第7 讲 函数的性质 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1. 函数的单调性.....................................................................................................................2
2. 函数的奇偶性.....................................................................................................................2
3. 函数的对称性.....................................................................................................................3
4. 函数的周期性.....................................................................................................................3
5. 重要技巧............................................................................................................................. 3
三、方法总结......................................................................................................................................6
考点一：函数的单调性..........................................................................................................6
考点二：函数的奇偶性..........................................................................................................7
考点三：函数的对称性与周期性..........................................................................................8
考点四：函数性质的综合应用..............................................................................................8
四、典题精讲......................................................................................................................................9
考点一：函数的单调性..........................................................................................................9
考点二：函数的奇偶性........................................................................................................11
考点三：函数的对称性与周期性........................................................................................13
考点四：函数性质的综合应用............................................................................................17
五、高考真题....................................................................................................................................21
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考查内容
2026
19 题·解答题
17 分
抽象函数的奇偶性、单调性与新定义集合的综合应用
2025
5 题·单选题
5 分
函数的奇偶性与周期性的综合应用
2024
6 题·单选题
5 分
分段函数的单调性及参数范围求解
2024
8 题·单选题
5 分
抽象函数的递推关系与不等式应用
近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答
题的抽象性质综合探究，占有一定分值.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：考查函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与
抽象函数.
· 命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思
维和逻辑推理能力的要求逐步提升.
· 试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题
则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明.
3. 备考策略
· 扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与
奇偶性.
· 强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心
技巧.
· 提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时，
注意临界条件和定义域的限制.
二、知识清单
1. 函数的单调性
（1） 单调函数的定义
一般地，设函数f ( x)的定义域为A，区间D⊆A：
如果对于D内的任意两个自变量的值x1，x2当x1< x2时，都有f ( x1)<f ( x2)，那么就说
f ( x)在区间D上是增函数.
如果对于D内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1< x2时，都有f ( x1)>f ( x2)，那么就说
f ( x)在区间D上是减函数.
· 属于定义域A内某个区间上；
· 任意两个自变量x1，x2且x1< x2；
· 都有f ( x1)<f ( x2)或f ( x1)>f ( x2)；
· 图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右
是下降的.
（2） 单调性与单调区间
· 单调区间的定义：如果函数f ( x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f ( x)
在区间D上具有单调性，D称为函数f ( x)的单调区间.
· 函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
（3） 复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增 (减)
函数，内层函数是增 (减) 函数，复合函数是增函数；外层函数是增 (减) 函数，内层函数
是减 (增) 函数，复合函数是减函数.
2. 函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f ( x)的定义域内任意一个x，都有f (- x)= f ( x)，那么
函数f ( x)就叫做偶函数
关于y轴对
称
奇函数
如果对于函数f ( x)的定义域内任意一个x，都有f (- x)=- f ( x)，那么
函数f ( x)就叫做奇函数
关于原点
对称
· 关系判断法：判断f (- x)与f ( x)的关系时，也可以使用如下结论：如果
f (- x)- f ( x)=0或f (- x)
f ( x) =1 (f ( x)≠0)，则函数f ( x)为偶函数；如果f (- x)+ f ( x)=0或
f (- x)
f ( x) =-1 (f ( x)≠0)，则函数f ( x)为奇函数.
· 定义域对称性：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对
于定义域内的任意一个x，- x也在定义域内 (即定义域关于原点对称).
3. 函数的对称性
· 若函数y = f ( x +a)为偶函数，则函数y = f ( x)关于x =a对称.
· 若函数y = f ( x +a)为奇函数，则函数y = f ( x)关于点(a,0)对称.
· 若f ( x)= f (2a- x)，则函数f ( x)关于x =a对称.
· 若f ( x)+ f (2a- x)=2b，则函数f ( x)关于点(a,b)对称.
4. 函数的周期性
（1） 周期函数
对于函数y = f ( x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f ( x +T )= f ( x)，那么就称函数y = f ( x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
（2） 最小正周期
如果在周期函数f ( x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做
f ( x)的最小正周期.
5. 重要技巧
（1） 单调性技巧
① 证明函数单调性的步骤
· 取值：设x1，x2是f ( x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1< x2；
· 变形：作差变形 (变形方法：因式分解、配方、有理化等) 或作商变形；
· 定号：判断差的正负或商与 1 的大小关系；
· 得出结论.
② 函数单调性的判断方法
· 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值 - 变形 - 判断符号 - 下结论”进
行判断.
· 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.
· 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接
写出它们的单调区间.
③ 记住几条常用的结论
· 若f ( x)是增函数，则- f ( x)为减函数；若f ( x)是减函数，则- f ( x)为增函数；
· 若f ( x)和g( x)均为增 (或减) 函数，则在f ( x)和g( x)的公共定义域上f ( x)+ g( x)为增
(或减) 函数；
· 若f ( x)>0且f ( x)为增函数，则函数❑√f ( x)为增函数，
1
f ( x)为减函数；
· 若f ( x)>0且f ( x)为减函数，则函数❑√f ( x)为减函数，
1
f ( x)为增函数.
（2） 奇偶性技巧
· 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
· 奇偶函数的图象特征：函数f ( x)是偶函数⇔函数f ( x)的图象关于y轴对称；函数f ( x)
是奇函数⇔函数f ( x)的图象关于原点中心对称.
· 若奇函数y = f ( x)在x =0处有意义，则有f （0）=0；偶函数y = f ( x)必满足
f ( x)= f (| x|).
· 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内
关于原点对称的两个区间上单调性相同.
· 若函数f ( x)的定义域关于原点对称，则函数f ( x)能表示成一个偶函数与一个奇函数
的和的形式.记g( x)= 1
2 [ f ( x)+ f (- x)]，h( x)= 1
2 [ f ( x)- f (- x)]，则f ( x)= g( x)+h( x).
· 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个 (或多个) 函数式通过加、减、乘、除四
则运算所得的函数，如f ( x)+ g( x), f ( x)- g( x), f ( x)× g( x), f ( x)÷ g( x).对于运算函数有如
下结论：奇±奇 = 奇；偶±偶 = 偶；奇±偶 = 非奇非偶；奇× (÷) 奇 = 偶；奇× (÷) 偶 =
奇；偶× (÷) 偶 = 偶.
· 复合函数y = f [ g( x)]的奇偶性规律：内偶则偶，两奇为奇.
· 常见奇偶性函数模型：
奇函数：①函数f ( x)=m(
a
x+1
a
x -1) (x≠0) 或函数f ( x)=m(
a
x -1
a
x+1).②函数f ( x)=±(a
x -a
- x).
③函数f ( x)= loga
x +m
x -m = loga(1+ 2m
x -m)或函数f ( x)= loga
x -m
x +m = loga(1- 2m
x +m).④函数
f ( x)= loga(
❑√x
2+1+ x)或函数f ( x)= loga(
❑√x
2+1- x).注意：关于①式，可以写成函数
f ( x)=m+ 2m
a
x -1 (x≠0) 或函数f ( x)=m- 2m
a
x+1 (m∈R).
偶函数：①函数f ( x)=±(a
x+a
- x).②函数f ( x)= loga(a
mx+1)- mx
2 .③函数f (| x|)类型的
一切函数.④常数函数.
（3） 周期性技巧
函数式满足关系 (x∈R)
周期
f ( x +T )= f ( x)
T
f ( x +T )=- f ( x)
2T
f ( x +T )=
1
f ( x) ; f ( x +T )=-
1
f ( x)
2T
f ( x +T )= f ( x -T )
2T
f ( x +T )=- f ( x -T )
4T
{
f (a+ x)= f (a- x)
f (b+ x)= f (b- x)
2(b-a)
{
f (a+ x)= f (a- x)
f ( x)为偶函数
2a
{
f (a+ x)=- f (a- x)
f (b+ x)=- f (b- x)
2(b-a)
{
f (a+ x)=- f (a- x)
f ( x)为奇函数
2a
{
f (a+ x)= f (a- x)
f (b+ x)=- f (b- x)
4(b-a)
{
f (a+ x)= f (a- x)
f ( x)为奇函数
4 a
{
f (a+ x)=- f (a- x)
f ( x)为偶函数
4 a
（4） 函数的对称性与周期性的关系
· 若函数y = f ( x)有两条对称轴x =a，x =b (a<b)，则函数f ( x)是周期函数，且
T =2(b-a).
· 若函数y = f ( x)的图象有两个对称中心(a,c)，(b,c) (a<b)，则函数y = f ( x)是周期函
数，且T =2(b-a).
· 若函数y = f ( x)有一条对称轴x =a和一个对称中心(b,0) (a<b)，则函数y = f ( x)是周
期函数，且T = 4(b-a).
（5） 对称性技巧
· 若函数y = f ( x)关于直线x =a对称，则f (a+ x)= f (a- x).
· 若函数y = f ( x)关于点(a,b)对称，则f (a+ x)+ f (a- x)=2b.
· 函数y = f (a+ x)与y = f (a- x)关于y轴对称，函数y = f (a+ x)与y =- f (a- x)关于原点
对称.
（6） 类周期函数与倍增函数
· 类周期函数：若y = f ( x)满足：f ( x +m)=kf ( x)或f ( x)=kf ( x -m)，则y = f ( x)横坐标
每增加m个单位，则函数值扩大k倍.此函数称为周期为m的类周期函数.
· 倍增函数：若函数y = f ( x)满足f (mx)=kf ( x)或f ( x)=kf ( x
m )，则y = f ( x)横坐标每扩
大m倍，则函数值扩大k倍.此函数称为倍增函数.注意当m=k时，构成一系列平行的分段函
数，f ( x)=
{
g( x),
x∈[1,m)
g( x -m+1),
x∈[m,m
2)
g( x -m
2+1),
x∈[m
2,m
3)
¿
¿
x∈[m
n-1,m
n)¿.
（7） 抽象函数的模特函数
抽象函数的模特函数通常如下：
· 若f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)，则f ( x)= xf （1） (正比例函数).
· 若f ( x + y)= f ( x)f ( y)，则f ( x)=[ f （1）]
x (指数函数).
· 若f ( xy )= f ( x)+ f ( y)，则f ( x)= logb x (对数函数).
· 若f ( xy )= f ( x)f ( y)，则f ( x)= x
a (幂函数).
· 若f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)+m，则f ( x)= xf （1）-m (一次函数).
三、方法总结
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
· 利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、
配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.
· 解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
· 解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥
离，构造形如g( x)= f ( x)-m的奇函数.
· 利用奇函数的性质g(- x)=- g( x)将不等式转化为g( A )<g(B)的形式，再结合单调性
求解.
考法3：利用单调性求最值或值域
· 对于形如f (g( x))=C且f ( x)单调的问题，可通过解方程f (t )=C求出唯一的t，进而得
到g( x)=t.
· 求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域.
考法4：根据单调性求参数范围
· 处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.
· 列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系，即左侧区间的最大值（或上确界）
必须小于等于右侧区间的最小值（或下确界）.
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
· 研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.
· 判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化
简解析式并验证f (- x)=± f ( x).
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
· 遇到f ( x +a)为偶（奇）函数时，可直接转化为f ( x)关于直线x =a对称（或关于点
(a,0)中心对称）.
· 利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧.
考法7：根据奇偶性求参数
· 已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时
f （0）=0（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式f (- x)± f ( x)=0，通过代数变
形求出参数.
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
· “奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若f ( x)-m是奇函数，则
f ( x)+ f (- x)=2m.
· 在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件.
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
· 抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.
· 牢记两个基本结论：若f ( x)有两条对称轴，则必为周期函数；若f ( x)有一个对称中
心和一条对称轴，也必为周期函数.
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
· 处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.
· 若两个函数图象具有共同的对称中心(a,b)，且有n个交点，则这n个交点的横坐标之
和为n×a.
考法11：类周期函数的应用
· 类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、
最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.
· 对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键.
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
· 分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.
· 证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号（即零点存在
性定理）是标准且有效的方法.
考法13：构造函数利用性质解不等式
· 解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.
· 若f ( x)是偶函数且在[0,+ ∞)上单调递增，则f ( A )>f (B)⇔| A |>|B|；若单调递减，
则f ( A )>f (B)⇔| A |<|B|.
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
· 抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求f （0）常令x = y =0；求证奇偶性常
令x =0或y =- x.
· 证明单调性作差时，常利用换元技巧（如令x = x2+ x1
2
，y = x2- x1
2
）将差化积.
考法15：抽象函数性质的综合应用
· 综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达
式（如f (a+ x)=± f (b- x)）.
· 求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律.
四、典题精练
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
例1.（2024·泰州海陵·期中）已知函数f ( x)=- 2 x
x +1 , x∈(0,+∞).
（1）判断函数f ( x)的单调性，并利用定义证明；
（2）若f (2m-1)>f (1-m)，求实数m的取值范围.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
例2.（2026·襄阳四中·阶段检测）已知函数f ( x)= x
3+2 x +2sin
2( x
2 + π
4 )+5，且
f (t
2-2t )+ f (-3t + 4)<12，则实数t的取值范围是（ ）
A. (1,4)
B. (-∞,1)∪(4 ,+∞)
C. (- 4 ,1)
D. (-∞,- 4)∪(1,+∞)
考法3：利用单调性求最值或值域
例3.（2024·河南·模拟）已知函数f ( x)为定义在R上的单调函数，且f (f ( x)-2
x -2 x)=10，
则f ( x)在[-2,2]上的值域为＿＿＿＿＿＿.
考法4：根据单调性求参数范围
例4.（2025·河南创新·一模）已知f ( x)={
2 x , x ≤m,
x
2- 4 x +5, x>m是增函数，则实数m的取值范围是
（ ）
A. [1,2]
B. [2,5]
C. [2,+∞)
D. [5,+ ∞)
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
例5.（2026·广东佛山·二模）函数f ( x)= ln( x +3)+ ln(3- x)，则（ ）
A. f ( x)是奇函数
B. f ( x)是周期函数
C. f ( x)的最大值为2
D. f (-2)<f （1）
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
例6.（2025·淮北淮南·二模）已知函数f ( x)和g( x)的定义域均为R，f ( x +2)为偶函数，
g( x +2)为奇函数，若f ( x)+ g( x)=3
x+ log6( x
2+2)- 40，则f （0）=（ ）
A. 4
B. 2
C. 0
D. -2
考法7：根据奇偶性求参数
例7.（2025·江西上进·5 月联考）已知函数f ( x)=(m-
5
5
x+1)cos x为奇函数，则m=
（ ）
A. 5
B. 4
C. 5
2
D. 1
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
例8.已知f ( x)+1在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a,b满足f (a- 4)+ f (b)=-2，则
1
a + 2
b的最小值为（ ）
A. 3
4 +
❑√2
2
B. 3
4 + ❑√2
C. 3+2❑√2
D. 3
2 + ❑√2
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
例9.（2024·山东烟台·二模）（多选）定义在R上的函数f ( x)满足f ( x)+ f (4+ x)=0，
f (2+2 x)是偶函数，f （1）=1，则（ ）
A. f ( x)是奇函数
B. f （2023）=-1
C. f ( x)的图象关于直线x =1对称
D. ∑
k =1
100
k f (2k -1)=-100
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
例10.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在R上的偶函数f ( x)满足f ( x)=- f (2- x)，当
x∈[0,1)时，f ( x)=2cos πx，函数g( x)= x -1(-1≤x ≤3)，则f ( x)与g( x)的图象所有交点
的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿.
考法11：类周期函数的应用
例11.（多选）已知函数f ( x)={
4 -|4 x -8|,1≤x ≤3
1
2 f ( x
3 ), x>3
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数y = f ( x)-kx有4 个零点，则实数k的取值范围为( 1
18 , 1
3 )
B. 关于x的方程f ( x)- 1
2
n-3 =0(n∈N
*)有2n-1个不同的解
C. 对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf ( x)-8≤0恒成立
D. 当x ∈[3
n-1,3
n)(n∈N
*)时，函数f ( x)的图象与x轴围成的图形的面积为4×( 3
2 )
n-1
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
例12.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数f ( x)=e
x -1
e
x+1 ，则（ ）
A. f ( x)为奇函数
B. f ( x)的值域是(-1,1)
C. f ( x)有极值
D. 存在实数a,b，使得f ( x)在[a,b]上的值域为[ 1
4 a, 1
4 b]
考法13：构造函数利用性质解不等式
例13.（2025·河北邢台名校·一模）设函数f ( x)= ln(1+ x
4)-
1
1+3| x|，则不等式
f (2 x)>f ( x +1)的解集为（ ）
A. (- 1
3 ,1)
B. (-∞,- 1
3 )∪(1,+ ∞)
C. (- 1
3 , 1
3 )
D. (-∞,- 1
3 )∪( 1
3 ,+ ∞)
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
例14.已知定义在R上的函数f ( x)，g( x)满足：①f （0）=1；②g( x)为奇函数；③
∀x∈(0,+∞)，g( x)>0；④任意的x , y ∈R，f ( x - y)= f ( x)f ( y)- g( x)g( y).
（1）判断并证明函数f ( x)的奇偶性；
（2）判断并证明函数f ( x)在(0,+∞)上的单调性.
考法15：抽象函数性质的综合应用
例15.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数f ( x)的定义域为R，其图象是一条连续不
断的曲线，f （1）=1，f ( x +2)为奇函数，函数g( x)=( x -1)f ( x -1)，且g(2 x +1)为偶函
数，则（ ）
A. f ( x)是奇函数
B. 2 为f ( x)的一个周期
C. g（3）=0
D. ∑
i=1
100
g(i)=-50
五、高考真题
1.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)={
- x
2-2ax -a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0，在R上单调递增，则a取值的范
围是（ ）
A. (-∞,0]
B. [-1,0]
C. [-1,1]
D. [0,+∞)
2.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)的定义域为R，f ( x)>f ( x -1)+ f ( x -2)，且当x<3时
f ( x)= x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. f （10）>100
B. f （20）>1000
C. f （10）<1000
D. f （20）<10000
3.（2025·全国一卷）设f ( x)是定义在R上且周期为2 的偶函数，当2≤x ≤3时，f ( x)=5-2 x，
则f (- 3
4 )=（ ）
A. - 1
2
B. - 1
4
C. 1
4
D. 1
2
4.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)的定义域为R，且当x<0时，f ( x)=2
x.对任意x0∈R，
定义集合D( x0)={d ∈R∣f ( x0+d )>f ( x0)}.
（1）若当x ≥0时，f ( x)=1- x，求D(-1)；
（2）若f ( x)是奇函数，f ( x1)≤f ( x2)，且x1 x2≠0，证明：D( x2)⊆D( x1)；
（3）设f ( x)满足：①若f ( x1)≤f ( x2)，则D( x2)⊆D( x1)；②当0< x<1时，f ( x)<f （0）.
（i）证明：f （0）≥1；
（ii）证明：f ( x)在区间(0,+ ∞)单调递增.
