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重难专攻（十四）求数列的通项公式
目录●重难点题型分布
重难点题型1 公式法
利用等差数列等比数列的概念定义、中项性质之间的关系求解通项公式
如：（1）、一次函数为等差数列
（2）、二次函数无常数项为等差数列求和公式
（3）、指数型函数为等比数列（或等比数列求和公式）
1．（2025·北京·高考真题）已知
是公差不为零的等差数列，
，若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．18
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（2025·江苏南通·三模）在等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．36
B．
C．
D．6
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，已知
，则数列
的公差
为（ ）
A．-2
B．1
C．2
D．3
5．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列
满足
，
，
，
成等差数列，则其公比为
.
6．（2023·全国乙卷·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
7．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列
满足公差
．
(1)求
；
(2)记数列
的前
项和为
，若
，求数列
中的最小项．
8．（2025·上海·模拟预测）已知数列
为等差数列，
是公比为
的等比数列，且
(1)证明:
;
(2)若集合
，求集合
中所有元素的和.
重难点题型2 累加法
形如
型的递推数列（其中
是关于
的函数）可构造：
将上述
个式子两边分别相加，可得：
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·四川·模拟预测）已知数列
中，
，
（
，且
），则通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列
的首项
，且
，则
（ ）
A．810
B．820
C．830
D．840
12．（2025·河北张家口·一模）已知数列
满足
，
且
，则
.
13．数列
满足
，且
，则数列
的前2024 项和为 .
14．（2025·山东枣庄·二模）在数列
中，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
的最大值.
15．（2025 高三上·山东·月考）已知数列
为正项数列，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
16．（2024·广东·二模）数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前n 项和．
重难点题型3 累乘法
形如
型的递推数列（其中
是关于
的函数）可构造：
将上述
个式子两边分别相乘，可得：
17．（2025·福建厦门·二模）已知数列
满足
，
，则
的前6 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2023·河南·模拟预测）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．4045
D．4047
19．（2025·四川德阳·二模）数列
中，满足
，
，则
．
20．（2024·四川泸州·三模）已知
是数列
的前
项和，
，
，则
.
21．（2025 高三下·江苏南通·月考）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
22．（2022·福建南平·三模）已知数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
满足
，
．设
为数列
的前n 项和，求
．
23．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差
数列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
重难点题型4 已知前n 项和，求通项公式
（1）、已知Sn 求an 的常用方法是利用
=
转化为关于an 的关系式，再求通项公式.
（2）、Sn 与an 关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
方向3：若存在 ，则令 ，再利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，
an-1的关系式，再求解。
24．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列
的前
项和
，则
（ ）
A．153
B．161
C．163
D．238
25．（2025·北京丰台·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
26．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
27．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列
的前
项和为
，数列
是首项为1、公差为1 的等差数列，
若
，则
.
28．（2025·湖南常德·模拟预测）记
为数列
的前
项和，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差
为的等差数列，求数列
的前2025 项和.
29．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，
∑
i=1
n
aibi= f (n)
Sn=∑
i=1
n
aibi
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
30．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
31．（2024·江西宜春·模拟预测）数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
．
重难点题型5 已知前n 项的积，求通项公式
（1）、T n与an关系问题求解思路（其中T n为an的前n 项积） T 1=a1 , an= T n
T n−1
方向1：若已知T n与n 的关系，可利用T n
T n−1
=an转换为an的即可求解.
方向2： 若已知T n与an的关系，可利用T n
T n−1
=an替换an，先求解T n，再转换为an即可求解
32．（2025·辽宁·一模）设
是各项都为正数的递增数列，已知
，且
满足关系式
.
(1)求
及数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项积
.
33．已知数列
的前
项的积记为
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
34．（2025·河南·二模）记
为正项数列
的前
项积，且
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，求数列
的前
项和.
35．（2025·江西·一模）已知数列
满足
.
(1)若
为递增数列，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：数列
是等比数列，并求数列
的前
项之积
.
36．（2024 高三上·湖北·期中）记
是各项均为正数的数列
的前
项积，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
.
重难点题型6 构造法（1）
37．（2025·云南昆明·模拟预测）设
为数列
的前n 项和，当
时，
，已知
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求
．
38．已知数列
满足
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
．
①求
；
②若
，
成立，求
的取值范围．
39．（2025·河南·二模）已知数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
的前
项和为
，求证：
.
40．（2024 高三下·四川成都·月考）已知数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)已知
，求数列
的前
项和．
41．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列
满足
，
.
(1)设
，求
的值，使得对于任意
且
，都有
；
(2)求证；
.
重难点题型7 构造法（2）
42．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
为数列
的前
项
和．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前
项和
．
43．（2023·全国·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为1 的等差数列.
(1)证明数列
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)若
，
是数列
的最大项，求正整数k 的值.
44．（2024 高三上·浙江·开学考试）在数列
中，
，
的前
项为
．
(1)求证：
为等差数列，并求
的通项公式；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
45．（2023·江苏·三模）已知数列
满足
，
，
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列
，
，使得
成立．
46．（2023·广东潮州·二模）已知数列
满足
，
.
(1)证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和
，求证：
.
47．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
；
(2)求数列
的前n 项和
．
重难点题型8 奇偶求通项公式
48．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知数列
满足
，且
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，求使得不等式
成立的n 的最小值．
49．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列
的前n 项和为
，满足
，
，
数列
满足
，
，且
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设
，
为
的前n 项和，求
.
50．已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
、
、
的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列
的前
项和．
51．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且满足
，若
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
（ⅰ）试比较
与
的大小，并说明理由；
（ⅱ）若数列
的前项和为
，求证：
.
52．（2025·浙江嘉兴·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
53．（2025 高三下·江苏南通·开学考试）已知数列
的前
项和为
，若
，
(1)求
；
(2)若
，
为数列
的前
项和，求
.
54．（2024·福建厦门·三模）设
为数列
的前
项和，已知
，且
为等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
重难点题型9 特征根求通项公式
当我们遇到
这种类型的二阶线性递推公式时，可以用特征根法来求通项.
第一步，构造特征方程
，并求出特征方程的根；
第二步，若上一步的特征方程有2 个不同的实根
和
，则
，再利用
和
来求出
系数A 和B；若上一步的特征方程有2 个相同的实根
，则
，再利用
和
来求出系数
A 和B.
55．已知数列{
}
na
满足
*
1
2
2
1
2,
3,
3
2
(
)
n
n
n
a
a
a
a
a n
N
，求数列{
}
na
的通项
na ．
56．已知数列{
}
na
满足
*
1
2
2
1
1,
2,4
4
(
)
n
n
n
a
a
a
a
a n
N
，求数列{
}
na
的通项
na ．
57．已知数列{
}
na
满足
1
1
1
2
2,
(
2)
2
1
n
n
n
a
a
a
n
a
，求数列{
}
na
的通项
na ．
58．已知数列{
}
na
满足
*
1
1
2
1
2,
(
)
4
6
n
n
n
a
a
a
n
N
a
，求数列{
}
na
的通项
na ．
重难点题型10 其它
59．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列
的前n 项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
60．（2025·河北·模拟预测）正项数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
61．（24-25 高三下·重庆·月考）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商
功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，…，设第n
层有
个球，从上往下n 层球的总数为
，则（ ）
A．
B．
C．数列
的前n 项和的值可能为
D．
62．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，
即一个数列
本身不是等差数列，但从数列
中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
，则称数列
为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列
：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则
；
．
63．（2025·贵州毕节·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，
创造并发展了“垛积术”的算法．在2015 年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”
形的装饰品，其中第1 堆只有1 层，就1 个乒乓球；第
堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固
定摆放，从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第
堆第
层就放一个乒乓球．记第
堆
的乒乓球总数为
．
(1)求
；
(2)求
的表达式；
(3)数列
满足
，求
的通项公式．
参考公式：
．
64．（2025 高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列
对于任意
都有
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)设数列
前n 项和为
，求
．
(3)证明：
，
．
65．（24-25 高三上·浙江·期中）每个正整数
有唯一的“阶乘表示”为（
，
，…，
），这些
满足
，其中每个
都是整数，且
，
.
(1)求正整数3，4，5，6 的“阶乘表示”；
(2)若正整数
对应的“阶乘表示”为（
，
，…，
），正整数
对应的“阶乘表示”（
，
，…，
）
，其中
，求证：
；
(3)对正整数
，记
，
表示不超过
的最大整数，数列
前
项和为
，
若
，当
最小时，求
的值.
66．（23-24 高三下·天津·月考）已知数列
是等差数列，
，
，数列
的前n 项和
为
，且
，
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若集合
中恰有四个元素，求实数
的取值范围；
(3)设数列
满足
，
的前n 项和为
，证明：
．
67．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）将正整数1，2，3，…，n 的任意一种排列得到的有限数列记作
，若
对
，均有
，则称该数列
为“n 元全错位数列”，记“n 元全错位数列”的个数为
，
如正整数1，2，3 所对应的“3 元全错位数列”有2，3，1 和3，1，2，得
．
(1)求
；
(2)求证：
是等比数列；
(3)求证：
．
68．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对
，都有
，则称
与
为“ 级相邻数
列”．
(1)设
的前n 项和
，且
，试判断
与
是否为“2 级相邻数列”，并说
明理由；
(2)若
，且为“4 级相邻数列”，求k 的取值范围；
(3)已知
，由数列
的所有项组成的集合M 中恰好有2 个元素，若
与
为“1 级相邻数列”，求满足条件的数列
的组数（用数字作答）．
