文档文本内容
培优点04 函数与方程的综合应用
目录
01 重点解读....................................................................................................................2
02 思维升华....................................................................................................................3
03 典型例题....................................................................................................................4
题型一：对勾函数.........................................................................................................4
题型二：反函数.............................................................................................................4
题型三：倍值函数.........................................................................................................5
题型四：等值函数.........................................................................................................6
题型五：最值函数.........................................................................................................6
题型六：绝对值函数.....................................................................................................7
题型七：新定义函数.....................................................................................................7
04 课时精练....................................................................................................................9
函数与方程的综合应用堪称历年高考的热门考点，常以客观题形式呈现。这类题目往往将函数性质与
方程求解巧妙融合，要求考生深入剖析函数的单调性、奇偶性、最值等关键性质，并结合函数图象直观研
究函数的零点情况，或是方程根的分布范围、具体个数等问题。由于涉及知识点多、思维跨度大，题目难
度普遍较高，通常被安排在压轴题位置，旨在全面考查考生对函数与方程知识的综合运用能力以及逻辑推
理、数形结合等数学素养。
1、对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x 轴的交点个数；
(4)区间端点值.
2、
于复合函数
对
的零点个数
，求解思路如下：
问题
(1)确定内
函数
层
和外
函数
层
；
(2)确定外
函数
层
的零点
；
(3)确定直线
与内
函数
层
象的交点个数分
图
别为
函数
则
的零点个数为
.
题型一：对勾函数
【例1】已知正实数
，y 满足
，若
恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2025·贵州·模拟预测）若函数
有零点，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式1-2】设实数
且满足
，则使不等式
恒成立的
的最大值为
题型二：反函数
【例2】（2025·北京顺义·一模）已知直线
分别与函数
和
的图象交于
，
，给出下列三个结论：①
；②
；③
.其中正确结论的个
数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2-1】已知函数
，若存在
使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
的零点分别
为
，
，，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【变式2-3】已知函数
的零点分别为
，则
的值
是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型三：倍值函数
【例3】已知函数
．
(1)若
，求函数
在区间
上的最大值与最小值；
(2)若存在实数
满足
，使得
在区间
上的值域也为
，求
的取值范围．
【变式3-1】已知函数
．
（1）若
时，
，求
的值；
（2）若
时，函数
的定义域与值域均为
，求所有
值．
【变式3-2】对于区间
，若函数
同时满足：①在
上是单调函数，②函数
在
的值域是
，则称区间
为函数的“保值”区间.
(1)求函数
的所有“保值”区间；
(2)判断函数
是否存在“保值”区间，并说明理由；
(3)已知函数
有“保值”区间
，当
取得最大值时求
的值.
【变式3-3】已知函数
，若存在区间
，使得函数
在区间
上的值
域为
，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：等值函数
【例4】（多选题）已知函数
，则下列结论正确的是（····）
A．函数
在
上单调递减
B．函数
的值域是
C．若方程
有5 个解，则
的取值范围为
D．若函数
有3 个不同的零点
，则
的取值范围为
【变式4-1】（2025·河北·模拟预测）已知函数
，方程
有4 个不同的根
，且
满足
，则
的最小值为 .
【变式4-2】设函数
若存在
，且
，使得
成立，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：最值函数
【例5】已知函数
，
，设
，
．
其中
表示p，q 中的较大值，
表示p，q 中的较小值．记
的最小值为Q，记
的最大值为T，则
为（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【变式5-1】（2019山东济南一模）已知函数
，若对任意的正实数
，
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】设
为
中最大的数.已知正实数
，记
，则
的最小
值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【变式5-3】已知函数
，若对任意的实数a，b，总存在
，使得
成
立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-4】已知函数
，当
时，
的最大值为
，若
的最小值为4，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：绝对值函数
【例6】已知方程
恰有4 个不同的实数解，则正实数
的取值范
围是 ．
【变式6-1】（2025·天津·二模）若函数
的图象关于直线
对
称，且
恰有6 个零点，则的取值范围为 .
【变式6-2】已知
，函数
的最小值为
，则由满足条件的
的值组成
的集合是 .
题型七：新定义函数
【例7】已知函数
，若在其定义域内存在实数
满足
，则称函数
为“局部奇函
数”，若函数
是定义在
上的“局部奇函数”，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】定义在R 上且图像连续不断的函数
，若存在实数
使得
任意
实数x 都成立，我们称
是R 上“m 相依函数”．下列关于“m 相依函数”的描述正确的是（ ）
A．存在唯一的常值函数是“m 相依函数”
B．
是“m 相依函数”
C．“2025 相依函数”至少有一个零点
D．“
相依函数”至少有一个零点
【变式7-2】定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，如
是
上的平均值函数，0 就是它的均值点，现有函数
是
上的平均值函数，则实数的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】定义，不超过
的最大整数称为
的整数部分，记作
，
为
的小数部分，记作
，
这一规定最早为数学家高斯所用，因此
称为高斯函数，
称为小数函数，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数
所有零点和为0
C．
的值域为
D．
是
的充要条件
1．设函数
·若存在
且
，使得
成立，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，若存在
，且
，使得
成立，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设函数
Ⅰ求
的单调区间；
Ⅱ若存在区间
，使
在
上的值域是
，求
的取值范围．
4．设函数
.
(1)证明函数
在
上是增函数；
(2)若
，是否存在常数
，
，
，使函数
在
上的值
域为
，若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
5．（2025·山东济宁·一模）曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处
的切线斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
与
的图象上存在关于直线
对称的点，则当
取得最大值时，函数
的图象在
轴上的截距为（ ）
A．6
B．
C．
D．
7．1614 年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637 年笛卡尔开始使用指数运算；
1770 年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上
的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数
（
，且
）的反函数为
（
，且
）．已知函数
，
，若对任意
，有
恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
分别是函数
的零点，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
9．记
表示
中最大的数，已知正实数
，记
，则M 的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
10．已知函数
的定义域为
，若
时，
取得最小值，则
的取值范围是 ．
11．已知函数
，若关于x 的方程
恰有四个不同的实数根，则正实数a
的取值范围为 ．
12．已知函数
，当
时，
的最大值为
，则
的最小值为 .
13．记
表示
中最大的数，已知
为正实数，记
．若
，则
的最小值为 ，若
，则
的最小值为 ．
14．设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取值范围为 ．
15．（2025·天津河西·二模）已知函数
有四个不同的零点，且
，则
的取值范围是 .
16．（2025·天津·二模）设
，函数
.若
在区间
上恰有2 个不同
的零点，则
的取值范围是 ；若
在定义域内恰有2 个零点，则
的取值范围是 .
17．（2025·上海黄浦·二模）设
、
为常数，
，若对任意的
，函数
在区间
上恰有4 个零点，则
的取值范围是 ．
18．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，
函数
的边际函数
定义为
．某公司每月最多生产75 台报警系统装置，生
产
台
的收入函数
（单位：元），其成本函数
（单位：
元），利润是收入与成本之差，设利润函数为
，则以下说法正确的有
①
取得最大值时每月产量为
台；
②边际利润函数的表达式为
③利润函数
与边际利润函数
不具有相同的最大值
④边际利润函数
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.
19．定义：如果集合
存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集
，且
，那么称无序子集组
构成集合
的一个
划分.若使函数
在
有且仅有一个零点的
的取值集合为
，则集合
的所
有划分的个数为 .
20．已知函数
，
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）设
，
，记
的最小值
，
的最大值为
，
求
．（
表示
，
中的较大值，
表示
，
中的较小值．）
21．已知函数
，
．
(1)当
时，求不等式
的解集．
(2)
表示
中的较大值，
表示
中的较小值．设
，
，记
的最小值为
，
的最大值为
，求
．
22．已知函数
（
）．
（1）若
，
，求
的值域；
（2）若
，当
时，
的最大值为
，求
的值；
（3）当
时，记
最大值为
，求证：当
时，
．
