文档文本内容
专题20 圆锥曲线的方程（弦长问题）
题型一：求椭圆的弦长
题型二：求椭圆的弦长的最值（范围）
题型三：根据椭圆的弦长求参数
题型四：求双曲线的弦长（含最值范围）
题型五：根据双曲线的弦长求参数
题型六：求抛物线焦点弦
题型七：求抛物线中非焦点弦
题型八：根据抛物线弦长求参数
题型一：求椭圆的弦长
1．已知椭圆
经过
中的三点.
(1)求
的方程；
(2)设
分别为
的左、右顶点，动点
在直线
上，直线
与
的另一个交点为
，直线
与
的另一个交点为
.
（i）证明：直线
过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当直线
的斜率为1 时，求线段
的长.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，
；（ii）
.
【分析】（1）利用对称性得出图象上的两点，再分类讨论即可；
（2）（i）设直线
方程，将点
坐标代入直线
、
方程中，得出关系式，再利用非对称韦达化简
求解；
（ii）利用弦长公式求解.
【详解】（1）由题可知点
均在椭圆
上，
若点
也在椭圆
上，则
，方程组无解，
所以椭圆
经过点
，
所以
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）由对称性可知直线
经过的定点必在
轴上且异于原点与左、右顶点，
设定点为
，且
，
当直线
的斜率不为0 时，设直线
的方程为
，
，
联立
，得
，
则
，
，
由（1）可得
，
则直线
的方程为
，直线
的方程为
，
由题意知直线
与
交于点
，且点
在直线
上，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
①，
当
，
，得
，
代入①得，
，
若
时，上式恒成立，直线过定点
；
若
，则
，即
②，
②式与
联立得，
，
②式与
联立得，
，
则
，得
与
矛盾；
当
，即直线
的斜率不存在时，
若
，则直线
的方程为
，
取
，满足①式.
当直线
的斜率为0 时，直线
，过点
.
综上，直线
过定点，且该定点的坐标为
.
（ii）由（i）可知直线
过定点
，由题可知直线
的斜率为1，
所以
，
所以
.
2．已知直线
与椭圆
交于
两点.
(1)若直线过椭圆
的左焦点
，求
；
(2)设线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立方程组，利用弦长公式
求解；
（2）联立方程组，求线段
的中点坐标，进而求出线段
的垂直平分线方程，求出参数，即可利用弦
长公式求解.
【详解】（1）由题知，
，左焦点
，
则直线的方程为：
，设
，
联立方程
得
，
所以
，
所以
.
（2）设
的中点
，
联立方程
得
，
所以
，
所以
，
因为线段
的垂直平分线与
轴交于点
，
所以线段
的垂直平分线方程为：
，
所以
，解得
（满足
），
所以
，
所以
.
3．已知椭圆
经过点
，且离心率为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于点
，
，求
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用给定的点及离心率，列出方程组并求解即可.
（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得答案.
【详解】（1）由椭圆
经过点
，且离心率为
，得
，解得
，
，
所以C 的方程为
.
（2）设
，
，由
消去
得
，
则
，
，
所以
.
4．已知椭圆
，过原点
且倾斜角为
的直线交椭圆于
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.
【详解】依题意，可得直线的方程为：
，代入
中，整理解得：
，
当
，
；当
时，
，故有
,
则
.
故选：D.
5．已知椭圆
的右焦点为
，且经过点
(1)求椭圆C 的标准方程：
(2)经过椭圆C 的右焦点作倾斜角为
的直线l，直线l 与椭圆相交于M，N 两点，求线段MN 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆右焦点
，且过点
，从而可求解.
（2）根据题意求出直线方程为
，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求解.
【详解】（1）由题意得
，
解得
，
故椭圆的标准方程为
．
（2）由题意可得直线的方程为
，
与椭圆方程联立
，得
，
设
，
，则
，
故
．
6．已知椭圆
，一组平行直线的斜率是
.
(1)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；
(2)这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于
两点，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设这组平行直线的方程为
，与椭圆方程联立，借助韦达定理求得弦中点坐标即可
判断得解.
（2）求出椭圆焦点坐标及直线
的方程，再利用弦长公式计算即得.
【详解】（1）设这组平行直线的方程为
，则
，消去y 得
，
由
，得
，
设交点坐标为
，
则
，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为
，
显然点
始终在直线
上，
所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线
上.
（2）椭圆
的焦点坐标为
，由对称性，不妨取焦点
，直线
，
设
，由（1）知，
，
所以
.
7．已知斜率为2 的直线经过椭圆
的右焦点
，与椭圆相交于A，B 两点，求：
(1)直线
的方程；
(2)弦长
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出椭圆右焦点，利用点斜式求出直线方程；
（2）法一：联立直线与椭圆方程，得到两交点坐标，利用两点间距离公式求出答案；
法二：联立直线与椭圆方程，消去
，得到两根之和与两根之积，利用弦长公式求出答案；
法三：联立直线与椭圆方程，消去
，得到两根之和与两根之积，利用弦长公式求出答案；
【详解】（1）∵直线
过椭圆
的右焦点
，且斜率为2，
∴直线
的方程为
，即
.
（2）法一：联立
解得
或
，
不妨设
，
，
∴
.
法二：联立
，消去
得，
，
设点
，
则
，
，
∴
法三：联立
，消去
得，
，
设点
，
则由根与系数的关系得
，
所以
.
8．已知点
，
是椭圆
：
的左右焦点，且椭圆
的短轴长为
，离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线过点
且斜率为2，与椭圆
交于
两点，求线段
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据短轴长和离心率，结合
，求出
，
，得到椭圆方程；
（2）求出直线方程为
，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式求出答案.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
又
，故
，解得
，
故椭圆方程为
；
（2）由题意得
，
，
可得直线方程为
，
联立
与
得
，
设
，故
，
故
.
9．已知椭圆C：
（
）的离心率为
，短轴长为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)经过椭圆C 的右焦点
作倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于M，N 两点，求线段MN 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定
，从而求出椭圆C 的方程；
（2）由
及斜率求出直线l 的方程，联立直线l 方程与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式即可求得
线段MN 的长.
【详解】（1）由题意可得
，
，
，即
，
因为
，得
，
所以，椭圆C 的方程为
；
（2）椭圆C 的右焦点
，直线l 的倾斜角为45°，则直线l 的斜率为1，
所以直线l 的方程为
，
由
可得
，
设交点
，
则
，
，
所以线段MN 的长为
.
题型二：求椭圆的弦长的最值（范围）
10．已知椭圆
的上顶点为A，过点A 的直线与C 交于另一点B，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】设出点
，根据两点间距离公式列式运算得解.
【详解】设
，则
，
，又
，
所以
，
当且仅当
时，
取得最大值.
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
11．已知中心在坐标原点的椭圆
的一个焦点为
，且过点
，过原点
作两条互相垂直的射线
交椭圆于
、
两点，则弦长
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出椭圆的标准方程，对直线
的斜率是否同时存在进行分类讨论，当直线
分别
与两坐标轴重合时，直接求出
的值；当直线
的斜率都存在时，设直线
，求出
关于
的表达式，利用二次函数的基本性质可求得
的取值范围.
【详解】由题意焦点在
轴上面，
，所以
，
所以椭圆的标准方程为
，
当直线
分别与两坐标轴重合时，
；
当直线
的斜率都存在时，设直线
，联立
，可得
，
所以
，
同理可得
，
所以
，
因为
，则
，令
，
令
，
因为函数
在
上为增函数，在
上为减函数，
又因为
，
，则
，
此时
，则
.
综上所述，
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
12．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右顶点分别为
，上顶点为
，且
，
的面积为2.
(1)求
的方程；
(2)若直线交
于
两点，以线段
为直径的圆的另一个交点为
，且
，求
的最大
值．
【答案】(1)
(2)2．
【分析】（1）由
，再结合
的面积，即可求出
，从而可求解.
（2）结合题意作出图形，求得
三点共线，且
，然后再分别讨论直线斜率存在与不存在两
种情况，再与椭圆方程联立，利用韦达定理从而可求解.
【详解】（1）由题得
，所以
，
所以
，即
①，
因为
的面积为
，所以
，
即
②，联立①②，得
，
故
的方程为
．
（2）如图，因为以线段
为直径的圆相交于异于原点的点
，
根据直径所对的圆周角为90°得到
三点共线．
三点共线，且
．
因为
，所以原点
到直线的距离为1.
当直线斜率不存在时，直线的方程为
或
．
当
时，不妨设
，
则
，当
时，同理
．
当直线斜率存在时，设直线的方程为
，即
．
所以原点
到直线的距离为
，则
．
联立
，消元得
，
则
，即
，
设
，则
，
由
，得
，则
，
，
令
，
，
则
．
由
，所以当
，即
时，
，
综上可知，
的最大值为
．
13．已知椭圆
的离心率为
，焦距为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)直线的斜率为
，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于
两点，求线段
的长度的
取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到
且
，求得
的值，即可得到椭圆
的方程；
（2）设直线：
，且
，联立方程，设
，
，由韦达定理结合椭圆
弦长公式得到
，进而求得
的取值范围.
【详解】（1）因为
的离心率为
，且焦距为
，
可得
且
，解得
，
，则
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）直线的斜率为
，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，
设直线：
，且
，
联立方程组
，整理得
，
设
，
，则
，
，
因此
，
由
，可得
，即
，
所以
的取值范围为
.
14．已知
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
的上顶点，若
为直角三角
形，且椭圆过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作斜率互为相反数的两条直线与
分别交椭圆
于
两点，
①求证：通过点
的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求
的最大值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，定值为1；②4.
【分析】（1）根据三角形边长关系以及椭圆上的点坐标求出
，从而得到椭圆方程；
（2）①根据题意设直线与
的方程，分别与椭圆方程联立求得点
的坐标，再根据斜率公式计算即可
得到定值；②利用两点间距离公式，结合基本不等式求最值.
【详解】（1）由题意
，则
是等腰直角三角形，即得
，从而
.
又椭圆过点
则有
解得
.
椭圆
的方程：
.
（2）
①由（1）知椭圆
的方程为
，设直线的方程：
，则
的方程是
.
令
，
由
可得
则有
，
同理得
，
.
即直线
的斜率为定值，且定值为1.
②由①知
，
则
又
，当且仅当
即当
时等号成立，
所以
，即
的最大值为4.
15．已知
是椭圆
的一个顶点，点
是
上一点．
(1)求椭圆
的方程．
(2)若过点
的直线与椭圆
交于
，
两点（异于点
），设直线
，
的斜率分别为
，
．
（ⅰ）证明：
为定值．
（ⅱ）求
的最小值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3
【分析】（1）由条件列关于
的方程，解方程求
可得结论；
（2）（ⅰ）结合题意确定直线的斜率不为
，设直线方程为
，联立方程组化简，结合设而不求
法证明结论；
（ⅱ）结合（ⅰ）表示
，再求其最小值即可.
【详解】（1）由题可知
解得
，
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）（ⅰ）证明：若直线的斜率为
，则直线与椭圆的交点为
，矛盾，
故直线的斜率不为
，设其方程为
，
，
．
由
，
消
得:
，
方程的判别式
，
由已知
为方程
的解，
所以
，
，
因为
，
，
所以
，为定值．
（ⅱ）
，
因为
，当且仅当
时，
取得最小值
，
所以
的最小值为．
【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去
(或
)建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法
时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为
或不存在等特殊情形．
16．已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，点
是
上一点，且直线
与
直线
的斜率之积为
.
(1)求
的方程及其长轴长；
(2)若圆
的切线与
交于
、
两点，求
的最大值.
【答案】(1)方程为
，其长轴长为4.
(2)
【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出
，再利用
算出
直接写出椭圆方程即可；
（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长
，当斜率存在时，切线方程为
与椭
圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值即可求解.
【详解】（1）由椭圆可得
，
由题知，
，
解得
，
，
所以椭圆
的方程为
，其长轴长为4.
（2）①当
轴时，
，
的横坐标为1 或-1，
代入椭圆方程可得
，所以
；
②当不垂直
轴时，设切线的方程为
，
所以圆心到切线的距离
，得
，
联立方程
，整理得
，
此时
，即
，
设
，
，则
，
，
所以，
设
，则
，
，
所以
，
综上所述，
.
【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为
；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于
或
的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为
形式；
（5）代入韦达定理求解.
17．已知椭圆
的离心率为
，右顶点
到左焦点的距离为3，直线 与椭圆
交于点
，
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设直线
，
的斜率分别为
，
．若
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出椭圆的半焦距为，根据已知列出方程组求解，即可得出答案；
（2）设出直线
的方程，根据斜率关系确定出直线
所过的定点，进而表示出弦长
，化简结合参
数范围求解即可得出最小值．
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
由题意得
，解得
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
．
（2）由题意知，直线的斜率不为
，设其方程为
，
，
，
由
，得
，
所以
，
，
，
因为
，
，
所以
，
解得
，所以直线的方程为
，直线过定点
，
此时，
，
，
所以
，
因为
，当且仅当
时
取到最小值
，
所以
的最小值为．
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：
（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目
中核心变量（通常为变量
）；②利用条件找到
与过定点的曲线
之间的关系，得到关于
与
的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，
再证明该定点与变量无关.
18．动点M 与定点
的距离和它到定直线
的距离比是常数
，
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)若直线l 过点
，且与C 交于A，B 两点，当
最大时，求直线l 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，根据题意列式整理即可得轨迹方程；
（2）分类讨论直线的斜率是否存在，联立方程利用韦达定理整理可得
.解法
一：换元令
，结合二次函数求最值；解法二：利用基本不等式求最值.
【详解】（1）设
，得
，
整理得M 的轨迹C 的方程为
.
（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为
，此时
；
当直线l 的斜率存在时，设方程为
，
，
，
联立方程
，消y 得
，
恒成立，故
，
则
，
，
所以
，
法一：令
，
，则
，
可得
，
当
，即
，
时，
取得最大值3；
综上所述，当
最大时，所求直线l 的方程为
；
法二：
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上所述，当
最大时，所求直线l 的方程为
.
19．已知椭圆
的离心率为
，以椭圆
的四个顶点为顶点的四边形的周长为8．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线是圆
的一条切线，且直线与椭圆
交于
，
两点，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由题意建立关于
的方程组求出
即可得解.
（2）当直线l 的斜率不存在时易得
；当直线l 的斜率存在时设其方程为
，由直线l 与圆相
切得参数k 与m 的关系式，由直线与椭圆相交联立方程得韦达定理，再根据弦长公式结合基本不等式即可
求解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意
，
，
所求椭圆方程为
.
（2）①当直线l 的斜率不存在时，
，将其代入
得
，
故可得
；
②当直线l 的斜率存在时，设
，
，
，
由
与圆
相切，所以圆心
到
的距离
，
所以
，
由
得
，
所以
，
设
，则
，
，
当
时，
当
时，
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
，
又因为
，所以
.
20．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
交于
两点，
的周长为8．
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，且原点
到直线
的距离为定值1，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
的周长结合椭圆的定义得出
，再由
的关系求出
，进而得出椭圆的方
程；
（2）当直线
斜率不存在时，
，当直线
斜率存在时，设直线
的方程为
，由原点
到直线
的距离为定值1，得
，再联立方程组，由弦长公式求最值.
【详解】（1）因为
的周长为8，
所以
，解得
，
焦距为
，
，所以
，
所以椭圆E 的方程为
．
（2）
当直线
斜率不存在时，为
或
，
当
时，
，则
，
当
时，同理
，
当直线
斜率存在时，设斜率为
，则直线
的方程为
，
因为原点
到直线
的距离为定值1，所以
，则
，
设
，
联立椭圆于直线方程
，
消元得
，
所以
，
由
，得
,
,
令
，
则
，
由
，所以当
时，
，
所以
的最大值
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
，
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在
上，且到
的距离分
别为
，满足
，过点
作两直线与
分别交
于
两点，记直线与
的斜率分别为
，且满足
.
(1)证明：
；
(2)求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得
关系，再结合点P 在椭圆上求得椭圆的标准方程，利用
求解即可；
（2）设直线为
，得到直线
为
，联立方程组，结合根与系数的关
系，分别求得
，利用两点间的距离公式，根据基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意
，则
，所以
，
由椭圆定义知：
，又
，所以
，所以
，即
，
所以
，由点
在椭圆
上得：
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
所以
，所以
；
（2）由题意直线为
，不妨取
，则直线
为
，
联立方程组
，整理得
，
由
，
解得
，
又由
，可得
，则
，
同理可得：
，
，
所以
，
，所以
，当且仅当
即
时，等号成立，
因此，
的最大值为
.
22．已知坐标原点为
，椭圆
的上顶点为
，右焦点为
，且
，
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过
作互相垂直的两条直线分别交
于
、
两点，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件求出
、的值，可得出的值，由此可得出椭圆
的方程；
（2）分析可知，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，将该直线方程与椭圆方程联立，列
出韦达定理，由
可求出
的值，然后利用弦长公式结合二次函数的基本性质可求得
的最
大值.
【详解】（1）解：易知点
、
，则
，
，
，则
，故
，
因此，椭圆
的方程为
.
（2）解：设点
、
，
若
轴，则
、
关于
轴对称，即点
，
，不合乎题意，
所以，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，
，
因为
，
，同理可得
，
，
因为直线
不过点
，则
，整理可得
，解得
，满足
，
所以，
，
，
则
，
因为
，令
，
则
，
因为函数
在
上单调递增，
故当
时，即当
时，
取最大值，且其最大值为
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
题型三：根据椭圆的弦长求参数
23．已知
为椭圆
：
上一点，且点
到两焦点距离之和为
，且椭圆离心率为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
被椭圆
截得的线段长为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，直接求出
，即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，消
得到
，结合条件，利用韦达定理和弦长公式，即可
求解.
【详解】（1）由题可得
，则
，
又由
得
，则
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设直线
与椭圆
交于
，
两点，
联立方程组
，消
得到
，
则
，
由于
，又
，
则
，整理得到
，解得
，
又
时，
，所以
满足题意.
24．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
，
为
轴上一动点．
(1)求
的方程；
(2)过
点作与直线
垂直的直线交
于
两点，当
时，求直线
的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率求得
，即可求解；
（2）设
，通过
斜率不存在，
和
三种情况讨论即可.
【详解】（1）因为椭圆
的离心率为
，
，
所以
，解得
，
所以
，故
的方程为
．
（2）由（1）知
，设点
，则直线
的斜率为
．
当直线
斜率不存在时判断是否符合题意
当
时，直线
的方程为
，
将
代入
的方程，解得
，
则
，不符合题意；
当
时，直线
的斜率为
，
直线
的方程为
，设
，
，
联立
得
．
则
，
，
所以
．
因为
，所以
，解得
，
故当
时，
的斜率为
．
25．椭圆
长轴长为4，离心率为
，左右焦点分别为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)斜率为
且过
的直线与椭圆
文于
两点，弦长
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的基本性质得到
的值，写出椭圆方程即可；
（2）设出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到
，利用弦长公式计算即可求参．
【详解】（1）由题意可知
，则
，
因为
，所以
，得到
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）因为
，直线过
且斜率为
，所以直线
，
联立方程组
，得
，
设
，则
，
所以
．
所以
，计算得
，所以
.
26．已知椭圆
（
）的半焦距为，离心率
，直线
交椭圆于
，
两点，
若
，求椭圆的方程．
【答案】
【分析】根据已知条件求得
，从而求得椭圆的方程.
【详解】依题意，
，
所以椭圆方程可化为
，
由
消去
并化简得
，
，
①，
设
，则
，
所以
，
，满足①，所以
，
所以椭圆方程为
.
27．已知斜率为
的直线过点
，且与椭圆
相交于不同的两点
，
，
(1)若
，
中点的纵坐标为
，求直线的方程；
(2)若弦长
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设直线的方程为
，联立椭圆方程并根据纵坐标可得
，求出直线的方
程；
（2）利用弦长公式计算求得直线的方程，可得
.
【详解】（1）根据题意可设直线的方程为
，
设
的中点为
，如下图所示：
联立
，整理可得
，
易知
，解得
或
，
且
，由
，
中点的纵坐标为
，可得
，
解得
或
（舍），
因此直线的方程为
.
（2）由（1）可得
；
又弦长
，可得
，
整理可得
，
解得
，即
，满足题意，
因此直线的方程为
，即
，
可得
.
28．已知椭圆
经过点
，离心率为
，过点
的直线与椭圆交于不同的
两点
、
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若
，求直线
的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据题意可得出关于
、
、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线
不与
轴重合，设直线
的方程为
，设点
、
，将
直线
的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合韦达定理求出
的值，即可得出直
线
的方程.
【详解】（1）由题意可得
，解得
，
因此，椭圆的方程为
.
（2）若直线
与
轴重合，则
，不合乎题意，
设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
可得
，
则
，所以，
，
由韦达定理可得
，
，
所以，
，解得
，
所以，直线
的方程为
或
，即
或
.
29．已知椭圆
的左焦点为
，且点
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若斜率为
的直线交椭圆C 于A、B 两点，且
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知：
，进而可得
和方程；
（2）设直线：
，联立方程，利用弦长公式结合韦达定理运算求解即可.
【详解】（1）由题意可知：
，则
，
所以椭圆C 的标准方程为
.
（2）设直线：
，
联立方程
，消去y 可得
，
则
，解得
，
可得
，
则
，解得
，
所以直线的方程为
，即
.
30．已知椭圆
的离心率
，一个焦点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若斜率为1 的直线交椭圆
于
，
两点，且
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出
、
，即可解出椭圆方程；
（2）设直线方程为
，联立椭圆方程再利用弦长公式即可求出直线方程；
【详解】（1）由题知
，
，则
，
椭圆
的方程为
.
（2）设直线方程为
，点
，
，
由方程组
，化简得：
，
，可得
.
，
，解得
，
直线方程
或
.
题型四：求双曲线的弦长
31．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，且
.
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线交双曲线
于
两点（
两点均位于
轴下方，
在左，
在右），线段
与线
段
交于点
，若
的面积等于
的面积，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到
，再利用点
在双曲线上和
间的关系，建立方程组
，求出
，即可求解；
（2）设直线方程为
，联立双曲线方程得到
，根据条件得到点
和点
到直线
的距离相等，从而可求出
，再利用弦长公式，即可求解.
【详解】（1）因为
，且
，所以焦点
，即
，
又
，由
，解得
，所以双曲线
.
（2）由题知直线斜率不为
，设过
的直线为
，
由
，消
得到
，
则
，且
设
，则由韦达定理有
，
因为
，所以
，
即点
和点
到直线
的距离相等，
则有
，解得
，
所以
，
故
.
32．已知O 为坐标原点，动点P 到x 轴的距离为d，且
，其中
均为常数，动点P 的轨迹
称为
曲线．
(1)判断
曲线为何种圆锥曲线？
(2)若
曲线为双曲线，试问
应满足什么条件？
(3)设曲线C 为
曲线，斜率为1 的直线l 过曲线C 的右焦点，且与曲线C 交于A，B 两个不同的点，求
．
【答案】(1)椭圆
(2)
，且
．
(3)
【分析】（1）设
，根据
曲线的定义，可得
的坐标满足的方程，分析可得结果.
（2）将
整理为
，根据双曲线方程的特点分析可得结果.
（3）先根据
为
曲线可得曲线
的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果.
【详解】（1）设
，由
，得
，
当
时，
，即
，所以
曲线为椭圆.
（2）由
，得
.
若
曲线为双曲线，则
，
所以
可化为
，
所以
，则
；
故
应满足
且
曲线为双曲线.
（3）由
，得曲线
的方程为
，
则
的右焦点坐标为
，所以直线的方程为
.
联立
得
.
设
，则
若
，则
则
.
33．已知双曲线C：
的焦距为
且左右顶点分别为
，
，过点
的直线与双曲
线C 的右支交于M，N 两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
的斜率为
，求弦长
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求解即可；
（2）先求出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可.
【详解】（1）因为双曲线的焦距为
，所以
，即
，
又
，所以
，解得
，
则双曲线的方程为
.
（2）由题意，直线
的方程为
，
联立
，消去y 并整理得
，
设
，
，此时
，
由韦达定理得
，
，
所以
.
34．已知双曲线
与圆
相切，且
的渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)若
的右顶点为
，过
的右焦点的直线交
于
两点，且
，求
.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用双曲线与圆相切以及渐近线方程即可得结果；
（2）设直线方程
，联立双曲线方程利用韦达定理以及
，再由弦长公式计算可得
.
【详解】（1）根据题意可得
，即
；
所以双曲线
的标准方程为
（2）如下图所示：
易知双曲线右焦点的坐标为
，
设直线
，代入
，得
，
整理得
设
.则
由
，
所以
，即可得
，
解得
此时
.
所以
，
因此
35．已知双曲线
的实轴长为
，点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设
是双曲线
与圆
在第一象限的交点，且
为双曲线
的焦点，求
的面积.
(3)过点
且斜率为
的直线与双曲线
的另一个交点为
，求
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知
，再将点
代入双曲线方程可得解；
（2）联立双曲线与圆可得点
坐标，进而可得三角形面积；
（3）由已知可得直线
方程，联立直线与双曲线，结合韦达定理与弦长公式可得解.
【详解】（1）由已知双曲线的实轴长为
，即得
，
所以双曲线方程为
，
又双曲线过点
，则
，
解得
，
则双曲线方程
；
（2）联立双曲线与圆的方程，
即
，解得
，
由点
在第一象限，则
，
又
，
所以
；
（3）由已知直线
，即
，
联立直线与双曲线，即
，
得
，
，
且
，
，
则弦长
.
36．已知双曲线
与圆
相切，且
的渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)若
的右顶点为
，过
的右焦点的直线交
于
两点，且
，求
.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据题意确定
的值，可得双曲线
的标准方程.
（2）设直线的方程为
，根据
，可求的值，再利用弦长公式求弦长.
【详解】（1）根据题意：
，
.
所以双曲线
的标准方程为：
.
（2）如图：
双曲线右焦点的坐标为
，设直线：
，代入
，
得：
，整理得：
，（
）
设
，
.
则
，
.
由
，
所以
.
此时：
，
.
所以
，
所以
.
37．已知双曲线C：
的离心率为2.且经过点
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且
（点O 为坐标原点），求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得
，根据弦
长公式，结合不等式即可求解，
【详解】（1）由题意可得
，解得
，
故双曲线方程为
.
（2）当直线斜率不存在时，可设
，
则
，
将其代入双曲线方程
，
又
，解得
，
此时
，
当直线斜率存在时，设其方程为
，设
，
联立
，
故
，
则
，
化简得
，此时
，
所以
，
当
时，此时
，
当
时，此时
，
，故
，
因此
，
综上可得
.
38．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，两条渐近线的夹角为
，
是双曲线上一点，且
的面积为
.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线
交于
、
两点，且坐标原点
在以
为直径的圆上，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得
，从而将方程化为
，再由三角形面积及点在曲线上求出
，
即可得解；
（2）依题意可得
，当直线的斜率不存在时直接求出
，当直线的斜率存在时，设直线的
方程为
，
，
，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由
得
到
，再由弦长公式及计算可得.
【详解】（1）由题可知双曲线的渐近线方程为
，
因为
，所以
，所以直线
的斜率大于1．
由两条渐近线的夹角为
，可得
，因为
，所以
，
即双曲线方程为
，
因为
的面积为
，所以
，所以
．
因为点
在双曲线上，所以将点的坐标代入方程可得
，
解得
或
．因为条件
，所以
，即双曲线的方程为
．
（2）因为以
为直径的圆过坐标原点，所以
，所以
，即
，
①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为
，设
，
由
可得
，
又点
、
在双曲线上，代入可得
，解得
．
所以
．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
由
联立消去
整理得
（*），
因为直线与双曲线交于
两点，所以
，
即
．
设
，
，
则
，
由
得到
，所以
，
即
，
即
，
所以
，
化简得
．
所以
．
当
时上式取等号，且方程（*）有解．
综上可得
的最小值是
．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
、
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
的形式；
（5）代入韦达定理求解.
39．已知双曲线
的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于
.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线
交于
两点，且坐标原点
在以
为直径的圆上，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）双曲线中，焦点到渐近线的距离为
，结合离心率可得
，即得；
（2）将坐标原点
在以
为直径的圆上转化为
，当直线斜率不存在时，易得
，
当直线的斜率存在时，设直线
，联立双曲线方程，根据
，可得
，进而根
据弦长公式可得.
【详解】（1）解：由题意得
，双曲线焦点
到渐近线
的距离为
，
又因为
，解得
，
所以双曲线方程为：
；
（2）
因为以
为直径的圆过坐标原点，所以
，所以
，即：
.
①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为
，设
，
，
由
可得
，
又点
在双曲线上，代入可得
，解得
，
，
所以
.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
由
联立消去
整理得
①，
因为直线与双曲线交于
两点，所以
，
且判别式
.
设
，
则
，
，
由
得到：
，所以
，
即
，
所以
，
化简得
.
所以
.
当
时上式取等号，且方程①有解.
综上可得
的最小值是
.
【点睛】关键点点睛：把位置关系坐标原点
在以
为直径的圆上转化为数量关系
，即
，设直线后联立双曲线，用韦达定理代入可得到直线中参数关系，再根据弦长公式求最值即
可.
40．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，
为坐标原点，点
在双曲
线
上．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线与双曲线
交于
两点，且
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得
，解得
、
，即可得解；
（2）解法一：设
，直线的方程为
，联立直线与双曲线方程，消
元、列出韦达定理，由
整理得到
，即可表示出
，从而求出其最小值；
解法二：设
，
，联立直线与双曲线方程，即可求出
、
，即可得到
，
同理得到
，从而得到
，再由基本不等式计算可得.
【详解】（1）由双曲线C 的一条渐近线方程为
，且双曲线过
，
所以
，解得
，
故双曲线
的方程为
.
（2）解法一：设
，直线的方程为
，
联立
，得
，
则
，且
，
由
，即
，即
，
即
，
即
，整理得
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
方法二：由题意知直线
的斜率存在且不等于
，
设
，
，
由
，即
，
联立
，解得
，
则
，同理
，其中
，
故
，
而
，
当且仅当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
、
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
的形式；
（5）代入韦达定理求解.
题型五：根据双曲线的弦长求参数
41．已知双曲线
过点
，右焦点
到渐近线的距离为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若直线过双曲线
的右焦点
，与双曲线
交于
两点，满足
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
，
或
【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得
，再代入点
计算即可得
，即可得；
（2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式
计算即可得.
【详解】（1）由点到直线的距离公式可知：
右焦点
到渐近线
的距离为
，
又双曲线C 过点
，所以
，解得
，
所以双曲线C 的方程为
；
（2）由（1）可知：右焦点坐标为
，
当直线的斜率不存在时，
，
，满足题意；
当直线的斜率存在时，
设
，联立
消去y 得：
，
所以
，
设
，则
，
所以
．
则
，解得
，即
，满足
；
所以直线的方程为
，
或
．
42．已知双曲线C 与椭圆
有公共焦点，其渐近线方程为
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若直线
与双曲线C 交于A，B 两点，且
，求实数m 的值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由双曲线C 与椭圆
有公共焦点，其渐近线方程为
，得
，
，由此能求出双曲线方程；
（2）联立方程组
，得
，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结
果.
【详解】（1）双曲线C 与椭圆
有公共焦点，其渐近线方程为
，
设双曲线的方程
（
，
），
由已知得
，
，所以
，
.
所以双曲线方程为
.
（2）直线
与双曲线C 交于A，B 两点，且
，
联立方程组
，得
，
当
时，设
，
，
.
所以
令
，解得
.
经检验
符合题意，所以
.
43．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线
经过
两点.
(1)求
的离心率；
(2)若直线
与
交于
两点，且
，求
.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）设双曲线方程，由已知点坐标代入待定系数，再由方程确定
求出离心率；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理代入弦长公式得关于
的方程求解即可.
【详解】（1）由题意，设
，
由双曲线
经过
两点，得
，
得
，即
，则
，
所以
的离心率为
.
（2）设
，由
，得
，
依题意可得
，且
，即
.
由韦达定理得
，
所以
，
整理得
，解得
或
.
44．已知双曲线
：
的左右焦点分别为
，
，
到其中一条渐近线的距离为1，
过
且垂直于
轴的直线交双曲线于A，B，且
.
(1)求E 的方程；
(2)过
的直线交曲线E 于M，N 两点若
，求直线的方程
【答案】(1)
(2)
或
或
.
【分析】（1）根据
到其中一条渐近线的距离为1 可求出b 的值，根据
可求出a 的值，即可求得
答案；
（2）判断直线斜率存在，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，利用双曲线弦长公式
结合弦长可求出直线斜率，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知双曲线
：
的渐近线方程为
，
，
，
到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线
，即
，
则
，
又过
且垂直于
轴的直线交双曲线于A，B，且
，
将
代入
中，得
，
故
，
故E 的方程为
.
（2）若直线的斜率不存在，其方程为
，代入
，
得
，即
，不符合题意；
故直线l 的斜率存在，设其方程为
，联立
，
得
，
需满足
，且
，
设
，则
，
则
，
即
，解得
或
，
故直线的方程为
或
，
即
或
或
.
题型六：求抛物线焦点弦
45．已知抛物线
的焦点F 到其准线的距离为4．
(1)求p 的值；
(2)过焦点F 且斜率为1 的直线与抛物线交于A，B 两点，求
．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案；
（2）通过题意得到焦点坐标，然后得到直线
的方程，与抛物线进行联立可得
，利用韦
达定理可得
，即可得到答案
【详解】（1）由抛物线
可得焦点
，准线方程为
，
又因为抛物线
的焦点到其准线的距离为
，
所以
；
（2）由（1）可得抛物线的方程为
，所以焦点
，
则直线
的方程为
设
，
联立
，整理可得
，所以
，
由抛物线的性质可得
．
46．已知直线
与抛物线
交于
，
两点，已知弦
的中点的纵
坐标为2．
（1）求
；
（2）直线
与抛物线
交于
，
两点，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）联立与
的方程，得出
即可
（2）联立
与
的方程得出
，
两点的横坐标之和，然后用
表示出
，运用函数的知识求出范围
即可
【详解】解：（1）设
，
，
联立与
的方程得
，
则
，
即
．
（2）直线
经过
的焦点（4，0），
设
，
，则
．
联立
，得
，
则
．
因为
，且
，所以
．
所以
．
从而
的取值范围为
．
【点睛】要注意
，比用弦长公式求
计算量要小些.
47．已知抛物线
：
与圆
：
的两个交点之间的距离为4．
求p 的值；
设过抛物线
的焦点F 且斜率为2 的直线与抛物线交于A，B 两点，求
．
【答案】(1)p=2；(2)5
【分析】
设交点为E，
易知
，
，代入
得
，
；
直线的方程为
，分别于抛物线联立，根据韦达定理和抛物线的性质即可求出．
【详解】
设交点为E，
易知
，
，
代入
得
，
，
由
知，抛物线抛物线
：
．
直线AB 的方程为
，
设
，
联立
得
，
所以
，
所以
．
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆
锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问
题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦
达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
48．在平面直角坐标系
中，已知点
，横坐标非负的动点
到
轴的距离为
，且
，记点
的运动轨迹为曲线
．
(1)求
的方程；
(2)若
是
上两点，且线段
的中点为
，求
．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据点点距离公式即可求解，
（2）根据点差法求解直线的斜率，即可由焦点弦公式即可求解.
【详解】（1）设
，则
．
由
，可得
，
整理得
的方程为
．
（2）设
，
因为线段
的中点为
，所以
，
则
，则
．
所以
，
则直线
的方程为
，显然直线
经过点
．
由（1）可知，
是以
为焦点的抛物线，所以
．
49．已知抛物线
的焦点为
，准线方程为
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）若直线：
与抛物线
交于
，
两点，求
．
【答案】（1）
；（2）16．
【分析】（1）根据题得到
，求得
，即可求得抛物线
的方程；
（2）由（1）可得焦点
，得到
过焦点
，联立方程组，根据根与系数的关系，求得
，进而求得
．
【详解】（1）由题意，抛物线
的准线方程为
，
可得
，解得
，所以抛物线
的方程为
．
（2）由（1）知，抛物线的方程为
，可得焦点
显然直线
过焦点
，
联立
，消去
可得
，
设
，
，则
，
故
．
50．已知抛物线
上有一点
到焦点
的距离为，
（1）求
及
的值．
（2）过焦点
的直线交抛物线于
，
两点，若
，求直线的方程．
【答案】（1）
，
；（2）
或
．
【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出
，从而得到抛物线方程，再代入
点的坐标求出
；
（2）设直线的方程为：
，
，
，联立直线与抛物线方程，消元、利用焦半径
公式得到方程，解得
，即可求出直线方程.
【详解】解：（1）抛物线
的准线方程为
，
由题意知
，
，所以抛物线方程为
，
，
.
（2）由题意知直线的斜率存在，设为
，则直线的方程为：
，
代入抛物线方程
，整理得
，
设点
，
，
，
，
又
，即
，
，
，
，
所求直线方程为：
或
．
题型七：求抛物线中非焦点弦
51．已知抛物线
的焦点
为椭圆
的右焦点，且
的右顶点为
．
(1)求
的方程；
(2)设过点
且倾斜角为
的直线与
交于
两点，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到
，从而得到其标准方程；
（2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为
，所以
的右焦点坐标为
，
所以
，即
，
所以
的方程为
．
（2）依题意可得直线的方程为
．
由
得
．
设
，则
，
则
．
52．已知过
的直线交抛物线
于A，B 两点，其中O 为坐标原点．
(1)求证：
；
(2)若线段AB 的中点的纵坐标为1，求|AB|．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）把直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示即可证明；
（2）由中点坐标公式可得
，再由弦长公式求解.
【详解】（1）当直线l 的斜率为0 时，显然不符合题意，
设直线
，
联立
，整理可得：
，
由韦达定理可得：
则
，所以
．
（2）因为线段AB 的中点的纵坐标为1，
所以
，所以
，
所以
，
所以
．
53．曲线
上的每一点到定点
的距离与到定直线
的距离相等.
(1)求出曲线
的标准方程；
(2)若直线
与曲线
交于
两点，求弦
的长.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程；
（2）直线方程联立抛物线方程消元，然后利用韦达定理，结合弦长公式可得.
【详解】（1）由抛物线定义可知，曲线
为开口向右的抛物线，其中
，
所以，曲线
的标准方程为
.
（2）设
，
联立
，消去y 得
，
所以
，
由弦长公式得
.
54．已知抛物线
仅经过
中的一点．
(1)求
的方程．
(2)过原点
作圆
的两条切线，切点分别为E，F．且E，F 在
的准线上．
①求；
②若
是圆
上纵坐标最大的点，点M，N 在
上，线段PM，PN 的中点分别为
，
，且点G，H 也在
上，求|MN|．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）通过代入四个给定点，验证满足抛物线方程的点，确定参数
的值；
（2）①利用抛物线的准线方程，结合圆的切线性质，建立方程求解半径；
②通过参数方程设点，结合中点坐标公式和抛物线方程，解方程确定点M、N 的坐标，最终计算距离
.
【详解】（1）因为
中的
，
所以点
不可能在
上，
点
关于
轴对称，要么都在
上，要么都不在
上，
因为
只经过四个点中的一点，所以
都不在
上，
所以点
在
上，将其坐标代入
，得
，
所以
的方程为
（2）（i）由题可知，O，E，D，F 四点共圆，该圆是以OD 为直径的圆，
又
，所以该圆的方程为
，．．
与圆
的方程
相减，得直线EF 即
的准线的方程为
，
解得
．
（ii）由（i）可知
．
设
．
因为点G，H 在
上，所以
，
将
代入，可得
，
同理有
，
所以
是方程
的两个根，
所以
，
所以
.
题型八：根据抛物线弦长求参数
55．已知双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，焦距长为4．
(1)求C 的标准方程；
(2)点
在C 上，点P 的坐标为
，O 为原点，求
面积的最小值；
(3)过C 的右焦点F 的直线与C 交于D，E 两点，以DE 为直径的圆与直线
交于M，N 两点，若
，求直线DE 的方程．
【答案】(1)
;
(2) ;
(3)
或
或
.
【分析】（1）利用渐近线和焦距可求得双曲线的标准方程；
（2）利用切线结合几何意义可求得面积最小值；
（3）利用方程组计算弦长和中点坐标，结合垂径定理和勾股定理可列出方程求解即可.
【详解】（1）由双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，可得
，
又由焦距长为4，可得
即
则有
，
联立上面两式解得：
，
所以双曲线方程为：
；
（2）由点P 的坐标为
，O 为原点，则
，
此时直线
的斜率为
，
利用平行于
的直线
与双曲线
相切，即联立方程组得：
，整理得：
，
由
，解得
，
此时切点为
，可以得到这个
的面积最小，
再由平行线间的距离公式可得：
，
则
最小面积为
；
（3）设过C 的右焦点F 的直线为
，与双曲线
联立方程组得：
，
设交点
，则有
所以
设交点
的中点为
，
则有
，则
，
所以中点为
到直线
的距离为
，
再由
，结合勾股定理可得：
，解得：
或
；
所以直线DE 的方程
或
或
.
56．已知双曲线
的离心率为
，且过点
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线
右焦点的直线与双曲线
相交于
两点，若线段
的长为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）运用双曲线的离心率的公式和a，b，c 的关系，解方程可得
，
，进而得到双曲线
的方程；
（2）直线的方程为
，代入双曲线方程，设
、
，运用韦达定理和弦长公式
即可求解.
【详解】（1）依题意可得
，解得
，
，
，
双曲线的标准方程为
.
（2）右焦点为
,
当直线无斜率时，此时
，代入双曲线方程可得
，满足
,
当直线有斜率，此时设直线的方程为
，
由
，可得
，
设
、
，
，
由根与系数的关系可得：
，
，
，解得
，故
，
故直线的方程为
，
综上可得
或
.
57．已知双曲线C 与椭圆
有公共焦点，其渐近线方程为
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若直线
与双曲线C 交于A，B 两点，且
，求实数m 的值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由双曲线C 与椭圆
有公共焦点，其渐近线方程为
，得
，
，由此能求出双曲线方程；
（2）联立方程组
，得
，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结
果.
【详解】（1）双曲线C 与椭圆
有公共焦点，其渐近线方程为
，
设双曲线的方程
（
，
），
由已知得
，
，所以
，
.
所以双曲线方程为
.
（2）直线
与双曲线C 交于A，B 两点，且
，
联立方程组
，得
，
当
时，设
，
，
.
所以
令
，解得
.
经检验
符合题意，所以
.
