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第五章 平面向量与复数（高效培优综合训练）（全国通用）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数
，则复数
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量
，
，若
与
平行，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．2
C．
D．
4．已知向量
在向量
上的投影向量为
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在平行四边形
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
，
，命题
，命题
与
夹角为钝角，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在
中，
分别为
的中点，
为
上一点，且满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．设
，
均为模是1 的复数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大值为5
10．已知非零向量
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
则
C．若
，则
D．向量
与向量
垂直
11．已知向量
，
，满足
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知复数
在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是 ．
13．已知
，
，且
，则
．
14．已知
中，点
，
分别是知
的重心和外心，且
，
，则边
的长为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知复数
，
，其中i 为虚数单位，且满足
，且
为纯虚数.
(1)若复数
，
在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求
；
(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程
的一个根，求实数m，n 的值.
16．（15 分）
已知平面向量
，且与
的夹角等于与
的夹角.
(1)求
的值；
(2)设
，且
，若
在
方向上的投影向量为
，求
的值.
17．（15 分）
如图，扇形
的面积为
，且
.
(1)求
.
(2)若
，且
，求
，
的值.
(3)在弧
上是否存在点
（不与
重合），使得
.若存在，求的值；若不存在，
请说出理由.
18．（17 分）
如图，等腰
中，
为
边的中点，
为
边上靠近点
三等分点，
为线段
的一点，且
过点
的直线与边
分别交于点
，已知
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
19．（17 分）
定义向量
，
.
(1)求
；
(2)若
与
共线，求
；
(3)证明：当且仅当
时，
对任意
恒成立.
