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第26 讲 导数同构 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................1
三、典题精练......................................................................................................................................4
考点一：同构变形与解方程、求值......................................................................................4
考点二：利用同构比较大小与求最值..................................................................................4
考点三：利用同构研究零点与交点问题..............................................................................5
考点四：利用同构解决不等式恒成立问题..........................................................................6
考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移......................................................................6
一、考情分析
近三年全国一卷未直接或间接考查导数同构相关知识点.备考时建议将本讲作为应对
复杂指对数混合方程与不等式的高阶方法储备，重点掌握常见的同构构造模式（如x e
x、
e
x
x 、x + ln x等）与基本题型即可，无需在极端复杂的同构变形上过多投入精力.
二、知识清单
1. 常见的同构函数图像
函数
表达
式
图像
函数表
达式
图像
y = ln x +
y = ln x - x
，函数
极值点
(1,-1)
函数
表达
式
图像
函数表
达式
图像
y = x ln x
，函
数极
值点
( 1
e ,- 1
e )
y = ln x
x
，函数
极值点
(e , 1
e )
y = x
ln x
，函
数极
值点
(e ,e)
y =e
x+ x
，过定
点(0,1)
y =e
x - x
，函
数极
值点
(0,1)
y = x e
x
，函数
极值点
(-1,- 1
e )
y = e
x
x
，函
数极
值点
(1,e)
y = x
e
x，
函数极
值点
(1, 1
e )
2. 同构式的基本概念与导数压轴题
（1） 同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式.
（2） 同构式的应用：
① 在方程中的应用：如果方程f (a)=0和f (b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程
f ( x)=0的两个根.
② 在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为
一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.同构小套路：指对各一
边，参数是关键；常用“母函数”：f ( x)= x⋅e
x，f ( x)=e
x± x；寻找“亲戚函数”是关键；
信手拈来凑同构，凑常数、x、参数；复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数
范围.
③ 在解析几何中的应用：如果A( x1, y1)，B( x2, y2)满足的方程为同构式，则A ,B为
方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方
程.
④ 在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(an,n)与
(an-1,n-1)的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解.
（3） 常见的指数放缩：e
x≥x +1( x =0)；e
x≥e x( x =1).
（4） 常见的对数放缩：1- 1
x ≤ln x ≤x -1( x =1)；ln x ≤x
e ( x =e).
（5） 常见三角函数的放缩：x∈(0, π
2 )，sin x< x<tan x.
（6） 学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
① 当a>0且a≠1，x>0时，有a
loga x = x.
② 当a>0且a≠1时，有logaa
x = x.
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中x>0）：
③ x e
x=e
x + ln x；x + ln x = ln( x e
x).
④ e
x
x =e
x - ln x；x - ln x = ln e
x
x .
⑤ x
2e
x=e
x +2ln x；x +2ln x = ln( x
2e
x).
⑥e
x
x
2 =e
x -2ln x.
再结合常用的切线不等式ln x ≤x -1，ln x ≤x
e ，e
x≥x +1，e
x≥e x等，可以得到更多的
结论，这里仅以第③条为例进行引申：
⑦ x e
x =e
x + ln x≥x + ln x +1；x + ln x = ln( x e
x)≤x e
x -1.
⑧ x e
x =e
x + ln x≥e( x + ln x)；x + ln x = ln( x e
x)≤x e
x
e = x e
x -1.
（7） 同构式问题中通常构造亲戚函数x e
x与x ln x，常见模型有：
①a
x>loga x⇒e
x ln a> ln x
ln a ⇒x ln a⋅e
x ln a>ln x⋅e
ln x⇒x ln a>ln x⇒a>e
1
e.
②e
λx> ln x
λ ⇒λ e
λx>ln x⇒λx ⋅e
λx>ln x⋅e
ln x⇒λx >ln x⇒λ> 1
e.
③e
ax+ax>ln( x +1)+ x +1=e
ln( x +1)+ ln( x +1)⇒ax>ln( x +1).
（8） 乘法同构、加法同构
① 乘法同构，即乘x同构，如ln a⋅e
x ln a>ln x⇔x ln a⋅e
x ln a>ln x⋅e
ln x.
② 加法同构，即加x同构，如a
x>loga x ⇔a
x+ x >loga x + x =a
loga x+ loga x.
③ 两种构法的区别：乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数x e
x与x ln x易实现，但构
造的函数x e
x与x ln x均不是单调函数；加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的
函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围.
（9） 积、商、和差型同构的代数特征
① 和差型：代数式中呈现加减关系，常构造母函数f ( x)=e
x± x或f ( x)= x ± ln x.
② 积型：代数式中呈现乘法关系，如ae
b=be
a，常通过两边同取自然对数转化为和差
型ln a+b= ln b+a，进而构造母函数f ( x)= x - ln x；或直接构造母函数f ( x)= x e
x与
f ( x)= x ln x.
③ 商型：代数式中呈现除法关系，如e
a
a = e
b
b ，常构造母函数f ( x)= e
x
x 或f ( x)= ln x
x .
（10） 同构与极值点偏移的横向联系
在处理双变量问题（如f ( x1)= f ( x2)）时，同构常与极值点偏移结合.通过同构变形将
双变量转化为同一函数的两个自变量，再利用对称构造（如F( x)= f ( x)- f (2 x0- x)）研究
自变量之和或之积的范围.
三、典题精练
考点一：同构变形与解方程、求值
考法1：构造同构解方程或求值
例1.（2026·安徽A10·五模）已知正实数x , y满足ln(2 x)+ ln y = x +2 y -2，则x
y - y
x =
A.
❑√2
4
B. 1
2
C.
❑√2
2
D. 1
【考点一 方法总结】
1. 处理指对数混合的等式求值问题时，常通过移项、合并或拆分，将等式两边化为
结构相同的形式.
2. 若构造出的函数具有唯一的最值点，且等式恰好在最值处成立，则可直接利用最
值条件解出变量的值.
3. 常见的放缩不等式如x -1≥ln x和e
x≥x +1在同构构造中应用广泛.
考点二：利用同构比较大小与求最值
考法2：利用同构比较大小
例2.已知0< x< y <π，且e
ysin x =e
xsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成
立的是
A. cos x +cos y <0
B. cos x +cos y >0
C. cos x>sin y
D. sin x>sin y
考法3：利用同构求函数最值
例3.（2025·萍乡·二模）已知定义在R上的函数f ( x)满足：f ( π
2 )= 1
2e，且∀x , y ∈R，都
有e
sin x⋅f ( y)-e
sin y⋅f ( x)≥(e
2sin x -e
2sin y)⋅f ( x)⋅f ( y)恒成立，则f ( x)的最大值为
A. 1
2e
B. 1
e
C. e
D. 2e
【考点二 方法总结】
1. 利用同构法比较大小时，核心步骤是“分离变量—构造函数—研究单调性”.将已
知等式变形为x ln x或sin x
e
x 等形式，结合函数的单调性即可比较大小.
2. 当遇到f ( x1)= f ( x2)且x1≠x2时，必然分别位于极值点的两侧.若需进一步比较两自
变量的和与某常数的关系，常通过构造差函数或利用对称性进行极值点偏移分析.
3. 处理含有双变量的抽象函数不等式时，赋值法是降维的有效手段.通常将其中一个
变量赋为已知函数值对应的自变量，从而得到目标函数的解析式或边界.
4. 在求复杂分式函数最值时，常通过换元将其转化为对勾函数模型，注意换元后新
变量的取值范围.
考点三：利用同构研究零点与交点问题
考法4：利用同构研究函数零点或方程根的个数
例4.（2026·华师一附中·五模）已知关于x的方程2e
λx+( λ -1)x + ln 2
x =0有两个不等实根，
则λ的取值范围为
A. (0,e
2)
B. (0, 1
e )
C. (0, 1
2e )
D. (0, 1
e
2 )
考法5：利用同构求函数交点问题
例5.已知函数f ( x)=ax(1- ln x)和g( x)= b ln x
x
有相同的最大值，并且ab=e.
（1）求a,b.
（2）证明：存在直线y =k，其与两条曲线y = f ( x)和y = g( x)共有三个不同的交点，且从
左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【考点三 方法总结】
1. 解决指对数混合方程根的个数问题，核心是“同构变形”.将方程化为f ( A )= f (B)
的形式，利用f (t )的单调性得到A = B，从而将复杂方程转化为常规的参数分离问题.
2. 分离参数后，通过研究新函数的极值与渐近线，结合图象直观确定参数范围.
3. 处理不同函数与同一直线交点横坐标的关系时，关键在于寻找两个函数解析式之
间的同构联系.通过代数变形，将其中一个函数的方程化为与另一个函数结构一致的形式，
从而利用同一函数的单调性建立不同交点横坐标之间的等量关系.
考点四：利用同构解决不等式恒成立问题
考法6：指对数混合同构求参数范围
例6.（2026·湘一联盟·二模）若关于x的方程e
x =aln( x -1)+aln a-a在(1,+ ∞)上有解，则
实数a的取值范围是
A. (0,2]
B. [2,+∞)
C. (0,e
2]
D. [e
2,+ ∞)
考法7：其他类型同构求参数范围
例7.（2026·沧州十二校·一模）已知函数f ( x)=e
x，g( x)= ln x
x （e为自然对数的底数，
e≈2.71828⋯）.
（1） 证明：当x∈(-2,0)时，f ( x)< 1
3 x +1.
（2） 关于x的方程f [ g( x)]=e x
a的一个实数根为x = x0，其中x0∈(e
-2,1)，
①求实数a的取值范围.
②证明：1
a <ln 1
x0
< 1+ ❑√1+9a
3a
.
【考点四 方法总结】
1. 处理指对数混合的方程有解或恒成立问题，标准动作是“取对数”或“指数化”.
将常数或参数转化为指数形式（如a=e
ln a），通过加减项配凑，构造出f ( x)=e
x+ x或
f ( x)= x e
x等经典同构函数.
2. 脱去函数符号后，问题即转化为常规的参数分离求最值.
3. 处理复杂的指数对数混合方程时，两边取对数是降次和分离变量的常用技巧.
4. 在证明与方程根相关的参数不等式时，核心思想是“整体代换”，即将参数用含
有根的表达式替换，从而将含参不等式转化为只含单变量的函数不等式，再结合前问结论
或构造新函数进行证明.
考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移
考法8：利用同构证明不等式
例8.已知函数f ( x)=e
2 x- 1
x .
（1） 讨论函数f ( x)的零点的个数.
（2） 证明：x e
2 x - ln x -2 x -
1
x +1 >0.
考法9：利用同构处理极值点偏移问题
例9.（2026·梅州·一模）已知函数f ( x)= 1
x -aln x - x，g( x)= x ln x - x +1.
（1）若f ( x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围.
（2）若曲线y = f ( x)与y = g( x)在x =1处有相同的切线，
（i）求a的值.
（ii）若f ( x1)= g( x2)，证明：x1⋅x2≤1.
【考点五 方法总结】
1. 证明含有指数和对数的复杂不等式时，若直接求导遇到超越方程，常利用“隐零
点代换”化简极值表达式.
2. 若能观察出表达式的结构特征，利用同构思想将其凑成f (g( x))的形式，再结合常
见不等式（如e
x≥x +1）进行整体放缩，往往能大幅简化证明过程.
3. 处理极值点偏移或双函数值相等的变量关系证明时，核心是“变量统一”.通过分
析函数的单调区间，将目标不等式转化为自变量的大小关系.
4. 利用其中一个函数的单调性，将自变量的比较转化为函数值的比较，再结合已知
等式，最终归结为证明一个单变量函数的最值问题.
