第一节 集合
一、考纲总览............................................................................................................................2
二、具体考查内容与要求........................................................................................................2
三、考查形式说明....................................................................................................................5
第一课时 集合的概念与表示、元素的特性............................................................6
第二课时 元素与集合的关系、集合的基本关系....................................................8
第三课时 集合的基本运算、Venn 图的应用........................................................11
第四课时 集合中元素的个数问题、新定义集合问题..........................................14
四、全节整合提升..................................................................................................................18
（一）核心考点梳理................................................................................................18
（二）易错点汇总....................................................................................................18
（三）解题思想提炼................................................................................................19
一、考纲总览
1. 模块定位：集合是高考数学的基础核心模块，承载数学语言表达、逻辑推理的
启蒙功能，为函数、不等式等后续知识提供工具支撑。
2. 考查权重：通常以 1-2 道选择题或填空题形式呈现，分值 5-10 分，难度以基础
题、中档题为主，新定义题型偶为中档偏难题。
3. 核心目标：考查考生对集合概念、关系、运算的理解与应用能力，以及从具体
情境中提取集合信息、运用逻辑规则解决问题的素养。
二、具体考查内容与要求
（一）集合的概念与表示
1. 知识要求：
掌握集合的定义，明确集合元素的基本属性（隐含考查，为后续特性题型铺
垫）。
熟练掌握列举法、描述法两种基本表示方法，理解两种表示方法的内在等价
性。
能识别常见数集的符号表示（如 N、Z、Q、R 等）。
2. 考查目标：判断集合表示的正确性，实现不同表示方法的转化，根据描述法确
定集合元素。
3. 难度层级：基础题（容易）
4. 对应题型示例：判断 “{x∣x
2−1=0}与{−1,1}是否为同一集合”。
（二）集合中元素的特性
1. 知识要求：
深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性，重点掌握互异性的应用规则。
能结合元素特性分析集合的合法性，求解含参数集合中的参数取值范围。
2. 考查目标：运用元素特性（尤其是互异性）解决集合合法性判断、参数求解问
题。
3. 难度层级：基础题至中档题（容易 - 中等）
4. 对应题型示例：已知集合A ={1,a,a
2−1}，求a的取值范围。
（三）元素与集合的关系
1. 知识要求
明确 “属于∈” 与 “不属于∉” 的符号含义及使用场景。
能根据集合的确定性条件，判断元素与集合的关系，或由元素与集合的关系推
导参数范围。
2. 考查目标：判断具体元素与集合的关系，利用关系条件求解参数。
3. 难度层级：基础题（容易）
4. 对应题型示例：已知集合A ={x∣x>0}，判断−1与A的关系；若a∈A，求a的
取值范围。
（四）集合的基本关系
1. 知识要求
掌握子集⊆、真子集⫋、相等=的定义及符号表示。
理解空集的特殊性，明确空集是任何集合的子集、任何非空集合的真子集。
能判断两个集合的关系，或根据集合间的包含关系求解参数范围、列举子集。
2. 考查目标：识别集合间的关系，利用包含关系解决参数、子集列举问题。
3. 难度层级：基础题至中档题（容易 - 中等）
4. 对应题型示例：判断A ={1,2,3}与B ={x∣x∈N , x ≤3}的关系；已知A ⊆B，求
集合A的所有可能情况。
（五）集合的基本运算
1. 知识要求
掌握交集（∩）、并集（∪）、补集（∁U A ）的定义、符号及运算性质。
能进行有限集、无限集的交、并、补运算，结合不等式表示的集合进行运算求
解。
能根据运算结果逆向求解集合中的参数值或范围。
2. 考查目标：熟练进行集合的交、并、补运算，通过运算结果反推参数。
3. 难度层级：基础题至中档题（容易 - 中等）
4. 对应题型示例：已知A ={1,2,3,4}，B ={3,4,5,6}，求A ∩B、A ∪B、∁U A；若
A ∩B ={3}，求参数取值。
（六）Venn 图的应用
1. 知识要求
理解 Venn 图的直观性特点，掌握用 Venn 图表示集合关系（子集、相等）和
运算（交、并、补）的方法。
能从 Venn 图中提取集合元素、关系及运算的信息，反向用 Venn 图表示给定
集合问题。
2. 考查目标：借助 Venn 图分析集合问题，实现图形与集合语言的转化。
3. 难度层级：基础题（容易）
4. 对应题型示例：根据 Venn 图中阴影部分，写出对应的集合表达式；用 Venn 图
表示集合A、B 的并集与交集。
（七）集合中元素的个数问题
1. 知识要求
掌握有限集元素个数的计数方法，理解无限集元素个数的描述性概念（如可
数、不可数）。
能结合集合的关系、运算求解有限集的元素个数，或根据元素个数条件求参
数。
了解并集元素个数公式：n( A ∪B)=n( A )+n(B)−n( A ∩B)（韦恩图辅助理
解）。
2. 考查目标：计算有限集元素个数，利用元素个数条件解决参数问题。
3. 难度层级：基础题至中档题（容易 - 中等）
4. 对应题型示例：求集合A ={x∣−1< x<3, x∈Z }的元素个数；已知
n( A )=3，n(B)= 4，n( A ∩B)=2，求n( A ∪B)。
（八）新定义集合问题
1. 知识要求
具备快速阅读理解新定义的能力，准确提取新定义中的集合规则、运算方式或
性质。
能将新定义与已有集合知识结合，迁移应用解决计算、判断、证明等问题。
2. 考查目标：阅读理解新定义，迁移运用集合知识解决创新问题。
3. 难度层级：中档偏难题（中等 - 较难）
4. 对应题型示例：定义 “差集”A −B ={x∣x∈A , 且x∉B}，求A −( A −B)；证
明新定义运算的交换律或结合律。
三、考查形式说明
1. 题型分布：选择题（主要）、填空题（主要）、解答题（仅新定义题型偶
见）。
2. 命题特点：
1.
基础题型注重概念辨析与基本运算，直接考查核心知识。
2.
中档题型侧重知识综合，如结合不等式、参数考查集合关系与运算。
3.
创新题型以新定义为载体，考查逻辑推理与知识迁移能力，常结合函
数、不等式等知识拓展。
第一课时 集合的概念与表示、元素的特性
【学习目标】
1. 掌握集合的定义、两种表示方法及常见数集符号，能实现表示方法转化。
2. 理解元素的确定性、互异性、无序性，能运用互异性求参数范围。
【知识梳理】
一、集合的基本概念
1. 元素与集合：研究对象称为元素（用小写字母表示），元素组成的总体称为集
合（用大写字母表示）。
2. 常见数集符号：
自然数集：N（含 0） 正整数集：N
∗或N +
整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R
二、集合的表示方法
方法
形式
适用场景
示例
列举法
{a1,a2,…,an}
元素有限且较少
{−1,1}
描述法
{x∣P( x)}
元素无限或有共同
特征
{x∣x
2−1=0}
三、元素的特性
确定性：元素是否属于集合明确（如 “高个子” 不能构成集合）。
互异性：集合中元素互不重复（核心考点）。
无序性：元素顺序不影响集合（如{1,2}={2,1}）。
【题型突破一：集合的概念与表示】
典例剖析
例 1：判断下列集合表示是否正确，若错误请改正。
（1）{x∣x>5}表示大于 5 的数集；（2）{1,2,2,3}；（3）{x =1, y =2}。
解析：（1）正确，符合描述法规范；
（2）错误，违背互异性，改正为{1,2,3}；
（3）错误，点集需用有序数对，改正为{(1,2)}。
例 2：将集合A ={x∣−2< x ≤2, x∈ℤ}用列举法表示，集合B ={0,2,4,6}用描述法
表示。
解析：A中整数元素为−1,0,1,2，故A ={−1,0,1,2}；
B中元素是不大于 6 的非负偶数，故B ={x∣x =2k ,k ∈ℕ,k ≤3}。
变式训练
1. 下列集合与{1,2}表示同一集合的是（ ）
A .{x∣x
2−3 x +2=0}
B.(1,2,3)
C .(1,2)
D .{x∣x>1 且x<2}
2. 用适当方法表示 “所有被 3 整除的整数” 组成的集合。
【题型突破二：集合中元素的特性】
典例剖析
例 3：已知集合A ={1,a,a
2−1}，若2∈A，求实数a的值。
解析：分情况讨论：
若a=2，则a
2−1=3，集合为{1,2,3}，满足互异性；
若a
2−1=2，则a=± ❑√3，此时集合分别为{1,❑√3,2}、{1,−❑√3,2}，均满足互异
性。
综上，a=2或± ❑√3。
例 4：已知集合B ={x∣a x
2−2 x +1=0}中只有 1 个元素，求实数a的值。
解析：
当a=0时，方程为−2 x +1=0，解为x = 1
2，集合B ={1
2 }，符合题意；
当a≠0时，Δ= 4−4 a=0，解得a=1，此时方程有唯一解x =1，集合B ={1}，符合
题意。
综上，a=0或1。
变式训练
1. 已知集合C ={a−1,2a
2+5a+1,a
2+1}，若−2∈C，求a的值。
2. 若集合D ={x∣x
2+bx +c =0}中元素只有 1，求b,c的值。
【易错提醒】
1. 用描述法时，切勿遗漏代表元素的特征（如{x∣x>5}不能写成{x>5}）。
2. 求参数后必须检验互异性，避免出现重复元素。
【课时小结】
1. 集合表示需遵循规范，列举法去重，描述法含 “代表元素 + 特征”。
2. 元素特性中，互异性是解题关键，参数问题需分类讨论并检验。
【课后作业】
1. 用描述法表示集合{1, 1
2 , 1
3 , 1
4 }。
第二课时 元素与集合的关系、集合的基本关系
【学习目标】
1. 能准确判断元素与集合的 “属于（∈）” 或 “不属于（∉）” 关系。
2. 掌握子集、真子集、相等的定义，能解决含参数的包含关系问题。
【知识梳理】
一、元素与集合的关系
1. 若a是集合A的元素，记作a∈A；否则记作a∉A。
2. 本质：个体与整体的确定性关系（如0∈ℕ，❑√2∉ℚ）。
二、集合的基本关系
关系
定义
符号表示
性质
子集
A中元素均在B中
( A ⊆B)
( A ⊆A )，(∅⊆A )
真子集
A ⊆B 且B有元素不在A 中
( A ⫋B)
若( A ⫋B)，(B ⫋C )，则(
相等
A ⊆B 且B⊆A
( A = B)
元素完全相同
三、子集个数公式
若集合A有n个元素，则：
子集个数：2
n ；真子集个数：2
n−1 ；非空真子集个数：2
n−2
【题型突破三：元素与集合的关系】
典例剖析
例 1：用(∈)或(∉)填空：
（1）π _ _ _ _ _ ℝ；（2）−3 _ _ _ _ _ ℕ
∗；
解析：（1）π ∈ℝ（π是实数）；（2）−3∉ℕ
∗（正整数集不含负数）。
例 2：已知集合( A ={x∣x =3k +1,k ∈ℤ})，证明：4∈A ，5∉A。
解析：当k =1时，x =3×1+1= 4，故4∈A ；
假设5∈A ，则3k +1=5，解得k = 4
3 ∉ℤ，故5∉A。
变式训练
1. 用∈或∉填空：（1）1
2 _ _ _ _ _ ℤ；（2）0 _ _ _ _ _ {x∣x<0}。
2. 已知集合B ={x∣x =2m−3,m∈ℕ}，若7∈B，求m的值。
【题型突破四：集合的基本关系】
典例剖析
例 3：判断下列集合关系：
（1）A ={1,2}，B ={x∣x
2−3 x +2=0}；（2）
C ={x∣x 是菱形}，D ={x∣x 是平行四边形}。
解析：（1）解方程得B ={1,2}，故A = B；（2）菱形是特殊平行四边形，故
C ⫋D。
例 4：已知集合A ={x∣−1≤x ≤2}，B ={x∣x<a}，若A ⊆B，求a的取值范围。
解析：结合数轴，要使A中所有元素均在B中，需a>2,若a=2，则2∉B，不满
足），故a∈(2,+ ∞)。
例 5：求集合M ={a,b,c }的所有子集和真子集。
解析：子集共2
3=8个：∅,{a},{b},{c },{a,b},{a,c },{b,c },{a,b,c }；
真子集共8−1=7个（去掉自身）。
变式训练
1. 已知集合P ={1,3}，Q ={x∣x⊆P}，则P与Q的关系是（ ）
A . P∈Q
B. P⊆Q
C . P⊇Q
D . 无关系
2. 已知集合A ={x∣x
2−2 x =0}，B ={0,a}，若A ⊆B，求a的值。
【易错提醒】
1. 空集是任何集合的子集，含参数的包含关系问题需优先考虑空集（如A ⊆B，若
A可能为空集，先讨论）。
2. 区分 “元素与集合”（∈）和 “集合与集合”（⊆）的关系符号。
【课时小结】
1. 元素与集合的关系需紧扣集合的元素特征，代入验证即可。
2. 集合关系判断可通过列举元素或画数轴，含参数问题注意分类讨论空集。
【课后作业】
1. 已知集合A ={x∣1< x<3}，B ={x∣x<m}，若A ⫋B，求m的取值范
第三课时 集合的基本运算、Venn 图的应用
【学习目标】
1. 熟练掌握交集、并集、补集的运算，能解决含参数的运算问题。
1. 会用 Venn 图表示集合关系与运算，提取图形中的集合信息。
【知识梳理】
一、集合的基本运算
运算
定义
符号表示
性质
交集
公共元素组成的集合
( A ∩B)
( A ∩A = A )，
( A ∩∅=∅)
并集
所有元素（去重）组成
的集合
( A ∪B)
( A ∪A = A )，
( A ∪∅= A )
补集
全集内不属于A的元素
组成的集合
(∁U A )
( A ∪∁U A =U )，
( A ∩∁U A =∅)
二、Venn 图的应用
1. 表示关系：子集（圆内含）、真子集（圆内含且不重合）、相等（圆重合）。
2. 表示运算：交集（两圆重叠部分）、并集（两圆覆盖区域）、补集（矩形内圆
外区域）。
【题型突破五：集合的基本运算】
典例剖析
例 1：已知U ={1,2,3,4,5}，A ={1,2,3}，B ={3,4,5}，求：
（1）A ∩B；（2）A ∪B；（3）∁U A。
解析：（1）A ∩B ={3}（公共元素）；（2）A ∪B ={1,2,3,4,5}（所有元素）；
（3）∁U A ={4,5}（U中不含A的元素）。
例 2：已知A ={x∣−2< x<4 }，B ={x∣x ≥1}，求A ∩B和A ∪B，并在数轴上表
示。
解析：数轴略，A ∩B ={x∣1≤x<4 }（重叠区间）；A ∪B ={x∣x>−2}（合并区
间）。
例 3：已知A ={x∣x
2−5 x +6=0}，B ={x∣mx −1=0}，若A ∩B = B，求¿(m¿)的
值。
解析：A ={2,3}，由A ∩B = B得B⊆A：
当m=0时，B =∅⊆A，成立；
当m≠0时，B ={ 1
m }，则1
m =2或3，解得m= 1
2或1
3。
综上，m=0, 1
2 , 1
3。
变式训练
1. 设U =ℝ，A ={x∣x>3}，B ={x∣x ≤1}，则∁U( A ∪B)=（）
A .{x∣1< x ≤3}
B.{x∣1≤x<3}
C .∅
D .ℝ
2. 已知( A ={x∣2 x−1>0})，(B ={x∣x
2−3 x +2=0})，求( A ∩B)和( A ∪B)。
【题型突破六：Venn 图的应用】
典例剖析
例 4：如图（Venn 图略），U为全集，A ,B为其子集，阴影部分表示的集合是
（ ）
A . A ∩B B. A ∪B
C . A ∩∁U B D .∁U A ∩B
解析：阴影部分位于集合A的区域内，且在集合B的区域外，即属于A且不属于B
的元素组成的集合，故表示A ∩∁U B，选 C。
例 5：用 Venn 图表示全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A ={1,2,3}，B ={2,4,5}，并标出
A ∩B、A ∪B和∁U( A ∪B)对应的区域。
解析：画矩形表示U，内部画两个相交的圆分别表示A和B：
两圆重叠部分标注A ∩B ={2}；
两圆覆盖的全部区域标注A ∪B ={1,2,3,4,5}；
矩形内两圆外的区域标注∁U( A ∪B)={6}。
变式训练
1. 已知全集U，集合A ,B ,C的 Venn 图如图（Venn 图略），阴影部分表示的集合
是（ ）
A .( A ∩B)∪C
B.( A ∪B)∩C
C .( A ∩∁U B)∩C
D .( A ∪∁U B)∩C
2. 用 Venn 图表示 “集合A是集合B的真子集，且集合B是集合U的子集”，并写
出图中所有区域对应的集合。
【易错提醒】
1. 用 Venn 图表示补集时，需先明确全集范围，避免遗漏 “矩形边界” 的限定作
用。
2. 多集合的 Venn 图中，需准确区分 “重叠区域” 对应的交集关系，避免混淆多
集合的运算组合。
【课时小结】
1. 集合运算需紧扣 “交集取公共、并集取全部、补集取剩余” 的核心规则，无
限集运算借助数轴更直观。
2. Venn 图是集合关系与运算的 “可视化工具”，关键是明确阴影区域与集合运
算的对应关系。
【课后作业】
1. 已知U ={x∣x是小于 10 的正整数}，A ={1,3,5,7}，B ={2,4,6,8}，用 Venn 图表
示A ∩B、A ∪B和∁U A，并写出各集合的元素。
第四课时 集合中元素的个数问题、新定义集合问题
【学习目标】
1. 掌握有限集元素个数的计数方法，能运用并集元素个数公式解决实际问题。
2. 能快速理解新定义集合的规则，迁移运用已有知识解决创新问题。
【知识梳理】
一、集合中元素的个数
1. 相关概念：
有限集：元素个数确定的集合，用n( A )表示集合A的元素个数（如
A ={1,2,3}，则n( A )=3）。
无限集：元素个数无限的集合（如ℝ），不讨论具体元素个数。
1. 核心公式：对于任意两个有限集A ,B，n( A ∪B)=n( A )+n(B)−n( A ∩B)（减
去重复计数的交集部分）。
1. 拓
展
公
式
：
若
有
三
个
有
限
集
A ,B ,C，
则
n( A ∪B∪C =n( A )+n(B)+n(C )−n( A ∩B)−n( A ∩C )−n(B∩C )+n( A ∩B∩C )。
二、新定义集合问题
1. 题型特征：给出新的集合概念（如差集、对称差集等）或运算规则，要求结合
已有知识求解。
1. 解题关键：
第一步：精准解读新定义，明确 “新关系” 或 “新运算” 的本质（如
“差集A −B” 即A中去掉B的元素）。
第二步：将新定义转化为熟悉的集合关系或运算（如A −B = A ∩∁U B ）
。
第三步：运用集合的基本性质或运算规则求解。
【题型突破七：集合中元素的个数问题】
典例剖析
例 1：求下列集合的元素个数：
（1）A ={x∣−3< x ≤4 , x∈ℤ}；（2）B ={( x , y)∣x + y =5, x∈ℕ, y ∈ℕ}。
解析：（1）满足条件的整数为−2,−1,0,1,2,3,4，共 7 个，故n( A )=7；
（2）满足条件的有序数对为(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)，共 6 个，故
n(B)=6。
例 2：某校高一年级有 100 名学生，其中参加篮球社团的有 35 人，参加足球社
团的有 45 人，既参加篮球社团又参加足球社团的有 10 人，求：
（1）至少参加一个社团的学生人数；（2）两个社团都不参加的学生人数。
解析：设A ={参加篮球社团的学生}，B ={参加足球社团的学生}，则
n( A )=35，n(B)= 45，n( A ∩B)=10，n(U )=100。
（1）至少参加一个社团的人数为
n( A ∪B)=n( A )+n(B)−n( A ∩B)=35+ 45−10=70；
（2）两个社团都不参加的人数为n(∁U( A ∪B))=n(U )−n( A ∪B)=100−70=30
。
例 3：已知集合A ={x∣x
2−ax +a
2−19=0}，B ={x∣x
2−5 x +6=0}，若n( A ∩B)=2
，求实数a的值。
解析：解方程得B ={2,3}，由n( A ∩B)=2可知A ∩B = B，即B⊆A，故 2 和 3
是方程x
2−ax +a
2−19=0的根：
代入x =2：4−2a+a
2−19=0，即a
2−2a−15=0，解得a=5 或a=−3；
代入x =3：9−3a+a
2−19=0，即a
2−3a−10=0，解得a=5 或a=−2。
综上，a=5（检验：当a=5时，A ={2,3}，满足B⊆A ）。
变式训练
1. 已知集合A ={x∣x 是小于20 的质数}，B ={x∣x 是小于20 的奇数}，求
n( A ∩B)和n( A ∪B)。
1. 已知集合A ={x∣ax−1=0}，B ={x∣x
2−2 x−3=0}，若n( A ∪B)=3，求实数a
的值。
【题型突破八：新定义集合问题】
典例剖析
例 4：定义集合A 与B的 “对称差集” 为A Δ B =( A −B)∪(B−A )，其中
A −B ={x∣x∈A 且x∉B}。已知A ={1,2,3,4}，B ={3,4,5,6}，求A Δ B。
解析：先求A −B和B−A：
A −B ={1,2}（A 中去掉B 的元素）；
B−A ={5,6}（B中去掉A 的元素）；
故A Δ B =( A −B)∪(B−A )={1,2,5,6}。
例 5：定义 “闭集”：若集合S 满足a,b∈S，则a+b∈S 且a−b∈S，称S为闭
集。判断下列集合是否为闭集，并说明理由：
（1）整数集ℤ；（2）有理数集ℚ；（3）集合{x∣x =2k ,k ∈ℤ}；（4）集合
{x∣x =2k +1,k ∈ℤ}。
解析：（1）是闭集：任意两个整数的和与差仍为整数，满足闭集定义；
（2）是闭集：任意两个有理数的和与差仍为有理数，满足闭集定义；
（3）是闭集：设a=2k1，b=2k2（k1,k2∈ℤ），则
a+b=2(k1+ k2)∈S，a−b=2(k1−k2)∈S，满足定义；
（4）不是闭集：取a=1,b=1，则a−b=0∉S，不满足闭集定义。
变式训练
1.
定义集合运算：A ∗B ={z∣z = xy , x∈A , y ∈B}。已知A ={1,2}，B ={0,2}，求n( A ∗B)。
2.
定义“理想集”：对于集合M ，若任意x∈M ，都有2 x∈M ，则称M 为理想集。判断实数
【易错提醒】
1. 运用元素个数公式时，需先明确集合是否为有限集，无限集不能使用该公式。
2. 新定义问题中，若对定义理解模糊，可先代入具体元素验证，再提炼本质规
律。
【课时小结】
1. 有限集元素个数问题可通过 “枚举法” 或 “公式法” 求解，实际问题需先
转化为集合关系。
2. 新定义集合问题的核心是 “翻译”，将陌生定义转化为熟悉的集合语言，再结
合基本性质求解。
【课后作业】
1. 定义集合A 与B的 “商集” 为A / B ={x∣x = a
b ,a∈A ,b∈B ,b≠0}。已知
A ={2,4,6}，B ={1,2,3}，求A / B。
四、全节整合提升
（一）核心考点梳理
题型类别
核心考点
考查频率
难度层级
集合的概念与表示
表示方法转化、代
表元素识别
高频
基础
集合中元素的特性
互异性的应用
高频
基础
元素与集合的关系
∈与∉的判断
高频
基础
集合的基本关系
子集、真子集的判
断与参数求解
高频
中档
集合的基本运算
交、并、补运算及
参数问题
高频
中档
Venn 图的应用
图形与集合运算的
转化
中频
基础
集合中元素的个数
有限集计数与公式
应用
中频
中档
新定义集合问题
定义解读与知识迁
移
中频
中档偏难
（二）易错点汇总
1. 描述法中遗漏代表元素（如{x>5}错误，应为{x∣x>5}）；
2. 忽略空集的特殊性（含参数的子集问题未讨论空集）；
3. 混淆元素与集合的关系符号（如用⊆表示元素属于集合）；
4. 新定义问题中对规则理解不全面（未验证特殊情况）。
（三）解题思想提炼
1. 分类讨论思想：含参数的集合问题（如子集、运算求参数）需分类讨论参数取
值；
2. 数形结合思想：无限集的关系与运算借助数轴，多集合关系借助 Venn 图；
3. 转化与化归思想：新定义问题转化为熟悉的集合语言，实际问题转化为集合关
系。
