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专题8.6 双曲线方程
重难点题型1 双曲线的定义与标准方程
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设P 是双曲线C：
上一点，
，
是C 的左、右焦点，若
，则
（ ）
A．10 或4
B．13 或1
C．10
D．13
2．（2025·北京海淀·二模）已知
．若动点
满足
，则
的轨迹的方程为
（ ）
A．
B．
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
双曲线的定义与标准方程
重难点题型2
双曲线方程的充要条件
重难点题型3
利用第一定义求双曲线的轨迹方程
重难点题型4
双曲线中焦点三角形的周长与面积及其它问题
重难点题型5
双曲线的渐近线
重难点题型6
双曲线中的最值与范围问题
重难点题型7
求双曲线的离心率与离心率的取值范围
重难点题型8
直线与双曲线的位置关系
重难点题型9
定点与定值问题
重难点题型10
双曲线中的探索性问题
C．
D．
3．（2025·贵州安顺·二模）已知
是双曲线
的左，右焦点，点
在双曲线上，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川宜宾·三模）复数
满足
，则在复平面内
对应的点的轨迹为（ ）
A．圆
B．双曲线的一支
C．椭圆
D．抛物线
5．（2025·浙江·一模）双曲线
（
，
）的左、右焦点为
，
，P 为双曲线上一点，
且满足
轴，
，则双曲线的离心率为 .
6．（2025·河南郑州·一模）已知双曲线
，双曲线C 上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到
另一个焦点的距离为 .
7．（2025·广东·一模）双曲线
的左，右焦点分别为
，点
在双曲线右支上，若
，
则
.
8．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线
的离心率为
，其左右焦点分别为
､
，过
作
的一条渐近线的垂线并交
于
两点，若
，则
的周长为 .
重难点题型2 双曲线方程的充要条件
1．曲线
，则“
”是“曲线C 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线
，则“
”是“
为焦点在
轴上的双曲线”
的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·安徽黄山·一模）“
”是“
为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线
，则“
”是“曲线
的焦点在
轴
上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025·山西·三模）已知曲线
表示双曲线，则
的取值范围是 ．
6．（2024·浙江温州·一模）已知椭圆
和双曲线
的焦点相同，则
.
7．若曲线
是双曲线，则其焦距为 .
8．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线
是焦点在
轴上的双曲线，则实数
的取值范围是
．
重难点题型3 利用第一定义求双曲线的轨迹方程
1．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点
的坐标分别是
，
，直线
，
相
交于点
，且它们的斜率之积是
，则点
的轨迹方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．动圆P 过定点M(0，2)，且与圆N：
相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N 是圆O：x2＋y2＝1 上任意一点，点F1关于点N 的对称点为M，线段
F1M 的中垂线与直线F2M 相交于点P，则点P 的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
4．（2024·河南·一模）已知
为圆
：
上任意一点，
，若线段
的垂直平分线交
直线
于点
，则
点的轨迹方程为
A．
B．
C．
（
）
D．
（
）
5．（23-24 高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P 与两个定点
和
的连
线的斜率之积等于
，则点P 的轨迹方程为 ．
6．（2024·辽宁锦州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
经过点
，点
与点
关于原点对称，
为
上一动点，且
异于
，
两点．若
的重心为
，点
，则
的最小值 ；
重难点题型4 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其它问题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线
，右焦点为
，直线经过
且与
轴垂直．若与
的两条渐近线分别交于
，
两点，则
的面积为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
2．（2025·江西·二模）过双曲线
的中心作直线与双曲线
交于
、
两点，设双曲线
的
右焦点为
，已知
，则
的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系
中，已知点
，点
是平面内的一个动点，若
以
为直径的圆与圆
：
相切，记点P 的轨迹为曲线C，过曲线C 上一点Q 作直线分别与直
线
，
相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若
，
，
则
面积的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江西南昌·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，P 为双曲线C 第一象限上
一点，
的角平分线为l，过点O 作
的平行线，分别与
，l 交于M，N 两点，若
，
则
的面积为（ ）
A．20
B．12
C．24
D．10
5．（2024·辽宁·模拟预测）（多选题）已知
是等轴双曲线C 的方程，P 为C 上任意一点，
，则（ ）
A．C 的离心率为
B．C 的焦距为2
C．平面上存在两个定点A，B，使得
D．
的最小值为
6．（2024·广东广州·二模）（多选题）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦
点连线的夹角.设
为坐标原点，双曲线
的左右焦点分别为
，右顶点
到一条渐
近线的距离为2，右支上一动点
处的切线记为，则（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．双曲线
的离心率为
C．当
轴时，
D．过点
作
，垂足为
7．（2024·山西太原·一模）已知椭圆
，
为原点，过第一象限内椭圆外一点
作椭圆的
两条切线，切点分别为
.记直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，则
的最小值是 .
8．（2025·河南信阳·二模）已知正方形
的边长为
，两个点
，
(两点不重合)都在直线
的同
侧(但
，
与
在直线
的异侧)，
，
关于直线
对称，若
，则
面积的取值范围是
.
9．（2025·江西鹰潭·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
的
左支上，过点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，则当
取最小值12 时，
面积的
最大值为 ．
10．（2025·广东·一模）
分别为双曲线
的左、右焦点，
两点在双曲线上且关于原点对
称（点
在第一象限），直线
与双曲线的另一个交点为点
，若
，则
的面积为
．
重难点题型5 双曲线的渐近线
1、（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线
的离心率
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川成都·一模）双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·二模）已知双曲线
（
,
均为正整数）的左、右焦点分别为
，
，O 为坐
标原点，P 为C 右支上一点，
的周长为25，O 到直线
，
的距离分别为
，
，若
，
则C 的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，直线过
与
交于
两点，若
，
，则
的渐近线为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·海南三亚·一模）已知
是抛物线
的焦点，双曲线
的两条渐近线分别与抛物线
交于异于原点的
两点，若
，则双曲线的渐近线方程是 .
6．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线
的一条渐近线方程为
，则
；
离心率
．
7．（2025·江西新余·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
双曲线上，且
，则
；若点
满足
，若
，则双曲线
的渐近线方程为 .
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
为坐
标原点，点
在双曲线
的一条渐近线上，且
，若
，则双曲线的渐近线方程为 .
重难点题型6 双曲线中的最值与范围问题
1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线
与椭圆
的焦点重合，离
心率互为倒数，设
分别为双曲线
的左，右焦点，
为右支上任意一点，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，直线
与
的一条渐近线平行，若点
在
的右支上，点
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．6
C．
D．8
3．（2023·宁夏中卫·一模）已知双曲线C：
的左右焦点为
，
，点P 在双曲线C 的右支上，
则
（ ）
A．－8
B．8
C．10
D．－10
4．（2023·河南郑州·一模）设
，
为双曲线C：
的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点
P（0，2）．当
取最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线
的右支上，若
，
的面积为，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
为锐角三角形，则
D．若
的重心为
，随着点
的运动，点
的轨迹方程为
（
）
6．（2025·河北唐山·三模）（多选题）已知点
，
分别为双曲线
的左、右顶点，点
，
是
右支上不同两点，若
且
的面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．点
为
的重心
C．
D．
为等边三角形
7．已知
，
分别为双曲线
的左右焦点，
为
的右支上一点，
，
若
的一条渐近线方程为
，则实数
的取值范围是 .
8．设双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交双曲线左支于A，B 两点，则|BF2|＋|
AF2|的最小值为 ．
重难点题型7 求双曲线的离心率与离心率的取值范围
1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知双曲线
的左焦点为
，直线
与C 的右
支于点A，若C 的左支上存在点B 满足
，且
，则C 的离心率为
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
2．（2025·江西吉安·模拟预测）已知双曲线
的实轴长等于8，等腰梯形
的四
个顶点均在双曲线上，边
都与
轴平行，其中
在
轴下方，且
；又等腰
梯形的高等于3，则双曲线的离心率=（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃白银·三模）已知
是双曲线
在第一象限上的一点，点
与点
关
于原点
对称，过点
作
，与
的另外一个交点为
，连接
，与
轴交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3
4．（2025·云南昭通·模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，过点
作互相垂直
的直线，
，与
的右支交于
，
两点，
，若
与
的左支交于
点，且
，
，
三
点共线（
是坐标原点），则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点P 在双
曲线上，且
，若
的内心为
，且
与
共线，则双曲线C 的离心率为
．
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线
（
，
）上的任意一点，过分别引其
渐近线的平行线，分别交
轴于点
，
，交
轴于点
，
，若
恒成立，
则双曲线离心率的取值范围为
7．（2025·湖北荆州·模拟预测）过双曲线
右支上的点
作
的切线，
，
为双曲
线
的左右焦点，
为切线上的一点，且
若
，则双曲线的离心率为 .
8．（2025·上海杨浦·模拟预测）设双曲线
的两个焦点为
，以
的实轴为直径的圆记作圆
，过
作圆
的切线
分别交
的两支于点
，若
，则
的离心率为 .
重难点题型8 直线与双曲线的位置关系
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线
的左顶点
，渐近线方程为
，直
线经过点
，与C 交于不与A 重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C 的方程；
(2)求直线AP，AQ 的斜率之和；
(3)设在射线AQ 上的点R 满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR 斜率的最大值.
2．（2025·湖南长沙·三模）已知动点
与定点
的距离与它到定直线
的距离的比
是常数
，
(1)求动点
的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点
作轨迹的切线与两直线
分别交于
、
两点，证明：三角形
的面积是定
值．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线
的中心为坐标原点，过点
，其中一条渐近线的方程为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设双曲线
的左、右顶点分别为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.直线
与直线
交于点
，证明：
三点共线.
4．（2025·河北保定·三模）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，且点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的方程；
(2)已知双曲线
的右焦点为
，点
，斜率为1 的直线与双曲线
交于不同的两点
，
，且
为
线段
的中点，若
，求直线的方程.
重难点题型9 定点与定值问题
1．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知双曲线
过点
，
，
分别为圆
的两条切线，且分别交双曲线
于点
.
(1)证明：直线
的斜率为定值；
(2)当
时，求
的面积.
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知等轴双曲线
的焦点分别在
轴上，
经过
，
的焦距
为
．
(1)求
的方程；
(2)
为直线
上一点，相互垂直且斜率均存在的直线
交于
点，与
交于
两点，
与
交于
两点．设直线
与关于直线
对称，证明：
①直线
与
关于直线
对称；
②
．
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线
过点
分别为圆
：
的两条切线，且分别交双曲线
于点
．
(1)求双曲线
的离心率；
(2)证明：直线
的斜率为定值．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线
的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方
程为
，且点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的方程；
(2)已知
，
，过点
的直线与双曲线
的右支交于
两点，直线
与直线
交于点
.
（ⅰ）证明：直线
恒过定点；
（ⅱ）若直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
，求
面积的最小值.
重难点题型10 探索性问题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知双曲线C：
的两条渐近线分别为：
和
：
，右焦点坐标为
，
为坐标原点.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设M，N 是双曲线C 上不同的两点，Q 是
的中点，直线
，
的斜率分别为
，
，证明：
为定值；
(3)直线
与C 的右支交于点
，
（A₁ 在
的上方），过点
，
分别作
，的平行线，交于
点
，过点
且斜率为2 的直线与C 的右支交于点
，
（
在
的上方），再过点
，
分别作
，
的平行线，交于点
，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点
，
，
，记
的
坐标为
.证明：
共线.
2．（2025·河北邢台·二模）已知双曲线
的离心率为2，过点
的直线与
相交于
两点，且当的斜率为0 时，
．
(1)求
的方程；
(2)是否存在，使得
两点关于直线
对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由；
(3) 与直线
交于点
，设
，问：
是否为定值？若为定值，求出
该定值；若不为定值，请说明理由．
3．（2025·福建福州·模拟预测）已知直线
，直线
，动点M 到x 轴的距离小于它到y 轴的距
离，过M 分别作和
的垂线，垂足分别为D，E，O 为坐标原点，若四边形
的面积为
，设动点
M 的轨迹为曲线C．根据上述运算回答下面问题：
(1)求C 的方程；
(2)若C 交x 轴正半轴于点A，C 上一点B 和直线
上一点Q 满足
是以
为底的等腰直角三角形．
（ⅰ）求直线
的斜率：
（ⅱ）若B 在第一象限，记点B 关于的对称点为K，点B 关于原点的对称点为
，若动点M 不与
，B
重合，设动直线
与直线
相交于点P，动直线
与直线
相交于点
，求证：
成
等比数列．
4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
，二者相交于
，离心
率为
．
(1)求
的方程；
(2)记
在第一象限交于
，第二象限交于
，第三象限于
，第四象限交于
．
（i）如图1，过点
的直线交
于
，过点
的直线
交
于
，斜率分别为
，
，
的中点
分别为
，
．求证：当
时，
(所有直线斜率均存在) ；
（ii）如图2，
为
上的动点，连接
交
于
，连接
交
于
．连接
交
于
，连接
交
于
，求证：
轨迹为双曲线，并给出轨迹方程．
