文档文本内容
重难点专训04 不等式中的恒（能）成立问题
题
解
方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题
式
型通法及变
提升............................................................................................................................2
题
不等式
型一：一元二次
在
的恒成立问题
上
...............................................................................................2
题
不等式
型二：一元二次
在
的
问题
上
有解
...................................................................................................4
题
不等式
的恒成立问题
型三：一元二次
在区间上
............................................................................................5
题
不等式
的
问题
型四：一元二次
在区间上
有解
................................................................................................7
题
的
不等式恒成立问题
型五：给定参数
一元二次
............................................................................................9
题
不等式中的恒成立问题
型六：基本
..............................................................................................................11
题
不等式中的
问题
型七：基本
有解
..................................................................................................................13
题
的恒成立
问题
型八：双变量
和有解
..............................................................................................................15
重难专题分层过关练..........................................................................................................................17
巩固过关...............................................................................................................................................................17
创新提升...............................................................................................................................................................24
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
1、对任意实数
，不等式
恒成立⇔
或
2、对任意实数
，不等式
恒成立⇔
或
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
方法一：若
在集合
中恒成立，即集合
是不等式
的解集的子集，可以先求解集，
再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数
的值域为
，则
恒成立⇒
，
即
；
恒成立⇒
，即
.
三、给定参数范围的不等式恒成立问题
解决给定参数范围的不等式恒成立问题，关键是明确主元与参数的选择：通常以已知范围的量作
“
”
“
”
为主元，以需求解范围的量作为参数，通过交换变元与参数的位置，将原不等式构造成以参数为变量的函
数。
接着根据主元的取值范围，分析该函数的单调性或最值情况，列出关于参数的不等式（组）
若函
——
数在主元取值范围内恒正（或恒负），则可通过端点值或最值满足的条件建立关系式。
最后求解不等式（组），得到参数的取值范围，过程中需注意结合函数性质准确判断不等关系方向，
确保逻辑严谨。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
1、对任意的
，
恒成立⇒
；
若存在
，
有解⇒
；
若对任意
，
无解⇒
.
2、对任意的
，
恒成立⇒
；
若存在
，
有解⇒
；
若对任意
，
无解⇒
.
题型一：
不等式
一元二次
在
的恒成立问题
上
典例1-1．若不等式
对一切实数
都成立，则实数
的取值范围为 .
典例1-2．（多选）对R 上定义运算；
.若不等式
对任意实数x 恒成立，则实
数a 的（ ）
A．最小值是
B．最小值是
C．最大值是
D．最大值是2
变式1-1．若函数
的定义域为
，则实数
取值范围是 .
变式1-2．已知二次函数
满足：
且
，则
.
题型二：
不等式
一元二次
在
的
问题
上
有解
典例2-1．若存在实数
使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（多选）已知命题
，
的否定是真命题，则命题
成立的一个充分条件可
以是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．若
，满足不等式
，求实数
的取值范围 .
题型三：
不等式
的恒成立问题
一元二次
在区间上
典例3-1．命题“
，
为真命题的一个充分不必要条件是（
”
）
A．
B．
C．
D．
典例3-2．当
时，不等式
恒成立，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．
，
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
变式3-2．已知对任意实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
题型四：
不等式
的
问题
一元二次
在区间上
有解
典例4-1．若命题“
，
为假命题，则
”
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例4-2．若关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是 ．
变式4-1．若存在
，使
，则
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．我们定义关于x 的不等式
，
为飞升不等式．
“
”
(1)当
时，求飞升不等式的解集；
“
”
(2)若存在
，使飞升不等式成立，求实数
“
”
a 的取值范围．
题型五：
的
不等式恒成立问题
给定参数
一元二次
典例5-1．当
时，
有解，则实数
的取值范围是 .
典例5-2．若不等式
对满足
的所有
都成立，求
的范围.
变式5-1．不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．已知
时，不等式
恒成立，求
的取值范围.
题型
不等式中的恒成立问题
六：基本
典例6-1．已知
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
，或
C．
D．
，或
典例6-2．若关于x 的不等式
对任意
恒成立，则正实数a 的可能值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
变式6-1．不等式
对于
恒成立，则m 的取值范围 .
变式6-2．已知实数
且
，若
恒成立，则满足条件的整数
的个数是
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
题型
不等式中的
问题
七：基本
有解
典例7-1．若两个正实数
满足
，且不等式
有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例7-2．已知正实数x，y，满足
．若关于x 的方程
有解，则实数m
的取值范围是 （用区间表示）
变式7-1．若两个正实数
满足
，且存在这样的
使不等式
有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2．若关于
的方程
有解，则
的取值范围为 .
题型
的恒成立
问题
八：双变量
和有解
典例8-1．已知函数
，若对任意
，存在
，使
，则实数a 的最大值为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
典例8-2．已知实数
，函数
，若对任意
，总存在
，
使得
，则a 的最大值为 .
变式8-1．设二次函数
，若存在实数
，对任意
，使得不等式
成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-2．常数
，函数
若
，存在
，对任意
，
恒成立，求
的最小值.
巩固过关
1．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
，使得关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
的定义域为
，则m 的取值范围是 .
4．（1）设函数
的最大值是
，若对于任意的
恒成立，则
的取值范围
是 ；
（2）若不等式
对满足
的所有
都成立，则
的取值范围是 .
5．已知
，
，若关于
的不等式
在
时恒成立，则
的最小值是
.
6．若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若两个正实数x，y 满足
，且存在
，使不等式
有解，则实数k 的取值范
围为 ．
8．已知命题
：方程
有实数根，命题
：
在
时恒成立.若
与
至少有一个为假命题，求实数
的取值范围.
9．已知二次函数
的图象与
轴交于
，
两点，顶点为
，在
中，边
上
的高为
，且
．
(1)求
的值；
(2)若对任意
，总存在
，使不等式
成立，求
的取值范围．
10．已知：
，求：
(1)
的最小值；
(2)
，恒成立，求实数
的取值范围.
11．已知函数
，不等式
的解集是
.
(1)求
的解析式；
(2)若存在
，使得不等式
有解，求实数的取值范围.
创新提升
1．已知不等式
，
的解集为
，且不等式
恒成立，则
正实数
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．若对任意实数
，不等式
恒成立，则实数
的最小值为 ．
3．已知函数
(1)当
时，解不等式
；
(2)若任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
4．已知函数
．
(1)若方程
的两根分别是
，满足
，求实数
的值；
(2)若对
，都存在
，使得
对任意
恒成立，求实数的取值范围．
