文档文本内容
【第7 讲：函数的奇偶性】
一．奇函数偶函数的判断（共7 小题）
二．奇函数偶函数的性质（共12 小题）
三．奇偶函数图象的对称性（共10 小题）
四．奇偶性与单调性的综合（共9 小题）
五．抽象函数的奇偶性（共8 小题）
【知识点清单】
1．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
2．奇函数偶函数的判断
【知识点的认识】
奇函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f
（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
偶函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）
就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0 的部分的函数表达式，求它的小于0 的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0 时，f
（x）＝x2+x
题型梳理
总览
那么当x＜0 时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c 是多少？
②结合函数图象关于y 轴对称求函数与x 轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝
0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x 轴至少有几个交点．
3．奇函数偶函数的性质
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
4．奇偶函数图象的对称性
【知识点的认识】
奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m 时，
f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y 轴对称，它的特点是当f（x）＝n 时，f（﹣x）＝n．
【解题方法点拨】
由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7 和4，求函数f（x）在区
间[﹣3，﹣1]内的最值．
解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，
那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4
【命题方向】
本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函
数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x 轴交点的个数，求在更
大范围内它与x 轴的交点个数，同学们务必多多留意．
5．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是
要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f
（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，
0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图
象特点是关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
6．抽象函数的奇偶性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数
表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题
和小题为主，要引起重视．
7．抽象函数的周期性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数
表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题
和小题为主，要引起重视．
一．奇函数偶函数的判断（共7 小题）
1．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO 的比赛，其中某位同学利用函
数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A．f（x）＝x+cosx
B．f（x）＝sinx﹣xcosx
C．f ( x)= x
2+ 1
x
2
D．f（x）＝sinx+x3
【考点】奇函数偶函数的判断．
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【分析】先由图形的对称性和函数奇偶性排除选项AC；由函数奇偶性和导数工具研究两函数单调性情
况即可求解．
【解答】解：对于AC，由图可知该图形为中心对称图形，
对于函数f（x）＝x+cosx 为非奇非偶函数，函数f ( x)= x
2+ 1
x
2为偶函数，故可排除A，C；
对于BD，两函数定义域均为R 关于原点对称，
且f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（﹣x）cos（﹣x）＝﹣sinx+xcosx＝﹣f（x），f（﹣x）＝sin（﹣x）+（﹣
x）3＝﹣sinx﹣x3＝﹣f（x），
故两函数均为奇函数，研究其（0，+∞）上性质，
对于B，f′（x）＝cosx﹣（cosx﹣xsinx）＝xsinx，在（0，π）上f′（x）＞0，在（π，2π）上f′
（x）＜0，
知识讲解与常考题型
题型分类
所以f（x）在（0，π）上单调递增，（π，2π）上单调递减，符合；
对于D，f′（x）＝cosx+3x2，在(0，π
2 )上f′（x）＞0，在( π
2 ，+∞)上f ′( x)＞−1+3×( π
2 )
2
＞0，
故f（x）在（0，+∞）单调递增，所以f（x）在R 上单调递增，不符合．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于中档题．
2．下列函数是奇函数的是（ ）
A．f（x）＝lnx
B．f（x）＝﹣x2
C．f（x）＝3x
D．f ( x)=lg 1−x
1+ x
【考点】奇函数偶函数的判断．
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【分析】根据奇函数的定义直接判断．
【解答】解：f（x）＝lnx 的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，A 选项错误；
f（x）＝﹣x2的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），
即函数f（x）＝﹣x2为偶函数，B 选项错误；
f（x）＝3x的定义域为R，且f（﹣x）＝3﹣x≠﹣3x＝﹣f（x），
即函数f（x）＝3x为非奇非偶函数，C 选项错误；
f ( x)=lg 1−x
1+ x ，1−x
1+ x ＞0 定义域为（﹣1，1），且f (−x)=lg 1+ x
1−x =−lg 1−x
1+ x =−f ( x)，
即函数f ( x)=lg 1−x
1+ x 为奇函数，D 选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，属于中档题．
3．设函数f ( x)= x +
1
x +1，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f（x﹣1）+1
B．f（x+1）+1
C．f（x﹣1）﹣1
D．f（x+1）﹣1
【考点】奇函数偶函数的判断．
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【分析】根据奇函数的定义即可得出判断．
【解答】解：函数f ( x)= x +
1
x +1，
对于A，f ( x−1)+1= x−1+
1
x−1+1 +1= x + 1
x ，
设g（x）＝x+ 1
x ，
则g(−x)=−x−1
x =−( x + 1
x )=−g( x)，所以g（x）为奇函数，故A 符合题意；
对于B，f ( x +1)+1= x +1+
1
x +1+1 +1= x +2+
1
x +2，x≠﹣2，
定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B 不合题意；
对于C，f ( x−1)−1= x−1+
1
x−1+1 −1= x−2+ 1
x ，x≠0，
设g( x)= x−2+ 1
x ，x≠0，
则g(−x)=−x−2−1
x =−( x +2+ 1
x )≠−g( x)，不为奇函数，故C 不合题意；
对于D，f ( x +1)−1= x +1+
1
x +1 −1= x +
1
x +2 ，x∈(−∞，−2)∪(−2，+∞)，
定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D 不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
4．已知函数f（x）＝aex﹣e﹣x（a 为常数），则（ ）
A．∀a∈R，f（x）为奇函数
B．∃a∈R，f（x）为偶函数
C．∀a∈R，f（x）为增函数
D．∃a∈R，f（x）为减函数
【考点】奇函数偶函数的判断．
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【分析】由已知结合函数的奇偶性及单调性的定义及性质，导数与单调性关系及指数函数性质检验各选
项即可判断．
【解答】解：当a＝2 时，f（x）＝2ex﹣e﹣x显然不是奇函数，A 错误；
当a＝﹣1 时，f（x）＝﹣ex﹣e﹣x为偶函数，B 正确；
当a＝﹣1 时，f（x）＝﹣ex﹣e﹣x，f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣e−1
e ，显然f（0）＞f（1），C 错误；
若f（x）为减函数，则存在a∈R，使得f′（x）＝aex+e﹣x≤0 恒成立，
不论a 为正还是负，当x→+∞和x→﹣∞时，总存在f′（x）＞0 的情况，
即不存在a，使得a≤﹣e﹣2x恒成立，D 错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题．
5．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．f（x）＝x3﹣3x2
B．f（x）＝|2x﹣1|
C．f（x）＝xtanx
D．f ( x)={
x +1，x＞0
x−1，x＜0)
【考点】奇函数偶函数的判断．
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【分析】先求出定义域，再利用偶函数的定义对四个选项一一判断，得到结论．
【解答】解：A 选项，f（x）＝x3﹣3x2的定义域为R，f（﹣x）＝﹣x3﹣3x2≠f（x），
故f（x）不是偶函数，A 错误；
B 选项，f（x）定义域为R，f（﹣1）= 1
2，f（1）＝1，故f（﹣1）≠f（1），
所以f（x）不是偶函数，B 错误；
C 选项，f（x）＝xtanx 的定义域为{x| x≠π
2 +kπ ，k ∈Z }，关于原点对称，
f（﹣x）＝﹣xtan（﹣x）＝xtanx＝f（x），故f（x）为偶函数，C 正确；
D 选项，f ( x)={
x +1，x＞0
x−1，x＜0)定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
当x＜0 时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x+1＝﹣（x﹣1）＝﹣f（x），
当x＞0 时，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x﹣1＝﹣（x+1）＝﹣f（x），
故f（x）为奇函数，D 错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本初等函数奇偶性的判断，属于中档题．
6．已知函数f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，则（ ）
A．f（x+1）为奇函数
B．f ( x + 1
2 )为偶函数
C．f（x﹣1）为奇函数
D．f ( x−1
2 )为偶函数
【考点】奇函数偶函数的判断．
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【分析】利用f（0+1）≠0 判断A；利用f（0﹣1）≠0 判断C；利用f ( 1
2 + 1
2 )≠f (−1
2 + 1
2 )判断B；利
用f ( x−1
2 )= f (−x−1
2 )来判断D 选项．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，x∈R，则f（0+1）＝f（1）＝e+e﹣4≠0，即故A 错误；
对于B，f ( 1
2 + 1
2 )=e+e
−4，f (−1
2 + 1
2 )=1+e
−2，则f ( 1
2 + 1
2 )≠f (−1
2 + 1
2 )，故B 错误；
对于C，函数f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，对于f（x﹣1），有f（0﹣1）＝f（﹣1）＝e﹣2+1≠0，故C 错误；
对于D，f ( x−1
2 )=e
2 x−1+e
−2 x−1，f (−x−1
2 )=e
−2 x−1+e
2 x−1，则f ( x−1
2 )= f (−x−1
2 )，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
（多选）7．已知函数f ( x)=ax−lo g2(4
x+1)(a∈R)，则（ ）
A．当a＝1 时，函数f（x）为奇函数
B．当a＝1 时，函数f（x）为偶函数
C．当a＝2 时，函数f（x）的值域为（﹣∞，0）
D．当a＝2 时，函数g（x）＝2f（x）的图象关于点(0，1
2 )成中心对称
【考点】奇函数偶函数的判断；复合函数的单调性．
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【分析】先根据偶函数定义计算判断A，B，应用基本不等式计算结合对数函数单调性计算判断C，根
据对称性定义计算判断D．
【解答】解：函数f ( x)=ax−lo g2(4
x+1)(a∈R)，
当a＝1 时，f ( x)= x−lo g2(4
x+1)=lo g2
2
x
4
x+1
，函数f（x）定义域R 关于原点对称，
所以f (−x)=lo g2
2
−x
4
−x+1
=lo g2
2
x
1+ 4
x = f ( x)，即函数f（x）为偶函数，A 选项错误，B 选项正确；
当a＝2 时，f ( x)=2 x−lo g2(4
x+1)=lo g2
4
x
4
x+1
=lo g2
1
1+ 1
4
x
，
因为
1
1+ 1
4
x
∈(0，1)
，所以f（x）∈（﹣∞，0），所以C 选项正确；
因为g( x)=2
f ( x)=
4
x
4
x+1
，所以g( x)+ g(−x)=
4
x
4
x+1
+
4
−x
4
−x+1
=1，
因此函数g（x）的图象关于点(0，1
2 )成中心对称，D 选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，属于中档题．
二．奇函数偶函数的性质（共12 小题）
8．设f（x）是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当2≤x≤3 时，f（x）＝5﹣2x，则f（−3
4 ）＝（ ）
A．−1
2
B．−1
4
C．1
4
D．1
2
【考点】奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】根据函数的奇偶性与周期性，化归转化，即可求解．
【解答】解：根据题意可得f（−3
4 ）＝f（3
4 ）＝f（3
4 +2）＝f（11
4 ）＝5﹣2× 11
4 =−1
2．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性，属基础题．
9．若函数f（x）＝ln|ex﹣1|+mx 为偶函数，则实数m＝（ ）
A．1
B．1
2
C．﹣1
D．−1
2
【考点】奇函数偶函数的性质；抽象函数的奇偶性．
版权所有
【分析】根据偶函数的定义，可得f（﹣1）＝f（1），求得m=−1
2，进而检验即可．
【解答】解：由函数f（x）＝ln|ex﹣1|+mx 为偶函数，
可得f（﹣1）＝f（1），
即ln|e﹣1﹣1|﹣m＝ln|e﹣1|+m，
解之得m=−1
2，
f (−x)= ln|e
−x−1|+ 1
2 x = ln|e
x−1|−x + 1
2 x = ln|e
x−1|−1
2 x = f ( x)，
故f ( x)= ln|e
x−1|−1
2 x为偶函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
10．已知f ( x)= a−2
x
2
x +1−2
是奇函数，则a＝（ ）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
【考点】奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】由奇函数性质可得f（﹣1）＝﹣f（1），列方程求a，再检验所得结果即可．
【解答】解：由2x+1﹣2≠0，可得x≠0，
因为f ( x)= a−2
x
2
x +1−2
是奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1），
所以1
2 −a=−a−2
2
，解得a＝﹣1．
当a＝﹣1 时，f ( x)= −1−2
x
2
x +1−2
=−
2
x+1
2(2
x−1)，
函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
f (−x)=−
2
−x+1
2(2
−x−1)
=−
1+2
x
2(1−2
x)
=−f ( x)，所以此时f（x）是奇函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
11．函数f（x）为定义在R 上的奇函数，当x＞0 时，f（x）＝log2x+2x+1，则f（﹣8）＝（ ）
A．20
B．21
C．﹣20
D．﹣21
【考点】奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】由函数的奇偶性知f（﹣8）＝﹣f（8），令x＝8 代入相应解析式即可求得f（8），取其相反数
即可．
【解答】解：因为函数f（x）为定义在R 上的奇函数，当x＞0 时，f（x）＝log2x+2x+1，
所以f（8）＝log28+2×8+1＝20，
所以f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣20．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
12．函数f ( x)=lg( x +
❑√1+ x
2)+sin 2 x + 4在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．4050
【考点】奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】由题意得f（x）+f（﹣x）＝8 即可得解．
【解答】解：令g（x）= f ( x)=lg( x +
❑√1+ x
2)+sin 2 x，
因为❑√1+ x
2＞| x|≥−x，所以g（x）在关于原点对称的区间[﹣2025，2025]上恒有意义，
且g( x)+ g(−x)=lg( x +
❑√1+ x
2)+lg(−x +
❑√1+ x
2)+sin 2 x +sin(−2 x)
＝lg1＝0，
所以g（x）在[﹣2025，2025]上的图象关于原点对称，
故g（x）在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为0，
所以函数f ( x)=lg( x +
❑√1+ x
2)+sin 2 x + 4在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为8．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题．
13．已知f（x）为R 上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f ( x)=lo g2 x −4
x，则f (−1
2 )=（ ）
A．﹣3
B．3
C．﹣2
D．2
【考点】奇函数偶函数的性质；函数的值．
版权所有
【分析】根据f (−1
2 )=−f ( 1
2 )，简单计算即可．
【解答】解：根据题意，f（x）为R 上的奇函数，则有f (−1
2 )=−f ( 1
2 )，
又当x∈（0，+∞）时，f ( x)=lo g2 x −4
x，则f ( 1
2 )=lo g2
1
2 −4
1
2 =−1−2=−3，
所以f（−1
2）＝﹣f（1
2）＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
14．已知函数f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a 是偶函数，则实数a＝（ ）
A．e
B．1
C．2
D．4
【考点】奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】直接由偶函数得到f（﹣x）＝f（x），化简求解即可．
【解答】解：因为f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a 为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）恒成立，
所以ln（ae﹣2x+2）+x﹣a＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a，
ln（ae2x+2）﹣ln（ae﹣2x+2）＝2x，
ln ae
2 x+2
ae
−2 x+2
=2 x，ae
2 x+2
ae
−2 x+2
=e
2 x，
ae2x+2＝e2x（ae﹣2x+2），ae2x+2＝a+2e2x，
（a﹣2）e2x＝a﹣2，所以a＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
15．已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f（2x﹣1）＝x，若f（m）＝﹣2，则f（m+4）＝
（ ）
A．2
B．log23
C．1
D．﹣1
【考点】奇函数偶函数的性质．
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【分析】根据给定条件，求出当x≥0 时的解析式，再求出m 及目标值．
【解答】解：函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f（2x﹣1）＝x，
令t＝2x﹣1≥0，则x＝log2（t+1），f（t）＝log2（t+1）≥0，
由函数f（x）是R 上的奇函数，f（m）＝﹣2，
得f（﹣m）＝2，m＜0，则f（﹣m）＝log2（﹣m+1）＝2，解得m＝﹣3，
所以f（m+4）＝f（1）＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
16．若f ( x)= ln|a+
1
1−x |+b是奇函数，则（ ）
A．a= 1
2，b＝﹣ln2
B．a=−1
2，b＝ln2
C．a＝﹣2，b＝0
D．a＝0，b＝0
【考点】奇函数偶函数的性质．
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【分析】利用奇函数的定义域区间对称性求参数a，再由f（0）＝0 求参数b，进而验证即可得．
【解答】解：若a＝0，则f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合题意，
若奇函数f（x）有意义，则x≠1 且a+
1
1−x ≠0，所以x≠1 且x≠1+ 1
a．
因为奇函数的定义域关于原点对称，由1+ 1
a =−1，解得a=−1
2，
由f（0）= ln 1
2 +b=0，所以b＝ln2．
所以f（x）＝ln|
1
1−x −1
2|+ln2，经验证满足题设．
故选：B．
【点评】本题主要考查了奇函数定义及性质的应用，属于基础题．
17．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），已知f（2x+1）和g
（x+2）都是偶函数，且g（2）＝1，则∑
k =0
2025
g(k )的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2025
D．﹣2025
【考点】奇函数偶函数的性质．
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【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解．
【解答】解：已知f（2x+1）是偶函数，则f（﹣2x+1）＝f（2x+1），即f（x）关于x＝1 对称，
求导得g（x）＝f′（x）关于点（1，0）对称，即g（1+x）＝﹣g（1﹣x），
又g（x+2）是偶函数，故g（x）关于x＝2 对称，即g（2+x）＝g（2﹣x），
推导周期：由g（2+x）＝﹣g（﹣x）和g（2+x）＝g（2﹣x），得g（2﹣t）＝﹣g（t），
令t→t+2，则g（t+4）＝g（t），周期T＝4，
计算一个周期内的和：已知g（2）＝1，由g（2）＝﹣g（0）得g（0）＝﹣1，
由g（x）关于（1，0）对称，g（1）＝0，
再由g（3）＝﹣g（1）＝0，故g（0）+g（1）+g（2）+g（3）＝﹣1+0+1+0＝0，
∑
k =0
2025
g(k )共2026 项，2026＝4×506+2，剩余两项为g（0）和g（1），
因此，∑
k =0
2025
g(k )=506×0+ g(0)+ g(1)=−1+0=−1．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的周期性和奇偶性，属于中档题．
18．已知函数f ( x)=(2 x +a)|ln( 1−x
1+ x )|是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1
D．2
【考点】奇函数偶函数的性质；抽象函数的奇偶性．
版权所有
【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解．
【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1），
因为f（x）是奇函数，
所以f (−x)=(−2 x +a)|ln( 1+ x
1−x )|=−(2 x−a)|−ln( 1−x
1+ x )|=−(2 x +a)|ln( 1−x
1+ x )|=−f ( x)
恒成立，
所以a＝﹣a，即a＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
19．已知函数f（x）＝（a•2x+2﹣x）sinx 是奇函数，则a＝
1
．
【考点】奇函数偶函数的性质．
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【分析】根据奇偶函数的性质可得函数h（x）＝a•2x+2﹣x是偶函数，再根据偶函数的定义求解即可．
【解答】解：因为f（x）＝（a•2x+2﹣x）sinx，且y＝sinx 是奇函数，
所以函数h（x）＝a•2x+2﹣x是偶函数，
则h（﹣x）＝a•2﹣x+2x＝h（x）＝a•2x+2﹣x，对任意x 都成立，
所以a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．
三．奇偶函数图象的对称性（共10 小题）
20．若曲线f ( x)=
a
3
x−1+1关于点（1，﹣2）中心对称，则a＝（ ）
A．3
B．4
C．﹣3
D．﹣4
【考点】奇偶函数图象的对称性．
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【分析】根据函数的定义域为实数，对称中心在函数上得出．
【解答】解：因为函数f（x）=
a
3
x−1+1的定义域为R，且f（x）关于点（1，﹣2）中心对称，
所以f（1）=
a
1+1 =−2，解得a＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的对称性应用问题，是基础题．
21．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，则以下函数中图象关于x＝1 对称的是（ ）
A．y＝（x﹣1）f（x﹣1）
B．y＝（x+1）f（x+1）
C．y＝xf（x）+1
D．y＝xf（x）﹣1
【考点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数的奇偶性．
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【分析】根据函数的奇偶性与对称性的定义和性质，判断即可．
【解答】解：对于A，设g（x）＝（x﹣1）f（x﹣1），则g（2﹣x）＝（2﹣x﹣1）f（2﹣x﹣1）＝（1
﹣x）f（1﹣x）
＝（1﹣x）f[﹣（x﹣1）]＝（x﹣1）f（x﹣1）＝g（x），所以g（x）的图象关于x＝1 对称，选项A 正
确；
对于B，设h（x）＝（x+1）f（x+1），则h（2﹣x）＝（2﹣x+1）f（2﹣x+1）＝（3﹣x）f（3﹣x）
＝（3﹣x）f[﹣（x﹣3）]＝（x﹣3）f（x﹣3）≠h（x），所以h（x）的图象不关于x＝1 对称，选项B
错误；
对于C，设m（x）＝xf（x）+1，则m（2﹣x）＝（2﹣x）f（2﹣x）+1＝（2﹣x）f[﹣（x﹣2）]+1＝（x
﹣2）f（x﹣2）+1≠m（x），
所以m（x）的图象不关于x＝1 对称，选项C 错误；
对于D，设n（x）＝xf（x）﹣1，则n（2﹣x）＝（2﹣x）f（2﹣x）﹣1＝（2﹣x）f[﹣（x﹣2）]﹣1＝
（x﹣2）f（x﹣2）﹣1≠n（x），
所以n（x）的图象不关于x＝1 对称，选项D 错误．
故选：A．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与对称性判断问题，是中档题．
22．已知函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）的图象关于点（0，y0）对称，则（ ）
A．a+2b＝0
B．2a+b＝0
C．y0=( b−a
2
)
3
D．y0=( a−b
2
)
3
【考点】奇偶函数图象的对称性．
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【分析】由f （x ）的图象关于点（0 ，y0 ）对称，所以f （x ）+f （﹣x ）＝2y0 ，令x ＝0 得
y0= f (0)=−a
2b，两式结合使等式恒成立得到2a+b＝0．
【解答】解：因为函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）的图象关于点（0，y0）对称，
所以f（x）+f（﹣x）＝2y0①，
令x＝0，可得f（0）+f（0）＝2y0，所以y0= f (0)=−a
2b，
由①可得（x﹣a）2（x﹣b）+（﹣x﹣a）2（﹣x﹣b）＝﹣2a2b，
化简得﹣（4a+2b）x2＝0，要使得该等式恒成立，则2a+b＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
23．已知函数f ( x)=(a−
2
3
x+1
)x
2的图象关于原点对称，则a＝（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】奇偶函数图象的对称性．
版权所有
【分析】由奇函数的定义，转化为f（﹣x）+f（x）＝0 恒成立问题求解即可．
【解答】解：因为f（x）＝（a−
2
3
x+1）x2的定义域为R，且f（x）是奇函数，
所以f（﹣x）+f（x）＝0 对任意x 均成立，
即（a−
2
3
−x+1）（﹣x）2+（a−
2
3
x+1）x2＝0 对任意x 都成立，
所以（a−2×3
x
3
x+1
）+（a−
2
3
x+1）＝0，
即2a= 2×3
x
3
x+1
+
2
3
x+1
=2，解得a＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的奇偶性应用问题，是基础题．
24．已知函数f（x）为R 上的奇函数，若函数y＝g（x+2）与y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称，则g
（4）＝（ ）
A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣2
【考点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数的奇偶性．
版权所有
【分析】由已知结合函数的对称性及奇函数的性质进行转化即可求解．
【解答】解：已知函数f（x）是R 上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0．
函数y＝g（x+2）与y＝f（x）的图像关于点（1，0）对称，
根据对称的定义，对于f（x）上的任意一点（x，y），对应的g（x+2）上的点为（2﹣x，﹣y），
因此，当x′＝2﹣x 时，有g（x′+2）＝﹣y⇒g（4﹣x）＝﹣f（x），
令t＝4﹣x，则x＝4﹣t，代入得g（t）＝﹣f（4﹣t）＝g（x）＝﹣f（4﹣x），
代入x＝4，得g（4）＝﹣f（4﹣4）＝﹣f（0）＝0，
因此g（4）＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数求值中的应用，属于中档题．
25．若函数f ( x)= ln x +a
x +1 + x的图象关于（2，2）对称，且a≠1，则实数a＝（ ）
A．﹣5
B．﹣1
C．0
D．5
【考点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数的奇偶性．
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【分析】根据f（x）的图象关于（2，2）对称，取特殊值f（1）+f（3）＝4，构造关于a 的方程求解．
【解答】解：因为函数f ( x)= ln x +a
x +1 + x的图象关于（2，2）对称，
所以定义域关于x＝2 对称，
则x +a
x +1 ＞0 的解为x＜﹣1 或x＞﹣a，
所以−1−a
2
=2，解得a＝﹣5，经检验a＝﹣5 符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查函数的对称性及应用，属于中档题．
26．已知函数f ( x)= 3 x +1
x
+e
x−e
−x，定义域为R 的函数g（x）满足g（﹣x）+g（x）＝6，若函数y＝f
（x）与y＝g（x）的图象有四个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则
∑
i=1
4
( xi+ yi)=（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
【考点】奇偶函数图象的对称性．
版权所有
【分析】先判断函数f（x）与g（x）的图象都关于（0，3）对称，然后结合对称性即可求解．
【解答】解：因为f ( x)= 3 x +1
x
+e
x−e
−x=3+ 1
x +e
x−e
−x，
显然y= 1
x +e
x−e
−x为奇函数，图象关于原点对称，
故f（x）的图象关于（0，3）对称，
因为g（x）+g（﹣x）＝6，则g（x）的图象也关于（0，3）对称，
则f（x）与g（x）的交点也关于（0，3）对称，
若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象有四个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，
y4），
则∑
i=1
4
( xi+ yi)=x1+x2+x3+x4+（y1+y2+y3+y4）＝0+6+6＝12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数对称性的应用，属于基础题．
27．已知函数f（x）定义域为R，且满足f（x）＝6﹣f（﹣x），g( x)= f ( x)−f (−x)
2
+3，若f（x）的图
象与g（x）的图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑
i=1
m
( xi+ yi)=（ ）
A．0
B．m
C．2m
D．3m
【考点】奇偶函数图象的对称性．
版权所有
【分析】判断f（x）与g（x）图象的对称性，从而求得∑
i=1
n
( xi+ yi)．
【解答】解：因为f（x）＝6﹣f（﹣x），f（﹣x）＝6﹣f（x），
所以f（x）的图象关于点（0，3）对称，
令h（x）= f (−x)−f ( x)
2
，
因为ℎ(−x)= f (−x)−f ( x)
2
=−f ( x)−f (−x)
2
=−ℎ( x)
所以h（x）= f ( x)−f (−x)
2
是奇函数，
所以g（x）＝h（x）+3 的图象关于点（0，3）对称，
所以f（x），g（x）的图象的交点关于（0，3）对称，
所以∑
i=1
m
( xi+ yi)=∑
i=1
m
xi+∑
i=1
m
yi=0+3m=3m．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称性的应用，属于中档题．
28．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝2，若函数g( x)=
x
x−2与f（x）的图象的交点
为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则y1+y2+…+ym＝（ ）
A．m
2
B．m
C．2m
D．4m
【考点】奇偶函数图象的对称性．
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【分析】根据函数对称性可解．
【解答】解：由f（x）+f（4﹣x）＝2 可知f（x）的图象关于点（2，1）对称，
由函数g( x)=
x
x−2，g（4﹣x）= 4−x
2−x ，
所以g（x）+g（4﹣x）=
x
x−2 + 4−x
2−x =2，
故g（x）的图象关于点（2，1）对称，因此f（x）与g（x）图象交点也关于点（2，1）对称，
设交点（x1，y1）与（xm，ym）关于点（2，1）对称，
则有y1+ym＝2，由此可得y1+y2+...+ ym=2× m
2 =m．
故选：B．
【点评】本题考查函数对称性相关知识，属于中档题．
29．已知函数f（x）＝ln（ex+1）+kx（k∈R）是偶函数，则（ ）
A．f（log0.20.3）＞f（log20.3）＞f（k）
B．f（k）＞f（log20.3）＞f（log0.20.3）
C．f（log20.3）＞f（log0.20.3）＞f（k）
D．f（log0.20.3）＞f（k）＞f（log20.3）
【考点】奇偶函数图象的对称性；奇函数偶函数的性质．
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【分析】由函数为偶函数，可得k =−1
2，从而f ( x)= ln(e
1
2 x
+e
−1
2 x
)，根据其单调性比较大小．
【解答】解：因为f（x）＝ln（ex+1）+kx（k∈R）是偶函数，
所以f（﹣x）＝ln（e﹣x+1）﹣kx＝ln（ex+1）+kx＝f（x），
整理，得2kx＝ln（e
x+1
e
x
）﹣ln（ex+1）＝﹣x，
所以k =−1
2，
即f ( x)= ln(e
x+1)−1
2 x⇒f ( x)= ln e
x+1
e
1
2 x = ln(e
1
2 x
+e
−1
2 x
)，
令t =e
1
2 x
( x＞0)，则t∈（1，+∞），由对勾函数的单调性可知，y =t + 1
t 在（1，+∞）上单调递增，
于是y = ln(t + 1
t )在（1，+∞）上单调递增，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增．
且f (k )= f ( 1
2 )．
f (lo g20.3)= f (−lo g20.3)= f (lo g2
10
3 )＞f (lo g22)= f (1)＞f ( 1
2 )，
f (lo g0.20.3)＞f (lo g0.2
❑√0.2)= f ( 1
2 )，f (lo g0.20.3)＜f (lo g0.20.2)= f (1)，
因此f（log20.3）＞f（log0.20.3）＞f（k）．
故选：C．
【点评】本题考查奇偶函数的对称性及复合函数单调性的应用，属于中档题．
四．奇偶性与单调性的综合（共9 小题）
30．已知函数f（x）＝sin（2x﹣2）﹣e1﹣x+ex﹣1+2，（x∈R）．若f（2a2）+f（1﹣a）＜4，则实数a 的取
值范围为（ ）
A．(−1
2 ，1)
B．(−∞，−1
2 )∪(1，+ ∞)
C．(−1，1
2 )
D．(−∞，−1)∪( 1
2 ，+∞)
【考点】奇偶性与单调性的综合．
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【分析】先通过对变量替换，即令t＝x﹣1，将原函数变为f（x）＝g（t）+2，通过求导判断g（t）的
单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为2a2﹣1＜a，最终求解一元二次不等式．
【解答】解：f（x）＝sin（2x﹣2）﹣e1﹣x+ex﹣1+2，
令t＝x﹣1，则原函数可改写为与y＝sin（2t）+（et﹣e﹣t）+2，
令g（t）＝sin（2t）+（et﹣e﹣t），
则g（﹣t）＝sin（﹣2t）﹣（et﹣e﹣t）＝﹣g（t），故g（t）是奇函数，
所以g′（t）＝2cos（2t）+et+e﹣t，又et+e﹣t≥2，当且仅当t＝0 时取等号，且2cos（2t）≥﹣2，
所以g′（t）＞0，
因此g（t）在R 上严格递增，
原不等式f（2a2）+f（1﹣a）＜4 转化为[g（2a2﹣1）+2]+[g（﹣a）+2]＜4，即g（2a2﹣1）＜﹣g（﹣
a），
因为g（t）为奇函数，即g（﹣a）＝﹣g（a），所以g（2a2﹣1）＜g（a），
故2a2﹣1＜a，所以2a2﹣a﹣1＜0，得a∈(−1
2 ，1)．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
31．若函数f ( x)= ln 1−x
1+ x −sinx，则关于a 的不等式f（a2+a）+f（a﹣a2﹣1）＞0 的解集是（ ）
A．( 1
2 ，+∞)
B．(−∞，1
2 )
C．( 1
2 ，
❑√5−1
2
)
D．(0，1
2 )
【考点】奇偶性与单调性的综合．
版权所有
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性；再根据函数的性质将不等式转化为关于a 的二次不等式，求解
即可．
【解答】解：由1−x
1+ x ＞0，解得﹣1＜x＜1，
又因为f (−x)= ln 1+ x
1−x −sin(−x)=−ln 1−x
1+ x + sinx =−f ( x)，
所以f（x）是奇函数．
又因为f ( x)= ln 1−x
1+ x −sinx = ln(1−x)−ln(1+ x)−sinx，
函数y＝ln（1﹣x），y＝﹣ln（1+x），y＝﹣sinx 在（﹣1，1）上均为减函数，
所以f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数．
则不等式f（a2+a）+f（a﹣a2﹣1）＞0 可化为f（a2+a）＞﹣f（a﹣a2﹣1），
即f（a2+a）＞f（a2﹣a+1），
所以﹣1＜a2+a＜a2﹣a+1＜1，解得0＜a＜1
2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
32．定义在R 上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），且f（x）在[﹣2，2]上单调递增．设a= f ( 7
4 )，
b= f ( 7
2 )，c＝f（﹣13），则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【考点】奇偶性与单调性的综合．
版权所有
【分析】由已知先求出函数的周期，然后结合周期性，对称性及函数的单调性可比较a，b，c 的大小．
【解答】解：定义在R 上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），
所以f（4+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（8+x）＝f（x），即函数的周期为8，
因为f（x）在[﹣2，2]上单调递增，且f（x）的图象关于x＝2 对称，
a= f ( 7
4 )，b= f ( 7
2 )=f（1
2），c＝f（﹣13）＝f（﹣5）＝f（3）＝f（1），
又f（1
2）＜f（1）＜f（7
4 ），
所以b＜c＜a．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及对称性，周期性在函数值大小比较中的应用，属于中
档题．
33．已知函数f ( x)={
e
−x−1，x ≤0
1−e
x，x＞0)，则f（2x）+f（x﹣3）＞0 的解集是（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）
D．（﹣3，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
版权所有
【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可．
【解答】解：当x＞0 时，f（x）＝1﹣ex，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣（﹣x）﹣1＝ex﹣1＝﹣f（x）；
当x＜0 时，f（x）＝e﹣x﹣1，﹣x＞0，f（﹣x）＝1﹣e﹣x＝﹣f（x）；
且当x＝0 时，f（x）＝0，
故f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，
所以f（x）为奇函数，
易知f（x）为R 上的递减函数，
则f（2x）+f（x﹣3）＞0 可转化为f（2x）＞﹣f（x﹣3）＝f（3﹣x），
所以2x＜3﹣x，解得x＜1，
所以原不等式的解集为（﹣∞，1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
34．函数f（x）的定义域为R，对任意的x∈[1，+∞），t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立，且函
数f（x+1）为偶函数，则（ ）
A．f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（2）
B．f（﹣2）＜f（2）＜f（﹣1）
C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣2）
D．f（﹣1）＜f（2）＜f（﹣2）
【考点】奇偶性与单调性的综合；抽象函数的奇偶性．
版权所有
【分析】由函数的对称性和减函数的性质即可判断．
【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，函数图象关于y 轴对称，
所以函数f（x）图象关于直线x＝1 对称，
对任意的x∈[1，+∞），t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立，
所以f ( x +t )−f ( x)
( x +t )−x
＜0，故f（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，故f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（0）＝f（2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及对称性的应用，属于基础题．
35．已知函数f（x）＝3x3﹣2x+ex﹣e﹣x+1，若f（2a﹣3）+f（a2）≤2，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[﹣3，1]
B．[﹣1，3]
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
版权所有
【分析】把原函数构造成奇函数部分与常数项，即g（x）＝f（x）﹣1，其中g（x）＝3x3﹣2x+ex﹣e﹣x
为奇函数，求导证明g（x）在R 上单调递增．利用奇函数性质将不等式转化成g（2a﹣3）+g（a2）
≤0，再利用函数单调性转化为代数不等式2a﹣3≤﹣a2，从而求解．
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣1＝3x3﹣2x+ex﹣e﹣x，则g（x）为奇函数．
g′（x）＝9x2﹣2+ex+e﹣x，根据均值不等式ex+e﹣x≥2，且9x2﹣2≥﹣2，故g′（x）≥0，当且仅当x
＝0 时，g′（0）＝0，
故g（x）在R 上单调递增．
不等式f（2a﹣3）+f（a2）≤2 可化为g（2a﹣3）+g（a2）+2≤2⇒g（2a﹣3）+g（a2）≤0，
根据奇函数性质g（﹣x）＝﹣g（x），g（2a﹣3）≤﹣g（a2）＝g（﹣a2）
因为g（x）单调递增，所以2a﹣3≤﹣a2，即a2+2a﹣3≤0
解不等式得：a∈[﹣3，1]
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
36．若定义在R 上的奇函数f（x），对∀x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2有
f ( x1)−f ( x2)
x2−x1
＞0，且f（2）
＝0，则满足xf（x﹣1）≥0 的x 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞）
B．[﹣1，0]∪[1，3]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞）
D．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
【考点】奇偶性与单调性的综合．
版权所有
【分析】利用函数f（x）的奇偶性和在（﹣∞，0）上的单调性，判断函数f（x）在R 上的单调性，从
而得到函数f（x）的正负，分x＞0、x＝0、x＜0 三种情况讨论，得到使得xf（x﹣1）≥0 成立的x 的取
值范围．
【解答】解：因为对∀x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2有
f ( x1)−f ( x2)
x2−x1
＞0，f（2）＝0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
根据奇函数的对称性可知，f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，
当x＞0 时，要使得xf（x﹣1）≥0，则要求f（x﹣1）≥0，所以0≤x﹣1≤2，解得1≤x≤3；
当x＝0 时，xf（x﹣1）＝0 符合；
当x＜0 时，要使得xf（x﹣1）≥0，则要求f（x﹣1）≤0，所以﹣2≤x﹣1≤0，解得﹣1≤x＜0；
综上，x 的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
37．已知函数f ( x)= ln(
❑√x
2+1−x)−3 x +2（e 是自然对数的底数），若f（x﹣6）+f（x2）＞4，则实数
x 的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）
B．（﹣3，2）
C．（﹣∞，3）
D．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
版权所有
【分析】根据奇偶性定义判断函数f（x）﹣2 的奇偶性，再由对数函数、复合函数的单调性判断函数f
（x）﹣2 的单调性，最后应用奇函数、单调性解不等式即可．
【解答】解：f ( x)= ln
1
❑√x
2+1+ x
−3 x +2=−ln(
❑√x
2+1+ x)−3 x +2，定义域为R，
所以f (−x)−2=−ln(
❑√(−x)
2+1−x)+3 x =−[ ln(
❑√x
2+1−x)−3 x ]=−[ f ( x)−2]，故f（x）﹣2
在R 上为奇函数，
又f ( x)−2=−ln(
❑√x
2+1+ x)−3 x在（0，+∞）上单调递减，且在R 上连续，
根据奇函数的对称性可知，f（x）﹣2 在R 上单调递减，
由f（x2）﹣2＞﹣[f（x﹣6）﹣2]＝f（6﹣x）﹣2，可得x2＜6﹣x，
解得﹣3＜x＜2，
所以不等式解集为（﹣3，2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
38．函数f ( x)={
2−lo g2(−x +2)，0≤x＜2
2−f (−x)，−2＜x＜0 )，若f（1﹣a）＜f（a），则实数a 的取值范围是（ ）
A．[−1
2 ，1)
B．( 1
2 ，+ ∞)
C．(−∞，1
2 )
D．( 1
2 ，2)
【考点】奇偶性与单调性的综合．
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【分析】先求出﹣2＜x＜0 时的函数解析式，然后判断函数的单调性，结合函数单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为f ( x)={
2−lo g2(−x +2)，0≤x＜2
2−f (−x)，−2＜x＜0 )，
当﹣2＜x＜0 时，0＜﹣x＜2，f（﹣x）＝2﹣log2（x+2），
所以2﹣f（﹣x）＝log2（x+2），
所以f（x）={
2−lo g2(2−x)，0≤x＜2
lo g2( x +2)，−2＜x＜0)，
当0≤x＜2 时，f（x）＝2﹣log2（2﹣x）单调递增，f（0）＝1，
当﹣2＜x＜0 时，f（x）＝log2（x+2），且f（x）在x＝0 处连续，
故f（x）在（﹣2，2）上单调递增，
若f（1﹣a）＜f（a），则﹣2＜1﹣a＜a＜2，
解得1
2 ＜a＜2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
五．抽象函数的奇偶性（共8 小题）
39．已知f（x）是定义在R 上不恒为0 的函数，f（x+1）为奇函数，f（2x﹣1）为偶函数，则（ ）
A．f（﹣3）＝0
B．f（0）＝0
C．f（2）＝0
D．f（4）＝0
【考点】抽象函数的奇偶性．
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【分析】由f（x+1）为奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），f（1）＝0，由f（2x﹣1）为偶函数，可
得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），利用赋值法求得f（﹣3）＝0，即可判断A；
设f（0）＝m，利用赋值法逐一判断BCD．
【解答】解：因为f（x+1）为奇函数，
所以f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），
所以函数的图象关于（1，0）中心对称，且f（1）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x+2），
又因为f（2x﹣1）为偶函数，
所以f（﹣2x﹣1）＝f（2x﹣1），
即f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），
所以函数的图象关于x＝﹣1 对称，且f（﹣x）＝f（x﹣2），
所以﹣f（x+2）＝f（x﹣2），
即﹣f（x+4）＝f（x），f（x+4）＝﹣f（x），
所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
函数y＝f（x）为周期函数，8 为最小正周期，
在f（﹣x）＝f（x﹣2）中，
令x＝﹣1，则有f（1）＝f（﹣3）＝0，故A 正确；
设f（0）＝m，
在f（﹣x）＝﹣f（x+2）中，
令x＝0，
则f（0）＝﹣f（2）＝m，
所以f（2）＝﹣m，
在f（﹣x）＝f（x﹣2）中，
令x＝0，
则f（0）＝f（﹣2）＝m，
若m≠0，函数仍可满足所有条件，
所以f（0）＝0 不一定成立，故B 错误；
由B 可知f（2）＝﹣m，
当m≠0，函数仍可满足所有条件，
即f（2）＝0 不一定成立，故C 错误；
在f（﹣x）＝﹣f（x+2）中，
令x＝2，
则有f（4）＝﹣f（﹣2）＝﹣m，
由前面分析可知f（4）＝0 不一定成立，故D 错误．
故选：A．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，考查了利用赋值法求抽象函数的值，属于中
档题．
40．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x﹣1），且f（x﹣1）是奇函数，则下列结论错误
的是（ ）
A．f（﹣1）＝0
B．f（0）＝f（2）
C．f（﹣4）＝f（4）
D．f（11）＝﹣1
【考点】抽象函数的奇偶性．
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【分析】根据已知条件，结合函数奇偶性特点，得到函数关系式，通过代入特殊值逐个选项判断即可求
解．
【解答】解：因为f（x+3）＝﹣f（x﹣1），
即f（x+4）＝﹣f（x），
所以f（x+8）＝﹣f（x＝4）＝f（x），
由此可知f（x）为周期为8 的周期函数，
又因为f（x﹣1）是奇函数，
所以f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），
因为f（x+3）＝﹣f（x﹣1），
所以f（x+3）＝f（﹣x﹣1）；
对于A，根据f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），
令x＝0，
得f（﹣1）＝﹣f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，故A 正确；
对于B，根据f（x+3）＝f（﹣x﹣1），
令x＝﹣1，
得f（0）＝f（2），B 正确；
对于C，根据f（x+8）＝f（x），
令x＝﹣4，
得f（﹣4）＝f（4），C 正确；
对于D，根据f（x+8）＝f（x），得f（11）＝f（3），
又根据f（x+3）＝f（﹣x﹣1），
将x＝0 代入，
得f（3）＝f（﹣1），
由A 可知f（﹣1）＝0，
所以f（3）＝0，
所以f（11）＝f（3）＝f（﹣1）＝0，所以D 错误．
故选：D．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，属于中档题．
41．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，且f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（0）＝
1，则∑
k =0
2025
f (k )=（ ）
A．﹣2
B．1
C．0
D．﹣1
【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．
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【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而
推出其周期，再结合赋值法求得f（0），f（1），f（2），f（3），结合函数的周期性，即可求得答案．
【解答】解：因为f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（0）＝1，
所以f（y）+f（﹣y）＝2f（y），所以f（﹣y）＝f（y），
所以f（x）为偶函数；
又f（x+1）为奇函数，
所以f（﹣x+1）+f（x+1）＝0，且f（1）＝0，
又f（2）＝﹣f（0）＝﹣1；
因为f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），
所以f（x+2）＝﹣f（﹣x），又f（﹣x）＝f（x），
所以f（x+2）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期为4，
所以f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，
所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝1+0﹣1+0＝0，
所以∑
k =0
2025
f (k )=506[ f (0)+ f (1)+ f (2)+ f (3)]+ f (2024)+ f (2025)= f (0)+ f (1)=1+0=1．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的综合应用，属中档题．
42．已知函数f（x）的定义域为R，函数y＝f（x+3）+2 是奇函数，则∑
i=1
5
f (i)=（ ）
A．﹣10
B．﹣5
C．5
D．10
【考点】抽象函数的奇偶性．
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【分析】根据函数图象变换以及奇函数性质，可得函数y＝f（x）的图象关于（3，﹣2）中心对称，得
到f（x）+f（6﹣x）＝﹣4，进而求得f（1）+f（5），f（2）+f（4），f（3）即可得答案．
【解答】解：因为y＝f（x+3）+2 是奇函数，
所以f（﹣x+3）+2+f（x+3）+2＝0，
所以f（﹣x+3）+f（x+3）＝﹣4，
所以y＝f（x）的图象关于（3，﹣2）中心对称，
所以f（x）+f（6﹣x）＝﹣4，
因此f（1）+f（5）＝﹣4，f（2）+f（4）＝﹣4，f（3）＝﹣2，
所以∑
i=1
5
f (i)= f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=−10．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数的性质，属中档题．
43．定义在R 上的函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x+2）为奇函数，已知当0≤x≤1 时，f
（x）＝ex﹣1，则下列结论错误的是（ ）
A．f（x+4）＝f（x）
B．f（x）在区间[9，11]上单调递减
C．f ( 1
3 )＜f ( 7
4 )
D．∑
i=1
2025
f (i)=e−1
【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．
版权所有
【分析】由题意有f（2﹣x）+f（2+x）＝0，又f（1+x）＝f（1﹣x），即可推出f（x+4）＝f（x），进
而判断A，作出f（x）在[0，4]的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的
和，最后利用周期即可求∑
i=1
2025
f (i)，进而判断D．
【解答】解：因为f（x+2）为奇函数，
所以f（﹣x+2）+f（x+2）＝0，
又f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（﹣x+2）＝f（x），
所以f（x+2）+f（x）＝0，所以f（x+4）+f（x+2）＝0，
所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以A 选项正确；
因为f（1+x）＝f（1﹣x），f（2﹣x）+f（2+x）＝0
所以f（x）关于x＝1 对称，且关于（2，0）对称，
当0≤x≤1 时，f（x）＝ex﹣1，作出函数f（x）的图像：
由图可知f（x）在（1，3）单调递减，f（x）的周期为4，
可得f（x）＝f（x﹣2×4）＝f（x﹣8），
所以当9≤x≤11，1≤x﹣8≤3，即f（x）在[9，11]的图像与[1，3]的图像一致，
所以f（x）在[9，11]单调递减，所以B 选项正确；
由f ( 1
3 )= f (1−2
3 )= f (1+ 2
3 )= f ( 5
3 )，又1＜5
3 ＜7
4 ＜3，f（x）在（1，3）单调递减，
所以f ( 1
3 )= f ( 5
3 )＞f ( 7
4 )，所以C 选项错误；
因为f（1）＝e﹣1，f（2）＝0，f（3）＝f（1+2）＝﹣f（2﹣1）＝﹣f（1）＝1﹣e，f（4）＝f（0）＝
e0﹣1＝0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，
所以∑
i=1
2025
f (i)=506[ f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)]+ f (1)=506×0+ f (1)=e−1，所以D 选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查抽象函数的综合应用，属中档题．
44．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（2x+1）为奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2 对称，则
∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．
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【分析】根据题意易得f（﹣2x+1）+f（2x+1）＝0，f（2﹣x）＝f（2+x），f（1）＝0，从而可得f（x）
的周期为4，进而利用周期性，即可求解．
【解答】解：因为定义在R 上的函数f（x）满足f（2x+1）为奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2 对
称，
所以f（﹣2x+1）+f（2x+1）＝0，f（2﹣x）＝f（2+x），f（1）＝0，
所以f（﹣x）+f（x+2）＝0，f（﹣x）＝f（x+4），
所以f（x+4）+f（x+2）＝0，所以f（x+2）+f（x）＝0，
所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，
又f（1）＝0，f（2）＝﹣f（0）＝﹣f（4），所以f（2）+f（4）＝0，f（3）＝f（1）＝0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，
又2025＝506×4+1，
所以∑
i=1
2025
f (i)=506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝506×0+0＝0．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的求值问题，抽象函数的性质的综合应用，属中档题．
45．设f（x），g（x）是定义在R 上的函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（f（x））为偶函数，则f（x）为偶函数
B．若f（f（x））为奇函数，则f（x）为奇函数
C．若f（x）为单调函数且f（g（x））为周期函数，则g（x）为周期函数
D．若f（g（x））为单调函数且g（x）为单调函数，则f（x）为单调函数
【考点】抽象函数的奇偶性；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合．
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【分析】根据题意，据此反例可得A、B、D 错误，结合函数单调性和周期性的定义分析C，综合可得
答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，举出反例，f ( x)={
| x|，x≠1，
0，x =1．)
当x≠±1 时，f（f（x））＝f（|x|）＝|x|，且f（f（﹣1））＝f（1）＝0，f（f（1））＝f（0）＝0，所以
f（f（x））是偶函数，但f（x）不是偶函数；A 错误．
对于B，f ( x)={
x，x≠1，2，
2，x =1，
1，x =2. )
当 x∉{1，2}时，f（f（x））＝f（x）＝x，且f（f（1））＝f（2）＝1，f（f（2））＝f（1）＝2，
所以f（f（x））恒等于x，单调递增且奇函数，但f（x）不是单调函数也不是奇函数．B 错误，
对于C，若f（x）为单调函数且f（g（x））为周期函数，
必存在非零常数T，满足g（x+T）＝g（x），C 正确；
对于D，若g（x）的值域不是R，则无法判断该值域以外的部分f（x）是否单调，
例如g（x）＝ex，f（x）＝|x|，D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，涉及函数单调性，属于基础题．
46．已知函数f（x）的定义域是R，f ( 3
2 + x)是偶函数，f（x）+f（6﹣x）＝0，当0≤x ≤3
2时，f（x）＝4x
﹣2x2，则f（2024）＝（ ）
A．﹣2024
B．2024
C．﹣2
D．2
【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性；函数的值．
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【分析】根据f ( 3
2 + x)是偶函数，可得f ( 3
2 + x)= f ( 3
2 −x)，即可得到f（﹣x）＝f（x+3），结合f
（x）+f（6﹣x）＝0 可得函数f（x）为周期为6 的函数，进而求解即可．
【解答】解：因为f ( 3
2 + x)是偶函数，所以f（3
2 −x）＝f（3
2 +x），
所以f（﹣x）＝f（x+3），
又f（x）+f（6﹣x）＝0，所以f（﹣x）+f（x+6）＝0，
所以f（x+3）+f（x+6）＝0，所以f（x）+f（x+3）＝0，
所以f（x+6）＝f（x），
所以f（x）的周期为6，
所以f（2024）＝f（6×337+2）＝f（2）＝f（1）＝4×1﹣2×12＝2．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数的性质，属中档题．
一、单选题
1．设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知定义在
上的偶函数
满足
，且在
上为增函数，
，
，
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
课后针对训练
4．已知
是定义在
上不恒为
的函数，
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
是定义在
上的偶函数，且
，若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．8
D．10
6．函数
是定义域为
的偶函数，
且
，恒有
，若
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
是定义在R 上的奇函数，且
，若对任意的
，
，均有
成
立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．定义在
上的奇函数
满足
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
是
图象的一个对称中心
D．
为偶函数
三、填空题
9．已知
是奇函数，
是偶函数，且
，则
，
．
10．已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
．若对任意
，
恒成立，则实数t 的取值范围为 ．
11．已知
是定义在
上的函数，
，且函数
为奇函数，
为偶函数，则
．
12．已知
且
，若函数
为偶函数，则
．
13．已知定义在R 上的偶函数
在
上是增函数，不等式
对任意
恒成
立，则实数a 的取值范围是 ．
14．研究下列函数的对称性：
（1）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（2）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（3）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（4）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（5）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（6）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（7）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（8）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（9）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（10）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（11）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（12）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（13）若
的图象关于点
对称，则
图象的对称中心是 ；
（14）若
的图象关于直线
对称，则
图象的对称轴是 ；
（15）
的图象关于直线 对称；
（16）
的图象关于点 对称．
四、解答题
15．判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
16．已知定义域都为
的函数
与
满足：
是奇函数，
是偶函数，
.
(1)求函数
与
的解析式；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
17．①若
是偶函数，且
是偶函数，则
有何特性？
②若
是奇函数，且
是奇函数，则
有何特性？
③若
是偶函数，且
是奇函数，则
有何特性？
④若
是奇函数，且
是偶函数，则
有何特性？
18．已知定义域为
的函数
是奇函数．
(1)求实数
的值；
(2)判断并证明
的单调性；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
A
B
C
A
BCD
1．B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得
，
对于A，
不是奇函数；
对于B，
是奇函数；
对于C，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
2．D
【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论．
【详解】因为
的定义域为R，又因为
，所以
是偶函数，不符合题意；
令
，则
，所以
是偶函数，不符合题意；
令
，则
，所以
是偶函数，不符合题意；
令
，则
，所以
是奇函数，符合
题意．
故选：D．
3．B
【分析】根据
，知函数周期
，利用函数的周期性与对称性将
，
，
转移到同一
个单调区间，再利用函数的单调性比较函数值的大小．
【详解】因为定义在
上的偶函数
在
上为增函数，
所以在
上单调递减，又因为
，
，即函数周期
，
所以
，
，又
，所以
，
故选：B．
4．A
【分析】首先根据
为奇函数，得
，然后根据
为偶函数，得
，然后通过对
进行赋值进行求解即可.
【详解】由于
为奇函数，可得：
，
令
，得：
，解得：
；
又
为偶函数，则
，
令
，得：
.
故选：A
5．B
【分析】由
得到
的周期为4，再结合
可得，
，代入
计算即可.
【详解】∵
是偶函数，∴
因为
.
所以
则
.
令
得，
，即
，∴
，所以4 为函数
的一个周期.
所以
故选：B.
6．C
【分析】由题可得
，设
，可判断函数
的单调性及奇偶性，
再利用单调性及奇偶性解不等式即可.
【详解】
，
，
又
，且
，则
，
，
设
，则
，
所以
在
单调递增，
又函数
是定义域为
的偶函数，所以
也是
上的偶函数，
又
，所以
，即
，
则
，解得
.
故选：C.
7．A
【分析】根据
，设函数
，则
在
上递增，判断
也是是定义在R 上的奇函数，可得
在
上递增，分类讨论列不等式求
解即可.
【详解】因为对任意的
，均有
成立，不妨设
，
则
，所以
，
令
，则
在
上递增，
因为
是定义在R 上的奇函数，所以
是定义在R 上的奇函数，
所以
在
上递增，
不等式
化为
，
因为
，所以
，即
，所以
，
则
，即：
，所以
，
或
，即：
，所以
，
所以不等式
的解集为
，
故选：A．
8．BCD
【分析】由奇函数性质知
，根据递推式并代入
判断A；且
，应用周期性求函
数值判断B；根据
及对称中心
判断C；奇偶性定义判断D.
【详解】A：
是定义在
上的奇函数，所以
，
又
满足
，令
，所以
，错；
B：由
，可知
，
所以
，
所以
，对；
C：因为
，所以
是
图象的对称轴，
又
为
图象的一个对称中心，所以
是
图象的一个对称中心，对；
D：因为
，所以
，即
为偶函数，对.
故选：BCD
9．
．
【分析】根据奇偶性构造出新的关系式
，结合题干表达式
，列方
程组求解.
【详解】由题意得
，
则有
两式相减得
，所以
故答案为：
，
10．
【分析】由题意可得
在
上单调递增，由已知可得
，可得
，进而可求得
数t 的取值范围.
【详解】因为当
时，
，所以
在
上单调递增，
又函数
是定义在R 上的奇函数，所以
，所以
，
所以
，又
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
对任意
，
，
当
时，
，可得
，
当
，
，则
，所以
，
当
时，
，所以
，
则
，
从而
，
，
，得
．
所以实数t 的取值范围为
.
故答案为：
.
11．
【分析】由函数奇偶性及对称性可得
，即周期为16，再根据周期性求值即可.
【详解】因为
为奇函数，所以
，即
，
令
可得
，即
，又
因为
为偶函数，所以
，即
，
所以
，则
，
即
，所以函数
的周期为16，
故
，
，
所以
．
故答案为：
.
12．2
【分析】由函数奇偶性的定义即可得出答案.
【详解】定义域为
因为
为偶函数，
所以
，
化简得
，
因为
，所以
，得
，
因为
，所以
故答案为：
13．
【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在
上
恒成立，即可得.
【详解】由偶函数的对称性，且
在
上是增函数，则
在
上单调递减，
所以在
上
恒成立，可得
，则
，
而
，故
.
故答案为：
14．
【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令
；若题设条件是偶函数，则令
，逐一验证
即可求解；
严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若
，对称轴为
，若
，则对称中心为
，逐一验证即可求解.
【详解】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令
；若题设条件是偶函数，则令
，
（1）令
，再令
，则
，所以
图象的对称中心为
．
（2）若
是奇函数，则
，令
，则
，所以
图象的对称中心为
；
（3）若
是奇函数，则
，令
，则
，所以
，则
图象的对称中心为
；
（4）若
是偶函数，则
，令
，则
，则
图象的对称轴是
；
（5）若
是偶函数，则
，令
，则
，
图象的对称轴是
；
（6）若
是偶函数，则
，则
，则
，则
图象的
对称轴是
；
（7）若
是奇函数，则
，令
，则
，则
，则
图象的对称中心是
；
（8）若
是奇函数，则
，令
，则
，则
，
则
图象的对称中心是
；
（9）若
是奇函数，则
，令
，则
，则
，
则
图象的对称中心是
；
（10）若
是偶函数，则
，令
，则
，则
，则
图
象的对称轴是
；
（11）若
是偶函数，则
，则
，则
，则
图象的对
称轴是
；
（12）若
是偶函数，则
，则
，则
，则
图象的
对称轴是
；
破招方法2：用严格推理的方法，
（13）若
的图象关于点
对称，令
，所以
，
即
，
所以
的图象关于点
中心对称；
（14）若
的图象关于直线
对称，则
，则
，即
，则
图象的对称轴是
；
（15）
，则
，则
，则
的图象关
于直线
对称；
（16）
，则
，则
，则
的图象
关于点
对称
故答案为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
15．(1)奇函数
(2)非奇非偶函数
(3)偶函数
(4)偶函数
【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可.
【详解】（1）由
得
且
，定义域关于原点对称，
所以
，所以
，
因为
，所以
为奇函数．
（2）由
，解得
，其定义域不关于原点对称，
则
是非奇非偶函数．
（3）
的定义域为
，且关于原点对称．
因为
，所以
为偶函数．
（4）解法1：
的定义域关于原点对称，
，
即
，则
为偶函数．
解法2：画出
的图象，
观察可知图象关于
轴对称，则
为偶函数．
16．(1)
，
(2)
【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可；
（2）换元令
，可得原题意等价于
在
上恒成立，结合基本不等式运算求解
即可.
【详解】（1）因为
，
是奇函数，
是偶函数，
则
，可得
，
联立方程
，解得
，
.
（2）因为
，即
，
又因为
，令
，则
，
可得
，整理可得
，
原题意等价于
在
上恒成立，
又因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
可得
，即
，
所以实数
的取值范围为
.
17．①
的周期是
；②
的周期是
；③
的周期是
；④
的周期是
．
【分析】对于①，利用偶函数的性质，可得
，可得结论；对于②，利用奇函数的性质，可
得
，可得结论；对于③，利用奇偶函数的性质，可得
，可得结论；对于④，
利用奇偶函数的性质，可得
，可得结论.
【详解】对于①，若
是偶函数，则
，所以
，
又
是偶函数，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
是周期为6 的周期函数；
对于②，若
是奇函数，则
，所以
，
且
是奇函数，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
是周期为6 的周期函数；
对于③，若
是偶函数，则
，所以
，
又
是奇函数，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
是周期为12 的周期函数；
对于④，若
是奇函数，则
，所以
，
又
是偶函数，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
是周期为12 的周期函数.
18．(1)
；
(2)函数
在
上单调递减，证明见解析；
(3)
.
【分析】本题是函数性质的综合应用题，（1）已知函数奇偶性求参数
的值；（2）是利用定义证明函数
的单调性；（3）是利用函数单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，进一步求解参数
的取值范围.
【详解】解：（1）因为
的定义域为
，且
是奇函数,
所以
，解得
，
此时
，
则
，满足题意，
所以
．
（2）由（1）可得
，函数
在
上单调递减，证明如下：
在
上任取
且
，
则
，
因为
且
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
在
上单调递减．
（3）因为
，
所以
，
由（2）可知函数
在
上单调递减，所以
，
即
在
上恒成立，
则
，或
所以
或
，即
．
所以实数
的取值范围为
．
