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第4 讲 基本不等式及其应用·分类练习
考点一：基本不等式的理解与证明
考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件
1.已知
，
都是正数，且
，则下列选项不恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2026·湖北随州·三模）已知
，
，则“
”是“
”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.（2026·湖北圆创·一模）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 若
，则
的最小值为2
B. 若
，则
的最大值为
C. 若
，且
，则
的最大值为
D. 若
，则
的最小值为2
考法2：利用几何意义理解基本不等式
4.数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等
腰直角三角形
中，点
为斜边
的中点，点
为斜边
上异于顶点的一个动点，
设
，
，用该图形能证明的不等式为（ ）
A.
B.
C.
D.
考法3：利用基本不等式证明不等式
5.（2026·山东师大附中·3 月检测）已知实数
，
满足
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6.利用基本不等式证明：已知
都是正数，求证：
．
7.已知
，
，
为正数，证明：
（1）若
，则
；
（2）若
，则
．
8.已知函数
，若
的解集为
．
（1）求实数
，
的值；
（2）已知
均为正数，且满足
，求证：
．
考点二：基本不等式求最值
考法4：利用直接法求和与积的最值
9.（2025·河北保定·二模）已知
，
是非零实数，则
的最小值为（ ）
A. 6
B. 12
C. 2
D. 4
10.（2026·河北NT20·5 月检测）若
，且
，则
的最小值为
（ ）
A. 12
B. 16
C.
D.
11.（2024·深圳高级中学·二诊）已知
都是正实数，
，则
的最小值为
（ ）
A. 2
B.
C.
D.
12.（多选）若实数
，
满足
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
13.（2025·安徽淮北·二模）若实数
和
的等差中项为1，则
的最小值为＿＿＿＿
＿＿．
14.（2026·山东东营·二模）若
，且
，则
的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
考法5：利用凑配法求最值
15.（2026·浙江精诚·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C. 5
D. 9
16.若
，则
的最小值为＿＿＿＿＿＿．
17.若
，则
的最小值为＿＿＿＿＿＿．
考法6：利用“1”的代换求最值
18.（2026·山东泰安·二模）当
时，
的最小值是（ ）
A. 3
B. 4
C.
D.
19.（2025·河北沧州·二模）若正数
，
满足
，则
的最小值是
（ ）
A.
B.
C. 5
D. 6
20.（2025·江西上饶·二模）（多选）若正实数
满足
，则（ ）
A.
的最大值是
B.
的最小值是9
C.
的最大值是
D.
的最小值是
21.（2026·安徽A10·最后一卷）已知
，且
，则
的最小值为＿
＿＿＿＿＿．
考法7：利用换元法与消元法求最值
22.已知正实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A. 2
B.
C.
D. 6
23.（2025·河北衡水·3 月联考）已知正数
满足
，则
的
最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
24.（2026·湖南·3 月联考）若
，且
，则
的最小值为（ ）
A. 12
B. 16
C.
D.
25.（2026·广东江门·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（
）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
26.（2026·安徽滁州·一模）（多选）下列选项正确的有（ ）
A. 若
，则
最小值为
B. 若
，则
最小值为3
C. 若
，则
的最小值为5
D. 若
，
则
的最大值为
27.（2026·湖南雅礼中学·5 月模拟）已知
，若
，则
的最
小值为＿＿＿＿＿＿．
28.若
，
，则
的最小值为＿＿＿＿＿＿．
29.若
，
，
，
，则
的最小值为＿＿＿＿＿＿．
考点三：基本不等式的综合应用
考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值
30.（2026·安徽铜陵·一模）已知
，
，则
的最小值为（
）
A. 3
B. 2
C.
D. 1
31.（2025·江苏高邮·一模）已知
、
，且
，则
的最小值是
（ ）
A.
B. 4
C. 8
D. 16
32.（2026·河北石家庄一中·一模）（多选）已知
，
，
，则（ ）
A.
的最小值为4 B.
的最小值为
C.
的最小值为3
D.
的最小值为
33.（2025·河北邢台·一模）已知
，则
的最大值为＿＿＿
＿＿＿．
考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合
34.（2026·湖南常德·一模）已知实数
，若对任意的
，
恒成立，
则
的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
35.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A. 若
，则
B.
的最小值为1
C. 若
，则
的最小值为8
D. 若
恒成立，则
的最小值为
36.若关于
的不等式
的解集为
，则
的最小值为＿＿＿＿＿
＿．
考法10：利用基本不等式解决实际问题
37.（2026·安徽皖江·最后一卷）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占
用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加(订货费
不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本)．因此需要决定多长
时间订购一次，使每天所需平均成本费用(不包括购买原料费用)最少．设时间以天为单位，
工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为
元，每天
每吨原料贮存费为
元，当贮存量降到0 时订货可立即送达，订货费
、贮存费
和需
求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为
(即每
天订一次货)，则每次
订货量为
，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物
贮存量为
，所以一个订货周期的贮存费为
，要使每天所需平均成本费用最
低，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
38.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某
单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利
用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600 吨，月处理成本
(元)与月处理量
(吨)之间的函数关系可近似的表示为
，且处理每吨
二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100 元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补
贴多少元才能使单位不亏损？
39.截至2022 年12 月12 日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000 人．疫情严峻，
请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．
（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验
阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量
(单位：
)随着时间(单位：
)的变
化用指数模型
描述，假定某药物的消除速率常数
(单位：
)，刚注射这
种新药后的初始血药含量
，且这种新药在病人体内的血药含量不低于
时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人
有疗效的时长大约为多少小时？(精确到0.01，参考数据：
，
)
（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底
面积为
平方米(
)，侧面长为
米，且
不超过8，房高为4 米．房屋正面造价400
元/平方米，侧面造价150 元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为
多少时，总价最低？
