重难点12 三角函数中ω 的范围与最值问题（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 与三角函数的单调性有关的ω 的范围与最值问题】.............................................................................2
【题型2 与三角函数的对称性有关的ω 的范围与最值问题】.............................................................................2
【题型3 与三角函数的最值有关的ω 的范围与最值问题】.................................................................................3
【题型4 与三角函数的周期有关的ω 的范围与最值问题】.................................................................................4
【题型5 与三角函数的零点有关的ω 的范围与最值问题】.................................................................................4
【题型6 与三角函数的极值有关的ω 的范围与最值问题】.................................................................................5
【题型7 ω 的范围与最值问题：三角函数性质综合】..........................................................................................5
1、三角函数中ω 的范围与最值问题
三角函数的图象与性质是高考的重要内容，在三角函数的图象与性质中，ω 的范围与最值的求解是近
几年高考中的一个重点、热点内容，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，但因其求法复杂，涉及的知
识点多，历来是我们复习中的难点，学生在复习中要加强训练，灵活求解.
知识点
1 三角函数中有关
ω 的范围与最值问题的类型
1．三角函数中ω 的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几大类型：
(1)三角函数的单调性与ω 的关系；
(2)三角函数的对称性与ω 的关系；
(3)三角函数的最值与ω 的关系；
(4)三角函数的周期性与ω 的关系；
(5)三角函数的零点与ω 的关系；
(6)三角函数的极值与ω 的关系.
知识点
2 三角函数中
ω 的范围与最值问题的解题策略
1．利用三角函数的单调性求ω 的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω 的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单
调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择
题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
2．利用三角函数的对称性求ω 的解题策略
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为
，相邻的对称轴和对称中心之间的
“水平间隔”为
，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用
整体代换的思想，建立关于ω 的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.
3．利用三角函数的最值求ω 的解题策略
若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω 的不等式(组)，
进而求出ω 的值或取值范围.
4．利用三角函数的周期性求ω 的解题策略
若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω 的不等式(组)，进
而求出ω 的值或取值范围.
【题型1 与三角函数的单调性有关的ω 的范围与最值问题】
【例1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2 )，f (−π
4 )=0，
x =π
4 为f ( x)图象的对称轴，且f ( x)在(π
18 , 5π
36 )上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【变式1-1】（2024·贵州·模拟预测）若函数f ( x)=2cos(ωx +π
3 )(ω>0)在(0,π
2 )上单调，则ω的最大
值为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．1
D．4
3
【变式1-2】（2024·广东·二模）已知函数f ( x)=cos(ωx +φ)（ω>0，−π
2 <φ<0），|f(−π
6))=1，
f(
π
6)=0，且f ( x)在区间(
π
6 , 5 π
24)上单调，则ω的最大值为( )
A．9
2
B．21
2
C．33
2
D．45
2
【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sin(2ωx −φ)(ω>0)满足对任意的x∈R，均有
f (x)≥f(
π
3 ),f(
4π
3
+ x)=−f(
4π
3 −x)，且f (x)在(
π
3 , 5π
6 )上单调，则ω的最大值为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．3
4
D．4
5
【题型2 与三角函数的对称性有关的ω 的范围与最值问题】
【例2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数f ( x)=2cos
2ωx +sin 2ωx −1(ω>0)的图象关于点(
π
4 ,0)对
称，且f ( x)在(0,π
3 )上没有最小值，则ω的值为（ ）
A．1
2
B．3
2
C．5
2
D．7
2
【变式2-1】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数y =sin (ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为
x =−π
6 ，且f (x)在(π, 4π
3 )上单调，则ω的最大值为（ ）
A．5
3
B．2
C．8
3
D．10
3
【变式2-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数f (x)=sin(ωx −π
3 )(ω>0)在区间[0,π)上有且仅
有两条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A．[
11
6 , 17
6 )
B．(
17
6 , 23
6 )
C．(
11
6 , 17
6 )
D．[
17
6 , 23
6 )
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sin (ωx +φ)(ω>0)，若直线x =π
4
为函数f (x)图象的
一条对称轴，(
5π
3 ,0)为函数f (x)图象的一个对称中心，且f (x)在(
π
4 , 5π
6 )上单调递减，则ω的最大值
为（ ）
A．9
17
B．18
17
C．12
17
D．24
17
【题型3 与三角函数的最值有关的ω 的范围与最值问题】
【例3】（2025·北京平谷·一模）已知函数f (x)=2sin(ωx −π
3 )(ω>0)，若f (x)在区间(−π
4 ,π
2 )上没
有最值，则ω的最大值为（ ）
A．2
3
B．4
3
C．5
3
D．2
【变式3-1】（24-25 高三上·山西·期末）已知函数f (x)=sin(ωx + π
6)(ω>0)在区间[0, π
2)内有最大值，
但无最小值，则ω的取值范围是（ ）
A．(
2
3 , 10
3 )
B．(
4
3 , 10
3 )
C．(
2
3 , 8
3)
D．(
4
3 , 8
3)
【变式3-2】（24-25 高三上·广东·阶段练习）已知函数f (x)=sin(ωx +π
6 )(ω>0)在区间(0,π
2 )内有最
大值，但无最小值，则ω的取值范围是（ ）
A．(
2
3 , 8
3)
B．[
1
6 , 5
6)
C．(
2
3 , 5
6)
D．[
1
6 , 8
3)
【变式3-3】（2024·天津·模拟预测）已知f (x)=sin(ωx +π
3 +φ)(ω>0,|φ)<π
2 )为偶函数，
g(x)=sin(ωx +φ)，则下列结论错误的个数为（ ）
①φ =π
6
；
②若g(x)的最小正周期为3π，则ω= 2
3
；
③若g(x)在区间(0,π)上有且仅有3 个最值点，则ω的取值范围为(
7
3 , 10
3 )；
④若g(
π
4 )=
❑√3
2 ，则ω的最小值为2．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【题型4 与三角函数的周期有关的ω 的范围与最值问题】
【例4】（24-25 高一上·江苏泰州·阶段练习）记函数f (x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为
T，若f (T )=−1
2
，且x =π
2 为f (x)的一条对称轴，则ω的最小值为（ ）
A．2
3
B．4
3
C．8
3
D．10
3
【变式4-1】（24-25 高三下·重庆·阶段练习）记函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为
T．若f (T )= 1
2，且f (x)≤|f(
π
9 ))对∀x∈R恒成立，则ω最小值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【变式4-2】（24-25 高三上·北京·期中）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0)在[−π
3 ,π
6 )上单调，且
f(
π
6 )= f(
4π
3 )=−f(−π
3 )，则ω的取值不可能为（ ）
A．3
5
B．7
5
C．9
5
D．12
7
【变式4-3】（2025·四川雅安·一模）已知函数f ( x)=2cos(ωx +φ)（ω>0且−π
2 <φ<π
2
），设T 为函
数f ( x)的最小正周期，f(
T
4)=−1，若f ( x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．(
17π
6
, 23π
6 )
B．[
17π
6
, 23π
6 )
C．(
7π
3 , 10π
3 ) D．[
7π
3 , 10π
3 )
【题型5 与三角函数的零点有关的ω 的范围与最值问题】
【例5】（24-25 高三上·江苏·期末）设函数f (x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ)<π
2 )，若f (x)的图象经过点
(0,1)，且f (x)在[0,π)上恰有2 个零点，则实数ω 的取值范围是（ ）
A．[
5
3 ,+ ∞)
B．[
11
6 , 17
6 )
C．[
5
3 , 8
3)
D．[
11
6 ,+∞)
【变式5-1】（2024·陕西商洛·三模）已知函数f (x)=sin(2 x +π
4 )在[−m,2m)上有且仅有4 个零点，则
实数m的取值范围是（ ）
A．[
15π
16 , 9π
8 )
B．[
13π
16 , 9π
8 )
C．[
5π
8 , 11π
16 ) D．[
7π
16 , 11π
16 )
【变式5-2】（2024·湖南邵阳·三模）将函数f (x)=sin ωx (ω>0)的图象向右平移π
3ω
个单位长度后得到函
数g(x)的图象，若g(x)在区间(−π
18 ,0)上单调递增，且在区间(
π
3 ,π)上有且仅有1 个零点，则ω的取
值范围为（ ）
A．(
1
3 ,1)∪(
4
3 , 7
3)
B．(0,1)∪(
4
3 , 7
3)
C．(0, 1
3)∪(
4
3 , 7
3)
D．(0, 1
3)∪(
4
3 ,3)
【变式5-3】（2024·福建龙岩·三模）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2 ), x =−π
4 为f ( x)的零
点，x =π
4 为f ( x)图象的对称轴，且f ( x)在(0,π
6 )上有且仅有1 个零点，则ω的最大值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【题型6 与三角函数的极值有关的ω 的范围与最值问题】
【例6】（2024·西藏拉萨·一模）若函数f (x)=|sin ωx)+sin|ωx)(ω>0)在(−1,1)上恰有9个极值点，则ω
的取值范围是（ ）
A．(
13π
2
, 17π
2 )
B．[
13π
2
,+ ∞)
C．(
9π
2 , 13π
2 ) D．
[
13π
2
, 17π
2 )
【变式6-1】（2024·河南南阳·模拟预测）若函数f (x)=cos(ωx +φ)(ω>0,|φ)≤π
2 )的图象关于点
(
π
3 ,0)中心对称，且x =−π
3 是f (x)的极值点，f (x)在区间(0, 2π
5 )内有唯一的极大值点，则ω的最大
值为（ ）
A．8
B．7
C．27
4
D．25
4
【变式6-2】（2025·河南郑州·三模）设函数g(x)=sin(ωx +π
6 )在区间(0,π)内恰有三个极值点、两个零
点，则ω的取值范围是（ ）
A．(
7
3 , 17
6 )
B．[
5
3 , 19
6 )
C．[
5
3 , 13
6 )
D．(
7
3 , 10
3 )
【变式6-3】（24-25 高三上·广东·开学考试）已知函数f (x)=2cos(ωx +π
6 )(ω>0)在(0,π)有且仅有2
个极值点，且在(
π
3 , 11π
24 )上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A．[
5
2 , 17
6 )
B．[
5
2 ,4)
C．[2, 17
6 )
D．[2, 8
3)
【题型7 ω 的范围与最值问题：三角函数性质综合】
【例7】（2025·山东青岛·一模）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π
2 ), x =−π
4 为f ( x)的零
点，x =π
4 为y = f ( x)图象的对称轴，且f ( x)在(
π
18 , 5π
36 )单调，则ω的最大值为（ ）
A．13
B．11
C．9
D．7
【变式7-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx + π
3)（ω>0）在区间(0, 5π
6 )上只有1 个零
点，且当x∈(−2π
3 ,π
6 )时，f (x)单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．(
4
5 ,2)
B．(
4
5 , 5
4)
C．(
4
5 ,1)
D．(
5
4 ,2)
【变式7-2】（24-25 高一上·浙江宁波·期末）已知函数f (x)=sin (ωx +φ)（ω>0，|φ)≤π
2
），x =−π
8
为
f (x)的零点，x =π
8 为y = f (x)图象的对称轴，且f (x)在(
π
18 ,π
9 )上单调，则ω的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．18
【变式7-3】（24-25 高二下·江苏南京·期末）已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ)<π
2 )的最小正周期为
T ,f(
T
6)= f(
T
3)，若f (x)在区间[0,2)上恰有8 个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[
7π
2 ,4π) B．[4π, 9π
2 )
C．(4π, 9π
2 )
D．[
7π
2 , 9π
2 )
一、单选题
1．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数f (x)=tan(ωx + 2π
3 )(ω>0)在区间(0,π)上单调递增，则ω的取
值范围是（ ）
A．(0, 1
3)
B．(0, 1
2)
C．(0, 5
6)
D．(0,3)
2．（2025·山东济南·二模）已知函数f (x)=sin(ωx −π
6 )(0<ω<3)在x =π
3 处取得最大值，则ω=
（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
3．（2025·重庆·二模）若函数f ( x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0) 在 (0,π) 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值
点，则 ω的取值范围是（ ）
A．(
2
3 ，7
6)
B．(
2
3 ，5
3)
C．(1，3
2)
D．(
1
6 ，2
3)
4．（24-25 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数f (x)=sin (ωx +φ)（ω>0，|φ)≤π
2 ），f(−π
8 )=0，
f(
π
8 −x)= f(
π
8 + x)，且f (x)在(
π
18 ,π
9 )上单调，则ω的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．18
5．（2025·青海西宁·模拟预测）设函数f ( x)=sin(ωx −π
6 )(ω>0)，若f ( x)在(0,π
2 )上有且只有2 个
零点，则ω的取值范围是（ ）
A．(
7
3 ,3)
B．(
7
3 ,3)
C．(
7
3 , 13
3 )
D．(
7
3 , 13
3 )
6．（2025·河南·二模）若函数f (x)=sin ωx (ω>0)在区间(π,2π)内没有最小值，则ω的取值范围为
（ ）
A．(0, 1
2)∪[
3
2 , 5
3)
B．(0, 2
3)∪[
4
3 ,2) C．(0, 1
4)∪[
1
2 , 3
4) D．
(0, 3
4)∪[
3
2 , 7
4)
7．（2025·辽宁·三模）函数f ( x)=2cos(ωx +π
3 )，其ω>0，若对于∀x∈(π
3 , 2π
3 )，都有
|f ( x)|<2恒成立，则ω的取值不可能是（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）函数f (x)=sin(ωx +φ)（ω>0且φ∈R在(
5π
18 , 2π
3 )上单调，且
f(
π
3 )+ f(
5π
9 )=0，若f (x)在(
2π
9 ,π)上恰有2 个零点，则ω的取值最准确的范围是（ ）
A．[
27
13 , 63
26)
B．(
9
5 , 9
4)
C．(
9
5 , 18
5 )
D．(
9
4 , 18
7 )
二、多选题
9．（2025·江西·模拟预测）已知函数f (x)=sinωx (ω>0)，则（ ）
A．存在α，使得对任意x∈R，恒有f (2α −x)= f (x)
B．若f (x1)= f (x2)=0，则x1−x2是2π
ω
的整数倍
C．若f (x)在区间[0,π)上的值域为[−1,1)，则ω的取值范围是[
3
2 ,+∞)
D．若f (x)在区间[0,π)上没有最小值，则ω的取值范围是(0, 3
2)
10．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f (x)=cos(ωx +π
3 )(ω>0)，则（ ）
A．当ω=2时，f(x−π
6 )的图象关于x =π
2 对称
B．当ω=2时，f (x)在[0,π
2 )上的最大值为
❑√3
2
C．当x =π
6
为f (x)的一个零点时，ω的最小值为1
D．当f (x)在(−π
3 ,π
6 )上单调递减时，ω的最大值为1
11．（2024·湖南长沙·三模）已知函数f (x)= ❑√3sin(ωx +π
3 ),ω>0，则下列说法正确的是（ ）
A．f (x)的最大值为2
B．函数f (x)的图象关于直线x = 1
ω(k π+π
6 )(k ∈Z)对称
C．不等式f (x)> 3
2
的解集为(
2k π
ω
, (6k +1)π
3ω
)(k ∈Z)
D．若f (x)在区间[−π
2 ,π
2 )上单调递增，则ω的取值范围是(0, 1
3)
三、填空题
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数f ( x)=2sin(ωx−π
6 )(ω>0)在区间(0,π
4 )上单调，则ω的取值
范围为
.
13．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线y =2tan(ωx−π
3 )(ω>0)的一个对称中心为(π
6 ,0)，则ω的最
小值为 ．
14．（2025·四川巴中·二模）已知函数f (x)=3sinωx在区间[−π
4 ,π
6 )上的最小值为−3，则ω的取值范
围为 .
四、解答题
15．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数y =sinωx在[−π
3 ,π
4 )上单调，求ω的取值范围．
16．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数f (x)= tan(ωx +π
3 )(ω>0)在区间(−π
3 ,π
6 )上单
调．
(1)求ω的最大值；
(2)若曲线y = f (x)在区间(0,π)上至少有两个对称中心，求ω的取值范围．
17．（24-25 高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数f (x)=3cos(ωx −π
4 )，其中ω>0.
(1)若f (x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2
，求当x∈[0,7π
24 )时f (x)的值域；
(2)若函数f (x)在开区间(0,7π
24 )内恰有3个零点，求ω的取值范围.
18．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数f (x)=2tan(ωx +π
3 ),ω>0．
(1)若ω= 1
3
，求函数f (x)的定义域及最小正周期；
(2)若函数f (x)在区间(0, 2π
3 )内单调递增，求ω的取值范围．
19．（24-25 高一下·辽宁·期末）已知函数f (x)= tan(ωx +π
3 )(ω>0).
(1)若ω=2，求f (x)的最小正周期；
(2)若f (x)在区间(−π
3 ,π
6 )上有定义.
（i）求ω的最大值；
（ⅱ）若曲线y = f (x)至少有两个对称中心在区间(0,π)上，求ω的取值范围.
