专题07
双曲线压轴题（解析版）
1.双曲线的定义
平面内与两个定点
1
2
,
F F 的距离的差的绝对值
．．．．．等于常数（大于零且小于
1
2
F F ）的点的轨迹叫做双曲线
（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为
1
2
1
2
2 (0
2
)
M
MF
MF
a
a
F F
．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当
1
2
2a
F F
时，点的轨迹是以
1F 和
2
F 为端点的两条射线；当2
0
a
时，点的轨迹是线段
1
2
F F 的
垂直平分线．
（3）
1
2
2a
F F
时，点的轨迹不存在．
2.双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
图形
焦点坐标
1(
,0)
F
c
，
2( ,0)
F c
1(0,
)
F
c
，
2(0, )
F
c
对称性
关于x ，y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
1(
,0)
A
a
，
2( ,0)
A a
1(0, )
A
a ，
2(0,
)
A
a
范围
x
a
y
a
实轴、虚轴
实轴长为2a ，虚轴长为2b
离心率
2
2
1
(
1)
c
b
e
e
a
a
A2
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
渐近线方程
令
2
2
2
2
0
x
y
b
y
x
a
b
a
，
焦点到渐近线的距离为b
令
2
2
2
2
0
y
x
a
y
x
a
b
b
，
焦点到渐近线的距离为b
点和双曲线
的位置关系
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
1,
(
,
)
1,
(
,
)
1,
(
,
)
x
y
x
y
x
y
a
b
x
y
点
在双曲线内
（含焦点部分）
点
在双曲线上
点
在双曲线外
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
1,
(
,
)
1,
(
,
)
1,
(
,
)
x
y
y
x
x
y
a
b
x
y
点
在双曲线内
（含焦点部分）
点
在双曲线上
点
在双曲线外
共焦点的双
曲线方程
2
2
2
2
2
2
1(
)
x
y
a
k
b
a
k
b
k
2
2
2
2
2
2
1(
)
y
x
a
k
b
a
k
b
k
共渐近线的
双曲线方程
2
2
2
2
(
0)
x
y
a
b
2
2
2
2
(
0)
y
x
a
b
切线方程
0
0
0
0
2
2
1,(
,
)
x x
y y
x
y
a
b
为切点
0
0
0
0
2
2
1,(
,
)
y y
x x
x
y
a
b
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中
2x 换为
0x x ，
2y 换成
0y y
便得．
切点弦所在
直线方程
0
0
0
0
2
2
1,(
,
)
x x
y y
x
y
a
b
为双曲线
外一点
0
0
0
0
2
2
1,(
,
)
y y
x x
x
y
a
b
为双曲线外一点
点
0
0
(
,
)
x
y
为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
AB
k
k
．
则弦长
2
1
2
1
2
2
1
1
1
(
0)
AB
k
x
x
y
y
k
k
，
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
a
，其中“ a ”是消“ y ”后关于“ x ”的一元二
次方程的“
2x ”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于
1
2
F F 的弦）是同支中的最短弦，其长为
2
2b
a
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
焦点三角形
双曲线上一点
0
0
(
,
)
P x
y
与两焦点
1
2
,
F F 构成的
1
2
PF F
成为焦点三角形，
设
1
2
F PF
，
1
1
PF
r
，
2
2
PF
r
，则
2
1 2
2
cos
1
b
rr
，
1 2
2
0
2
1 2
0
,
1
sin
sin
,
2
1
cos
tan 2
PF F
c y
x
b
S
rr
b
c x
y
焦点在轴上
焦点在轴上，
焦点三角形中一般要用到的关系是
1 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 (2
2 )
1
sin
2
2
cos
PF F
PF
PF
a
a
c
S
PF
PF
F PF
F F
PF
PF
PF PF
F PF
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线
a
b
离心率
2
e
两渐近线互相垂直渐近线方程为y
x
方程可设为
2
2
(
0)
x
y
．
题型一
双曲线的标准方程
（1）一动圆P 过定点
0,6
M
，且与已知圆N ：
2
2
6
36
x
y
相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
9
27
x
y
B．
2
2
1
9
27
y
x
C．
2
2
1
9
27
x
y
D．
2
2
1
9
27
y
x
【答案】D
【分析】根据两圆相切，得|
|
|
|
6
PN
PM
，结合6 |
| 12
MN
，得动点P 的轨迹是以
(0,6)
M
、
(0, 6)
N
为
焦点的双曲线，再根据,a c 求出b ，可得结果.
【详解】圆N ：
2
2
6
36
x
y
的圆心
(0, 6)
N
，半径为6，
当动圆P 与圆N 相外切时，则|
| |
| 6
PN
PM
，即|
|
|
| 6
PN
PM
当动圆P 与圆N 相内切时，因为定点
0,6
M
在圆N 外，所以只能是圆N 内切于动圆P ，所以|
| |
| 6
PM
PN
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
即|
|
|
|
6
PN
PM
综上所述：|
|
|
|
6
PN
PM
，又6 |
| 12
MN
，
所以动点P 的轨迹是以
(0,6)
M
、
(0, 6)
N
为焦点的双曲线，
因为2
6
a ，2
12
c
，所以
3
a
，
6
c
，
所以
2
2
2
36
9
27
b
c
a
，
所以动圆圆心P 的轨迹方程是
2
2
1
9
27
y
x
.
故选：D
（2）已知一个动圆P 与两圆
2
2
1 :
2
1
C
x
y
和
2
2
2 :
2
4
C
x
y
都外切，则动圆P 圆心的轨迹方程为
（
）
A．
2
2
4
4
1(
0)
15
y
x
x
B．
2
2
4
4
1
15
y
x
C．
2
2
4
4
1(
0)
9
7
x
y
x
D．
2
2
4
4
1
9
7
x
y
【答案】A
【详解】设动圆P 半径为R ，
由于动圆P 与两圆
2
2
1 :
2
1
C
x
y
和
2
2
2 :
2
4
C
x
y
都外切，
所以
1
1
PC
R
，
2
2
PC
R
，
即
2
1
1
2
1
4
PC
PC
C C
，
可知动圆P 圆心的轨迹为以
1
2
,
C C 为焦点，实轴长为4 的双曲线的左支，
即
1
2
a
，
2
c
，
15
2
b
，
所以动圆P 圆心的轨迹方程为
2
2
4
4
1(
0)
15
y
x
x
，
故选：A.
（3）已知
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
的左，右焦点，点P 在E 上，D 是线段
1
2
F F 上点，若
1
2
1
2
,
:
1: 2,
4
3
F PF
F D F D
PD
，则当
1
2
PF F
△
面积最大时，双曲线E 的方程是（
）
A．
2
2
1
12
9
x
y
B．
2
2
1
9
12
x
y
C．
2
2
1
3
6
x
y
D．
2
2
1
6
3
x
y
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【答案】C
【分析】在
1
PF D
和
2
PF D
分别利用余弦定理得
2
2
2
2
6
48
n
m
x
，再在
1
2
PF F
△
利用余弦定理，消去x ，
根据均值不等式求
1
2
PF F
△
面积最大时
1
2
,
PF PF 的关系，结合双曲线的性质即可求解.
【详解】如图所示
设
1
PF
n
，
2
PF
m
，
1
PDF
，
1F D
x
，则
2
π
PDF
，
2
2
F D
x
，
在
1
PF D
中由余弦定理得
2
2
16
8 cos
n
x
x
①，
在
2
PF D
中由余弦定理得
2
2
2
4
16 16 cos( π
)
4
16 16 cos
m
x
x
x
x
②，
2
①
②得
2
2
2
2
6
48
n
m
x
③，
在
1
2
PF F
△
中由余弦定理得
2
2
2
2
2
9
2
cos 3
x
n
m
mn
n
m
mn
④，
③④联立消去x 得
2
2
1
2
72
2
n
m
mn
，
因为
1 2
1
sin
2
3
PF F
S
mn
，当
1
2
PF F
△
面积最大时即mn 最大，
由均值不等式可得
2
2
2
2
1
1
72
2
2 2
3
2
2
n
m
mn
n
m
mn
mn
，
当且仅当
2
2
1
2
2
n
m
即2n
m
时等号成立，mn 取得最大值，
此时由④
2
2
2
2
2
9
4
2
3
x
n
n
n
n
解得
3
3
x
n
，所以
1
2
3
F F
n
，
所以
2
2
2
2
1
1
2
PF
PF
F F
，即
1
2
PF F
△
为直角三角形，且
1
π
2
PF D
，
所以在
1
PF D
中
2
2
3
16
3
n
n
，解得
2 3
n
，
由双曲线的性质可得
2
1
1
2
2
2
2
2
2
3
PF
PF
a
n
F F
c
n
c
a
b
，解得
3
6
3
a
b
c
，
所以双曲线E 的方程为
2
2
1
3
6
x
y
，
故选：C
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（4）已知P 是圆
2
2
1 :
3
16
F
x
y
上的一动点，点
2 3,0
F
，线段
2
PF 的垂直平分线交直线
1
PF 于点Q ，
则Q 点的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
9
x
y
C．
2
2
1
4
5
x
y
D．
2
2
1
0
4
5
x
y
x
【答案】C
【分析】由题意有
2
QP
QF
，从而有
1
2
1
4
QF
QF
PF
，根据双曲线的定义得点Q 的轨迹为是以F1、
F2 为焦点的双曲线．再写出其方程即可.
【详解】如图所示：
∵P 是圆
1F 上一动点，点
2
F 的坐标为
3,0 ，线段
2
PF 的垂直平分线交直线
1
PF 于点Q ，
∴
2
QP
QF
，
1
2
1
1
QF
QF
QF
PF
QP
，
∵P 是圆
1F 上一动点，∴
1
4
PF
，∴
1
2
4
QF
QF
，
∴
2 3,0
F
，
1
3,0
F
，
1
2
6
4
F F
，
∴点Q 的轨迹为以F1、F2 为焦点的双曲线，且
2
a
，
3
c
，得
5
b
，
∴点Q 的轨迹方程为
2
2
1
4
5
x
y
.
故选：C.
练习题
（1）已知两圆
2
2
2
2
1
2
4
9,
4
9
C
x
y
C
x
y
：
：
，动圆C 与圆
1
C 外切，且和圆
2
C 内切，则动圆C 的圆
心C 的轨迹方程为（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．
2
2
1
3
7
9
y
x
x
B．
2
2
1
9
7
y
x
C．
2
2
1
7
9
x
y
D．
2
2
1
3
9
7
x
x
y
【答案】D
【分析】通过动圆C 与圆
1
C 外切，且和圆
2
C 内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程.
【详解】如图，
设动圆C 的半径为R ，则
1
3
CC
R
，
2
3
CC
R
，
则
1
2
1
2
6
8
CC
CC
C C
，
所以动圆圆心C 的轨迹是以
1
C ，
2
C 为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支.
因为2
6,2
8
a
c
，
所以
2
2
2
3,
4,
7
a
c
b
c
a
.
故动圆圆心C 的轨迹方程为
2
2
1
3
9
7
x
x
y
.
故选：D.
（2）已知
0,7
A
，
0, 7
B
，
12,2
C
，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨
迹方程为（
）
A．
2
2
1
1
48
x
y
y
B．
2
2
1
48
x
y
C．
2
2
1
1
48
y
x
x
D．
2
2
1
48
y
x
【答案】A
【分析】根据椭圆定义得到AF
AC
BF
BC
，转化为
2
14
AF
BF
BC
AC
，得到故F 的轨
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支，进而求出轨迹方程.
【详解】由题意得
2
2
12
2
7
13
AC
，
2
2
12
2
7
15
BC
，
14
AB
，
因为A ，B 都在椭圆上，所以AF
AC
BF
BC
，
所以
2
14
AF
BF
BC
AC
，
故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支，又因为2
14
c
AB
，2
2
a
AF
BF
，
即
7
c ，
1
a ，所以
2
48
b
，
因此F 的轨迹方程是
2
2
1
1
48
x
y
y
．
故选：A．
（3）已知抛物线
2
8
y
x
的焦点F 与双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的一个焦点重合，且与双曲线在第一象
限交于点P ，若
5
PF ，则双曲线的方程为（
）
A．
2
2
1
3
x
y
B．
2
2
1
3
y
x
C．
2
2
1
32
36
x
y
D．
2
2
1
36
32
x
y
【答案】B
【解析】由已知可得抛物线焦点为
(2,0)
F
，双曲线的焦点坐标为
(2,0),
( 2,0)
F
F
，
5
PF 结合抛物线的定
义可求P 点坐标，再由双曲线的定义求出2a ，进而求出双曲线方程.
【详解】抛物线
2
8
y
x
的焦点F 与双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的一个焦点重合，
双曲线的焦点坐标为
(2,0),
( 2,0)
F
F
，双曲线的焦距为2
4
c
，
设
2
0
0
0
0
0
0
(
,
),
0,|
|
2
5,
3,
24
P x
y
y
PF
x
x
y
，
2
2
2
||
|
|
|| |
(3
2)
24
(3
2)
24 | 2
a
PF
PF
，
1,
2,
3
a
c
b
，
所以双曲线方程为
2
2
1
3
y
x
.
故选:B.
（4）动圆P 过定点M(0，2)，且与圆N：
2
2
2
4
x
y
相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
0
3
x
y
y
B．
2
2
1
3
x
y
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
C．
2
2
1
0
3
y
x
y
D．
2
2
1
3
y
x
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P 的轨迹方程.
【详解】圆N：
2
2
2
4
x
y
的圆心为
0, 2
N
，半径为2 ，且
4
MN
设动圆P 的半径为r ，则
,
2
PM
r PN
r
，即
2
PM
PN
MN
.
即点P 在以
,
M N 为焦点，焦距长为2
4
c
，实轴长为2
2
a
，
虚轴长为2
2 4 1
2 3
b
的双曲线上，且点P 在靠近于点N 这一支上，
故动圆圆心P 的轨迹方程是
2
2
1
0
3
x
y
y
故选：A
（5）在矩形ABB A
中，
8
A A
，AB＝6，把边AB 分成n 等份，在B B
的延长线上，以B B
的n 分之一为
单位长度连续取点．过边AB 上各分点和点A作直线，过延长线上的对应分点和点A 作直线，这两条直线
的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P 的坐标满足的方程是（
）
A．
2
2
1
4,
0
16
36
x
y
x
y
B．
2
2
1
8,
0
64
16
x
y
x
y
C．
2
2
1
4,
0
16
9
x
y
x
y
D．
2
2
1
8,
0
64
36
x
y
x
y
【答案】C
【分析】设
0
0
(
,
)
P x
y
，结合题意找出
0x 与
0y 的关系式，即可求解．
【详解】解：设
0
0
(
,
)
P x
y
，则
0
4
x >
，
0
0
y
，据题意，易得直线
0
0
:
4
4
A P
y
l
y
x
x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
直线
0
0
:
(
4)
4
AP
y
l
y
x
x
．由
0
0
:
(
4)
4
A P
y
l
y
x
x
，令
4
x
，得
0
0
8
4
y
y
x
，
因此边AB 上各分点的坐标为
0
0
8
4,
4
y
x
，
由
0
0
:
(
4)
4
AP
y
l
y
x
x
，令
6
y
，得
0
0
6
4
4
x
x
y
，
因此B B
延长线上的对应分点的坐标为
0
0
6
4
4,6
x
y
，结合题意，可知
0
0
0
0
6
4
8
4
8
6
x
y
y
x
，化简得
2
2
0
0
1
16
9
x
y
．
因此点P 的坐标满足的方程为
2
2
1
4,
0
16
9
x
y
x
y
．
故选：C．
题型二
双曲线的最值问题
例2（1）已知
1F ，
2
F 分别为双曲线
2
2
1
5
4
x
y
的左、右焦点，
3,1
P
为双曲线内一点，点A 在双曲线的右支
上，则
2
AP
AF
的最小值为（
）
A．37
4
B．
37
4
C．37
2 5
D．
37
2 5
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可得，求
2
AP
AF
的最小值相当于求
1
2 5
AP
AF
的最小值，当
1
, ,
P A F 三
点共线时能取得最小值.
【详解】因为
2
1
2 5
AP
AF
AP
AF
，所以要求
2
AP
AF
的最小值，
只需求
1
AP
AF
的最小值.
如图,连接
1F P 交双曲线的右支于点
0
A .当点A 位于点
0
A 处时，
1
AP
AF
最小，最小值为
2
2
1
3
3
1
37
PF
.
故
2
AP
AF
的最小值为37
2 5
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：C
（2）设点P 是圆
2
2
3
1
x
y
上的一动点，
0,2
A
，
0, 2
B
，则PB
PA
的最小值为（
）．
A．4 5
5
B．8 5
5
C．6
D．12
【答案】B
【分析】设
2
0
2
PB
PA
a
a
，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲
线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可.
【详解】设
2
0
2
PB
PA
a
a
，
则点P 的轨迹为以A，B 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上支，
∴点P 的轨迹方程为
2
2
2
2
1
4
y
x
y
a
a
a
，依题意，双曲线与圆有公共点，
将圆的方程代入双曲线方程得
2
2
2
2
2
2
4
1
3
4
a
y
a
y
a
a
，
即
2
2
4
2
6
4
0
,
4
4
2
a y
a
a
a
y
y
y
，
判别式
4
4
2
2
2
Δ
36
16
4
4
5
16
0
a
a
a
a
a
，解得
4 5
5
a
，
当
4 5
5
a
时，
2
6
6
16
12
4 5
8
8
5
5
5
a
y
，且
12
2,4
5
，
∴等号能成立．∴
8
8 5
2
5
5
PB
PA
a
．
故选：B
（3）已知向量
(
1, 5
),
(
1, 5
)
a
x
y b
x
y
，满足a
b
的动点
( , )
M x y 的轨迹为E ，经过点
(2,0)
N
的
直线l 与E 有且只有一个公共点A ，点P 在圆
2
2
(
2 2)
1
x
y
上，则AP 的最小值为（
）．
A．3
2 2
B．
2
1
C．2 2
2
D．1
【答案】A
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】先求出轨迹E 的方程，再利用直线l 与E 有且只有一个公共点A ，求出点A 的坐标，从而得解.
【详解】根据a
b
，可得
1
1
5
5
0
x
x
y
y
，
化简得为动点
( , )
M x y 的轨迹E 的方程为：
2
2
1
4
4
y
x
，
设经过点
(2,0)
N
的直线l 为：
2
y
k x
，（可判断斜率存在）
联立方程
2
2
2
1
4
4
y
k x
y
x
，得(
)
(
)
2
2
2
2
1
4
4
1
0
k
x
k x
k
-
-
+
-
=
①,
由于直线l 与E 有且只有一个公共点A ，
所以
2
1
k ，或
(
)
2
4
2
16
16
1
0
k
k
D =
-
-
=
，
得
1
k ，或
2
2
k
，
因为圆
2
2
(
2 2)
1
x
y
，圆心
0,2 2 ，
所以当点A 在x 轴上方时AP 较小，以下只讨论点A 在x 轴上方的情况,
当
1
k 时，代入①式，得
0
x
，
再代入双曲线方程可得
(0,
2)
A
±
，
当
(0,2)
A
时，点A 在圆
2
2
(
2 2)
1
x
y
内，
可得AP 的最小值为
1
2 2
2
3
2 2
；
当
2
2
k
时，代入①式，得
2
x ，
再代入双曲线方程可得则
(
2,
2 2)
A -
±
，
当
(
2,2 2)
A -
时，点A 在圆
2
2
(
2 2)
1
x
y
外，
可得AP 的最小值为(
)
0
2
1
1
+
-
=
；
则AP 的最小值为3
2 2
.
故选：A
（4）在直角坐标系xOy 中，,
A B 是双曲线
2
2
:
1
4
x
C
y
的两条渐近线上的动点，满足点A 在第一象限，点
B 在第四象限，且直线AB 与C 的右支有交点.
(1)求AB 的最小值；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)设P 是直线AB 与C 的一个交点且AP
PB
.记C 上的点到C 的焦点的距离的取值集合为S，若5
S
，
求AOB
面积的取值范围.
【答案】(1)2
(2) 13 5
19 ,
5
【分析】（1）设直线AB 方程及点A B
、坐标，分别联立双曲线方程及渐近线方程得
2
2
2
2
2
4
1
4,
4
t
m
m
t
AB
m
，消元结合函数单调性即可求最值；
（2）先由双曲线的性质得
5
5
2
，再由向量关系得出P
A
B
、、三点横纵坐标关系式，结合渐近线方
程及双曲线方程消元转化得
2
1
4
A
B
y y
，后根据韦达定理将三角形面积化为
2
2
2
1
1
4
2
2
AOB
t
S
m
，由对勾函数求范围即可.
【详解】（1）设
1
1
2
2
:
2,
0 ,
,
,
,
AB
l
x
my
t m
t
A x y
B x
y
，
联立直线AB 与双曲线方程
2
2
4
4
0
x
my
t
x
y
得
2
2
2
4
2
4
0
m
y
mty
t
，
所以
2 2
2
2
2
2
4
4
4
4
0
4
m t
m
t
m
t
，
联立直线AB 与渐近线方程
2
2
4
0
x
my
t
x
y
得
2
2
2
4
2
0
m
y
mty
t
，
所以
1
2
2
2
1
2
2
2
4
4
mt
y
y
m
t
y
y
m
，
又点A 在第一象限，点B 在第四象限，所以
2
4
0
m
，
故
2
2
2
2
2 2
2
2
1
2
2
2
1
4
1
1
4
4
4
4
4
m
t
m
AB
m
y
y
m t
t
m
m
m
，
由
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
4
4
4
4
4
1
4
m
m
t
t
m
m
t
m
m
m
2
2
2
1
5
4
4
4
1
4
m
m
m
①，
显然当
2
0
m
时①式取得最小值2 ，此时
2,
0
t
m
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故AB 的最小值为2；
（2）设双曲线上一点
0
0
,
M
x
y
，易知C 的右焦点为
2
5,0
F
，
则
2
2
2
0
2
2
2
0
0
0
2
0
0
0
5
4
4
4
0,
5
5
1
4
2
x
x
x
y
MF
x
y
x
，
因为
0
2
x
，所以
0
2
5
4
5
2
2
x
MF
，即
5
2,
S
，
因为5
S
，所以
5
5
2
1
，
设
3
3
,
P x
y
，由AP
PB
得
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
，
即
2
2
1
2
1
2
4
4
1
1
x
x
y
y
，
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
4
2
4 1
x
x x
x
y
y y
y
②，
又
2
2
1
1
2
2
2
2
4
0
4
0
x
y
x
y
且
1
1
2
2
2
2
x
y
x
y
，所以②式可化为
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
x x
y y
y y
，
由（1）可得O到AB 的距离
2
1
t
d
m
，
2
1
2
2
4
t
y y
m
，
2
2
2
4
1
4
AB
t
m
m
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
4
4
2
4
2
2
2
AOB
t
d
t
S
AB
m
m
，
由对勾函数的性质可知
1
2
2
y
在
5
5
2 ,
上单调递增，
故
5
5
2
1
13 5
24
13 5
24
13 5
19
1
2
5
5
5
10
5
2
AOB
y
S
，
所以AOB
面积的取值范围为13 5
19 ,
5
.
练习题
（1）设
1F ，
2
F 为双曲线C：
2
2
1
3
x
y
的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当
1
QF
PQ
取最小值时，
2
QF 的值为（
）
A．
3
2
B．
3
2
C．6
2
D．
6
2
【答案】A
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】结合双曲线定义数形结合判断
1
QF
PQ
取最小值时，
2
,
,
P Q F 三点共线，联立直线及双曲线方程
解出Q 的坐标为
6
6
(3
,
1)
2
2
，即可求解
2
QF 的值.
【详解】由双曲线定义得
1
2
2
2 3
QF
QF
a
,
故
1
2
2 3
QF
PQ
PQ
QF
如图示，当
2
,
,
P Q F 三点共线，即Q 在M 位置时，
1
QF
PQ
取最小值，
2 2,0 ,
(0,2)
F
P
，故
2
PF 方程为
2
y
x
，
联立
2
2
1
3
x
y
，解得点Q 的坐标为
6
6
(3
,
1)
2
2
(Q 为第一象限上的一点)，
故
2
2
2
2
6
6
|
|
(3
2)
(
1)
3
2
3
2
2
2
QF
故选：A
（2）P 是双曲线
2
2
9
16
x
y
=1 的右支上一点，M、N 分别是圆
2
2
(
5)
1
x
y
和
2
2
(
5)
x
y
=4 上的点，则
|
|
|
|
PM
PN
的最大值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把|
|
|
|
PM
PN
转化为
双曲线上的点到两焦点之间的距离,即可求|
|
|
|
PM
PN
的最大值.
【详解】
2
2
1
9
16
x
y
2
9
a
2
16
b
则
2
25
c
故双曲线的两个焦点为
1( 5,0)
F
,
2(5,0)
F
1( 5,0)
F
,
2(5,0)
F
也分别是两个圆的圆心,半径分别为1
2
1,
2
r
r
,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
max
1
|
|
1
PM
PF
min
2
|
|
2
PN
PF
则|
|
|
|
PM
PN
的最大值为
1
2
1
2
PF
PF
1
2
3
PF
PF
2 3
3=9
故选：D
（3）已知双曲线E ：
2
2
1
x
y
，双曲线C 与E 共渐近线且经过点
5,1
(1)求双曲线C 的标准方程．
(2)如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA
x
轴于点A ，PB
y
轴于点B ，直线AB 交
曲线E 于点Q（第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求
KQA
BQJ
S
S
△
△
的最小值．
【答案】(1)
2
2
4
x
y
(2)2
【分析】（1）由题意设C ：
2
2
x
y
m
，将
5,1
代入解方程即可得出答案.
（2）设
,
P m n ，
,0
A m
，
0,
B
n ，设AQ
QB
，表示出Q 点坐标，代入E ：
2
2
1
x
y
方程，即可求得
,
2 2
m n
Q
，进一步求出
,
K J 的坐标，而
KQA
BQJ
BKJ
S
S
S
，而
1
2
BKJ
S
KB
JB
，代入化简结合基本不等
式即可得出答案.
【详解】（1）由题意设C ：
2
2
x
y
m
，
将
5,1
代入得到
4
m
，
∴曲线C ：
2
2
4
x
y
．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（2）设
,
P m n ，
,0
A m
，
0,
B
n ，
,
Q x y ，
则
2
2
4
m
n
（*）
设AQ
QB
，则
,
,
AQ
x
m y
QB
x n
y
，
解得：
,
,
,
1
1
1
1
m
n
m
n
x
y
Q
，
代入E ：
2
2
1
x
y
方程，得
2
2
2
1
m
n
，
结合（*）式可知
2
1
1
3
0
n
由于
0
，则
2
1
3
0
n
，所以
1
．
所以Q 是A 、B 的中点，
,
2 2
m n
Q
．
因为四边形OAPB是矩形，
,0
A m
，
,
2 2
m n
Q
，
所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ
BQ
，
在AQK
与
BQK
△
中，AQ
BQ
，分别以
,
AQ BQ 为底时，高相同，
所以
KQA
KQB
S
S
，
则
KQA
BQJ
KQB
BQJ
BKJ
S
S
S
S
S
△
△
△
△
△
，
因为过双曲线
2
2
1
x
y
上一点
,
2 2
m n
Q
的切线方程为
1
2
2
m
n
x
y
，
所以直线KJ 的方程为：
1
2
2
m
n
x
y
即
2
mx
ny
，
因为
K
B
y
y
n
，所以
2
2
,
n
K
n
m
，令
0
x
，所以
2
0,
J
n
，
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
4
BKJ
n
n
n
n
S
KB
JB
n
m
n
mn
m n
n
n
，，
令
2
2
2
t
n
，
4
4
2
1
1
2
2
2
2
4
BKJ
t
t
S
t
t
t
△
，
令
2
4
0
s
t
，
2
4
1
1
16
8
2
2
2
BKJ
s
S
s
s
s
△
．
当且仅当
16
s
s
，即
4
s
，
2
8
t
，
2
2 2
2
n
时，取得最小值．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
题型三离心率的取值及其范围
例3：（1）已知过坐标原点的直线l 与双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
相交于A，B 两点，点A 在第一象限，
经过点A 且与直线l 垂直的直线与双曲线C 的另外一个交点为M ，点N 在y 轴上，
//
BN NM
，点O为坐标
原点，且
2
7
ON
OA NO
，则双曲线C 的离心率
.
【答案】
7
【分析】由题意可得直线的斜率存在且不等于0 ，不妨设直线l 的方程为y
kx
，设线段BM 的中点为Q ，
连接OQ，设
1
1
1
1
,
0,
0
B x y
x
y
，根据点差法得到
2
2
BM
OQ
b
k
k
a
，由垂直关系得到
1
OB
OQ
k
k
，结合
2
7
ON
OA NO
求出N 点的坐标，由
BM
BN
k
k
求出, ,
a b c 的齐次式，进而可得出答案.
【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．
由题意可得直线的斜率存在且不等于0 ，不妨设直线l 的方程为y
kx
，
因为
//
BN NM
，所以B、N、M 三点共线，
设线段BM 的中点为Q ，连接OQ，
根据题意，显然可得点O为线段AB 的中点，所以
//
OQ AM ，
设
1
1
1
1
,
0,
0
B x y
x
y
，
2
2
1
1
,
,
,
,
M x
y
A
x
y
0
0
,
Q x
y
，
1
2
x
x
，
因为点B，M 都在双曲线C 上，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
，两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
，
即
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
，
而
1
2
0
1
2
0
2
2
OQ
y
y
y
k
x
x
x
，
1
2
1
2
BM
y
y
k
x
x
，
所以
2
2
BM
OQ
b
k
k
a
，即
2
0
2
0
BM
b x
k
a y
，
又因为AB
AM
，则OB
OQ
，即
1
OB
OQ
k
k
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
1
0
1
0
1
y
y
x
x
，即
0
1
0
1
x
y
y
x
，
所以
2
1
2
1
BM
b y
k
a x
，
又
2
7
ON
OA NO
，则
2
7
cos
ON
OA ON
AON
，
即
1
|
|
7 |
| cos
7 |
| cos π
7
ON
OA
AON
OA
AON
y
，故
1
0,7
N
y
，
所以
1
1
1
1
1
7
6
BN
y
y
y
k
x
x
，
而
BM
BN
k
k
，故
1
2
1
2
1
1
6y
x
b y
a x
，即
2
2
6
b
a
，
则双曲线C 的离心率
2
2
1
7
c
b
e
a
a
．
故答案为：
7 .
（2）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F ，关于原点对称的两点A、B 分别在双曲线的左、
右两支上，
0
AF FB
，3BF
FC
，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（
）
A．10
3
B．
10
2
C．
5
2
D．2 3
3
【答案】B
【分析】由
(c,0)
F
，令
( , )
A m n 且m
a
，
( , )
C x y ，则
(
,
)
B
m
n
，根据题设有
2
2
2
2
1
m
n
a
b
、
2
2
2
m
n
c
、
(4
3 ,3 )
C
c
m n
，进而有
2
2
2
2
(4
3 )
9
1
c
m
n
a
b
，将它们整理为关于,a c 的齐次方程求离心率即可.
【详解】由题设
(c,0)
F
，令
( , )
A m n 且m
a
，
( , )
C x y ，则
(
,
)
B
m
n
，且
2
2
2
2
1
m
n
a
b
①，
由
2
2
2
(
,
) (
,
)
0
AF FB
c
m
n
m
c
n
m
c
n
，即
2
2
2
m
n
c
②，
由
4
3
3
3(
, )
(
, )
3
x
c
m
BF
FC
c
m n
x
c y
y
n
，即
(4
3 ,3 )
C
c
m n
，
又C 在双曲线上，则
2
2
2
2
(4
3 )
9
1
c
m
n
a
b
③，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由①得：
2
2
2
2
1
n
m
b
a
，代入③并整理得：
2
2
2
3
0
c
mc
a
，
由①②及
2
2
2
a
b
c 得：
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m b
a
n
b
c
m
m
a
a
c
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
4
(2
)
9
18
9
c
a
m c
a c
a
，即
2
2
2
4
2
2
2
2
2
7
5
(2
5
)(
)
0
c
a c
a
c
a
c
a
，
显然
2
2
a
c
，则
2
2
2
5
10
2
2
c
e
e
a
.
故选：B
（3）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为
1
2
,
F F ，且两条曲线在第一象限的交点
为P ，
1
2
PF F
△
是以
1
PF 为底边的等腰三角形，若
1
24
PF
，椭圆与双曲线的离心率分别为
1
2
,
e e ，则
1 2
3e e 的
取值范围是（
）
A．1 ,
9
B．
1,
C．1 ,
3
D．1 ,
2
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得c 的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用c 表示出
1
2
,
e e ，
从而得到
1 2
2
1
1
1
44
e e
c
，结合c 的范围可得结果.
【详解】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为
1a ，双曲线实半轴为
2a ，
1
1
PF
r
，
2
2
PF
r
，
1
2
PF F
△
是以
1
PF 为底边的等腰三角形，点P 在第一象限内，
2
1
2
1
2
2
1
2
1
,
,
PF
F F
PF
PF
PF
F F
PF
，
即1
24
r
，2
2
r
c
，且1
2
r
r
，
2
1
2r
r
，
2
24
c
，4
24
c
，解得：6
12
c
．
在双曲线中，
1
2
2
2
PF
PF
a ，
2
2
2
1
2
2
2
2
2
24
2
12
c
c
c
c
c
e
a
a
r
r
c
c
；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
在椭圆中，
1
2
1
2
PF
PF
a ，
1
1
1
1
2
2
2
2
2
24
2
12
c
c
c
c
c
e
a
a
r
r
c
c
；
1 2
2
1
12
12
1
144
c
c
e e
c
c
c
；
6
12
c
，
2
36
144
c
，则
2
144
1
4
c
，
2
0
1
3
144
c
，
可得：
2
1
1
144
3
1
c
，
1 2
3e e
的取值范围为
1,.
故选：B.
（4）已知双曲线E:
2
2
2
2
1
x
y
a
b
,其左右顶点分别为
1A ,
2
A ,P 在双曲线右支上运动,若
1
2
A PA
的角平分线交x
轴于D 点,
2
A 关于PD 的对称点为
3
A ,若仅存在2 个P 使直线
3A D 与E 仅有一个交点,则E 离心率的范围为(
)
A．(1,
2)
B．( 2,2)
C．( 2,
)
D．(2,
)
【答案】D
【分析】设直线
1
PA 的倾斜角为，直线
2
PA 的倾斜角为，我们可证直线
PD
b
k
a
且
2
2
tan
2
tan
tan
tan
b
a
b
a
b
a
，据
此可求离心率的范围.
【详解】设直线
1
PA 的倾斜角为，直线
2
PA 的倾斜角为，由题设可得P 不为右顶点.
设
0
0
,
P
x
y
，则
2
2
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
tan
tan
x
b
a
y
y
y
b
x
a
x
a
x
a
x
a
a
.
双曲线在
0
0
,
P
x
y
处的切线斜率必存在，设切线方程为
0
0
y
k x
x
y
，
由
2
2
2
2
2
2
0
0
b x
a y
a b
y
kx
y
kx
可得
2
2
2
2
2
2
0
0
b x
a
kx
y
kx
a b
，
整理得到：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
0
b
a k
x
ka
y
kx
x
a
y
kx
a b
，
故
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
4
4
0
k a
y
kx
b
a k
a
y
kx
a b
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
整理得：
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
0
x
a
k
kx y x
y
b
即
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
0
a y
b x
k
kx y x
b
a
，
故
2
0
2
0
b x
k
a y
，故切线方程为：
2
0
0
0
2
0
b x
y
x
x
y
a y
即
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
.
因为存在2 个P 使直线
3A D 与E 仅有一个交点，
故由双曲线的对称性不妨设P 在第一象限，
此时，均为锐角且存在唯一的P 满足题设条件.
故直线PD 与渐近线平行或与双曲线相切或
PD
b
k
a
.
若直线PD 与渐近线平行，则
PD
b
k
a
，
而PD 为
1
2
A PA
的平分线，故其倾斜角满足
，故
2
，
故tan
2
b
a
，
故
2
2
2
2
2
2
tan
1
b
ab
a
b
a
b
a
，但
2
2
tan
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
1
b
a
,
故
2
2
2
2
2
2
tan
tan
1 b
ab
b
a
a
b
a
，
而
2
2
tan
tan
b
a
，由基本不等式可得
2
2
2
tan
tan
2
b
b
a
a
，
当且仅当tan
tan
即
时等号成立，此时
1
2
//
PA PA ，这不可能，
故直线PD 与渐近线不平行.
若直线PD 与双曲线相切，且切点为
0
0
,
P
x
y
，
双曲线在P 的切线方程为：
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故
2
0
0
a
D
x
，且该切线的斜率为
0
2
2
0
2
0
0
2
x
b x
a
y
a y
b
，所以直线
3A D 的斜率为
2
0
2
0
4
2
0
4
2
0
2
1
b x
a y
b x
a y
.
此时
1
1
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
2
2
3
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
tan
1
1
PA
PA
b x
b x
y
k
a y
a y
x
a
a b
ab x
DPA
b x
b x
y
a y
a
b
x y
k
a y
a y
x
a
，
而
21
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
3
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
tan
1
1
PA
PA
b x
y
b x
k
a y
x
a
a y
a b
ab x
DPA
b x
b x
y
a y
a
b
x y
k
a y
a y
x
a
，
2
2
2
2
2
2
0
0
3
2
2
3
2
2
0
0
0
0
0
0
a b
ab x
a b
ab x
a y
a
b
x y
a y
a
b
x y
即
2
2
2
0
3
2
2
0
0
0
ab x
a b
a y
a
b
x y
，故
2
2
2
a
a
b
，矛盾.
故直线
PD
b
k
a
，所以tan
2
b
a
，
而直线
3A D 的倾斜角为
，
因为直线
3A D 与双曲线有且只有一个交点，且D 在
2
OA 之间，故
3
A D
b
k
a
，
由P 在第一象限内的唯一性可得存在唯一的,
，使得
2
2
tan
2
tan
tan
tan
b
a
b
a
b
a
，
而
2
2 tan
2
1
tan
2
b
a
，故
1
1
tan
2
2
tan
2
a
b
，
所以
1
2
a
a
b
b
b
a
即
2
2
3
b
a
，
所以
2
2
2
1
2
b
e
a
，
故选：C.
练习题
（1）已知
1
2
,
F F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，过点
2
F 作直线
1
2
AB
F F
交C 于
,
A B 两
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
点. 现将C 所在平面沿直线
1
2
F F 折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后
,
A B 两点的对应点分别为
,
A B
，
且
1
A F B
若1
cos
25
1
cos
16
，则C 的离心率为（
）
A．
3
B．2 2
C．3
D．3 2
【答案】C
【分析】根据题意分析可知锐角二面角
1
A F B
，利用双曲线的定义与性质结合余弦定理运算求解.
【详解】设双曲线的半焦距为
0
c
，
由题意可得：
2
2
2
2
2
2
1
1
,
2
b
b
a
c
AF
BF
AF
BF
a
a
a
a
，
则
2
2
2
2
2
1
1
,
b
a
c
A F
B F
A F
B F
a
a
，
且
1
1
A F
B F
，则锐角二面角
1
A F B
，
在
2
△A F B
中，由余弦定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
1 cos
1
1
2
2
2
b
b
A B
A F
B F
A B
a
A B
a
a
b
b
A F
B F
b
a
a
，
在
1
△A F B
中，由余弦定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 cos
1
1
2
2
2
a
c
a
c
A B
A F
B F
A B
a
A B
a
a
a
c
a
c
A F
B F
a
c
a
a
，
因为1
cos
25
1
cos
16
，即
2
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
25
6
2
1
2
a
A B
a
c
b
b
a
A B
a
c
，
可得
2
2
2
2
2
2
2
5
4
a
c
a
c
b
c
a
，解得
2
2
3
c
e
a
.
故选：C.
（2）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，点B 的坐标为
0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB
b
，则C 的
离心率取值范围是（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．
5
1
1,
2
B．
5
1,
2
C．1, 2
D．
2,
【答案】A
【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设
,
P x y ，
2
2
2
2
2
0
PB
b
x
y
b
b
x
y
by
，
由
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
y
x
a
a
b
b
，代入不等式中，
化简，得
2
2
2
2
2
0
c y
by
a
b
恒成立，
则有
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
4
0
1
0
a c
b
b
a c
b
ac
c
a
ac
e
e
b
，
解得1
5
1
5
2
2
e
，而
1
e ，所以
1
5
1
2
e
故选：A
（3）已知
1
2
F
F
，分别是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0
0)
y
x
C
a
b
a
b
，
的左，右焦点，点M 在双曲线上，
1
2
MF
MF
，圆
2
2
2
2
3
:
(
)
2
O x
y
a
b
，直线
1
MF 与圆O相交于
,
A B 两点，直线
2
MF 与圆O相交于,
P Q 两点，若四边形APBQ
的面积为
2
2 7b ，则C 的离心率为（
）
A．
6
2
B．3 2
4
C．3
2
D．9
8
【答案】A
【分析】根据题意结合双曲线的定义可得
2
1
2
2
MF
MF
b
，进而可得
2
2
2
2
1
,
2
OC
OD
b
OC
OD
c
，利
用垂径定理求
,
AB
PQ ，结合面积运算求解即可.
【详解】由题意可得：
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 ,
2
MF
MF
a MF
MF
MF
MF
MF
MF
F F
，
可得
2
2
1
2
4
2
4
a
MF
MF
c
，整理得
2
2
2
1
2
2
2
2
MF
MF
c
a
b
，
过点O分别作
,
AB PQ 的垂线，垂足分别为
,
C D ，
则C 为
1
,
AB MF 的中点，D 为
2
,
PQ MF 的中点，则
2
1
1
1
,
2
2
OC
MF
OD
MF
，
所以
2
2
1
1
1
4
2
OC
OD
MF
MF
b
，
由题意可得：
2
2
2
2
OC
OD
OM
c
，
因为圆
2
2
2
2
2
3
3
:
(
)
2
2
O x
y
a
b
c
的半径为
6
2 c ，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
可得
2
2
2
2
2
2
2
2
6
3
6
3
2
2
,
2
2
2
2
2
2
AB
c
OC
c
OC
PQ
c
OD
c
OD
，
所以四边形APBQ 的面积
2
2
2
2
1
1
3
3
2
2
2
2
2
2
AB
PQ
c
OC
c
OD
2
2
2
4
2
4
4
4
4
4
2
9
3
9
3
1
2
2
3
2 7
4
2
4
2
4
c
OC
OD
c
OC
OD
c
c
b
c
b
b
，
可得
4
4
4
3
28
c
b
b
，则
2
2
2
2
3
3
c
b
c
a
，整理得
2
2
3
2
c
a =
，
所以C 的离心率
3
6
2
2
c
e
a
.
故选：A.
题型四
双曲线的实际应用题
例4（1）3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双
曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3 的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的
上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径
为（
）
A．
574 cm
8
B．
287 cm
8
C．
574 cm
4
D．
287 cm
4
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【答案】C
【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的
坐标代入双曲线方程即可求解.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C 为笔筒对应双曲线的实轴端点，
以OC 所在直线为x 轴，过点O且与OC 垂直的直线为y 轴，
建立平面直角坐标系，设A 与B 分别为上，下底面对应点.
由题意可知
3,
4,
8
A
B
A
B
x
x
y
y
，设
3,
A
m ，则
4,
8
B
m
，
设双曲线的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，因为双曲线的离心率为
2
3
1
b
a
，
所以
2 2
b
a
，所以方程可化简为
2
2
2
8
8
*
x
y
a
，
将A 和B 的坐标代入
* 式可得
2
2
2
2
72
8
128
8
8
m
a
m
a
，解得
1
2
574
8
m
a
，
则笔筒最细处的直径为
574
2
cm
4
a
.
故选：C.
（2）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：
1F ，
2
F 是双曲线的左､右焦
点，从
2
F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过
1F ；当P 异于
双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分
1
2
FPF
.若双曲线C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y
，则下列结论正确的是
（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．射线n 所在直线的斜率为k ，则
4 4
,
3 3
k
B．当m
n
时，
1
2
32
PF
PF
C．当n过点
7,5
Q
时，光线由
2
F 到P 再到Q 所经过的路程为13
D．若点T 坐标为
1,0 ，直线PT 与C 相切，则
2
12
PF
【答案】ABD
【分析】A 选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.
B 选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.
C 选项，由双曲线定义可判断.
D 选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y
，所以
3,
4,
5
a
b
c
，渐近线方程为
4
3
y
x
，
选项A，因为直线
2
PF 与双曲线有两个交点，所以
4 4
,
3 3
k
，即A 正确；
选项B，由双曲线的定义知，
1
2
2
6
PF
PF
a
，
若m
n
，则
2
2
2
2
1
2
1
2
2
100
PF
PF
F F
c
，
因为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
PF
PF
PF
PF
PF
PF
，
所以
1
2
36
100
2 PF
PF
，
解得
1
2
32
PF
PF
，即B 正确；
选项C：
2
2
2
1
1
2
2
(7
5)
(5
0)
2 3
7
PF
PQ
PF
a
PQ
FQ
a
，即C 错误；
选项D，因为PT 平分
1
2
FPF
，由角分线定理知，
1
2
1
2
PF
PF
TF
TF
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
1
1
2
2
5 1
3
5 1
2
PF
TF
PF
TF
，
又
1
2
6
PF
PF
，
所以
2
2
3
6
2 PF
PF
，解得
2
12
PF
，即D 正确.
故选：ABD.
（3）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如
左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.
封闭曲线E（如右图）是由椭圆
1
C ：
2
2
1
8
4
x
y
和双曲线
2
C ：
2
2
1
3
x
y
在y 轴右侧的一部分（实线）围
成.光线从椭圆
1
C 上一点
0P 出发，经过点
2
F ，然后在曲线E 内多次反射，反射点依次为
1P ，
2P ，
3P ，
4P ，…
若
0P ，
4P 重合，则光线从
0P 到
8P 所经过的路程为
.
【答案】16 2
8 3
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的光学性质，结合它们的定义列式计算作答.
【详解】椭圆
2
2
1
8
4
x
y
的长轴长为4 2 ，双曲线
2
2
1
3
x
y
的实轴长为2 3 ，
由椭圆的光学性质知
0
2
3
4
3
1
|
|
|
| 4 2
|
|
P F
P P
P F
，
2
1
2
2
1
1
|
|
|
| 4 2 |
|
P P
P F
PF
，
由双曲线的光学性质知
3
2
3
1
|
| |
| 2 3
P F
P F
，
1
2
1
1
|
| |
| 2 3
PF
PF
，而
0P ，
4P 重合，
因此光线从
0P 到
4P 所经过的路程：
0
1
1
2
2
3
3
4
0
2
2
1
1
2
2
2
2
3
3
4
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P P
PP
P P
P P
P F
F P
PP
P F
F P
P P
0
2
3
4
3
2
2
1
2
2
1
2
3
1
3
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (4 2
|
|)
(|
| 2 3
P F
P P
P F
P P
P F
PF
P F
P F
1
1
1
1
(4 2
|
|)
(|
| 2 3)
8 2
4 3
PF
PF
，光线从
4P 到
8P 所经过的路径重复光线从
0P 到
4P 所经过的路径，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以光线从
0P 到
8P 所经过的路程为2[8 2
4 3]
16 2
8 3
.
故答案为：16 2
8 3
（4）为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领
海巡航.某日，正巡逻在A 处的“唐山号”突然发现来自P 处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯
郸号”正分别位于如图所示的B、C 两处，其中A 在B 的正东方向相距6 海里处，C 在B 的北偏西30°方向
相距4 海里处.由于B、C 比A 距P 更远，因此，4 秒后B、C 才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每
秒1 海里），试确定疑似敌舰相对于A 点“唐山号”的位置.
【答案】在A 的北偏东30°方向，相距10 海里处.
【分析】以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点O 为原点建立坐标系，求出点P 所在的轨迹方程即可计算作答.
【详解】取A、B 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，如图，(3,0),
( 3,0),
( 5,2 3)
A
B
C
，
依题意，
4
6 |
|
PB
PA
AB
，则点P 在以A、B 为焦点，实轴长为4 的双曲线的右支上，方程为
2
2
1(
2)
4
5
x
y
x
，
又B、C 同时测得同一信号，即有PB
PC
，则点P 又在线段BC 的中垂线上，
而线段BC 的中点( 4, 3)
，直线BC 的斜率为
2 3
3
5
( 3)
，
线段BC 的中垂线方程为
3
3
(
4)
3
y
x
，即
3
7
0
x
y
，
由方程组
2
2
3
7
0
5
4
20
x
y
x
y
，解得
8
5 3
x
y
，即(8,5 3)
P
，直线AP 的斜率
3
AP
k
，
即直线AP 的倾斜角为60，|
| 10
PA
，
所以P 在A 的北偏东30°方向，相距10 海里处.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（5）某市轨道交通s 号线的线路示意图如图所示，已知M、N 是东西方向主干道边两个景点，P、Q 是南
北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为5 2 km，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距
离比到景点M 的距离都多10km，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到
景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求轨道交通s 号线的线路示意图所在曲线的方程：
(2)规划部门在设计s 号线线路的一个站点G 时，考虑到景点Q 为客流量巨大的热门景点，为了最大程度便
于轨道交通s 号线的乘客到达景点Q，应该如何设置站点G 的位置？
【答案】(1)
25
x x
y y
；
(2)
5
6,
5
(
2
2)
2
.
【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线、圆的定义求解方程作答.
（2）设出点G 的坐标，利用（1）的结论，两点间距离公式建立函数关系，分段求解作答.
【详解】（1）依题意，点
( 5 2,0),
(5 2,0), (0, 5 2),
(0,5 2)
M
N
P
Q
，设曲线上任意一点
( , )
R x y ，
当
0,
0
x
y
时，|
|
|
| 10
10 2
|
|
RN
RM
MN
，
因此线路AB 段所在曲线是以点M，N 为左、右焦点，实轴长为10，虚轴长为10 的双曲线的左支在x 轴及
上方部分，
则线路AB 段所在曲线的方程为
2
2
25(
0,
0)
x
y
x
y
；
当
0,
0
x
y
时，显然点
( 5,0)
B
，|
| |
| 5
RO
BO
，因此线路BC 段所在曲线是以O 为圆心、以OB 长为半
径的圆，
则线路BC 段所在曲线的方程为
2
2
25(
0,
0)
x
y
x
y
；
当
0,
0
x
y
时，|
|
|
| 10
10 2
|
|
RQ
RP
PQ
，
因此线路CD 段所在曲线是以点Q、P 为上、下焦点，实轴长为10，虚轴长为10 的双曲线下支在y 轴及右
侧部分，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则线路CD 段所在曲线的方程为
2
2
25(
0,
0)
x
y
x
y
，
所以线路示意图所在曲线的方程为
|
|
|
|
25
x x
y y
.
（2）设
0
0
(
,
)
G x
y
，而
(0,5 2)
Q
，则
2
2
2
2
0
0
0
0
0
|
|
(
5 2)
10 2
50
GQ
x
y
x
y
y
，
由（1）知，当
0
0
y
时，
2
2
0
0
25
x
y
，
2
2
0
0
0
5 2
|
|
2
10 2
75
2(
)
50
5 2
2
GQ
y
y
y
，
当且仅当
0
5
2
2
y
，
0
5
6
2
x
时取等号，此时点G 的坐标为
5
6,
5
(
2
2)
2
；
当
0
5
0
y
时，
2
2
0
0
25
x
y
，
0
|
|
10 2
75
75
5 3
GQ
y
，当且仅当
0
0
y
时取等号，
当
0
5
y 时，
2
2
0
0
25
x
y
，
2
0
0
0
|
|
2
10 2
25
5
2
5
5 2
GQ
y
y
y
，当且仅当
0
5
y 时取等号，
显然5
5 2
5 3
5 2
，因此
min
|
|
5 2
GQ
，即当
5
6,
5
2
2)
(
2
G
时，
使G 到景点Q 的距离最近，最大程度便于轨道交通s 号线的乘客到达景点Q，
所以站点G 应设置在点
5
6,
5
(
2
2)
2
处.
练习题
（1）某校兴趣小组运用计算机对轮船由甲地海湾行驶入乙地海湾进行了一次模拟试验.如图，乙地海湾的入
口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D 分别关于坐标轴或原点对称，线段B1B 的方程为y=x，x∈[a，
b]，b>a>0，过O 有一条航道.有一艘正在甲地海湾航行的轮船准备进入乙地海湾，在点M（-
5
2
a，0）处
测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N（
5
2
a，0）处晚1 s（设海面上声速为a m/s）.若该船沿着当前的
航线航行（不考虑轮船的体积），则兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是什么?
【答案】兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支.
【分析】根据题意及双曲线的定义，可判断出轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支，并可以进一步求
出双曲线的方程.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【详解】设轮船所在的位置为点P，由题意可得
.
PM
PN
a
∵
5 ,
a
MN
a
∴点P 的轨迹是以M，N 为焦点的双曲线的右支.
设所求双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
m
n
m
n
，则
2
2
1
5
,
,
2
4
4
a
a
m
a n
a
故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是
2
2
2
2
1
1(
)
2
4
x
y
x
a
a
a
.
所以兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支.
（2）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，
被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点
1F ､
2
F 的椭圆
与双曲线构成，现一光线从左焦点
1F 发出，依次经与反射，又回到了点
1F ，历时3 秒；若将装置中
的去掉，如图②，此光线从点
1F 发出，经两次反射后又回到了点
1F ，历时t 秒；已知与的离心率
之比为2：5，则t
.
【答案】10
【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得
1
ABF
和
1
CF D
的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列
出等式，即可解得答案.
【详解】设
1
2
|
| 2
F F
c
，设椭圆的长轴长为
1
2a
，双曲线的实轴长为
2
2a
，光速为
，
而与的离心率之比为2：5，即
1
2
2
5
c
a
c
a
，即
2
1
2
5
a
a
，
在图①中，
1
2
1
2
1
2
|
|
|
| 2 ,|
|
|
| 2
BF
BF
a
AF
AF
a
，
两式相减得：
1
2
2
1
1
2
|
|
|
|
|
|
|
| 2
2
BF
BF
AF
AF
a
a
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
即
1
1
1
2
|
|
|
|
|
| 2
2
BF
AB
AF
a
a
.即
1
ABF
的周长为
1
2
2
2
a
a
，
在图②中，
1
CF D
的周长为
1
2
1
2
1
|
|
|
|
|
|
|
| 4
CF
CF
DF
DF
a
,
由题意可知：
1
2
1
3
2
2
,
4
a
a t
a
，
则
1
2
1
2
2
3
3
4
10
a
a
t
a
，故
10
t
（秒），
故答案为：10.
（3）如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另
一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的
反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点
1
2
,
F F 的椭圆
1
C 与双曲线
2
C 构成，
已知
1
C 与
2
C 的离心率之比为2:5.现一光线从右焦点
2
F 发出，依次经
1
C 与
2
C 的反射，又回到了点
2
F ，历时
8
3 10
秒.将装置中的
2
C 去掉，如图④，此光线从点
2
F 发出，经
1
C 两次反射后又回到了点
2
F ，历
时
.秒
【答案】
7
10/
7
1
10
【分析】由题意可
2
1
2
5
a
a
，得根据椭圆的和双曲线的定义可得
1
2
1
1
2
2
2 ,
2
BF
BF
a
AF
AF
a
，整理得
到
2
2
1
2
2
2
BF
AB
AF
a
a
，从而结合路程速度时间之间的关系可得
8
1
2
1
3 10
2
2
,
4
v
a
a tv
a
，求得
答案.
【详解】设
1
2
2
F F
c
，椭圆的长轴长为
1
2a ，双曲线的实轴长为
2
2a ，光速为v，
而
1
C 与
2
C 的离心率之比为2:5，即
1
2
2
5
c
a
c
a
，即
2
1
2
5
a
a
，
在图③
1
2
1
1
2
2
2 ,
2
BF
BF
a
AF
AF
a
，
两式相减得：
1
2
2
1
1
2
2
2
BF
BF
AF
AF
a
a
，
即
2
2
1
2
2
2
BF
AB
AF
a
a
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
在图④中，
1
1
2
2
1
4
BF
DF
DF
BF
a
，
设图④，光线从点
2
F 发出，经
1
C 两次反射后又回到了点
2
F ，历时t 秒，
由题意可知：
8
1
2
1
3 10
2
2
,
4
v
a
a tv
a
，则
8
1
2
1
2
2
3 10
3
4
10
a
a
t
a
，
故
7
10
t
（秒），
故答案为：
7
10
题型五
双曲线的综合应用题
例1（1）已知O 为坐标原点，双曲线C:
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为
6
2
，
点
1
1
,
P x y
是C 的右支上异于顶点的一点，过F2 作
1
2
FPF
的平分线的垂线，垂足是M，|
|
2
MO
，若双
曲线C 上一点T 满足
1
2
5
FT F T
，则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为（
）
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．2 6
【答案】A
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设( , )
T u v ，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为c，延长
2
F M 交
1
PF 于点N，由于PM 是
1
2
FPF
的平分线，
2
F M
PM
，
所以
2
NPF
是等腰三角形，所以
2
PN
PF
，且M 是NF2 的中点.
根据双曲线的定义可知
1
2
2
PF
PF
a
，即
1
2
NF
a
，由于O是
1
2
F F 的中点，
所以MO 是
1
2
NF F
△
的中位线，所以
1
1
|
|
2
2
MO
NF
a
，
又双曲线的离心率为
6
2
，所以
3
c
，
1
b ，所以双曲线C 的方程为
2
2
1
2
x
y
.
所以
1(
3,0)
F
，
2( 3,0)
F
，双曲线C 的渐近线方程为
2
0
x
y
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
设
( , )
T u v ，T 到两渐近线的距离之和为S，则
|
2 |
|
2 |
3
3
u
v
u
v
S
，
由
2
2
2
1
2
(
3)(
3)
3
5
FT F T
u
u
v
u
v
，即
2
2
8
u
v
，
又T 在
2
2
1
2
x
y
上，则
2
2
1
2
u
v
，即
2
2
2
2
u
v
，解得
2
6
u
，
2
2
v
，
由|
|
2 |
|
u
v
，故
2 |
|
2 2
2
u
S
，即距离之和为2 2 .
故选：A.
（2）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥
曲线.已知椭圆
1
C ：
2
2
2
1 0
2
4
x
y
b
b
，双曲线
2
C 是椭圆
1
C 的“姊妹”圆锥曲线，
1e ，
2e 分别为
1
C ，
2
C 的
离心率，且
1 2
15
4
e e
，点M，N 分别为椭圆
1
C 的左、右顶点，设过点
4,0
G
的动直线l 交双曲线
2
C 右支A，
B 两点，若直线AM，BN 的斜率分别为
AM
k
，
BN
k
.
(1)求双曲线
2
C 的方程；
(2)试探究
AM
k
与
BN
k
的
AM
BN
k
k
是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求
2
2
3
AM
BN
w
k
k
的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
；
(2)是，定值1
3 ；
(3)
3
11
13 5
,
,
4
36
36 4
；
【分析】（1）根据题意，直接列式计算可得答案；
（2）直线与双曲线联立，利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值；
（3）根据题意，利用韦达定理得出
AM
k
的范围，然后根据
3
BN
AM
k
k
，可得
2
2
AM
AM
w
k
k
，进而可得取
值范围.
【详解】（1）由题意可设双曲线
2
C ：
2
2
2
1
4
x
y
b
，
则
2
2
1 2
4
4
15
2
2
4
b
b
e e
，解得
2
1
b ，
所以双曲线
2
C 的方程为
2
2
1
4
x
y
.
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，直线AB 的方程为
4
x
ty
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由
2
2
4
1
4
x
ty
x
y
，消元得
2
2
4
8
12
0
t
y
ty
.
则
2
t ，
2
16
192
0
t
，且
1
2
2
1
2
2
8
4
12
4
t
y
y
t
y y
t
，
∴
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
2
AM
BN
y
y ty
k
x
y
x
ty y
y
y
k
x
y
y
ty
ty y
y
x
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
6
ty y
y
y
y
ty y
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
16
4
2
2
1
4
4
4
12
12
3
6
6
4
4
t
t
t
y
y
t
t
t
t
t
y
y
t
t
；
或由韦达定理可得
1
2
1
2
2
3
y
y
t
y y
，即
1
2
1
2
3
2
ty y
y
y
，
∴
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
6
6
6
2
2
AM
BN
y
y
y
y
y ty
k
x
y
x
ty y
y
y
k
x
y
y
ty
ty y
y
y
y
y
x
1
2
1
2
3
1
3
9
3
y
y
y
y
，
即
AM
k
与
BN
k
的比值为定值
1
3
.
（3）思路一：设直线AM：
2
y
k x
，代入双曲线方程并整理得：
2
2
2
2
2
1
4
16
16
4
0 1
4
0
k
x
k x
k
k
，
由于点M 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为2
，
由韦达定理得：
2
2
16
4
2
1 4
A
k
x
k
，解得
2
2
2 4
1
1
4
A
k
x
k
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
因为点A 在双曲线的右支上，所以
2
2
2 4
1
0
1
4
A
k
x
k
，
解得
1 1
,
2 2
k
，即
1 1
,
2 2
AM
k
，
同理可得
1
1
,
,
2
2
BN
k
，
由（2）中结论可知
1
1
3
,
,
2
2
BN
AM
k
k
，
得
1
1
,
,
6
6
AM
k
，所以
1
1
1 1
,
,
2
6
6 2
AM
k
，
故
2
2
2
2
2
3
2
3
3
AM
BN
AM
AM
AM
AM
w
k
k
k
k
k
k
，
设
2
2
h x
x
x
，其图象对称轴为
1
x ，
则
2
2
h x
x
x
在
1
1
,
2
6
，1 1
,
6 2
上单调递减，
故
3
11
13 5
,
,
4
36
36 4
h x
，
故
2
2
3
AM
BN
w
k
k
的取值范围为
3
11
13 5
,
,
4
36
36 4
.
思路二：由于双曲线
2
2
1
4
x
y
的渐近线方程为
1
2
y
x
，
如图，过点M 作两渐近线的平行线1l 与2l ，
由于点A 在双曲线
2
2
1
4
x
y
的右支上，
所以直线AM 介于直线1l 与2l 之间（含x 轴，不含直线1l 与2l ），
所以
1 1
,
2 2
AM
k
，
同理，过点N 作两渐近线的平行线3l 与4l ，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由于点B 在双曲线
2
2
1
4
x
y
的右支上，
所以直线BN 介于直线3l 与4l 之间（不含x 轴，不含直线3l 与4l ），
所以
1
1
,
,
2
2
BN
k
.
由（2）中结论可知
1
1
3
,
,
2
2
BN
AM
k
k
，
得
1
1
,
,
6
6
AM
k
，所以
1
1
1 1
,
,
2
6
6 2
AM
k
，
故
2
2
2
2
2
3
11
13 5
3
2
,
,
3
3
4
36
36 4
AM
BN
AM
AM
AM
AM
w
k
k
k
k
k
k
.
（3）已知左、右焦点分别为
1
2
,
F F 的双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率
为3
4 ．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若点P 为双曲线C 右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线C 在点P 处的切线PT 平分
1
2
FPF
．
【答案】(1)
2
2
1
16
9
x
y
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，直接求出,a b 即可求出双曲线的标准方程；
（2）先设出PT 的方程为
y
kx
kt
s
，利用PT 为双曲线的切线得到
2
2
2
16
2
9
0
t
k
tsk
s
，再
利用点
,
(
4)
P t s
t
在双曲线上，得到
9
16
t
k
s
，进而可求出切线与x 轴的交点坐标，从而可求出
1
2
5
16
5
16
FQ
t
F Q
t
，再求出
1
2
5
16
5
16
PF
t
PF
t
，从而得到
1
1
2
2
PF
FQ
PF
F Q
，即可证明出结果.
【详解】（1）由题意知
4
a
，
因为一条渐近线的斜率为3
4 ，所以
3
4
b
a =
，即
3
b
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
16
9
x
y
．
（2）设点
,
(
4)
P t s
t
，显然切线PT 的斜率存在．
设PT 的方程为
y
kx
kt
s
，
由
2
2
9
16
144
y
kx
kt
s
x
y
，消y 得
2
2
2
9 16
32
16 (
)
9
0
k
x
k kt
s x
kt
s
，
由
2
2
2
2
2
2
2
Δ
32
(
)
64 9 16
(
)
9
64 144
9(
)
81
0
k
kt
s
k
kt
s
k
kt
s
，
整理得
2
2
2
16
2
9
0
t
k
tsk
s
，
又
2
2
1
16
9
t
s
，得到
2
2
2
2
16
9
16
,
9
9
16
s
t
t
s
，
所以
2
2
2
16
9
2
0
9
16
t
s k
tsk
，得到
2
4
3
0
3
4
sk
t
，解得
9
16
t
k
s
．
设切线PT 与x 轴交于点
1,0
Q x
，则
1
kx
kt
s
，
所以
2
2
2
1
16
16
16
9
16
9
s
s
t
s
x
t
t
k
t
t
t
，即
16 ,0
Q
t
．
因为
1
2
5,0 ,
5,0 ,
4
F
F
t
，
所以
1
1
2
2
16
16
5
16
5,
5
,
5
16
FQ
t
FQ
F Q
t
t
F Q
t
，
又
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
(
5)
9
1
16
(
5)
25
160
16
(5
16)
5
16
25
160
16
(5
16)
5
16
(
5)
(
5)
9
1
16
t
t
PF
t
s
t
t
t
t
PF
t
t
t
t
t
t
s
t
，
所以
1
1
2
2
PF
FQ
PF
F Q
，
则PQ是
1
2
PF F
△
的内角平分线，故切线PT 平分
1
2
FPF
．
练习题
（1）已知直线:
(
0)
l y
kx k
与双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
相交于A，B 两点，点A 在第一象限，经过点
A 且与直线l 垂直的直线与双曲线C 的另外一个交点为M ，点N 在y 轴上，
//
BN NM
，点O为坐标原点，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
且
2
7
ON
OA NO
，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．
3
y
x
B．
5
y
x
C．
6
y
x
D．
7
y
x
【答案】C
【分析】作出辅助线，设
1
1
1
1
,
0,
0
B x y
x
y
，根据点差法得到
2
2
BM
OQ
b
k
k
a
，由垂直关系得到
1
OB
OQ
k
k
，
结合
2
7
ON
OA NO
求出
1
0,7
N
y
，由
BM
BN
k
k
得到方程
1
2
1
2
1
1
6y
x
b y
a x
，求出
2
2
6
b
a
，求出渐近线方程.
【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．
因为
//
BN NM
，所以B、N、M 三点共线．设线段BM 的中点为Q ，连接OQ，
根据题意，显然可得点O为线段AB 的中点，所以
//
OQ AM ，
设
1
1
1
1
,
0,
0
B x y
x
y
，
2
2
,
M x
y
，
0
0
,
Q x
y
，
1
2
x
x
．
因为点B，M 都在双曲线C 上，则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1,
1,
x
y
a
b
x
y
a
b
两式相减，得
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
，
即
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
．而
1
2
0
1
2
0
2
2
OQ
y
y
y
k
x
x
x
，
1
2
1
2
BM
y
y
k
x
x
，
所以
2
2
BM
OQ
b
k
k
a
，即
2
0
2
0
BM
b x
k
a y
．
又因为AB
AM
，则OB
OQ
，即
1
OB
OQ
k
k
，所以
1
0
1
0
1
y
y
x
x
，即
0
1
0
1
x
y
y
x
，
所以
2
1
2
1
BM
b y
k
a x
．又
2
7
ON
OA NO
，则
2
7
cos
ON
OA ON
AON
，
即
1
|
|
7 |
| cos
7
ON
OA
AON
y
，故
1
0,7
N
y
，所以
1
1
1
1
1
7
6
BN
y
y
y
k
x
x
．
而
BM
BN
k
k
，故
1
2
1
2
1
1
6y
x
b y
a x
，即
2
2
6
b
a
，
则双曲线C 的渐近线方程为：
6
y
x
．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：C
（2）已知点A 为圆
2
2
:
2 10
6
0
C x
y
x
上任意一点，点B 的坐标为
10,0
，线段AB 的垂直平分线
与直线AC 交于点D ．
(1)求点D 的轨迹E 的方程；
(2)设轨迹E 与x 轴分别交于
1
2
,
A A 两点（
1A 在
2
A 的左侧），过
3,0
R
的直线l 与轨迹E 交于
,
M N 两点，直线
1A M 与直线
2
A N 的交于P ，证明：P 在定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
4
6
x
y
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意推出||
|
|
|| 4
DC
DB
，结合双曲线定义即可求得答案；
（2）设出直线l 的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线
1A M 和
2
A N 的方程，推得
1
2
2
1
2
1
5
2
2
ty y
y
x
x
ty y
y
，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.
【详解】（1）由
2
2
:
2 10
6
0
C x
y
x
得
2
2
:(
10)
6
1
C
x
y
，其半径为4，
因为线段AB 的垂直平分线与直线AC 交于点D ，
故|
| |
|
DB
DA
，则||
|
|
|| ||
|
|
|| |
| 4
DC
DB
DC
DA
AC
,
而|
| 8
4
BC
，故点D 的轨迹E 为以
,
B C 为焦点的双曲线，
则
2
2
2
2
4,
2,2
2 10,
10,
6
a
a
c
c
b
c
a
，
故点D 的轨迹E 的方程为
2
2
1
4
6
x
y
.
（2）证明：由题意知
1
2
( 2,0),
(2,0)
A
A
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
若直线l 斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l 的斜率不能为0，故设其方程为
3
x
ty
，
联立
2
2
3
1
4
6
x
ty
x
y
，得
2
2
(3
2)
18
15
0
t
y
ty
，
2
144
120
0
t
，
故
1
2
2
1
2
2
18
3
2
15
3
2
t
y
y
t
y y
t
，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则直线
1A M 的方程为
1
1
1
1
(
2)
(
2)
2
5
y
y
y
x
x
x
ty
，
直线
2
A N 的方程为
2
2
2
2
(
2)
(
2)
2
1
y
y
y
x
x
x
ty
，
故
1
2
2
1
2
1
5
2
2
ty y
y
x
x
ty y
y
，
则
1
2
2
1
2
1
1
2
2
15
18
75
5
5
2
3
2
3
2
3
2
=
5
15
15
2
3
2
3
2
t
t
t
y
y
x
t
t
t
t
t
x
y
y
t
t
，
即
2
5
2
x
x
，解得
4
3
x
，
故直线
1A M 与直线
2
A N 的交点P 在定直线上.
【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定
直线上的问题，难点在于证明直线
1A M 与直线
2
A N 的交点P 在定直线上，解答时要设直线方程，利用根与
系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.
（3）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
2 ，点
3, 1
M
在双曲线C 上.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若F 为双曲线的左焦点，过点F 作直线l 交C 的左支于
,
A B 两点.点
4,2
P
，直线AP 交直线
2
x 于点Q .
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
设直线
,
QA QB 的斜率分别
1
2
,
k k ，求证：
1
2
k
k
为定值.
【答案】(1)
2
2
1
8
8
x
y
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知条件，列方程组求
2
2
,
a b ，可得双曲线标准方程；
（2）设直线l 的方程与双曲线联立方程组，设
,
A B 两点坐标，表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出
1
2
,
k k ，
结合韦达定理，证明
1
2
k
k
为定值.
【详解】（1）由题意，双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
的离心率为
2 ，且
3, 1
M
在双曲线C 上，
可得
2
2
2
2
2
9
1
1
2
a
b
c
e
a
c
a
b
，解得
2
8
a
，
2
8
b
，所以双曲线的方程为
2
2
1
8
8
x
y
.
（2）双曲线C 的左焦点为
4,0
F
，
当直线l 的斜率为0 时，此时直线为
0
y
，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；
当直线l 的斜率不为0 时，设:
4
l x
my
，
联立方程组
2
2
4
8
x
my
x
y
，消x 得
2
2
1
8
8
0
m
y
my
，易得
0
，
由于过点F 作直线l 交C 的左支于
,
A B 两点，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，所以
1
2
2
8
1
m
y
y
m
，
1
2
2
8
1
y y
m
，
由直线
1
:
2
4
AP y
k
x
，得
1
2,2
2
Q
k
，
所以
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
k
y
k
k
x
my
，又
1
1
1
1
1
2
2
4
PA
y
y
k
k
x
my
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
my
my
y
k
y
y
k
k
k
my
my
my
my
2
1
1
1
1
1
2
2
2
4
2
2
2
my
y
my
mk y
my my
，
因为
1
1
1
2
y
k
my
，所以
1
1
1
2
k my
y
，且
1
2
1
2
y
y
my y
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
m y
y
y
y
k
k
my my
y
y
y
，即
1
2
k
k
为定值.
（4）已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ与双曲线的一条
渐近线的交点为1 1
,
2 2
.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
1 (0
1)
y
kx
k
k
与曲线C 有两个不同的交点
,
A
B O
、
是坐标原点，求OAB
的面积最小值.
【答案】(1)
2
2
1
x
y
(2) 2 5
【分析】（1）利用双曲线的性质待定系数法计算即可；
（2）联立方程，根据弦长公式及韦达定理可表示三角形面积，利用换元法求最值即可.
【详解】（1）设点
,0
P a
，点
0,
Q
b ，则直线PQ的方程为
1
x
y
a
b
，
与渐近线
b
y
x
a
联立，得
1
x
y
a
b
b
y
x
a
，解之得
2
2
a
x
b
y
，
即直线PQ与双曲线的一条渐近线交点为
,
2 2
a b
，
又直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为1 1
,
2 2
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
1
2
2
1
2
2
a
b
，即
1
a
b
，因此双曲线方程为
2
2
1
x
y
.
（2）
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，把
1
y
kx
k
代入
2
2
1
x
y
，
得
2
2
2
1
1
2
1
0
k
x
x
k
，
则
4
2
2
1
2
2
2
2
4 1
1
2
Δ
4
4 1
1
0,
1
k
k
k
x
x
k
k
k
，
2
1
2
2
1
1
1
k
x x
k
，
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
4
1
4
1
1
k
AB
k
x
x
k
x
x
x x
k
k
k
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2 1
2 1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
，
点O到直线
1
y
kx
k
的距离
2
1
1
k
d
k
，所以OAB
的面积为
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
2
2
1
1
1
k
k
k
k
k
S
AB d
k
k
k
k
k
k
2
4
2
2
4
1
k
k
k
k
，
令
2
4
t
k
k
，所以
2
2
1
1
1
t
S
t
t
t
，令
1
s
t
，则
2
S
s
s
，
因为0
1
k
，所以
2
0
1
k
，由
2
2
1
1
2
4
t
k
，得
1
0
4
t
，由
1
s
t
，
得
4
s
，由
2
2
1
1
2
4
S
s
s
s
，得
16
4
2 5
S
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
即当
2
1
1
2
4,
,
,
4
2
2
s
t
k
k
时，等号成立，
此时满足Δ
0
，所以OAB
面积的最小值为2 5 .
1.已知圆M ：
2
2
2
4
x
y
，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点
2,0
A
，线段PA 的垂直平分线l 与直
线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1(
2)
4
12
x
y
x
B．
2
2
1
4
12
x
y
C．
2
2
1(
1)
3
y
x
x
D．
2
2
1
3
y
x
【答案】D
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，
所以有QA
QP
，
由
2
2
2
4
x
y
，得
( 2,0)
M
，该圆的半径为2 ，
因为点P 在圆上运动时，
所以有
2
QP
QM
，于是有
2
QA
QM
，
所以点Q 的轨迹是以
,
A M 为焦点的双曲线，所以
2
2
2
2
4,2
2
2,
1
3
c
a
c
a
b
c
a
，
所以点Q 的轨迹方程为
2
2
1
3
y
x
，
故选：D
2．动圆M 与圆
1
C ：
2
2
5
25
x
y
和圆
2
C ：
2
2
5
1
x
y
均外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
2
4
21
x
y
x
B．
2
2
1
2
4
21
x
y
x
C．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
D．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设动圆M 的半径为r，圆
1
C 的圆心为
1
5,0
C
，半径1
5
r
，圆
2
C 的圆心为
2 5,0
C
，半径2
1
r ，
因为动圆M 与圆
1
C 和圆
2
C 均外切，所以
1
5
MC
r
，
2
1
MC
r
，所以
1
2
1
2
4
MC
MC
C C
，所以点
M 的轨迹是以点
1
C ，
2
C 为焦点的双曲线的右支．2
4
a
，
2
4
a
，
5
c
，所以
2
2
2
25
4
21
b
c
a
.所
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
以动圆圆心M 的轨迹方程为
2
2
1
2
4
21
x
y
x
．
故选：A．
3.已知
0,4
A
，双曲线
2
2
1
4
5
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是双曲线左支上一点，则
2
|
|
PA
PF
的
最小值为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理
2
PA
PF
，利用三角形三边关系，可
得答案.
【详解】由双曲线
2
2
1
4
5
x
y
，则
2
2
4,
5
a
b
，即
2
2
2
9
c
a
b
，且
1
2
,
,
,0
3
3
0
F
F
，
由题意，
2
1
2
PF
PF
a
2
2
2
1
1
2
2
3
4
4
9
PA
PF
PA
a
PF
AF
a
，
当且仅当
1
, ,
A P F 共线时，等号成立.
故选：C.
4.若点P 在曲线
2
2
1 :
1
16
9
x
y
C
上，点Q 在曲线
2
2
2
:
5
1
C
x
y
上，点R 在曲线
2
2
3 :
5
1
C
x
y
上，则
PQ
PR
的最大值是（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】分析可知两圆圆心为双曲线
1
C 的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得PQ
PR
的最大值.
【详解】在双曲线
1
C 中，
4
a
，
3
b
，
5
c
，易知两圆圆心分别为双曲线
1
C 的两个焦点，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
记点
1
5,0
F
、
2 5,0
F
，当PQ
PR
取最大值时，P 在双曲线
1
C 的左支上，
所以，
2
1
2
1
1
1
2
2
2
10
PQ
PR
PF
PF
PF
PF
a
.
故选：B.
5.已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，以
2
F 为圆心的圆与x 轴交于
1F ，B
两点，与y 轴正半轴交于点A，线段
1
AF 与C 交于点M．若BM 与C 的焦距的比值为
31
3
，则C 的离心率
为（
）
A．
3
1
2
B．3
2
C．
5
1
2
D．
7
1
2
【答案】D
【分析】先求出以
2
F 为圆心的圆的方程，求出
0, 3
A
c ，
3 ,0
B
c
，求出直线
1F A的方程后结合距离公式可
求M 的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为c ，因为以
2
F 为圆心的圆过
1F ，故该圆的半径为2c，
故其方程为：
2
2
2
4
x
c
y
c
，
令
0
x
，则
3
y
c
，结合A 在y 轴正半轴上，故
0, 3
A
c ，
令
0
y
，则x
c
或
3
x
c
，故
3 ,0
B
c
.
故
1
3
0
3
0
(
)
F A
c
k
c
，故直线
1 :
3
3
F A y
x
c
.
设
, 3
3
0
M m
m
c
m
，
因为A 在y 轴的正半轴上，
1F 在x 轴的负半轴上，故
0
m
，
而
31
2 31
2
3
3
BM
c
c
，
故
2
2
2
124
3
3
3
9
c
m
m
c
c
，整理得到：
2
2
16
4
9
m
c
，
故
2
3
m
c
，故
3
3
M
c
y
，
所以
2
2
2
2
4
1
9
3
1
c
c
a
b
，故
2
2
2
4
1
9
3
1
e
e
e
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
解得
2
4
7
2
e
或4
7
2
，又因为
1
e ，则
2
1
e ，
则
2
4
7
2
e
，
7
1
2
e
.
故选：D.
6.直线l 与双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，
D（A，C，D，B 从左到右依次排列），若OA
OB
，且|
|
AC ，|
|
CD ，|
|
DB 成等差数列，则双曲线的离心
率的取值范围是（
）
A．
10 ,
2
B．2 2, 10
C．
10 ,2 3
2
D．
10,
【答案】D
【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用|
|
AC ，|
|
CD ，|
|
DB 成等差数列，
列式求解即可
【详解】设
1
1
3
2
4
4
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x y
D x
y
直线
:
AB y
kx
m
，
联立
2
2
2
2
1
y
kx
m
x
y
a
b
，可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
b
a k
x
ka mx
a m
a b
，则
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2a km
x
x
a k
b
a m
a b
x x
a k
b
①
联立
2
2
2
2
0
y
kx
m
x
y
a
b
，可得
2
2
2
2
2
2
2
2
0
b
a k
x
ka mx
a m
，则
2
3
4
1
2
2
2
2
2
2
3
4
2
2
2
2a km
x
x
x
x
a k
b
a m
x x
a k
b
②
因为OA
OB
，所以
1
2
1
2
0
x x
kx
m
kx
m
，所以
2
2
2
2
2
2
1
0
a b
k
m
b
a
③
因为
2
0
m
，所以
2
2
b
a
，所以
2
2
e
，即得
2
e
④
因为
3
4
1
2
x
x
x
x
，所以CD 中点为AB 的中点，所以AC
BD
,
因为
,
,
AC
CD
BD 成等差数列，所以AC
CD
BD
，又因为A，C，D，B 从左到右依次排列，所以
3
AB
CD
,
所以
1
2
3
4
3
x
x
x
x
，代入①②③有
2
2
2
2
2
2
2
9
9
b
b
a
k
a
b
a
，
因为
2
0
k
且
2
2
e
，又因为
2
2
b
a
，则
2
2
9b
a
所以
2
2
9
b
a
，所以
2
1
9
e
，即
10
e
综上，
10
e
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：D.
7.如图，一个光学装置由有公共焦点
1
2
,
F F 的椭圆C 与双曲线C构成，一光线从左焦点
1F 发出，依次经过C
与C 的反射，又回到点
1F .，历时m 秒；若将装置中的C去掉，则该光线从点
1F 发出，经过C 两次反射后
又回到点
1F 历时n 秒，若C的离心率为C 的离心率的4 倍，则m
n
.
【答案】3
8 /0.375
【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．
【详解】设椭圆长轴长为
1
2a ，双曲线实轴长为
2
2a ，焦距2c，
由
1
2
1
2
1
4
c
a
a
c
a
a
，
依次经过C与C 的反射，又回到点F1，则有
2
1
2
2
AF
AF
a
，
2
1
1
2
BF
BF
a
，
两式相减得
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
BF
AF
BF
AF
AB
BF
AF
a
a
，
将装置中的C去掉，则有
1
1
1
4
EF
PF
EP
a
，
所以
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
4
4
2
2
8
a
AB
AF
BF
a
a
a
m
n
EF
PF
EP
a
故答案为：3
8 ．
8.已知双曲线C：
2
2
2
1(
0)
2
x
y
b
b
一个焦点F 到渐近线的距离为
2 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
2,0 的直线l 与双曲线C 的右支交于A，B 两点，在x 轴上是否存在点N，使得NA NB
为定值？如
果存在，求出点N 的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
2
2
x
y
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)存在；点
1,0
N
，
1
NA NB
【分析】（1）根据点到线的距离公式去接即可；
（2）设其方程为
2
x
my
，1
1
m
，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
,0
N t
，联立直线与双曲线的方程，得出
韦达定理，化简NA NB
可得
2
2
2
4
6
2
2
1
t
m
NA NB
t
m
，从而得到定点与定值.
【详解】（1）由双曲线得渐近线方程为
2
0
bx
y
，设
,0
F c
，则
2
2
2
bc
bc
d
b
c
b
，
∴双曲线C 方程为
2
2
1
2
2
x
y
；
（2）依题意，直线l 的斜率不为0，设其方程为
2
x
my
，1
1
m
，
代入
2
2
2
x
y
得
2
2
1
4
2
0
m
y
my
，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
,0
N t
，
则
1
2
2
4
1
m
y
y
m
，
1
2
2
2
1
y y
m
，
∴
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
NA NB
x
t
x
t
y y
my
t
my
t
y y
2
2
1
2
1
2
1
2
2
m
y y
m
t
y
y
t
2
2
2
2
2
4
1
2
2
1
1
m
m
m
t
t
m
m
2
2
2
4
6
2
2
1
t
m
t
m
若要上式为定值，则必须有4
6
2
t
，即
1
t ，
∴
2
2
2
4
6
2
2
2 1
1
1
t
m
t
m
，
故存在点
1,0
N
满足
1
NA NB
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
9.已知直线l ：y
kx
t
与双曲线C ：
2
2
1
4
5
x
y
相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线分别
与x ，y 轴相交于A ，B 两点．
(1)若
1
t ，且点M ，N 都在双曲线的右支上，求k 的取值范围；
(2)若AOB
（O为坐标原点）的面积为81
2 ，且
0
k
，求k 的取值范围．
【答案】(1)
6
5
,
2
2
(2)
5
5
5
5
,
,0
0,
,
4
2
2
4
【分析】（1）通过联立方程组，利用判别式结合双曲线渐近线的位置，求k 的取值范围；
（2）设点设直线方程，利用韦达定理表示出线段MN 的垂直平分线方程，得到A ，B 两点坐标，由AOB
的
面积结合判别式求k 的取值范围.
【详解】（1）双曲线C ：
2
2
1
4
5
x
y
渐近线方程为
5
2
y
x
，
当
1
t 时，直线l 的方程为
1
y
kx
，
由
2
2
1
1
4
5
y
kx
x
y
，得
2
2
5
5
4
8
24
0
2
k
x
kx
k
，
由
2
2
Δ
64
96 5
4
0
k
k
，解得
6
6
2
2
k
，
因为点M ，N 都在右支上，所以
6
5
2
2
k
．
所以k 的取值范围为
6
5
,
2
2
．
（2）
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，把y
kx
t
代入
2
2
1
4
5
x
y
并整理得
2
2
2
5
5
4
8
4
20
0
2
k
x
ktx
t
k
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由
2
2
2
Δ
8
4 5
4
4
20
0
kt
k
t
，得
2
2
5
4
0
t
k
，
设线段MN 的中点为
0
0
,
x
y
，则
1
2
0
2
4
2
5
4
x
x
kt
x
k
，
0
0
2
5
5
4
t
y
kx
t
k
，
所以线段MN 的垂直平分线的方程为
2
2
5
1
4
5
4
5
4
t
kt
y
x
k
k
k
，
所以A 点的坐标为
2
9
,0
5
4
kt
k
，B 点的坐标为
2
9
0, 5
4
t
k
，
因为AOB
的面积为81
2 ，所以
2
2
1
9
9
81
2 5
4
5
4
2
kt
t
k
k
，
整理得
2
2
2
5
4k
t
k
，所以
2
2
2
5
4
5
4
0
k
k
k
，
所以
2
2
4
5
4
5
0
k
k
k
，解得
5
0
2
k
或
5
4
k
，
所以k 的取值范围为
5
5
5
5
,
,0
0,
,
4
2
2
4
．
10.设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F，
2
2
1
a
b
，O为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相
交于A，B 两点.
(1)若
2
2
b
，求C 的离心率e的取值范围；
(2)若
AOB
恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.
【答案】(1)
1,
2
(2)
5
1,2
【分析】（1）根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；
（2）设直线l 的方程
1
x
my
，与双曲线方程联立，以双曲线C 的实半轴长a 和m 表示A，B 两点坐标，
根据
AOB
恒为锐角，转化为
0
OA OB
，代入坐标计算，由关于m 的不等式恒成立，求得a 的取值范围.
【详解】（1）因为
2
2
b
，所以
2
1
2
b
，
因为
2
2
1
a
b
，所以
1
c ，
2
2
1
1
2
a
b
，所以
2
2
a
，
则C 的离心率
1
1
2
2
2
c
e
a
a
，
又
1
e ，所以C 的离心率的取值范围是
1,
2 .
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（2）因为
1,0
F
，直线l 的斜率不为零，所以可设其方程为
1
x
my
.
结合
2
2
1
(0
1)
b
a
a
，
联立
2
2
2
2
1,
1,
1
x
my
x
y
a
a
得
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
0
a
m
m
y
m a
y
a
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
由韦达定理，得
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
,
1
1
,
1
m a
y
y
a
m
m
a
y y
a
m
m
由于
,
A B 两点均在C 的右支上，故
2
2
2
1
2
0
1
0
y y
a
m
m
，即
2
2
2
1
a
m
a
.
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
OA OB
x x
y y
my
my
y y
2
1
2
1
2
1
1
m
y y
m y
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
a
m a
m
m
a
m
m
a
m
m
2
2
2
4
2
2
2
2
1
3
1
1
m a
a
a
a
a
m
m
.
由
AOB
恒为锐角，得对
2
2
2
1
a
m
a
，均有
0
OA OB
，
即
2
2
2
4
2
1
3
1
0
m a
a
a
a
恒成立.
由于
2
2
1
0
a
a
，因此不等号左边是关于
2
m 的增函数，
所以只需
2
0
m
时，
4
2
3
1
0
a
a
成立即可，解得
5
1
5
1
2
2
a
，
结合0
1
a
，可知a 的取值范围是
5
1,1
2
.
综上所述，C 的实轴长的取值范围是
5
1,2
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
11.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的两条渐近线分别为1
1
2
:
2 , :
2
l y
x l y
x
.
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线1
2
,
l l 于
,
A B 两点（
,
A B 分别在第一，四象限），且OAB
的面积
恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E 的方程；若
不存在，说明理由.
【答案】(1) 5
(2)存在，
2
2
1
4
16
x
y
【分析】（1）由题意
2
b
a
，结合离心率与双曲线基本量关系即可求得结论.
（2）首先分类讨论直线l 的位置.由直线l 垂直于x 轴可得到一个结论.再讨论直线l 不垂直于x 轴，由OAB
的
面积恒为8，则转化为
1
2
1
2
OAB
S
OC y
y
.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理，即可得到直线l 有且只
有一个公共点.
【详解】（1）因为双曲线E 的渐近线分别为和
2 ,
2
y
x y
x
，所以
2
b
a
，故
2
2
2
c
a
a
，解得
5
c
a
，
从而双曲线E 的离心率
5
e
.
（2）由（1）知，双曲线E 的方程为
2
2
2
2
1
4
x
y
a
a
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
设直线l 与x 轴相交于点C，
当l
x
轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则
,
4
OC
a AB
a
，又因为OAB
的面积为8，
所以1
1
8,
4
8,
2
2
2
OC AB
a
a
a
，此时双曲线E 的方程为
2
2
1
4
16
x
y
.
若存在满足条件的双曲线E，则E 的方程只能为
2
2
1
4
16
x
y
.
以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E：
2
2
1
4
16
x
y
也满足条件.
设直线l 的方程为y
kx
m
，依题意，得
2
k
或
2
k ，则
(
,0)
m
C
k
，记
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
.
由
2
y
x
y
kx
m
，得
1
2
2
m
y
k
，同理得
2
2
2
m
y
k
.
由
1
2
1
2
OAB
S
OC y
y
得1
2
2
8
2
2
2
m
m
m
k
k
k
，即
2
2
2
4 4
4(
4)
m
k
k
.
由
2
2
1
4
16
y
kx
m
x
y
得，
2
2
2
(4
)
2
16
0
k
x
kmx
m
.因为
2
4
0
k
，所以
2
2
2
2
2
2
4
4(4
)(
16)
16(4
16)
k m
k
m
k
m
，又因为
2
2
4
4
m
k
，所以Δ
0
，即l 与双曲线E 有且
只有一个公共点.
因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E，且E 的方程为
2
2
1
4
16
x
y
.
12.已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦距为2 6 ，且焦点到近线的距离为1.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若动直线l 与双曲线C 恰有1 个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于
,
P Q 两点，O为坐标原点，
证明：
OPQ
△
的面积为定值.
【答案】(1)
2
2
1
5
x
y
(2)证明见解析
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】（1）根据焦距和焦点到近线的距离，求出,a b 可得双曲线C 的标准方程；
（2）讨论直线l 的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据Δ
0
，
找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得|
|
PQ ，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，
即可证明.
【详解】（1）依题意得2
2 6
c
，
6
c
，一条渐近线为
b
y
x
a
，即
0
bx
ay
，右焦点为( 6,0) ，
所以
2
2
|
6 |
1
b
b
a
，即
6
1
b
c
，
6
6
b
，所以
1
b ，
所以
2
2
2
6 1
5
a
c
b
，
所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
5
x
y
.
（2）当直线l 的斜率不存在时，若动直线l 与双曲线C 恰有1 个公共点，则直线l 经过双曲线的顶点，不妨
设:
5
l x
，又渐近线方程为
5
5
y
x
，
将
5
x
代入
5
5
y
x
，得
1
y ，将
5
x
代入
5
5
y
x
，得
1
y ，
则|
| 2
PQ
，
1
5
2
5
2
OPQ
S
.
当直线l 的斜率存在，设直线:l
y
kx
t
，且
5
5
k
，
联立
2
2
1
5
y
kx
t
x
y
，消去y 并整理得
2
2
2
(1 5
)
10
5
5
0
k
x
ktx
t
，
因为动直线l 与双曲线C 恰有1 个公共点，
所以
2
2 2
2
2
1 5
0
Δ
100
4 1 5
5
5
0
k
k t
k
t
，得
2
2
5
1
k
t
，
设动直线l 与
5
5
y
x
的交点为P ，与
5
5
y
x
的交点为Q ，
联立
5
5
y
kx
t
y
x
，得
5
5
1
P
t
x
k
，同理得
5
5
1
Q
t
x
k
，
则
2
|
|
1
|
|
P
Q
PQ
k
x
x
2
5
5
1
|
|
5
1
5
1
t
t
k
k
k
2
2
2 5 | |
1
| 5
1|
t
k
k
因为原点O到直线l 的距离
2
| |
1
t
d
k
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
1 |
|
2
OPQ
S
PQ d
△
2
2
2
1 2 5 | |
1
| |
2
| 5
1|
1
t
k
t
k
k
2
2
5
| 5
1|
t
k
，
又因为
2
2
5
1
k
t
，所以
2
2
5
| 5
1|
t
k
2
2
5
5
t
t
，即
5
OPQ
S
，
故
OPQ
△
的面积为定值，且定值为5 .
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
