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第五章 平面向量与复数（高效培优综合训练）（全国通用）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数
，则复数
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方、乘法运算求出
，进而求出其共轭复数.
【详解】
，则
，
所以
.
故选：A
2．已知向量
，
，若
与
平行，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标关系即可求解.
【详解】
，
，
根据
与
平行，可得
，解得
.
故选：A
3．已知向量
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】求得未知向量的坐标，根据投影向量的计算公式，可得答案.
【详解】由
，则
，
所以向量
在向量
上的投影向量
.
故选：D.
4．已知向量
在向量
上的投影向量为
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设向量
与向量
的夹角为
，根据投影向量的定义求出
的值，然后利用平面向量数量积的
运算性质可求得
的值.
【详解】设向量
与向量
的夹角为
，因为
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
，则
，
所以
.
故选：D.
5．在平行四边形
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示
即可.
【详解】因为在平行四边形
中，
，所以
，
因为
是
的中点，所以
，即
，
，
根据向量的加法法则，
，
故选：B.
6．
，
，命题
，命题
与
夹角为钝角，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设两向量的夹角为
，根据
计算出
的取值范围即可求解.
【详解】设
、
夹角为
，
，
若
，则有
，则
，
则有
，所以
与
夹角为钝角或平角，
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
7．如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧
的方程为：
，设
，根据向量的坐
标运算法则算出
关于
的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意，以
所在直线为
轴，
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得
，
，
，
半圆弧
的方程为：
，
设
，则
，
，
，
由
得：
，
解得：
，
所以
，
因为
在
上，所以
，
又
，
则可设
，
，
，
将
，
代入
整理得：
由
得
，
所以
，
，
故
的取值范围是
.
故选：D.
8．如图，在
中，
分别为
的中点，
为
上一点，且满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】过点
作
，用
表示线段
长，结合给定图形借助向量加法、数量积的运算律及
定义计算即得.
【详解】过点
作
于
，令
，由
，得
，
，由
分别为
的中点，得
，
，
所以
.
故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．设
，
均为模是1 的复数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大值为5
【答案】BC
【分析】根据题设，复数
和
均为模是1 的复数，意味着它们在复平面上表示的点位于单位圆上，利用
这一性质，可以对各选项进行分析，从而找出正确的选项．
【详解】对于A，设
，
，则
，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，设
，
，
则
，
所以
，
，
，所以
，故C 正确；
对于D，
的几何意义为复平面内以
为圆心的单位圆上的点到
的距离，
因为圆心
到点
的距离为5，则最大值为6，故D 错误．
故选：BC．
10．已知非零向量
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
则
C．若
，则
D．向量
与向量
垂直
【答案】ABD
【分析】对A，根据条件，利用数乘向量的定义得到
，即可判断；对B，根据条件，利用数量积的
运算律及模的定义，即可判断；对C，根据条件，利用数量积的定义，得到
，即可判
断；对D，根据条件，结合数量积的运算律，得到
，即可求解.
【详解】对于A，因为
为非零向量，若
，则
，故
，故A 正确；
对于B，若
，
则
，故
，故В 正确；
对于C，若
，则
，
得到
，不能确定
，故C 错误；
对于D，
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
11．已知向量
，
，满足
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】BC
【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设
，
，
，通过
，可
求出是以原点为起点，终点在以
为圆心，
为半径的圆上的向量.根据向量模长的坐标
运算可判断
项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断
项，根据圆内一点
到圆
上一
点距离的范围为
可判断
，
项.
【详解】根据题意不妨设
，
，
，
则
，
，所以
，
化简得
，记为圆
，即是以原点为起点，终点在以
为圆心，
为半径的圆上的向量.
对于
，
，所以
，故
错误；
对于
，
表示原点
到圆
上一点的距离，
因为原点
在圆
上，所以
的最大值为圆
的直径，即
，故
正确；
对于
，
，
表示点
到圆
上一点的距离，
因为点
在圆
内，所以
的最小值为
,
的最大值为
，故
正确，
错误.
故选：
.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知复数
在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】整理得到不等式组，解出即可.
【详解】由于
，
故点
位于第四象限，因此
，解得
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
.
13．已知
，
，且
，则
．
【答案】
【分析】通过向量垂直的条件得出等式，再利用向量模长和数量积的关系求解即可.
【详解】由题意得
，
，即
，
又
、
，
，即
，
解得
．
故答案为：
.
14．已知
中，点
，
分别是知
的重心和外心，且
，
，则边
的长为
.
【答案】
【分析】延长
交
于点
，过点
作
于点
，作
于点
.将
用
表示，根
据向量数量积的几何意义化简已知式，推得
，再由
利用向量数量积的运算律求
得
，最后利用
和已得结论求
即可.
【详解】
如图，延长
交
于点
，过点
作
于点
，作
于点
.
因点
，
分别是知
的重心和外心，则
，
,
则
，则
，
即得
，
又由
和
，可得
，
整理得
，解得
，
因
，
则
，
即边
的长为
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知复数
，
，其中i 为虚数单位，且满足
，且
为纯虚数.
(1)若复数
，
在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求
；
(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程
的一个根，求实数m，n 的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
，
【分析】（1）由
为纯虚数，求得
，再由
，且在复平面内对应点在第一象限，可求得结果，
（2）将
分别代入计算化简即可，
（3）法一：将
代入
化简，再利用复数相等的条件可求得实数m，n 的值，
法二：由题意可得
和
为方程的根，然后利用根与系数的关系可求得结果.
【详解】（1）因为复数
，
，所以
，
又
为纯虚数，所以
，
又
，所以
，
又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，
所以
，故
.
（2）由（1）可知
当
时，
，
当
时，
.
（3）法一：由（1）可知
是关于x 的方程
的一个根，
所以把
，代入
得
，
化简得
，
即
，解得：
，
法二：由（1）可知
是关于x 的方程
的一个根，
所以此方程的另一根为：
，则
，
解得：
，
16．（15 分）
已知平面向量
，且与
的夹角等于与
的夹角.
(1)求
的值；
(2)设
，且
，若
在
方向上的投影向量为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量加法坐标运算和两向量的夹角坐标公式计算参数的值；
（2）先根据向量加法和数量积坐标运算得
，再根据投影向量的坐标运算计算参数值；
【详解】（1）∵向量
，
又∵与
的夹角等于与
的夹角，
∴
，∴
，
∴
＝
，解得
（2）根据(1)知
，
，
因为
，得
，解得
，则
，
，
在
方向上的投影向量为
，
所以
，则
，解得
.
17．（15 分）
如图，扇形
的面积为
，且
.
(1)求
.
(2)若
，且
，求
，
的值.
(3)在弧
上是否存在点
（不与
重合），使得
.若存在，求的值；若不存在，
请说出理由.
【答案】(1)
(2)
，
(3)存在，
，理由见解析；
【分析】（1）利用扇形的面积公式即可；
（2）利用向量的线性运算将
化简为
，即可列方程组求解；
（3）以
为原点建系，设
，再通过关系式得出
与的关系式，利用
即可求得的值，再结合
的范围即可.
【详解】（1）由题意可得，
，则
.
（2）因
，则
，则
，
因
，则
，
解得
，
.
（3）设存在，
以
为原点，
所在直线为
轴，和
垂直的直线为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，
设
，
则由
，可得
，即
则
，
即
，得
或
，
因
，则
，则
，则
，
故存在
，使得
.
18．（17 分）
如图，等腰
中，
为
边的中点，
为
边上靠近点
三等分点，
为线段
的一点，且
过点
的直线与边
分别交于点
，已知
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）利用向量共线定理以及向量的线性运算来建立等式关系，通过对比系数得到关于
和
的方
程组，最后消去参数
得出
的值.
（2）先根据三角形面积关系得出
与
的关系，再联立已知等式求解
和
的值，进而求出线段长度，然
后利用余弦定理求出
和
，最后通过向量运算求出
的值.
【详解】（1）因为
三点共线，
所以存在
使得
，
又
，
因为
不共线，所以
两式消去
得
.
（2）由
得
，所以
，
由（1）得
，联立解得
.
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以在
中，由余弦定理得
，
因为
为
边的中点，所以
，
所以
.
又
，
所以
.
19．（17 分）
定义向量
，
.
(1)求
；
(2)若
与
共线，求
；
(3)证明：当且仅当
时，
对任意
恒成立.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）按题目所给定义带入相应值求解；
（2）根据两共线向量的坐标关系列出等式，再利用同角三角函数商的关系、二倍角的正切公式进行计算
即可.
（3）按题目所给定义将不等式化简为证明
，当
时，不等式对
成立，
当
时方法一与方法二均为取特值说明不等式不恒成立.
【详解】（1）因为
，
，
所以
.
（2）因为
与
共线，所以
，
因为
，所以
，
，所以
，
所以
.
（3）因为
，
，
要证
，只要证
.
方法1：①当
时，
对
成立，
②当
时，取
，
，解得
，
取
，
，所以
，
，即
，
，
又因为
，
，所以不存在
使原不等式成立.
综上所述，当且仅当
时，
.
方法2：令
，
，则
，
①当
时，
成立，
②当
时，取
，
，
，而
，
所以
.
③当
时，取
，
，
，而
，
所以
.
④当
时，取
，
，
，而
，所以
.
综上所述，当且仅当
时，
.
