第二章 函数及其性质
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第七节 函数的图象
知识点 20 函数图象的识别
回归教材
函数图象的识别方法 ：(1)排除法:根据函数的奇偶性、单调性、函数图象与两坐
标轴的交点位置、函数值的符号、 极限思想等排除干扰项, 从而得出正确结果.
(2)图象变换法:有关函数 y = f (x) 与函数 y =af (bx +c)+ℎ(b≠0) 的图象问题,可通
过图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换求解.
教材素材变式
1. [人 A 必修一 P140 习题 4.4 第 6 题变式] 如图是一鱼缸的轴截面, 已知该鱼缸
装满水时储水量为 V ,缸高为 H ,若鱼缸水深为 ℎ 时水的体积为 v , 则函数
v = f (ℎ) 的大致图象是（）
A.
B.
C.
D.
2. [人A 必修一 P91 习题 3.3 第 1 题变式] 函数 y =
1
x
4−1 的图象大致为（）
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A.
B.
C.
D.
3. [人 B 必修二 P40 例 2 变式] 函数 f (x)= 3|x)+1
ln|x)+1 的部分图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
4 .2024 全国甲卷(理)【人 B 必修二 P52 复习题 A 组第 3 题变式] 函数
f (x)=−x
2+(e
x−e
−x)sin x 在区间 [−2.8,2.8) 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5 [苏教必修一 P133 复习题第 14 题变式] 函数 f (x)= ln(|x)−1) 的大致图象是(
)
A.
B.
C.
D.
变式探究
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已知函数 f (x) 的图象如图①所示,则图②所表示的函数是( )
图① 图②
A. y =1−f (x) B. y =−f (2−x)
C. y = f (−x)−1 D. y =1−f (−x)
知识点 21 分析函数图象及函数图象的应用
回归教材
函数图象应用
的常见题型
求解策略
利用函数图象
研究 参数的
取值范围
将构造的函数的图象在同一坐标系内作出, 利用数形结合思想, 动
态地思考问题, 求 解参数的取值范围.
利用函数的图
象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解, 但其与函数有关时, 常将不等式
问题转化为两函数 图象的上、下位置关系问题,数形结合求解.
利用函数的图
象 研究方程
根的个数
当方程与函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程
f (x)=0 的根就是函 数 f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标,方程
f (x)= g(x) 的根就是函数 f (x) 与 g(x) 图 象交点的横坐标.
教材素材变式
1.[人 A 必修一 P139 练习第 4 题变式] 已知函数 f (x) 的图象如图所示,则 f (x)
的解析式可能为( )
A. f (x)= x
2e|x) B. f (x)= e|x)
x
3
C. f (x)=
x
4
e|x)−1 D. f (x)= e|x)
x
2
变式探究
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已知函数 f (x)=e
x+e
−x−2,g(x)= x + 1
x ,则大致图象如图所示的函数可能是( )
A. y = f (x)+ g(x) B. y = f (x)−g(x)
C. y = f (x)⋅g(x) D. y = g(x)
f (x)
2.[人 B 必修二 P13 练习 A 第 3 题变式] 已知二次函数 y = f (x) 的图象如图所示,
则函数 y = g(x)=e
x⋅f (x) 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
3.[苏教必修一 P151 习题 6.2 第 12 题变式] 函数 y = f (x)= ax +b
(x +c)
2 的图象如图
所示,则下列结论成立的是( )
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A. a>0,b>0,c>0 B. a<0,b>0,c>0
C. a<0,b>0,c<0 D. a<0,b<0,c<0
4.[人 B 必修二 P52 复习题 A 组第 8 题变式] 已知函数 f (x)={
−x
2+ 4 x−3, x ≤2,
log2 x , x>2, )
则不等式 f (2 x−2)−1<2 的解集是 .
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知识点20 函数图象的识别
1.答案：C
解析：鱼缸的轴截面若为上宽下窄的形状（如圆台），水深ℎ增加时，体积v的增
长速度应先慢后快，图象呈下凸趋势，C 选项符合该特征。
2.答案：B
解析：函数y =
1
x
4−1的定义域为x≠±1，且为偶函数。当x→0时，y →−1；当
x→±1时，y →+ ∞，B 选项图象满足奇偶性及极限特征。
3.答案：D
解析：函数f ( x)= 3| x|+1
ln| x|+1为偶函数，当x>0时，ln| x|+1>0，且x→0
+时，
ln x→−∞，分母趋近于0，f ( x)→+∞；x→+∞时，分子增长速度快于分母，
f ( x)→+ ∞，D 选项符合。
4.答案：A
解析：函数f ( x)=−x
2+(e
x−e
−x)sin x，定义域关于原点对称。计算
f (−x)=−x
2−(e
x−e
−x)sin x，非奇非偶；当x =0时，f (0)=0，排除C、D；在区间
[−2.8,2.8]内，(e
x−e
−x)sin x在x>0和x<0时均有正负交替，结合二次函数−x
2的开
口向下，A 选项图象符合。
5.答案：A
解析：函数f ( x)= ln(| x|−1)的定义域为| x|>1，即x>1或x<−1，且为偶函数。
当x>1时，| x|−1递增，ln(| x|−1)递增，图象在x>1时单调递增，A 选项正确。
变式探究
答案：B
解析：图②与图①相比，可看作先关于y轴翻转（x→−x），再向右平移2 个单
位（−x→2−x），最后关于x轴翻转（整体加负号），即y =−f (2−x)，B 正确。
知识点21 分析函数图象及函数图象的应用
1.答案：D
解析：由图象知，函数为偶函数，排除B（分母x
3为奇函数）；当x→0时，A 选
项f ( x)→0，C 选项分母e
| x|−1→0，f ( x)→+ ∞，均与图象不符；D 选项f ( x)= e
| x|
x
2
为偶函数，且x→0时，f ( x)→+∞，符合图象特征。
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变式探究
答案：B
解析：f ( x)=e
x+e
−x−2为偶函数，最小值为f (0)=0；g( x)= x + 1
x 为奇函数，当
x>0时，g( x)≥2，当x<0时，g( x)≤−2。y = f ( x)−g( x)在x>0时，
f ( x)−g( x)≥0−2=−2，且当x→+∞时，e
x增长快于x，f ( x)−g( x)→+ ∞，结合图
象对称性，B 选项正确。
2.答案：C
解析：二次函数f ( x)开口向下，与x轴交于两点，设为x1, x2( x1< x2)。
g( x)=e
x⋅f ( x)，当x< x1或x> x2时，f ( x)<0，e
x>0，故g( x)<0；当x1< x< x2时，
f ( x)>0，g( x)>0，且e
x单调递增，g( x)在x1< x< x2内先增后减，C 选项符合。
3.答案：C
解析：由函数f ( x)= ax +b
( x +c)
2的图象知，分母零点为x =−c，图象在x =−c处无定
义，且由图象左侧趋近于−∞，右侧趋近于+∞，可知−c>0，即c<0；当x→+∞
时，f ( x)<0，故分子ax +b中a<0；当x =0时，f (0)= b
c
2 >0，因c
2>0，故b>0。综
上，a<0,b>0,c<0，C 正确。
4.答案：(−∞,5)
解析：当2 x−2≤2，即x ≤2时
此时f (2 x −2)=−(2 x −2)
2+ 4(2 x −2)−3，不等式f (2 x−2)<3可化为：
−(2 x−2)
2+ 4(2 x−2)−3
<3
−(4 x
2−8 x + 4)+8 x−8−3
<3
−4 x
2+8 x−4+8 x−8−3
<3
−4 x
2+16 x−15
<3
−4 x
2+16 x−18
<0
2 x
2−8 x +9
>0
对于二次函数y =2 x
2−8 x +9，其判别式Δ=(−8)
2−4×2×9=64−72=−8<0，且二
次项系数2>0，所以2 x
2−8 x +9>0恒成立。
结合x ≤2的条件，此情况下x的取值范围是x ≤2。
当2 x−2>2，即x>2时
此时f (2 x−2)= log2 (2 x−2)，不等式f (2 x−2)<3可化为：
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log2 (2 x−2)
<3
log2 (2 x−2)
<log2 8
因为对数函数y = log2 t在(0,+∞)上单调递增，所以可得：
0
<2 x−2<8
2
<2 x<10
1
< x<5
结合x>2的条件，此情况下x的取值范围是2< x<5。
综合x ≤2 和2< x<5 ，取并集可得不等式f (2 x−2)−1<2的解集是(−∞,5) 。
综上，答案为(−∞,5) 。
