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核心4 函数性质与图像
一．单选题.
【求函数的单调区间 2024 年河南安阳二模】
1．函数
的单调增区间是（ ）.
A．
B．
C．
D．
，
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，
又
的图象是由
向右平移
个单位而来，
的单调递增区间为
，
，
所以
的单调递增区间为
，
.
故选：D
【根据函数的单调性求参数值 2025 江苏盐城·期末】
2．已知
，对
都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
变形得
，构造函数
,
进而根据二次函数
的单调性求参数.
【详解】由
，得
，则
，
设函数
，则对
都有
成立，
所以函数
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，则
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将
变形为
，从而构造函数
.
【根据图像判断函数单调性 2025 年黑龙江哈尔滨·阶段练习】
3．设定义在
上的函数
的图象如图所示，则关于函数
的单调区间表
述正确的是
A．在
上单调递增
B．在
上单调递减，在
上单调递增
C．在
上单调递增
D．在
上单调递增
【答案】B
【分析】根据图象，逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】根据图象可知，当
时，
，
时，
，所以在
上不单调递增，A 不正确；
当
时，
，又
时，
单调递增，
单调递减，
时，
减，则
单调递增，所以B 正确；
故选B.
【点睛】本题考查了识别函数的性质，重点考查已知函数
的单调性，求
的单调
性，不仅需分析原函数的单调性，还需分析原函数的正负区间，单调区间不能跨越零点.
【复合函数的单调性 2025 江西九江·模拟测试】
4．函数
的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间，利
用二次函数的性质可得
在定义域 内的单调减区间．
【详解】令
，求得
，故函数的定义域为
，
本题即求在
内的减区间．
利用二次函数
的性质开口向下，对称轴
，可得在
内的减区间为
，
即函数
的单调减区间为
，
故选:B．
【根据函数的单调性解不等式 2025 广东湛江期末】
5．已知定义域为
的增函数
满足
，且
，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性，再求解不等式.
【详解】因为
，且
，
令
，得
；
又因为
，
所以
即
因为
在
为增函数.
所以
解得
或
.
即不等式的解集为
故选：A
【比较函数值的大小关系 2025 新疆昌吉·期末】
6．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，求出
的取值范围即可比较大小.
【详解】因
，
，
，
故
.
故选：B.
【利用函数单调性求最值或值域 2025 福建泉州·期中】
7．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数单调性可得函数的值域.
【详解】由
得
且
.
∵
在
上为减函数，
在
上为增函数，
∴
在
上均单调递减.
当
且
时，
，当
时，
，
∴函数
的值域为
.
故选：D.
【根据函数的最值求参数 2024 广东广州二模】
8．已知
，函数
在区间
上的最大值是5，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由对勾函数的单调性可得
，分
，
，
三种情况讨论
即可.
【详解】因为
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
当
时，
，
函数的最大值
，所以
，舍去；
当
时，
，符合题意；
当
时，
，
则
或
，
解得
或
，
综上，实数
的取值范围是
.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得
，通过对解析式中绝对值符号的处理，
进行分类讨论，分
，
，
三种情况逐一分析.
【由奇偶性求函数解析式 2025 辽宁盘锦·阶段模拟】
9．已知函数
是定义域为
的偶函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得.
【详解】当
时，
，则
，
∵函数
是定义域为
的偶函数，∴
，
∴
.
故选：A.
【抽象函数的奇偶性 2024 浙江杭州一模】
10．已知对任意x，
，都有
，且
，那么
（ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．是偶函数但不是奇函数
【答案】D
【分析】令
，结合
可求得
的值，再令
即可判断
的奇偶
性.
【详解】令
，有
，
因为
，所以
，
再令
，得：
，
所以
，又
，
所以
是偶函数.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键.
【函数图象的应用 2024 江苏徐州二模】
11．定义：
表示
中的较小者.若函数
在区间
上的取值范围为
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先作出
的图象，然后分析
时
的取值，根据值
域结合图象确定出
的最大值.
【详解】在平面直角坐标系中作出
的图象如图所示，
令
，解得
或
，所以
，
令
，解得
，所以
，
由题可知，当
在区间
上的取值范围为
时，
当且仅当
时
取得最大值，且最大值为
，
故选：B.
【函数图像的识别 2024 新疆乌鲁木齐阶段测试】
12．函数
在区间
上的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对比四个函数图像，发现
处函数值不同，所以取特殊函数值排除两个选项，
函数值域不同，通过求函数值域的大概范围排除不正确选项，然后的结果.
【详解】由
，知A，C 错误；
当
时，由
，知B 错误．
故选：D．
【判断函数的对称性 2025 安徽芜湖期末】
13．设函数
，则（ ）
A．
关于
对称
B．
关于
对称
C．
关于
对称
D．
关于
对称
【答案】D
【分析】根据函数对称性的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，因为
，
所以
不关于
对称，故A 错误.
对选项B，因为
，
所以
不关于
对称，故B 错误.
对选项C，因为
，
，
，
所以
不关于
对称，故C 错误.
对选项D，因为
，
所以
关于
对称，故D 正确.
故选：D
二．多选题.
【函数不等式恒成立问题 2025 广东深圳·期中】
14．已知对任意的
，不等式
恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最小值为8
D．
的最小值为
【答案】BC
【分析】由
时，转化为
恒成立，显然不成立；得到
，然后令
，再同一坐标系中作出其大致图象，得到
逐项判断.
【详解】当
时，对任意的
，不等式
恒成立等价于对任意的
，
不等式
恒成立，显然不成立；则
，故B 正确；
令
，再同一坐标系中作出其大致图象，如图所示：
则
，解得
，故A 错误；
，当且仅当
，即
时，等号成立，故C 正确；
，因为
，所以取不到
，故D 错误；
故选：BC
【函数对称性的应用 2024 河北承德期末测试】
15．已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，当
时，
，
则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的奇偶性结合“赋值法”可求
，判断A 的真假，根据奇函数的性质，
可判断B 的真假；根据函数满足的条件，递推可判断C 的真假，再结合奇函数的性质，可
判断D 的真假.
【详解】对A：因为
为奇函数，所以
，
令
，则
，A 正确．
对B：由
，得
，则
，即
的图象关于点
对称，B 错误．
对C：当
时，
，则
，
，
，故C 正确；
对D：根据C 选项，递推可得：
，因为
，
所以
，则
，得
，故D 正确．
故选：ACD
【函数周期性的应用 2024 河北承德二模】
16．已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下
列说法错误的是（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
为奇函数
D．函数
的图象关于点
对称
【答案】ABC
【分析】根据题意推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数
的定义及对称性意义判断CD.
【详解】对于A，由
，得
，则
，函
数
的周期为4，A 错误；
对于B， 由
为偶函数，得
，且
，
函数
的图象关于直线
对称，关于点
对称，B 错误；
对于C，由选项B 知，
，则函数
为偶函数，C 错误；
对于D，由
，
，得
，
则
，函数
的图象关于点
对称，D 正确.
故选：ABC
【抽象函数的值域 2024 广东广州二模】
17．已知函数
的定义域为
，值域为
，则下列函数的值域也为
的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，结合图象变换判断AC；求出函数值域判断BD.
【详解】对于A，
的图象可看作由
的图象向左平移一个单位得到的，值域
不变，A 正确；
对于B，由
，得
，即
的值域为
，B
错误；
对于C，函数
与函数
的图象关于
轴对称，
则函数
的值域与函数
的值域相同，为
，C 正确；
对于D，由
，得
，即
的值域为
，D 错
误.
故选：AC
【根据函数图象选择解析式 2024 山东菏泽·三模】
18．如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】根据图象用特殊值验证、排除可得答案.
【详解】由图象可知当
时，
，
而A 中函数当
时，
，
B 中函数当
时，
，故A 和B 不可能；
C 中函数的定义域是
，与图象不符，故C 不可能.
对于
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，所以D 符合，
故选：ABC.
【点睛】本题考查了函数图象的性质，属于基础题.
三．填空题.
【复合函数的最值 2024 浙江金华二模】
19．函数y=
+
的最大值为 .
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由
，解得
，
即函数的定义域为
，
，
当
时，
取得最大值，
即
.
故答案为：
【由奇偶性求参数 2025 辽宁丹东·期末】
20．已知函数
为奇函数，则
.
【答案】2
【分析】根据奇函数的性质得到
，然后解方程求解.
【详解】因为
为奇函数，所以
，解得
或
，
当
时，
，成立；
当
时，
，
，
，故不成立，
所以
.
故答案为：2.
【函数周期性的应用 2024 河北唐山二模】
21．若偶函数
对任意
都有
，且当
时，
，则
．
【答案】
##0.125
【分析】由题设可得偶函数
的周期为6，利用周期性求函数值即可.
【详解】由题设
，即偶函数
的周期为6，
所以
.
故答案为：
【根据函数的单调性解不等式 2024 上海闵行三模】
22．函数
在
上单调递增，且
恒成立，则关于
的不等式
的解集为
【答案】
【分析】根据题意可得函数关于
对称，利用对称性可知函数在
单调递减，从而
不等式转化为
，解绝对值不等式即可.
【详解】
恒成立，
函数关于
对称，
函数
在
上单调递增，
函数在
单调递减，
关于
的不等式
，
，
解得
，
即
或
，解得
，
故不等式的解集为
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查解抽象函数的不等式，考查可对称性的应用，考查了转化与化归的
思想，属于中档题.
【由周期性求函数的解析式 2024 西藏日喀则二模】
23．设奇函数
的定义域为
，且
，当
时
，则
在区间
上的表达式为 .
【答案】
【分析】当
时，
，代入已知函数解析式中，得
，
再结合函数的周期和函数为奇函数可求得结果.
【详解】当
时，
，
又∵当
时，
，
又
，
函数
的周期为
，
又∵函数
是
上的奇函数，
，
，
当
时，
．
故答案为：
【函数性质的综合应用 2024 安徽宣城一模】
24．已知偶函数
满足
，当
时，
，若在区间
内，函数
有四个零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】判断函数
的周期，作出其图象，继而将原问题转化为函数
，
在
内的图象有四个交点问题，列出需满足的不等式，求得答案.
【详解】由题意知偶函数
满足
，即
，
故2 为函数的周期；
结合当
时，
，
可作出
时的
的图象如图：
在区间
内，函数
有四个零点，
可转化为函数
，
在
内的图象有四个交点问题，
结合图象可知需满足
，
即实数
的取值范围是
，
故答案为：
【函数不等式能成立问题 2025·江西景德镇·二模】
25．已知二次函数
与一次函数
，若
，不等式
在
上总存在实数解，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题可得
，不等式存在解，转化为求解不等式左边的最大值.构建函
数
，得到函数在
的单调性，从而知道函数在
内的值域，当
时，
取最小，建立不等式，求得
的取值范围.
【详解】依题意
在
上总存在实数解，
∴
．
∵
，∴
在
上单调递增，
∴
，由于
，
∴当
时，
达到最小，即
，
∴
，解得
．
故答案为：
【点睛】方法点睛，不等式存在解（恒成立）的问题，一般转换为求不等式的最值来建立
新的不等式，然后求得参数范围.
试题特点分析：函数图像性质试题具有综合性强、注重实际应用、强调图像分析能力、
需要创新思维等特点，并且整体难度较高。考生在备考时应注重培养这些方面的能力，以
便更好地应对考试.
解题方法阐述：解决函数图像性质的题目需要综合运用数学知识，理解函数图像与几何
图形的关系，掌握基本性质，通过大量的练习来积累解题经验，并对解题过程进行总结和
反思。注意归纳不同类型题目的一般解题思路和方法.
解题经验分享：首先，必须深入理解集合和不等式的定义、性质以及它们之间的关系.其
次，掌握一些常用的解题技巧.第三，通过大量的练习来巩固知识和技能，可以选择一些典
型的题目进行分析和解答.
