文档文本内容
重难点专训02 利用基本不等式求最值的九大题型
题
解
方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型
式
通法及变
提升............................................................................................................................3
题型
求最值
一：直接法
........................................................................................................................................3
题型
求最值
二：配凑法
........................................................................................................................................4
题型
式
求最值
三：分
分离法
................................................................................................................................5
题型
求最值
四：消元法
........................................................................................................................................8
题型五：乘“1
求最值
”法
.....................................................................................................................................10
题型
求最值
六：双换元法
..................................................................................................................................12
题型
不等式
求最值
七：构造
法
..........................................................................................................................14
题型
用基本不等式求最值
八：多次使
..............................................................................................................15
题型九
值不等式求最值
：多元均
......................................................................................................................17
重难专题分层过关练..........................................................................................................................19
巩固过关...............................................................................................................................................................19
创新提升...............................................................................................................................................................25
1、直接法
条件和问题间存在基本不等式的关系，求最值时要求“一正、二定、三相等”。
特别注意若变量的项是负数，则提取符号，将其转化为正数，再利用基本不等式公式求最值．
2、配凑法
（1）先以整式为基础，通过调整系数（如将多项式乘以或除以特定常数）、拆分常数项，对代数式
做等价变形，确保变形前后式子值不变。
（2）配凑时始终以 “凑出和为定值或积为定值” 为方向，比如拆项、添项，使式子满足基本不等
式 “一正、二定、三相等” 的前提。
（3）变形后需检验：所有项是否为正、和或积是否为定值、等号成立条件是否存在，避免因配凑不
当违背基本不等式使用前提，导致结果错误。
3、分离常数法
利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分解为对勾函数形式，再利用不等式求
最值。
即化为
恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。
4、消元法
从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，
有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解注意所保留变量的取值范围
5、代换法
代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
（1）分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
（2）分母为多项式时
①若分母中只含一个字母，两分母可以通过配凑得到“1”，然后与所求式子进行相乘；
②待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为
与
，条件等式为
，
设
∴
，解得：
，则
6、双换元法
在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这
样就可以将所求的式子转换为简单的形式．
7、构造目标不等式法
寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解
不等式得出范围，从而求得最值，注意等号成立的条件．
8、多次使用基本不等式法
一个问题中多次用到基本不等式时，不仅要注意每次验证等号成立的条件，而且一定要注意所求等号
成立的条件必须一致．
9、多元均值不等式公式
均值不等式公式：
，
为正数，当且仅当
时，取等号
题型一：
求最值
直接法
典例1-1．已知
，则
取最大值时
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
，
，即
时等号成立.
故选：C
典例1-2．设
，
为实数，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，
根据基本不等式的性质有
，
又由
，
则
，当且仅当
，即
时等号成立，
故
的最小值为
．
故选：B．
变式1-1．若对任意的
，使得
均成立，则实数
的取值范围 ．
【答案】
【详解】对任意的
，使得
均成立，可转化为：
，
根据基本不等式，
时，
（当且仅当
时取等），
因此，
，
.
故答案为：
.
变式1-2．已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．e
D．
【答案】A
【详解】由题意，
，则
，且
，
所以
，
当且仅当
时取等号，所以
的最小值是
.
故选：A.
题型二：
求最值
配凑法
典例2-1．已知
，则
的最大值是 ，
的最大值是 ．
【答案】 1
【详解】由
，则
，
，
当且仅当
，即
时取等号，即
的最大值是1；
，
当且仅当
，即
时取等号，
即
的最大值是
．
故答案为：1；
.
典例2-2．若函数
在
处取最小值，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．2 或4
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
，解得
.
故选：B
变式2-1．已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】由
（当且仅当
时取等号），
所以
的最小值为4.
故选：C．
变式2-2．若
，
，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由
，可得
，
因为
，故只需
，
令
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
，所以实数
的取值范围为
．
故答案为：
.
题型三：
式
求最值
分
分离法
典例3-1．若
，则当
取最大值时
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】变形，可得
，
，
，
原式
，
当且仅当
，即
时取等号，因此，
取最大值时
.
故选D.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，解题时要对代数式进行合理配凑，同时要注
意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查运算求解能力，属于中等题.
典例3-2．函数
的最小值是
，则当
时，a 的值为 ，当
时，a 的值为
【答案】
【详解】当
时，
当
时：
，当且仅当
即
时等号；
此时
.
当
时，
，
当且仅当
即
时等号；此时
.
综上：
若
，则
，由题
，所以
.
若
，则
，由题
，所以
.
故答案为：1；−1.
变式3-1．求函数
的最小值.
【答案】最小值为2.
【解析】先求出函数
的定义域，再将函数化简到
，然后利用基本不
等式即可求出最小值.
【详解】函数
的定义域为
，
.
，
当且仅当
，即
时取到“
”.
所以当
时，函数
的最小值为2.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，
二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定
积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在
定义域内，二是多次用
或
时等号能否同时成立）.
变式3-2．函数
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，函数
又由
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，所以
即函数
的最大值是
.
故选：C.
变式3-3．已知常数
，函数
.若
的最大值与最小值之差为
，则
.
【答案】
【解析】将
化简为关于
的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
时，
当且仅当
时，等号成立，
同理
时，
，
，
即
的最小值和最大值分别为
，
依题意得
，解得
.
故答案为:
.
【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.
题型四：
求最值
消元法
典例4-1．已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】正数
满足
，
故
，
由于
，故
，即
，等价于
，
解得
，
，
令
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时，即
，等号成立.
故选：C
典例4-2．已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
可得，
，即
，
于是
，
当
，即
时取得等号，
即
，
时，
的最小值为
.
故选：C
变式4-1．已知
，
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】由
可得：
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
则
，
因为
，所以由基本不等式得：
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
.
故答案为：
.
变式4-2．若实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得：
，
；
当
时，
；
当
时，
（当且仅当
，即
时取等号）；
当
时，
（当且仅当
，即
时取等号）；
综上所述：
，即
的最大值为
.
故选：D.
变式4-3．已知正实数
，
满足
，则
的最小值是 .
【答案】3
【详解】因为
，
，当且仅当
，
时取等号，
所以
，
当且仅当
，
时原不等式取等号.
故答案为：3.
题型五：乘“1
求最值
”法
典例5-1．若
，
，且
，则式子
的最小值是
【答案】
【详解】由题设
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故答案为：
典例5-2．设
，若
恒成立，则k 的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．－1
D．－2
【答案】C
【详解】因为
，当且仅当
时取等号，
所以
，解得
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
变式5-1．已知
，
，
，则
的最小值为 .
【答案】4
【详解】因为
，所以
，则
；
因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立.
故答案为：4
变式5-2．设正数
满足
，若不等式
对任意实数x 恒成立，则实数m 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，故
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为，
故
在
上恒成立，故
在
上恒成立，
故
即
，
故选：B.
题型六：
求最值
双换元法
典例6-1．已知
，若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最小值为
.
故选：D
典例6-2．已知
且
，则
的最小值为 ．
【答案】9
【详解】由
，得
，令
，则
，
故
，
当且仅当
即
时等号成立，
也即
，即
时，等号成立，
故
的最小值为9．
故答案为：9.
变式6-1．若
，且满足
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】解法一：因为
，
，
所以
则
当且仅当
时，
取得最小值2.
解法二：由权方和不等式可得：
，
当且仅当
时，
取得最小值2.
解法三：（消元化为函数值域法）由
得
，由
，则
，
即
．
故当
时，
取得最小值为2.
故选：B.
变式6-2．若两个正实数
，
满足
，且存在这样的
，
使不等式
有解，则
实数
的取值范围 .
【答案】
．
【详解】因为
，则
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以不等式
有解，即
，解得
或
，
故答案为：
．
题型七：
不等式
求最值
构造
法
典例7-1．若实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解法1：因为实数
满足
，所以
．
再由
，可得
（当且仅当
时等号成立），
解得
，所以
，
故
的最大值为
．
故选：A.
解法2：令
，则
，代入
可得，
，
整理得
，得
，
故
．
故选：A.
典例7-2．已知实数
满足
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，可得
，
又因为
，即
，整理可得
，
且
，
，则
，可得
，
当且仅当
，即
，
时，所以
取得最大值
．
故选：C.
变式7-1．若
满足
，则
的最大值是 ，
的最小值是 .
【答案】 2
【详解】因
，由
，可得
，
即得
，当且仅当
，即
或
时取等号，
即当
或
时，
的最大值是
；
因
，
，即得
，
当且仅当
，即
或
时取等号，
即当
或
时，
的最小值是
.
故答案为：2；
.
变式7-2．（多选）若实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
或
时等号成立，A 正确，B 错误；
因为
，又
，
所以
，故
，
所以
，当且仅当
或
时等号成立，C 正确，D 错误.
故选：AC.
题型八：
用基本不等式求最值
多次使
典例8-1．已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】方法一：
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
方法二：
，
故
，
当且仅当
，且
时，即
时，等号成立．
故
的最小值为4；
故选：D
典例8-2．已知正实数x、y、z 满足
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【详解】由题意知，
为正实数，
，
，即
，
，
，
当且仅当
即
时，等号成立，
的最小值为4.
故答案为：4.
变式8-1．已知
为非零实数，
，均为正实数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
为非零实数，
，
，均为正实数，
则
，
当且仅当
且
，即
时取等号，
则
的最大值为
．
故选：B．
变式8-2．已知
，当
取到最小值时，
．
【答案】
/0.75
【详解】由题意知：
，
当且仅当
，即
时取等，
故当
取到最小值时，
.
故答案为：
.
题型九：
值不等式求最值
多元均
典例9-1．函数
的最小值为 .
【答案】
/
【详解】
，所以
,
当且仅当
即
时等号成立，
的最小值为
．
故答案为：
典例9-2．函数
的最小值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【详解】设
，则
，
，
因为
，
由对勾函数性质可知
在
上单调递增，
所以
.
故选：D.
变式9-1．设
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】
，当且仅当
时，等
号成立．
故答案为：
变式9-2．已知pq 为实数，且满足
，那么
的最大值为 ．
【答案】2
【详解】
，
当且仅当
时等号成立.
故答案为：2
巩固过关
1．已知正实数
，
满足
，则
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
当且仅当
时取等号.
故选：D
2．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】B
【详解】因为
,且
,
所以
,
当且仅当
,即
时取等号，因此
的最小值为6．
故选：B.
3．若
、
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
得
，
令
，
，则
且
，
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
的最小值为
，
故选：A．
4．对一切x，
，都有
，则实数a 的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．前3 个答案都不对
【答案】B
【详解】因为x，
，所以
，所以
，
又
，
当且仅当
时，取等号，所以
，
所以实数a 的最小值是.
故选：B.
5．若正实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，
又因为
，所以
，
即得
，
所以
当且仅当
时取等号，
所以
，所以
的最大值是
故选：B.
6．如图，已知点
是反比例函数
图象上一动点，点
，则
的面积的最小值为
．
【答案】
【详解】如图：
过点
作
轴的垂线
，垂足为
，过
作
轴的垂线，垂足为
.
结合题意可设点
，
则
，
.
所以
，
，
.
所以
，
当且仅当
即
时取等号.
故答案为：
7．已知
，则
的最小值为 ．
【答案】2
【详解】因为
，所以
．
因为
，所以
，
则
，
当且仅当
，且满足
，
即
时等号成立，故
的最小值为2．
故答案为：2.
8．已知
，且
，则
的最大值为 ．
【答案】
/
【详解】
，
，
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
此时
取最大值
．
故答案为：
.
9．已知
，则
的最大值为 ．
【答案】
【详解】解法一：设
，
则
，
设
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最大值为
．
解法二：
①．
由
得
，则
，
代入①得原式
．令
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
则原式
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
故
的最大值为
．
故答案为：
10．若
，
，且
，则
的最小值是 .
【答案】
【详解】因为
满足
，
所以
，即
，即
，
所以
，
所以
，
所以当且仅当
，即
，
时取“
”，解得
所以
的最小值为
，
故答案为：
．
11．已知
，
，
，则
的最小值为 .
【答案】2
【详解】因为
，
，
，
则
，解得
，
可得
，
又因为
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为2.
故答案为：2.
12．已知
，
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
故选：C.
13．已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】已知
，所以
，
则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为
.
故选：D.
创新提升
1．若对任意实数
，不等式
恒成立，则实数
的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题意得，
，整理得
．
设
，则
，
再设
，则
，当且仅当
，即
时等号成立，
此时
，所以
，即实数
的最小值为
．
故答案为：
.
2．若
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【详解】∵
，∴
，即
，
∴原式
，
当且仅当
时，等号成立，
故
的最小值为
．
故答案为：
．
3．（1）已知
，则
的最小值为 ．
（2）已知
为正数，则
的最小值为 ．
【答案】
4
【详解】（1）
，
，
当且仅当
，即
，即
时等号成立．
故
的最小值为
．
（2）
，
当且仅当
时等号成立．
故
的最小值为4.
故答案为：
；
4．不等式
，对于任意
及
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由
，则不等式
两边同时乘以
不等式可化为
，
因为
，所以
，又
，则
，
令
，则不等式转化为
，在
上恒成立，
由
，可得
，即
，
又
，当且仅当
时取等号，
所以当
时，
取得最小值
，故可得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
5．已知正数x，y 满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【详解】因为
，
为正数，且
，
两边平方得：
，
所以
.
设
，则
，解得
，
，整理得：
，即
.
所以
.
当且仅当：
即
时取“
”.
即
的最小值为
.
故答案为：
6．记
表示实数a，b 中的较大的数，已知x，y，z 均为正数，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【详解】设
，
当
时，
，
因为
均为正数，所以
，
当且仅当
，
，
时，等式成立；
当
时，
，
当且仅当
，
，
时，等式成立.
综上可知，t 的最小值为
.
故选：C.
