重难点04 指、对、幂数比较大小8 大题型
【全国通用】
1、指、对、幂数比较大小
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问
题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小，主要涉及指数与对
数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质等知识，一般以选择题或填空题的
形式考查.这类问题的求解方法多种多样，解题时要学会灵活求解.
知识点
1 指、对、幂数比较大小的常用方法
1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如
和
，利用指数函数
的单调性；
②指数相同，底数不同时，如
和
，利用幂函数
单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如
和
，利用指数函数
单调性比较大小.
2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1 或者其它
能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判
定．
3．作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4．估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5．构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”
规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6．放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用函数的单调性比较大小】
【例1】（2025·河北·三模）已知a=e
−1
9 ,b=lg1.9,c =1.9
0.6，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式1-1】（2025·天津南开·模拟预测）若2
a=3= logb9，c =e
ln 2
3，则实数a、b、c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．b>a>c
【变式1-2】（2025·河南许昌·模拟预测）已知a=3
log23.4，b=9
log163.3，c =( 1
3 )
log20.3
，则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．a>c>b
【变式1-3】（2025·北京朝阳·二模）已知a= log0.50.2,b=0.5
0.5,c =2
0.5，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
【题型2 中间值法比较大小】
【例2】（2025·天津·一模）已知a= log3
❑√3
3 ,b= log❑√53,c =(
1
5)
1
5，则（ ）
A．b>c>a
B．c>b>a
C．a>c>b
D．a>b>c
【变式2-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若a=0.5
0.01，b=0.4
0.02，c =5 log302，则（ ）
A．c<a<b
B．b<c<a
C．a<b<c
D．b<a<c
【变式2-2】（2025·河北石家庄·三模）已知a=2
0.6，b=0.5
0.8，c = log20.9，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<b<a
【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·二模）已知a=log2678，b=1.25
0.9，c =log918，则a,b,c的大小关系
为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
【题型3 作差法、作商法比较大小】
【例3】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a= 1
2 + ln2,b= 2
3 + ln3
2 ,c = 1
2 + 2ln5
5
，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式3-1】（2025·浙江金华·二模）已知a= log32，b= log54，c = log98，则（ ）
A．c<b<a
B．a<c<b
C．b<a<c
D．a<b<c
【变式3-2】（2025·广东·模拟预测）已知a=log84 ,b=log0.40.6,c =log32，则（ ）
A．b<a<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
【变式3-3】（2025·重庆·模拟预测）已知a=log64，b=log32，c =lg10，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
【题型4 构造函数法比较大小】
【例4】（24-25 高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2
a+a=2，2
b+b= ❑√5，c = log163，则
（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．b<c<a
【变式4-1】（25-26 高一上·山东青岛·期中）若2
x−2
y<3
−x−3
−y，则（ ）
A．ln( y −x +1)<0
B．ln( y −x +1)>0
C．e
y −x>e
D．e
y −x<1
【变式4-2】（2025·陕西汉中·二模）若a=log914 ,b=lg15,c =2log114，则（ ）
A．a>c>b
B．c>a>b
C．a>b>c
D．c>b>a
【变式4-3】（2025·辽宁·二模）已知a=3 ln1.5，b=e
1
3，c = 5
3
，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
【题型5 数形结合法比较大小】
【例5】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若a=log50.5,b=5
−0.5,c =log5.50.5，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．b>c>a
【变式5-1】（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足1+2
x =3
y =5
z，则x、y、z的大小关系不可能是
（ ）
A．x> y > z
B．y > z> x
C．y > x> z
D．x> z> y
【变式5-2】（2025·福建泉州·模拟预测）若实数x，y，z满足2
x−2=3
y−3=5
z−5，则x，y，z的大小关
系不可能是（ ）
A．x = y = z
B．x> y > z
C．z> y > x
D．z> x> y
【变式5-3】（25-26 高三上·福建福州·月考）已知实数x，y，z满足：2
x = 1
❑√y =log2 z，则下列不等式中
不可能成立的是（ ）
A．y < x< z
B．x< y < z
C．y < z< x
D．x< z< y
【题型6 利用基本不等式比较大小】
【例6】（2025·云南·一模）已知a=log32，b=log53，c =log85，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【变式6-1】（2025·广西柳州·三模）已知13
7<21
6，34
6<21
7，设a=log3421，b=log2113，c =log138
，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
【变式6-2】（2025·北京海淀·一模）已知四个数a=lg2+lg5
2
，b= ❑√lg2⋅lg5，c =lg2，d =lg5，其
中最小的是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
【变式6-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知a= log74，b= log117，c = π
−1，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（25-26 高一上·安徽·月考）已知a= 1
lg9
，b=lg11，则（ ）
A．a>b>1
B．a>1>b
C．b>a>1
D．b>1>a
【变式7-1】（2025·天津南开·二模）已知a=log3
❑√2,b=log❑√23,c =2
1
3，则（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．b>a>c
【变式7-2】（2025·四川乐山·三模）若a=log32,b=log43,c =e
−2，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）已知a= ❑√19−❑√17,b=6
−3
4 ,c =log53−2
9 log35，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【题型8 利用函数的综合性质比较大小】
【例8】（2025·陕西商洛·三模）已知f (x)是偶函数，且f (x)在(−∞,0)上单调递增，则（ ）
A．f(log1
2
3)>f(
3
2)>f (0.9
0.1)
B．f(log1
2
3)>f (0.9
0.1)>f(
3
2)
C．f (0.9
0.1)>f(log1
2
3)>f(
3
2)
D．f (0.9
0.1)>f(
3
2)>f(log1
2
3)
【变式8-1】（2025·湖南邵阳·二模）定义在R上的函数f (x)满足f (x)−f (2−x)=0，且f (x)在[1,+∞)上单
调递增，设a= f (−9)，b= f(
7
4)，c = f (log417)，则（ ）
A．b<c<a
B．c<b<a
C．a<b<c
D．b<a<c
【变式8-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知f (x)在(1,+∞)上单调递增，若f (x +1)为偶函数，
a= f (e
7
2),b= f(ln 9
2),c = f(−3
2)
，则（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式8-3】（2025·重庆·三模）已知函数y = f ( x +1)是R 上的偶函数，对任意x1, x2∈[1,+ ∞)，且
x1≠x2
都有f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0，若a= f (log36)，b= f (lne
❑√2 )，c = f (e
ln 4
2 )，则a,b,c的大小关系是
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
一、单选题
1．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a=2
0.1，b=0.5
0.2，c =log0.51.1，则（ ）
A．c<b<a
B．b<a<c
C．c<a<b
D．a<b<c
2．（2025·湖南·一模）若a= log7 7
2，b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<b<a
3．（2025·四川绵阳·一模）已知a= 3
2 ,b=log34 ,c =e
1
2，则（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．a<c<b
4．（2025·河南·模拟预测）设a=(
1
3)
1
3 ,b=log1
2
2
5 ,c =3
−1
4，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．b<c<a
C．c<b<a
D．c<a<b
5．（2025·山东泰安·模拟预测）a=0.3
0.7,b=0.7
0.3,c = log0.70.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
6．（2025·天津·二模）已知a= 4.5
4.5，b=5.4
5.4，c = log4.55.4，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
7．（2025·辽宁·三模）已知4
a=6,6
b= 4 ,c = ln 2，则下列结论正确的是（ ）
A．a
c<b
c
B．c
a>c
b
C．logca>logcb
D．logac<logbc
8．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数f (x)= x⋅e|x)，a= f (log3
❑√5)，b=−f(log3
1
2)，
c = f (ln3)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
二、多选题
9．（2025·河北保定·一模）下列不等式成立的有（ ）
A．log0.30.2>log0.20.3
B．0.3
0.2>0.2
0.3
C．log30.2<log20.2
D．3
0.2<2
0.3
10．（2025·贵州·模拟预测）已知0<a<b<1，m>1，则（ ）
A．a
m<b
m
B．m
a>m
b
C．logma>logmb
D．logam>logbm
11．（2025·广西柳州·模拟预测）已知x , y ∈R ,15
x=3,15
y =5，则（ ）
A．y > x
B．x + y >1
C．xy < 1
4
D．❑√x + ❑√y <❑√2
三、填空题
12．（2025·北京通州·三模）已知a=2
−1.1，b= log 1
4
1
3，c = log23，则三者大小关系为
（按从
小到大顺序）
13．（25-26 高一上·江苏淮安·期中）设a=5
0.3，b= log0.53，c =0.3
5，则a，b，c从小到大排列是
.
14．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知f (x)=cosπ x
2
，a= log22025，b=1，c =0.2
0.3，则f (a)，f (b)，
f (c)的大小关系为
.（均用“>”连接）
四、解答题
15．（24-25 高一·上海·课堂例题）设a=(
2
3)
x
，b= x
3
2及c = log 2
3
x，当x>1时，试比较a、b 及c 之间的大
小关系．
16．（2025 高一上·全国·专题练习）比较下列各组中两个值的大小．
(1)ln 0.3,ln2；
(2)loga1.5,loga2.3（a>0，且a≠1）；
(3)log30.2,log40.2；
(4)log3 π ,logπ 3．
17．（24-25 高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小．
(1)log2π与log20.9；
(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76，0.7
6与6
0.7．
18．（24-25 高一·全国·随堂练习）已知x = lnπ，y = log52，z =e
−1
2．
(1)比较x，y 的大小；
(2)比较y，z 的大小．
19．（24-25 高一上·北京延庆·期末）（1）比较下列各题中两个值的大小，并说明理由：
①0.9
a与0.9
a−1；
②(a
2+2)
−0.1与2
−0.1；
③log50.5与0；
④已知实数a，b 满足6
a>6
b，( 3
7 )
a
与( 3
7 )
b
的大小.
（2）设f ( x)= loga x，其中a>0且a≠1，比较f ( x1)+ f ( x2)
2
与f ( x1+ x2
2
)的大小，并证明.
