABC的面积的最大值为（ ）
A. 3
2
B. 2
C. 3
D. 4
4.（2025·萍乡·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若a=2，
5sin A
1+cos A + cos A
sin A =3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A. 3
B. 3
2
C. ❑√3
D. 2❑√3
考法3：利用三角函数求面积最值
5.（2026·郑州四中·适应性考试）在△ABC中，AB =1，sin
2 A +sin
2B = 4 sin A sin BcosC，则
△ABC的面积的最大值为（ ）
A. 1
4
B.
❑√3
4
C. 1
2
D.
❑√3
2
考法4：结合向量与四边形求面积最值
6.（2026·福漳南三市·4 月适应性练习）在平面凸四边形ABCD中，∠BAC =60
∘，AB =2，
BC =2❑√3，△BCD的面积为3 ❑√3．当∠ADB最大时，四边形ABCD的面积为＿＿＿＿＿＿．
7.（2025·福九联盟·5 月联考）在平面四边形ABCD中（B , D在直线AC的两侧），
AD =CD =1，∠ADC =120
∘．
（1） 若∠DAB =90
∘，BC = 3 ❑√2
2 ，求∠ABC；
（2） 若AB =2BC，求四边形ABCD的面积的最大值．
考法5：已知面积求边长或代数式最值
8.（2026·黄山·一模）A是△ABC的最大内角，且sin
2 A +sin
2B+sin
2C =2，| AB|⋅| AC |=1，
则下列结论正确的是（多选）（ ）
A. △ABC可能为锐角三角形
B. sin
2B+sinC的最大值为5
4
C. △ABC面积的最小值为
❑√3
4
D. tan B+ tanC的最小值为2
考点三：长度问题
考法6：利用三角函数求线段长度范围
9.（2025·深圳高级中学·二诊）（多选）在锐角三角形ABC中，AC =1,∠A = π
3 ，△ABC外
接圆的半径为R，则（ ）
A. 1
2 < AB<2
B. 0< AB< 1
2
C. 1
2 < R<1
D.
❑√3- 1
2 <2BC - AB<2❑√3-2
10.（2026·湖南新高考联盟·二模）如图所示，若∠ACB = π
2 ，∠ABC = π
6 ，点D与B分别在
直线AC两侧，且AD = DC =2，则BD长度的最大值为＿＿＿＿＿＿．
考法7：利用基本不等式求线段长度最值
11.（2026·广州·一模）某公园里有一块边长分别为30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记
为△ABC），点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分．如果沿DE
铺设灌溉水管，则水管的最短长度为＿＿＿＿＿＿米．
12.（2025·黄冈·9 月调研）已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，其内切圆半径
r =1,cosC = 4
5，则边长c的最小值为＿＿＿＿＿＿．
考法8：特殊线段长度范围求解
13.（2025·江西优创名校·4 月联考）如图，在四边形ABCD中，AC ⟂BC，AB = 4，
BC =CD，∠ACD =60
∘，则AD的最小值为（ ）
A. 2
B. ❑√6
C. 2❑√2
D. 2❑√3
14.（2026·浙江县域联盟·模拟）（多选）在等腰直角△ABC中，D是边AC的中点，E为斜
边BC上的动点，则AE
DE 的可能值为（ ）
A. ❑√2
B. 3
C.
❑√5
2
D.
❑√10+ ❑√2
2
考点四：转化为角范围问题
考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围
15.（2026·湖北云学联盟·5 月模拟）在锐角△ABC中,内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c,满足
a
2+b
2=2c
2.则（多选）（ ）
A. C的最大值为π
3
B. sin A sin B的最大值为3
4
C. cos A cos B的最大值为1
4
D. 若c =1,则a+b的最小值为2
16.（2026·合肥·三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
asin B =bcos(A - π
6).
（1） 求A；
（2） 若△ABC是锐角三角形，求b+c
a 的取值范围.
考点五：倍角问题
考法10：倍角条件下的最值与范围问题
17.已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．若A =2B，且A为锐角，则c
b +
1
cos A 的
最小值为（ ）
A. 2❑√2+1
B. 3
C. 2❑√2+2
D. 4
考点六：角平分线与中线问题
考法11：角平分线相关最值与范围问题
18.（2026·镇江·零模）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c =1，
sin B =bcos A + B
2
，角C的角平分线交AB于点D，则线段CD的最大值为（ ）
A.
❑√3
24
B.
❑√3
12
C.
❑√3
6
D.
❑√3
3
考法12：中线相关最值与范围问题
19.（2025·河南TOP 二十名校·5 月联考）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c,已知
A = π
3 .
（1） 证明:sin BsinC ≤3
4 ;
（2） 若BC边上的中线长为❑√3,求bc的最大值.
考点七：四心问题
考法13：三角形四心相关最值与范围问题
20.设△ABO(O是坐标原点)的重心、内心分别是G , I，且⃗BO∥⃗GI，若B(0,4)，则
cos∠OAB的最小值是＿＿＿＿＿＿．
考点八：坐标法与隐圆问题
考法14：建系法与代数式几何意义求最值
21.（2026·温州·二模）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
sin( A +C )
sin( A -C ) = a
2+c
2+ac
a
2-c
2
．
（1） 求B；
（2） 若c =1，点D在AC上，直线BD上一点P满足⃗CB⋅⃗CP =⃗CD⋅⃗CP，在点C和点D的变
化过程中，
（ⅰ）求P A
2+ PC
2的最小值；
（ⅱ）当P A
2+ PC
2最小时，求⃗BA ⋅⃗BD的值．
考法15：隐圆模型求最值
22.在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD =9，BD =16，∠BDC =90
∘，sin A = 4
5 ，
则对角线AC的最大值为（ ）
A. 27
B. 16
C. 10
D. 25
考点九：两边夹与正切最值问题
考法16：两边夹角关系求最值与范围
23.（2026·梅州·3 月质检）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知
b=
❑√3
3 c sin A +acosC.
（1） 求角A的大小；
（2） 若D为边BC上一点，满足BD =2CD，且AD =2，求△ABC的面积最大值.
24.（2026·山师大附中·3 月检测）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
b
2-a
2=ac.
（1） 求证：B =2 A；
（2） 若△ABC是锐角三角形，求a
c 的取值范围.
考法17：化简为正切函数求最值与范围
25.（2026·湖南师大附中·模拟）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知a=3，
且c
2+2b
2=9，则
1
tan
2B
+
2
tan
2C 的最小值为＿＿＿＿＿＿．
26.（2025·衡水·3 月联考）记锐角△ABC内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
acos A +bcos B =2c cosC.
（1） 证明：sin A
cos B + sin B
cos A = 4 sinC；
（2） 求tan A tan B
tan
2C
的最大值.
考点十：最大角与特殊点问题
考法18：最大角问题
27.（2026·合肥·一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
c -2bcos(B+C )=0.
（1） 证明：a
2=b
2+2c
2；
（2） 求内角C的最大值.
考法19：新定义几何问题求解
28.（2026·金科大联考·2 月联考）德国数学家克雷尔于1816 年发现了三角形的布洛卡点，
法国军官布洛卡于1875 年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今.已知任意△ABC
的内部必存在点P，使得∠PAB=∠PBC =∠PCA =α(或∠PAC =∠PBA =∠PCB = β)，则P称
为△ABC的布洛卡点，α(或β)称为布洛卡角.一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及
两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合，且两个布洛卡角相等.已知
点M为△ABC的一个布洛卡点，且∠MAC ≠∠MBA.则∠AMB+∠ABC =＿＿＿＿＿＿；当
MA =2 MB，且AC =2时，△ABC的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法
考法20：托勒密定理与旋转相似应用
29.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定
理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另
一组对边所包矩形的面积之和. 其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条
对角线的乘积. 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒
密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周
上，AC、BD是其两条对角线，BD = 4 ❑√3，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积
为（ ）
A. 16 ❑√3
B. 16
C. 12❑√3
D. 12
考法21：等面积法与张角定理应用
30.（2025·江西三新联盟·5 月模拟）在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c.若
A = 2π
3 ，D为BC边上的点，且∠CAD = π
2 ，AB =8, AC = 4，则AD =（ ）
A. 4
B. 4 ❑√3
C. ❑√3
D. 2❑√3
31.（2025·青岛·一模）已知△ABC的内角A ,B ,C对边分别为a,b,c，BC边上的高为h，
h=b+c -a，则sin A的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考点十二：平方问题与基本不等式综合
考法22：平方和问题与基本不等式综合
32.（2024·吉安六校·5 月联考）已知△ABC的三个内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且
b
2+2c
2=3a
2，则cos A的最小值为＿＿＿＿＿＿.
