第9 讲 指数与指数函数 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
B
B
B
2
C
6
7
8
9
10
D
D
ACD
72
B
11
12
13
14
15
(-3,2)
[1,+ ∞)
C
C
AC
16
17
18
19
20
ABD
D
D
AB
[-1,0]
21
22
23
24
25
B
AC
(-∞,0]
(-2,2)
(-∞,0)∪(1,+∞
26
27
28
29
30
B
[1,+ ∞)
3
2
（1）b=-1，证明见解析 （2）
[ 1
2 ,1)∪(1,2]
BC
31
32
1
2log25+3 log23-2
1.已知(
3
❑√7
27)
❑√7+3
=
A. 9
B. 1
9
C. 3
D.
❑√3
9
【答案】B
【解析】(
3
❑√7
27)
❑√7+3
=(
3
❑√7
3
3 )
❑√7+3
=(3
❑√7-3)
❑√7+3=3(❑√7-3)(❑√7+3)=3
-2= 1
9.
【点拨】运用指数幂的运算法则，先将底数统一为3，再利用积的乘方与平方差公式进行化简.
2.下列结论中，正确的是
A. 设a>0，则a
4
3 ⋅a
3
4 =a
B. 若m
8=2，则m=±
8√2
C. 若a+a
-1=3，则a
1
2 +a
- 1
2 =± ❑√5
D.
4√(2- π )
4=2- π
【答案】B
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得a
4
3 ⋅a
3
4 =a
4
3 + 3
4 =a
25
12 ≠a，选项A 错误；
对于B，m
8=2，故m=±
8√2，选项B 正确；
对于C，a+ 1
a =3，(a
1
2 +a
- 1
2)
2
=a+a
-1+2=3+2=5，因为a>0，所以a
1
2 +a
- 1
2 = ❑√5，选项C 错误；
对于D，
4√(2- π )
4=|2- π |= π -2，选项D 错误.
【点拨】处理偶次根式化简时需注意绝对值符号，分数指数幂运算严格遵循同底数幂相乘指数相
加的法则.
3.(
9
16)
-0.5
+
❑√(2- π )
2+(2
3)
2
3 ×(
2
3)
1
4 ×(
2
3)
3
4 =
A. π
B. 2+ π
C. 4 - π
D. 6- π
【答案】B
【解析】(
9
16)
-0.5
+
❑√(2- π )
2+(2
3)
2
3 ×(
2
3)
1
4 ×(
2
3)
3
4 = 4
3 + π -2+ 4× 2
3 =2+ π.
【点拨】负分数指数幂转化为正分数指数幂的倒数，偶次根式开方需判断被开方数的正负.
4.（2026·吉安·一模）若4
x=5
y =10，则1
x + 2
y =＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【解析】由4
x =10，得x = log410，则1
x = log104.
由5
y =10，得y = log510，则1
y = log105.
所以1
x + 2
y = log104+2log105= log104+ log1025= log10100=2.
【点拨】将指数式转化为对数式，利用对数的换底公式或倒数关系，将所求代数式转化为同底对
数求和.
5.（2026·南昌·一模）若3
a=2，则a所在的范围是
A. (-1,0)
B. (0, 1
2 )
C. ( 1
2 ,1)
D. (1,2)
【答案】C
【解析】因为3
1
2 = ❑√3<❑√4 =2，且3
1=3>2，所以3
1
2 <3
a<3
1.
又因为指数函数y =3
x在R上单调递增，所以1
2 <a<1，即a∈( 1
2 ,1).
【点拨】利用指数函数的单调性，通过寻找与目标值相近的已知指数幂的值，从而确定指数的范
围.
6.（2025·优创名校·4 月联考）已知i为虚数单位，6
x =|2❑√2- 4i|，6
y =20i
8+2i
6，则x + y =
A. 3
2
B. 1
2 + log644
C. 3+ log62
D. 5
2
【答案】D
【解析】因为6
x =|2❑√2- 4i|=
❑√(2❑√2)
2+(- 4)
2=2❑√6，
6
y =20i
8+2i
6=20-2=18，
所以6
x⋅6
y =2❑√6×18=36 ❑√6，
则6
x + y =6
2+ 1
2 =6
5
2，故x + y = 5
2.
【点拨】先分别求出复数的模与虚数次幂的值，再利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质求
出整体指数.
7.甲、乙两人解关于x的方程2
x+b⋅2
- x+c =0，甲写错了常数b，得到的根为x =-2或
x = log2
17
4 ，乙写错了常数c，得到的根为x =0或x =1，则原方程的根是
A. x =-2或x = log23
B. x =-1或x =1
C. x =0或x =2
D. x =-1或x =2
【答案】D
【解析】令t =2
x，则方程2
x+b⋅2
- x+c =0可化为t
2+ct +b=0，
甲写错了常数b，所以1
4 和17
4 是方程t
2+ct +m=0的两根，所以c =-(
1
4 + 17
4 )=- 9
2，
乙写错了常数c，所以1和2是方程t
2+nt +b=0的两根，所以b=1×2=2，
则可得方程t
2- 9
2 t +2=0，解得t1= 1
2，t2= 4，
所以原方程的根是x =-1或x =2.
【点拨】通过换元法将指数方程转化为一元二次方程，结合韦达定理分别求出正确的系数，再解
原方程.
8.（2026·铜陵·模拟）（多选）已知函数f ( x)= 4
x-2
x，若实数m，n满足
f (m)+ f (n)=0(m>n)，则
A. n<0
B. m+n<- 1
16
C. m< 1
2
D. 3
2 <8
m+8
n<2
【答案】ACD
【解析】已知f ( x)= 4
x -2
x，f (m)+ f (n)=0(m>n)，令t =2
x，t >0，
则tm
2 -tm+tn
2-tn=0，即tm
2 +tn
2=tm+tn(tm=2
m,tn=2
n)，
若n<0，则tn<1，tn
2-tn<0，∵m>n，∴m≥0，则tm≥1，tm
2 -tm≥0，此时存在实数m，n满足
f (m)+ f (n)=0(m>n)，
假设n≥0时，则m>n≥0，函数f ( x)在[0,+ ∞)上单调递增，故f (m)>f (n)≥f （0）=0，所以
f (m)+ f (n)>0，与题设矛盾，故n<0，选项A 正确；
若n→0
-，m→0
+，则满足f (m)+ f (n)=0(m>n)，但m+n→0>- 1
16，选项B 错误；
由n<0可知f (n)∈[- 1
4 ,0)，则f (m)∈(0, 1
4]，由0<4
m-2
m≤1
4 解得1<2
m≤1+ ❑√2
2
，因为
1+ ❑√2
2
<❑√2=2
1
2，故2
m<2
1
2，即m< 1
2，选项C 正确；
若m≈0.15，n≈-2.77时，8
m+8
n≈1.379<1.5= 3
2，选项D 错误.
【点拨】利用换元法将函数转化为二次函数，通过数形结合与极限思想判断参数的取值范围.
9.（2026·合肥一六八·一模）若非零实数x , y满足2 x +3 y - xy =0且m=3
y =2
x，则m的值为＿
＿＿＿＿＿.
【答案】72
【解析】∵2
x =3
y =m，xy ≠0，
∴x = log2m, y = log3m，
1= 2 x +3 y
xy
= 3
x + 2
y =3logm2+2logm3= logm72，
∴m=72.
【点拨】将指数式转化为对数式，代入已知条件进行对数运算，利用对数的换底公式求解.
10.（2026·南京六合·一模）已知a>2，5
a+12
a=13
b，则
A. a>2>b
B. a>b>2
C. b>a>2
D. b>2，但a和b的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】由于a>2，所以13
b=5
a+12
a>5
2+12
2=13
2，因此b>2，
又因为13
b-a=(
5
13)
a
+(
12
13)
a
<(
5
13)
2
+(
12
13)
2
=1，因此b-a<0，即b<a，
所以2<b<a.
【点拨】利用指数函数的单调性，通过构造同底数指数幂的不等关系，比较指数的大小.
11.不等式2
x
2-2 x -3<(
1
2)
3( x -1)
的解集为＿＿＿＿＿＿.
【答案】(-3,2)
【解析】函数y =2
x在R上单调递增，则
2
x
2-2 x -3<(
1
2)
3( x -1)
⇔2
x
2-2 x -3<2
-3( x -1)⇔x
2-2 x -3<-3( x -1)，
即x
2+ x -6<0，解得-3< x<2，
所以原不等式的解集为(-3,2).
【点拨】将不等式两边化为同底数的指数幂，利用指数函数的单调性转化为代数不等式求解.
12.不等式10
x-6
x-3
x≥1的解集为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[1,+ ∞)
【解析】由10
x -6
x -3
x≥1，可得(
1
10)
x
+(
6
10)
x
+(
3
10)
x
≤1.
令f ( x)=(
1
10)
x
+(
6
10)
x
+(
3
10)
x
，
因为y =(
1
10)
x
，y =(
6
10)
x
，y =(
3
10)
x
均为R上单调递减函数，
则f ( x)在R上单调递减，且f （1）=1，
∴f ( x)≤f （1），
∴x ≥1，
故不等式10
x -6
x -3
x≥1的解集为[1,+ ∞).
【点拨】同除以最高底数幂，构造单调递减函数，利用函数的单调性解不等式.
13.函数y =(a-2)
2a
x是指数函数，则
A. a=1或a=3
B. a=1
C. a=3
D. a>0且a≠1
【答案】C
【解析】由指数函数定义知(a-2)
2=1，同时a>0，且a≠1，所以解得a=3.
【点拨】严格根据指数函数的定义，即系数为1且底数大于0且不等于1列方程组求解.
14.函数f ( x)=(e
ax-b)
2的大致图像如图，则实数a,b的取值只可能是
A. a>0,b>1
B. a>0,0<b<1
C. a<0,b>1
D. a<0,0<b<1
【答案】C
【解析】若a>0，y =e
ax -b为增函数，
且x→+∞，y →+∞，f ( x)→+∞，与图象不符，
若a<0，y =e
ax-b为减函数，
且x→+ ∞，y →-b，f ( x)→b
2，与图象相符，所以a<0，
当f ( x)=0时，e
ax=b，
结合图象可知，此时x<0，所ax>0，则e
ax>e
0=1，所以b>1.
【点拨】结合图象的渐近线特征和零点位置，分析指数函数的单调性和平移情况.
15.（2026·沧州十二校·一模）（多选）若函数f ( x)=e
ax -b的图象经过第二、三、四象限，
则
A. a<0
B. 0<a<1
C. b>1
D. b<0
【答案】AC
【解析】若函数f ( x)=e
ax-b的图象经过第二、三、四象限，则函数f ( x)=(e
a)
x -b单调递减，
所以0<e
a<1=e
0，所以a<0，
由题意可知f （0）=1-b<0，解得b>1，
所以a<0，b>1.
【点拨】根据函数图象经过的象限，判断函数的单调性及在y轴上的截距符号.
16.（多选）函数f ( x)=2
x+ a
2
x (a∈R)的图象可能为
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a赋值，判断选项.
当a=0时，f ( x)=2
x，图象A 满足；
当a=1时，f ( x)=2
x+ 1
2
x ，f （0）=2，且f (- x)= f ( x)，此时函数是偶函数，关于y轴对称，图
象B 满足；
当a=-1时，f ( x)=2
x - 1
2
x ，f （0）=0，且f (- x)=- f ( x)，此时函数是奇函数，关于原点对称，
图象D 满足；
图象C 过点(0,1)，此时a=0，故C 不成立.
【点拨】通过对参数分类讨论，结合函数的奇偶性、单调性及特殊点进行图象识别.
17.（2025·上进联考·4 月联考）若函数f ( x)=2025
| x -a|在区间[2026,+∞)上单调递增，则a
的取值范围为
A. [2026,+ ∞)
B. (0,2026]
C. (-∞,2026)
D. (-∞,2026]
【答案】D
【解析】根据题意得y =| x -a|在区间[2026,+ ∞)上单调递增，所以a≤2026.
【点拨】利用复合函数的单调性“同增异减”原则，转化为内层绝对值函数的单调性问题.
18.（2026·郑州·二模）已知8
x=5，则x的值所在的区间是
A. (0, 1
2 )
B. ( 1
2 , 2
3 )
C. ( 2
3 , 3
4 )
D. ( 3
4 , 4
5 )
【答案】D
【解析】函数y =8
x单调递增，所以只需5∈(8
a,8
b)，即可得x∈(a,b).
比较5与8
1
2：8
1
2 = ❑√8=2❑√2<5.
比较5与8
2
3：8
2
3 =(2
3)
2
3 =2
2= 4<5.
比较5与8
3
4：(8
3
4)
4
=8
3=512，5
4=625，因为512<625，即(8
3
4)
4
<5
4，所以8
3
4 <5.
比较5与8
4
5：(8
4
5)
5
=8
4= 4096，5
5=3125，因为4096>3125，即(8
4
5)
5
>5
5，所以8
4
5 >5.
综上，8
x=5∈(8
3
4 ,8
4
5)，所以x∈(
3
4 , 4
5).
【点拨】利用指数函数的单调性，通过两边同时乘方比较底数大小，从而确定指数所在的区间.
19.（多选）已知函数f ( x)=
2
x
2
x+1，则
A. 函数f ( x)是增函数
B. 曲线y = f ( x)关于(0, 1
2 )对称
C. 函数f ( x)的值域为(0, 1
2 )
D. 曲线y = f ( x)有且仅有两条斜率为1
5的切线
【答案】AB
【解析】根据题意可得f ( x)=
2
x
2
x+1
=1-
1
2
x+1，易知y =
1
2
x+1是减函数，
所以f ( x)=1-
1
2
x+1是增函数，即A 正确；
由题意可得f (- x)=
2
- x
2
- x+1
=
1
2
x+1，所以f (- x)+ f ( x)=
2
x
2
x+1
+
1
2
x+1
=1，
即对于任意x∈R，满足f (- x)+ f ( x)=1，所以y = f ( x)关于(0, 1
2 )对称，即B 正确；
由指数函数值域可得2
x+1∈(1,+ ∞)，所以
1
2
x+1
∈(0,1)，即f ( x)=1-
1
2
x+1
∈(0,1)，
所以函数f ( x)的值域为(0,1)，所以C 错误；
易知f
'( x)= 2
x ln2
(2
x+1)
2，令f
'( x)= 1
5，整理可得(2
x)
2-(5 ln 2-2)⋅2
x+1=0，
令2
x=t ∈(0,+ ∞)，即t
2-(5 ln 2-2)t +1=0，
易知Δ=(5 ln 2-2)
2- 4，又因为2
5=32<36<6.25
2=2.5
4<e
4，即2
5<e
4，
所以5 ln2<4，即0<5 ln2-2<2，因此Δ=(5 ln 2-2)
2- 4<0；
即关于t的一元二次方程t
2-(5 ln 2-2)t +1=0无实数根；
所以(2
x)
2-(5ln 2-2)⋅2
x+1=0无解，即曲线y = f ( x)不存在斜率为1
5的切线，即D 错误.
【点拨】分离常数法判断函数单调性与值域，利用f ( x)+ f (- x)判断中心对称性，借助导数研究
切线斜率.
20.已知f ( x)=
❑√3
x
2+2ax -a-1的定义域为R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[-1,0]
【解析】∵f ( x)=
❑√3
x
2+2ax -a-1的定义域为R，
∴3
x
2+2ax -a-1≥0对任意x∈R恒成立，
即3
x
2+2ax -a≥1=3
0恒成立，
即x
2+2ax -a≥0对任意x∈R恒成立，
∴Δ= 4 a
2+ 4 a≤0，则-1≤a≤0.
【点拨】将定义域为R转化为根号下式子恒大于等于0，进而转化为二次函数恒成立问题.
21.（2025·黄冈·9 月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根
据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及
以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达
到了0.5mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40 %的速度减少，那
么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】设至少经过x小时后才能安全驾驶，
则满足：100×0.5×(1- 40 %)
x<20，化简得：0.6
x<0.4，
根据y =lg x是增函数可得：lg0.6
x<lg0.4，即xlg0.6<lg0.4，
因为lg0.6<0，所以x> lg0.4
lg0.6 = lg 4 -1
lg6-1 =
2lg2-1
lg2+lg3-1 ≈
2×0.301-1
0.301+0.477 -1 ≈1.79，
所以他至少要经过2小时后才能驾驶.
【点拨】根据题意建立指数衰减模型，利用对数运算求解指数不等式.
22.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
Pn= P0(1+ k )
n(k >-1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增
长率，n为预测期间隔年数，则
A. 当k ∈(-1,0)，则这期间人口数呈下降趋势
B. 当k ∈(-1,0)，则这期间人口数呈摆动变化
C. 当k = 1
3，Pn≥2 P0时，n的最小值为3
D. 当k =- 1
3，Pn≤1
2 P0时，n的最小值为3
【答案】AC
【解析】P0>0，0<1+ k <1，由指数函数的性质可知：Pn= P0(1+ k )
n(k >-1)是关于n的单调递减
函数，
即人口数呈下降趋势，故A 正确，B 不正确；
k = 1
3，Pn= P0(
4
3)
n
≥2 P0，所以(
4
3)
n
≥2，所以n≥log 4
3
2(n∈N )，
log 4
3
2∈(2,3)，所以n的最小值为3，故C 正确；
k =- 1
3，Pn= P0(
2
3)
n
≤1
2 P0，所以(
2
3)
n
≤1
2，所以n≥log 2
3
1
2 (n∈N )，
log 2
3
1
2 = log 3
2
2∈(1,2)，所以n的最小值为2，故D 不正确.
【点拨】结合指数函数的单调性分析人口变化趋势，通过解指数不等式求出时间间隔的最小值.
23.已知函数f ( x)=2
x , x∈R，若不等式f
2( x)+ f ( x)-m>0在R上恒成立，则实数m的取值范
围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】(-∞,0]
【解析】令f ( x)=t(t >0)，H (t )=t
2+t，t >0，
因为H (t )=(t + 1
2)
2
- 1
4 在区间(0,+ ∞)上是增函数，
所以H (t )> H （0）=0.
因此要使t
2+t >m在区间(0,+∞)上恒成立，应有m≤0，即所求实数m的取值范围为(-∞,0].
【点拨】通过换元将指数不等式恒成立问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
24.设f ( x)= 2
x -2
- x
2
，当x∈R时，f ( x
2+mx)+ f （1）>0恒成立，则实数m的取值范围是＿
＿＿＿＿＿.
【答案】(-2,2)
【解析】由函数f ( x)= 2
x -2
- x
2
= 1
2 ⋅(2
x -2
- x)= 1
2[2
x -(
1
2)
x
]，
∵y1=2
x，y2=-(
1
2)
x
均为在R上的增函数，故函数f ( x)是在R上的单调递增函数，
且满足f (- x)=2
- x -1-2
x -1=-(2
x -1-2
- x -1)=- f ( x)，所以函数f ( x)为奇函数，
因为f ( x
2+mx)+ f （1）>0，即f ( x
2+mx)>- f （1）= f (-1)，
可得x
2+mx >-1恒成立，即x
2+mx +1>0在x∈R上恒成立，
则满足m
2- 4<0，即m
2<4，解得-2<m<2，
所以实数m的取值范围是(-2,2).
【点拨】先判断函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式恒成立问题求解.
25.已知不等式4
x -a⋅2
x+2>0，对于a∈(-∞,3]恒成立，则实数x的取值范围是＿＿＿＿＿
＿.
【答案】(-∞,0)∪(1,+ ∞)
【解析】设t =2
x，t >0，
则t
2-at +2>0，对于a∈(-∞,3]恒成立，
即a<t + 2
t ，对于a∈(-∞,3]恒成立，
∴t + 2
t >3，
即t
2-3t +2>0，
解得t >2或t <1，
即2
x>2或2
x<1，
解得x>1或x<0，
综上，x的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞).
【点拨】采用分离参数法，将恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用基本不等式或单调性求
解.
26.已知函数f ( x)= 1
2
x +2 +
2
4
x - 4 +1+
1
x -1，则不等式f (2 x +3)>f ( x
2)的解集为
A. (-2,1)∪(1,+ ∞)
B. (-1,1)∪(3,+∞)
C. (- 1
2 ,1)∪(3,+ ∞)
D. (-3,1)∪(3,+ ∞)
【答案】B
【解析】依题意，x≠1，f ( x)=
2
x
4
x - 4
+
x
x -1，
故f (1+ x)+ f (1- x)=
2
x +1
4
x +1- 4
+1+ 1
x +
2
1- x
4
1- x - 4
+1- 1
x =
2
x +1
4
x +1- 4
+
2
x +1
4 - 4
x +1 +2=2，
故函数f ( x)的图象关于(1,1)中心对称，
当x>1时，y = 1
2
x +2，y =
2
4
x - 4，y =1+
1
x -1单调递减，
故f ( x)在(1,+ ∞)上单调递减，且f ( x)= 1
2
x +2 +
2
4
x - 4 +1+
1
x -1 >1，
函数f ( x)的图象关于(1,1)中心对称，f ( x)在(-∞,1)上单调递减，f ( x)<1，
而f (2 x +3)>f ( x
2)，故2 x +3< x
2<1或x
2<1<2 x +3或1<2 x +3< x
2，
解得-1< x<1或x>3，故所求不等式的解集为(-1,1)∪(3,+∞).
【点拨】通过代数变形发现函数的对称中心，结合单调性将不等式转化为分段的自变量不等式组
求解.
27.设f ( x)= x(
1
2
x -a + 1
2). 若函数y = f ( x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+ ∞)，则关于x的不等式
a
x≥f (a)的解集为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[1,+ ∞)
【解析】若a≤0，对任意的x∈R，2
x -a>0，则函数f ( x)的定义域为R，不合乎题意，
所以，a>0，由2
x -a≠0可得x≠log2a，
因为函数y = f ( x)的定义域为{x∣x≠1}，所以，log2a=1，解得a=2，
所以，f ( x)= x(
1
2
x -2 + 1
2)，则f (a)= f （2）=2(
1
2
2-2 + 1
2)=2，
由a
x≥f (a)可得2
x≥2，解得x ≥1.
因此，不等式a
x≥f (a)的解集为[1,+ ∞).
【点拨】根据函数的定义域求出参数a，再将不等式转化为简单的指数不等式进行求解.
28.已知函数f ( x)=b+ 2a-1
2
x -a
(a>0)的图象关于坐标原点对称，则a+b=＿＿＿＿＿＿.
【答案】3
2
【解析】依题意函数f ( x)是一个奇函数，
又2
x -a≠0，所以x≠log2a，
所以f ( x)定义域为{x∣x≠log2a}，
因为f ( x)的图象关于坐标原点对称，所以log2a=0，解得a=1.
又f (- x)=- f ( x)，所以b+
1
2
- x -1
=-(b+
1
2
x -1)，
所以b-
2
x
2
x -1
=-(b+
1
2
x -1)，即2b=
2
x
2
x -1
-
1
2
x -1
= 2
x -1
2
x -1
=1，
所以b= 1
2，所以a+b= 3
2.
【点拨】利用奇函数的定义域关于原点对称求出参数a，再利用f (- x)=- f ( x)恒成立求出参数b.
29.已知函数f ( x)= 3
x+b
3
x+1是定义域为R的奇函数.
（1）求实数b的值，并证明f ( x)在R上单调递增；
（2）已知a>0且a≠1，若对于任意的x1, x2∈[1,3]，都有f ( x1)+ 3
2 ≥a
x2-2恒成立，求实数a
的取值范围.
【答案】（1）b=-1，证明见解析 （2）[ 1
2 ,1)∪(1,2]
【解析】（1）因为函数f ( x)= 3
x+b
3
x+1
是定义域为R的奇函数，
则f （0）= 1+b
2
=0，解得b=-1，此时f ( x)= 3
x -1
3
x+1
=1-
2
3
x+1，
对任意的x∈R，3
x+1>0，即函数f ( x)的定义域为R，
f (- x)= 3
- x -1
3
- x+1
= 3
x(3
- x -1)
3
x(3
- x+1)
= 1-3
x
1+3
x =- f ( x)，即函数f ( x)为奇函数，合乎题意，
任取t1,t2∈R且t1<t2，则0<3
t1<3
t2，
所以，f (t1)- f (t2)=(1-
2
3
t1+1)-(1-
2
3
t2+1)=
2(3
t1-3
t2)
(3
t1+1)(3
t2+1)
<0，则f (t1)<f (t2)，
所以，函数f ( x)在R上单调递增.
（2）由（1）可知，函数f ( x)在[1,3]上为增函数，
对于任意的x1, x2∈[1,3]，都有f ( x1)+ 3
2 ≥a
x2-2，则a
x2-2- 3
2 ≤f （1）= 1
2，
∴a
x2-2≤2，
因为x2∈[1,3]，则x2-2∈[-1,1].
当0<a<1时，则有a
-1≤2，解得1
2 ≤a<1；
当a>1时，则有a≤2，此时1<a≤2.
综上所述，实数a的取值范围是[ 1
2 ,1)∪(1,2].
【点拨】利用奇函数在原点有定义必有f （0）=0求参数，再用定义法证明单调性；将恒成立问
题转化为最值问题，结合底数分类讨论解指数不等式.
30.（多选）点M ( x1, y1)在函数y =e
x的图象上，当x1∈[0,1)，则
y1+1
x1-1 可能等于
A. -1
B. -2
C. -3
D. 0
【答案】BC
【解析】由
y1+1
x1-1 表示M ( x1, y1)与点A(1,-1)所成直线的斜率k，
又M ( x1, y1)是y =e
x在x∈[0,1)部分图象上的动点，图象如下：
如上图，B(1,e)，则k ∈(-∞,-2]，只有B、C 满足.
【点拨】赋予代数式几何意义，将其转化为两点连线的斜率，结合函数图象直观求解.
31.已知实数a,b满足4
a+2a=3，log2
3√3b+1+b= 2
3，则a+ 3
2 b=＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
【解析】因为log2
3√3b+1+b= 2
3，化简得log2(3b+1)+(3b+1)=3.
所以2
log2(3b+1)+ log2(3b+1)=3，又4
a+2a=2
2a+2a=3，
构造函数f ( x)=2
x+ x，
因为函数y =2
x，y = x在(-∞,+∞)上都为增函数，
所以函数f ( x)在(-∞,+∞)上为单调递增函数，
由f （1）=3，∴2a= log2(3b+1)=1，
解得a= 1
2，b= 1
3，
∴a+ 3
2 b=1.
【点拨】通过代数变形构造同构式，利用函数的单调性得出变量之间的等量关系.
32.（2025·河北五个一·4 月联考）若实数a,b满足2
a-2
b=5，则3a-b的最小值为＿＿＿＿
＿＿.
【答案】2log25+3log23-2
【解析】由2
a-2
b=5，可得2
b=2
a-5>0，则b= log2(2
a-5)，
则3a-b=3a- log2(2
a-5).
令f ( x)=3 x - log2(2
x -5)，则f
'( x)=3-
2
x ln 2
(2
x -5)ln 2
= 2×2
x -15
2
x -5
.
当5<2
x< 15
2 时，f
'( x)<0，当2
x> 15
2 时，f
'( x)>0，
从而f ( x)的最小值为3 log2
15
2 - log2(
15
2 -5)=2log25+3 log23-2，
即3a-b的最小值为2log25+3 log23-2.
【点拨】将双变量问题转化为单变量函数最值问题，利用导数研究函数的单调性并求最值.
