第9 讲 指数与指数函数 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1. 指数及指数运算.................................................................................................................2
2. 指数函数............................................................................................................................. 3
三、典题精讲......................................................................................................................................3
考点一：指数幂的运算与化简..............................................................................................3
考点二：指数函数的概念与图象..........................................................................................4
考点三：指数函数的性质及应用..........................................................................................6
考点四：指数函数模型的实际应用......................................................................................9
四、高考真题....................................................................................................................................10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容与方式
2026
第19 题 解答
题
17 分
直接
综合考察指数函数的单调性、值域及极限思想
2026
第6 题 单选题
5 分
间接
结合导数考察含指数函数解析式的最值问题
2025
第8 题 单选题
5 分
间接
指对互化，利用指数函数图像比较大小
2025
第12 题 填空
题
5 分
间接
结合导数几何意义考察指数型函数的切线方程
2024
第6 题 单选题
5 分
间接
结合分段函数考察指数函数的单调性
2024
第13 题 填空
题
5 分
间接
结合导数几何意义考察指数型函数的切线方程
近三年全国一卷中，指数与指数函数是重要的高频基础考点.多以间接考察为主，常
与导数、函数性质综合命题；偶尔在解答题压轴位置作为核心载体进行直接且深度的考察.
2. 命题角度与特色
核心考点：重点考察指数函数的单调性、值域、图像特征以及指数与对数的互化.
命题趋势：单纯考察指数运算的题目较少，更多是作为基本初等函数与其他知识（尤
其是导数、抽象函数）深度融合.
试题特点：对数形结合能力要求高，常需借助指数函数的图像趋势（如渐近线、增长
速度）来突破难点.
3. 备考策略
· 熟练掌握指数幂的运算性质，做到指对互化灵活自如.
· 深刻理解指数函数的图像与性质，牢记底数大于1 与介于0 和1 之间时的单调性差
异.
· 强化指数函数与导数结合的训练，掌握含自然指数函数的求导法则及切线问题的常
规解法.
二、知识清单
1. 指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果x
n=a，那么x叫做a的n次方根，其中(n>1,n∈N
*)，记为
n√a，n称为根
指数，a称为根底数.
（2）根式的性质：
· 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
· 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.
（3）指数的概念：
指数是幂运算a
n(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，
幂运算表示指数个底数相乘.
（4）有理数指数幂的分类：
· ①正整数指数幂a
n=a⋅a⋅…⋅a（n个）(n∈N
*)；
· ②零指数幂a
0=1(a≠0)；
· ③负整数指数幂a
-n= 1
a
n (a≠0,n∈N
*)；
· ④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（5）有理数指数幂的性质：
· ①a
ma
n=a
m+n(a>0,m,n∈Q)；
· ②(a
m)
n=a
mn(a>0,m,n∈Q)；
· ③(ab)
m=a
mb
m(a>0,b>0,m∈Q)；
· ④n√a
m=a
m
n (a>0,m,n∈Q).
【防坑警示】在进行分数指数幂与根式的互化时，必须保证底数a>0，否则可能会出现符
号错误.处理偶次根式化简时，务必先套上绝对值符号，即
2n√a
2n=|a|.
2. 指数函数
【易错提醒】判断一个函数是否为指数函数，必须严格符合y =1⋅a
x的形式，即底数a>0
且a≠1，且a
x的系数必须为1.
三、典题精讲
考点一：指数幂的运算与化简
考法1：指数幂的化简与求值
例1.(
9
16)
-0.5
+
❑√(2- π )
2+(2
3)
2
3 ×(
2
3)
1
4 ×(
2
3)
3
4 =
A. π
B. 2+ π
C. 4 - π
D. 6- π
【答案】B
【思路】观察算式中的各项结构，负分数指数幂可通过取倒数转化为正分数指数幂，偶次根式开
方需注意判断被开方数的符号以决定是否添加绝对值，最后利用同底数幂的乘法法则将底数相同
的项合并化简.
【解析】(
9
16)
-0.5
+
❑√(2- π )
2+(2
3)
2
3 ×(
2
3)
1
4 ×(
2
3)
3
4 = 4
3 + π -2+ 4× 2
3 =2+ π.
【规律】处理复杂的指数幂运算时，通常遵循“化负为正、化根式为分数指数幂、化小数为分
数”的原则，遇到偶次方根开方时务必先套上绝对值符号，再根据内部代数式的正负进行去绝对
值操作.
考法2：条件等式下的指数与对数互化
例2.（2026·吉安·一模）若4
x =5
y =10，则1
x + 2
y =＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【思路】面对多个指数式连等的情况，常规思路是引入一个常数（本题已给出常数10），将指数
式转化为对数式，从而把待求的倒数和问题转化为同底对数的加法运算.
【解析】由4
x=10，得x = log410，则1
x = log104.
由5
y =10，得y = log510，则1
y = log105.
∴1
x + 2
y = log104+2log105= log104+ log1025= log10100=2.
【规律】解决连等式“a
x=b
y =k”求倒数和的问题，核心方法是利用对数的定义将指数形式化为
对数形式x = logak，y = logbk，进而利用对数的换底公式或倒数关系，将所求代数式转化为同底
对数的运算.
【考点一 方法总结】
· 处理复杂的指数幂运算时，优先将小数化为分数，负指数化为正指数的倒数，根
式化为分数指数幂，最后利用同底数幂的运算法则进行合并.
· 遇到偶次方根开方时，必须先套上绝对值符号（即
2n√a
2n=|a|），再根据内部代数
式的正负进行去绝对值操作.
· 解决连等式“a
x=b
y =k”求倒数和的问题，核心是利用对数的定义将指数形式化
为对数形式，进而利用对数的换底公式或倒数关系，转化为同底对数的运算.
考点二：指数函数的概念与图象
考法1：指数函数的定义
例3.函数y =(a-2)
2a
x是指数函数，则
A. a=1或a=3
B. a=1
C. a=3
D. a>0且a≠1
【答案】C
【思路】紧扣指数函数的严格定义，即形式必须为y =1⋅a
x，且底数需满足大于0 且不等于1 的限
制条件，据此列出关于参数的方程组求解.
【解析】由指数函数定义知(a-2)
2=1，同时a>0，且a≠1，∴解得a=3.
【规律】判断一个函数是否为指数函数，只需检验两点：一是底数a必须满足a>0且a≠1；二是指
数幂前面的系数必须严格等于1.
考法2：指数函数的图象识别与变换
例4.（多选）函数f ( x)=2
x+ a
2
x (a∈R)的图象可能为
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【思路】函数解析式中含有参数，直接画图较为困难，可以考虑对参数赋予特殊值，结合函数的
奇偶性、单调性以及特殊点（如与y 轴的交点）来逐一验证各个选项的图象是否符合.
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a赋值，判断选项.
当a=0时，f ( x)=2
x，图象A 满足；
当a=1时，f ( x)=2
x+ 1
2
x ，f （0）=2，且f (- x)= f ( x)，此时函数是偶函数，关于y轴对称，图
象B 满足；
当a=-1时，f ( x)=2
x - 1
2
x ，f （0）=0，且f (- x)=- f ( x)，此时函数是奇函数，关于原点对称，
图象D 满足；
图象C 过点(0,1)，此时a=0，故C 不成立.
【规律】识别含参函数图象的常用技巧是“特值代入法”与“性质分析法”.通过赋予参数特殊值，
观察函数是否具备奇偶性（对称性）、单调性，以及关键点（截距、极值点）的位置，从而快速
排除或确认选项.
【考点二 方法总结】
· 判断一个函数是否为指数函数，严格检验两点：底数a必须满足a>0且a≠1，且指
数幂前面的系数必须严格等于1.
· 识别含参指数函数图象时，常采用“特值代入法”与“性质分析法”.通过赋予参
数特殊值，观察函数是否具备奇偶性、单调性，以及关键点（如截距、极值点）的位置来
排除选项.
· 指数函数y =a
x与y =( 1
a )
x的图像关于y轴对称.底数大小决定图像的陡缓：当a>1时，
a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快；当0<a<1时，a的值越小，图像越靠近y轴，
递减的速度越快.
考点三：指数函数的性质及应用
考法1：利用单调性比较大小
例5.（2026·郑州·二模）已知8
x=5，则x的值所在的区间是
A. (0, 1
2 )
B. ( 1
2 , 2
3 )
C. ( 2
3 , 3
4 )
D. ( 3
4 , 4
5 )
【答案】D
【思路】要求指数x所在的区间，实质上是比较底数相同的指数幂的大小.可以将选项中的边界值
作为指数，计算8的这些分数次幂，再与5进行比较，通过两边同时乘方来消除分数指数，从而确
定5所在的范围.
【解析】函数y =8
x单调递增，∴只需5∈(8
a,8
b)，即可得x∈(a,b).
比较5与8
1
2：8
1
2 = ❑√8=2❑√2<5.
比较5与8
2
3：8
2
3 =(2
3)
2
3 =2
2= 4<5.
比较5与8
3
4：(8
3
4)
4
=8
3=512，5
4=625，∵512<625，即(8
3
4)
4
<5
4，∴8
3
4 <5.
比较5与8
4
5：(8
4
5)
5
=8
4= 4096，5
5=3125，∵4096>3125，即(8
4
5)
5
>5
5，∴8
4
5 >5.
综上，8
x =5∈(8
3
4 ,8
4
5)，∴x∈(
3
4 , 4
5).
【规律】估算对数值或确定指数所在区间时，常利用指数函数的单调性，将目标值与底数的有理
数次幂进行比较.对于分数次幂的比较，通常采用两边同时取整数次幂的方法，将其转化为整数的
比较.
考法2：解指数方程
例6.若关于x的方程9
x+3
x +1-m+1=0有解，则实数m的取值范围是
A. [1,+ ∞)
B. [- 5
4 ,+∞)
C. (-∞,3]
D. [1,3]
【答案】A
【思路】观察方程中指数项的底数关系，9
x是3
x的平方，这提示我们可以通过换元法将指数方程
转化为一元二次方程.需要特别注意的是，换元后新变量的取值范围会发生改变，原方程有解即转
化为新方程在特定区间内有解.
【解析】方程9
x+3
x +1-m+1=0有解，
∴(3
x)
2+3×3
x -m+1=0有解，
令3
x =t >0，
则可化为t
2+3t -m+1=0有正根，
则t
2+3t =m-1在(0,+∞)有解，又当t ∈(0,+∞)时，t
2+3t >0
∴m-1>0⇒m>1.
【规律】处理形如A ⋅a
2 x+ B⋅a
x+C =0的指数方程有解问题，核心步骤是令t =a
x，将其转化为关
于t的一元二次方程.务必牢记指数函数的值域，即新变量t必须满足t >0，随后利用分离参数法或二
次函数根的分布理论求解.
考法3：解指数不等式
例7.不等式10
x -6
x -3
x≥1的解集为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[1,+ ∞)
【思路】不等式中包含多个不同底数的指数项，无法直接化为同底数幂.可以考虑在不等式两边同
除以底数最大的指数项，从而构造出若干个底数小于1 的指数函数之和，利用函数的单调性来寻
找解集.
【解析】由10
x -6
x -3
x≥1，可得(
1
10)
x
+(
6
10)
x
+(
3
10)
x
≤1.
令f ( x)=(
1
10)
x
+(
6
10)
x
+(
3
10)
x
，
∵y =(
1
10)
x
，y =(
6
10)
x
，y =(
3
10)
x
均为R上单调递减函数，
则f ( x)在R上单调递减，且f （1）=1，
∴f ( x)≤f （1），
∴x ≥1，
故不等式10
x -6
x -3
x≥1的解集为[1,+ ∞).
【规律】遇到多项不同底数的指数不等式或方程，若无法因式分解，常采用“同除以最高（或最
低）底数幂”的策略，构造出单调函数，再通过观察找出特殊值，最后利用单调性解出不等式.
考法4：指数型复合函数的定义域与值域
例8.已知f ( x)=
❑√3
x
2+2ax -a-1的定义域为R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[-1,0]
【思路】函数包含偶次根式，其有意义的条件是被开方数非负.定义域为R意味着该非负条件对所
有实数x都恒成立.结合指数函数的单调性，可将问题进一步转化为一元二次不等式恒成立问题，
借助判别式即可求解.
【解析】∵f ( x)=
❑√3
x
2+2ax -a-1的定义域为R，
∴3
x
2+2ax -a-1≥0对任意x∈R恒成立，
即3
x
2+2ax -a≥1=3
0恒成立，
即x
2+2ax -a≥0对任意x∈R恒成立，
∴Δ= 4 a
2+ 4 a≤0，则-1≤a≤0.
【规律】处理“复合函数定义域为R”的问题，实质上是求解内层函数不等式恒成立的问题.若内
层为二次函数，则需确保二次项系数大于0 且判别式Δ≤0；若二次项系数含有参数，还需单独讨
论系数为0 的情况.
考法5：指数型函数的奇偶性与单调性综合
例9.已知函数f ( x)= 3
x+b
3
x+1是定义域为R的奇函数.
（1）求实数b的值，并证明f ( x)在R上单调递增；
（2）已知a>0且a≠1，若对于任意的x1, x2∈[1,3]，都有f ( x1)+ 3
2 ≥a
x2-2恒成立，求实数a
的取值范围.
【答案】（1）b=-1，证明见解析 （2）[ 1
2 ,1)∪(1,2]
【思路】对于第一问，利用奇函数在原点有定义时必有f （0）=0可快速求出参数b，随后使用
定义法（取值、作差、变形、定号）证明单调性；对于第二问，将恒成立问题转化为函数最值问
题，利用第一问的单调性求出f ( x)在给定区间的最值，进而得到关于参数a的指数不等式，最后根
据底数a与1 的大小关系分类讨论求解.
【解析】（1）∵函数f ( x)= 3
x+b
3
x+1
是定义域为R的奇函数，
则f （0）= 1+b
2
=0，解得b=-1，此时f ( x)= 3
x -1
3
x+1
=1-
2
3
x+1，
对任意的x∈R，3
x+1>0，即函数f ( x)的定义域为R，
f (- x)= 3
- x -1
3
- x+1
= 3
x(3
- x -1)
3
x(3
- x+1)
= 1-3
x
1+3
x =- f ( x)，即函数f ( x)为奇函数，合乎题意，
任取t1,t2∈R且t1<t2，则0<3
t1<3
t2，
∴f (t1)- f (t2)=(1-
2
3
t1+1)-(1-
2
3
t2+1)=
2(3
t1-3
t2)
(3
t1+1)(3
t2+1)
<0，则f (t1)<f (t2)，
∴函数f ( x)在R上单调递增.
（2）由（1）可知，函数f ( x)在[1,3]上为增函数，
对于任意的x1, x2∈[1,3]，都有f ( x1)+ 3
2 ≥a
x2-2，则a
x2-2- 3
2 ≤f （1）= 1
2，
∴a
x2-2≤2，
∵x2∈[1,3]，则x2-2∈[-1,1].
当0<a<1时，则有a
-1≤2，解得1
2 ≤a<1；
当a>1时，则有a≤2，此时1<a≤2.
综上所述，实数a的取值范围是[ 1
2 ,1)∪(1,2].
【规律】“f ( x)= a
x -1
a
x+1”是非常经典的指数型奇函数模型，常通过分离常数法化为
f ( x)=1-
2
a
x+1来判断单调性和值域.处理含参的指数不等式时，务必对底数大于1 和介于0 与1 之
间两种情况进行分类讨论.
【考点三 方法总结】
· 比较指数幂大小或确定指数所在区间时，常利用指数函数的单调性，将目标值与
底数的有理数次幂进行比较.对于分数次幂，可采用两边同时取整数次幂的方法转化为整
数比较.
· 处理形如A ⋅a
2 x+ B⋅a
x+C =0的指数方程或不等式，核心是令t =a
x(t >0)，将其转
化为关于t的一元二次方程或不等式，再利用二次函数根的分布或分离参数法求解.
· 遇到多项不同底数的指数不等式，若无法因式分解，常采用“同除以最高（或最
低）底数幂”的策略，构造出单调函数，再利用单调性求解.
· 处理“复合函数定义域为R”的问题，实质是求解内层函数不等式恒成立问题.结
合指数函数的值域与单调性，转化为代数不等式（如二次不等式Δ≤0）求解.
· 遇到含有参数的指数函数问题，当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”
两种情形进行分类讨论.
考点四：指数函数模型的实际应用
考法1：指数增长或衰减模型
例10.（2025·黄冈·9 月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根
据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及
以上认定为醉酒驾车.某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达
到了0.5mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40 %的速度减少，那
么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【思路】提炼题目中的关键数据，明确初始状态和变化规律.酒精含量按固定比例减少，符合指数
衰减模型y = N (1- p)
x.建立不等式后，两边同时取常用对数，利用对数的运算性质和已知近似值
解出时间x的范围.
【解析】设至少经过x小时后才能安全驾驶，
则满足：100×0.5×(1- 40 %)
x<20，化简得：0.6
x<0.4，
根据y =lg x是增函数可得：lg0.6
x<lg0.4，即xlg0.6<lg0.4，
∵lg0.6<0，∴x> lg0.4
lg0.6 = lg 4 -1
lg6-1 =
2lg2-1
lg2+lg3-1 ≈
2×0.301-1
0.301+0.477 -1 ≈1.79，
∴他至少要经过2小时后才能驾驶.
【规律】解决指数型实际应用题，关键是准确构建模型：增长模型为y = N (1+ p)
x，衰减模型为
y = N (1- p)
x.在求解实际问题中的指数方程或不等式时，若底数无法统一，两边同时取常用对数
是通法.计算时需注意对数底数大于1时不等号方向不变，除以负数时不等号要变向.
【考点四 方法总结】
· 解决指数型实际应用题，关键是准确构建模型：增长模型为y = N (1+ p)
x，衰减模
型为y = N (1- p)
x.
· 在求解实际问题中的指数方程或不等式时，若底数无法统一，两边同时取常用对
数是通法.计算时需注意对数底数大于1时不等号方向不变，除以负数时不等号要变向.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)的定义域为R，且当x<0时，f ( x)=2
x.对任意x0∈R，
定义集合D( x0)={d ∈R∣f ( x0+d )>f ( x0)}.
（1）若当x ≥0时，f ( x)=1- x，求D(-1)；
（2）若f ( x)是奇函数，f ( x1)≤f ( x2)，且x1 x2≠0，证明：D( x2)⊆D( x1)；
（3）设f ( x)满足：①若f ( x1)≤f ( x2)，则D( x2)⊆D( x1)；②当0< x<1时，f ( x)<f （0）.
（i）证明：f （0）≥1；
（ii）证明：f ( x)在区间(0,+ ∞)单调递增.
【答案】（1）(0, 3
2 ) （2）证明见解析 （3）（i）证明见解析 （ii）证明见解析
【解析】（1）当x0=-1时，f (-1)=2
-1= 1
2.
集合D(-1)={d ∈R∣f (-1+d)> 1
2 }.
设t =-1+d，即求f (t )> 1
2的解集.
当t <0时，f (t )=2
t> 1
2，解得-1<t <0；
当t ≥0时，f (t )=1-t > 1
2，解得0≤t < 1
2.
综上，t ∈(-1, 1
2 ).
即-1<-1+d < 1
2，解得0<d < 3
2.
∴D(-1)=(0, 3
2 ).
（2）证明：∵f ( x)是奇函数，且当x<0时f ( x)=2
x，
∴当x>0时，- x<0，f ( x)=- f (- x)=-2
- x.
易知f ( x)在(-∞,0)上单调递增，值域为(0,1)；在(0,+∞)上单调递增，值域为(-1,0).
已知f ( x1)≤f ( x2)且x1 x2≠0，分情况讨论：
①当x1>0, x2>0时，由单调性知x1≤x2.
此时D( xi)={d ∣d >0 或 d ≤- xi}=(-∞,- xi]∪(0,+∞)(i=1,2).
∵- x2≤- x1，∴(-∞,- x2]⊆(-∞,- x1]，从而D( x2)⊆D( x1).
②当x1>0, x2<0时，f ( x1)<0<f ( x2)，符合题设.
此时D( x1)=(-∞,- x1]∪(0,+∞)，D( x2)=(0,- x2).
∵- x2>0，∴(0,- x2)⊆(0,+∞)⊆D( x1)，从而D( x2)⊆D( x1).
③当x1<0, x2<0时，由单调性知x1≤x2.
此时D( xi)=(0,- xi)(i=1,2).
∵- x2≤- x1，∴(0,- x2)⊆(0,- x1)，从而D( x2)⊆D( x1).
综上所述，均有D( x2)⊆D( x1).
（3）（i）证明：假设f （0）<1.
∵lim ¿x→0
-f ( x)=lim ¿x→0
-2
x =1¿¿，
∴存在x2∈(-1,0)，使得f ( x2)>f （0）.
令x1=0，则f ( x1)<f ( x2).
由条件①知，D( x2)⊆D（0）.
对于D( x2)，当d ∈(0,- x2)时，x2+d <0，f ( x2+d)=2
x2+d>2
x2= f ( x2)，
∴(0,- x2)⊆D( x2)，从而(0,- x2)⊆D（0）.
即对任意d ∈(0,- x2)，有f (d)>f （0）.
但由于- x2∈(0,1)，取d ∈(0,- x2)，则0<d <1.
由条件②知，当0<d <1时，f (d)<f （0），这与f (d)>f （0）矛盾！
∴假设不成立，必有f （0）≥1.
（ii）证明：要证f ( x)在(0,+∞)单调递增，即证对任意0< x1< x2，有f ( x1)<f ( x2).
假设存在0< x1< x2，使得f ( x1)≥f ( x2).
由条件①，D( x1)⊆D( x2).
任取t <0，令d =t - x1，则x1+d =t <0，f ( x1+d )=2
t.
若取t使得2
t>f ( x1)，则d ∈D( x1)，从而d ∈D( x2).
即f ( x2+d)= f ( x2- x1+t )>f ( x2).
令Δ= x2- x1>0，则对满足2
t>f ( x1)的任意t <0，有f ( Δ+t )>f ( x2).
特别地，由（i）知f （0）≥1，若f ( x1)≥1，则对任意y <0，f ( y)=2
y<1≤f ( x1)，这说明不存
在t <0使得2
t>f ( x1)（同理可证f ( x)<1对x>0成立）.
故可取t充分接近0，使得2
t>f ( x1)，此时Δ+t可无限逼近Δ.
利用条件①的逆否命题，若构造d使得f ( x1+d )>f ( x1)且f ( x2+d)≤f ( x2)，即可推翻
D( x1)⊆D( x2).
由于0< x1< x2，区间平移后必然存在某点使得函数值关系反转，打破包含关系，从而导出矛盾.
∴假设不成立，f ( x)在(0,+∞)单调递增.
2.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)={
- x
2-2ax -a,
x<0
e
x+ ln( x +1),
x ≥0，在R上单调递增，则a取值的
范围是（ ）
A. (-∞,0]
B. [-1,0]
C. [-1,1]
D. [0,+∞)
【答案】B
【解析】【侧重说明】本题在x ≥0段利用了指数函数y =e
x单调递增的性质，从而确定该段函数整
体单调递增，进而转化为分段点处的不等式问题.
因为f ( x)在R上单调递增，且x ≥0时，f ( x)=e
x+ ln( x +1)单调递增，
则需满足{
-2a
2×(-1) ≥0
-a≤e
0+ ln1
，解得-1≤a≤0，
即a的范围是[-1,0].
故选：B.
3.（2024·全国一卷）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a的切线，则
a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】ln 2
【解析】【侧重说明】本题利用了自然指数函数y =e
x的导数仍为e
x这一核心性质，求出切线斜率.
由y =e
x+ x得y
' =e
x+1，y
'|x =0=e
0+1=2，
故曲线y =e
x+ x在(0,1)处的切线方程为y =2 x +1；
由y = ln( x +1)+a得y
' =
1
x +1，
设切线与曲线y = ln( x +1)+a相切的切点为( x0,ln( x0+1)+a)，
由两曲线有公切线得y
' =
1
x0+1 =2，解得x0=- 1
2，则切点为(- 1
2 ,a+ ln 1
2 )，
切线方程为y =2( x + 1
2 )+a+ ln 1
2 =2 x +1+a- ln 2，
根据两切线重合，所以a- ln2=0，解得a= ln2.
4.（2025·全国一卷）若实数x，y，z满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z的大小
关系不可能是（ ）
A. x> y > z
B. x> z> y
C. y > x> z
D. y > z> x
【答案】B
【解析】【侧重说明】本题将对数连等式转化为指数幂的形式，利用指数函数y =a
x的图像特征与
单调性直观比较大小.
设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以，x =2
m-2, y =3
m-3, z =5
m-5
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y =2
x -2, y =3
x -3, y =5
x -5的图象，以上方程的根分别是函数y =2
x -2, y =3
x -3, y =5
x -5的图
象与直线x =m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x> y > z，y > x> z，y > z> x，z> y > x，
故选：B.
5.（2025·全国一卷）若直线y =2 x +5是曲线y =e
x+ x +a的切线，则a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】4
【解析】【侧重说明】本题利用了自然指数函数求导法则(e
x)
' =e
x，进而结合导数的几何意义求解
切点.
对于y =e
x+ x +a，其导数为y
' =e
x+1，
因为直线y =2 x +5是曲线的切线，直线的斜率为2，
令y
' =e
x+1=2，即e
x =1，解得x =0，
将x =0代入切线方程y =2 x +5，可得y =2×0+5=5，
所以切点坐标为(0,5)，
因为切点(0,5)在曲线y =e
x+ x +a上，
所以5=e
0+0+a，即5=1+a，解得a= 4.
6.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)= x +2
e
x+a的最大值为1，则a=（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
【答案】B
【解析】【侧重说明】本题在求导过程中运用了指数函数的求导法则，并在后续分析中利用了指
数函数y =e
x的值域恒大于0的性质.
由题意知f ( x)= x +2
e
x+a，求导得f
'( x)= 1⋅(e
x+a)-( x +2)e
x
(e
x+a)
2
= a-( x +1)e
x
(e
x+a)
2
.
令g( x)=a-( x +1)e
x，则g
'( x)=-( x +2)e
x.
当x>-2时，g
'( x)<0，g( x)单调递减；当x<-2时，g
'( x)>0，g( x)单调递增.
假设f ( x)在x0处取得最大值1，则必有f
'( x0)=0，即a=( x0+1)e
x0.
同时f ( x0)= x0+2
e
x0+a
=1，即x0+2=e
x0+a.
将a代入得x0+2=e
x0+( x0+1)e
x0=( x0+2)e
x0.
若x0+2=0，则x0=-2，此时a=-e
-2，代入原函数得f (-2)=0≠1，矛盾.
∴x0+2≠0，从而e
x0=1，解得x0=0.
此时a=(0+1)e
0=1.
检验：当a=1时，g( x)=1-( x +1)e
x，g（0）=0.
当x<0时，g( x)> g（0）=0，f
'( x)>0，f ( x)单调递增；
当x>0时，g( x)< g（0）=0，f
'( x)<0，f ( x)单调递减.
∴f ( x)在x =0处取得最大值f （0）=
2
1+1 =1，符合题意.
