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1
平行四边形【章节复习】压轴题--平行四边形与全
等综合【C1】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
阅读下列材料：问题：如图，在
中，点
为
的中点，求证：
．小
明提供了他研究这个问题的思路：从点
为
的中点出发，可以构造以
、
为邻边的平行四边
形
，结合平行四边形的性质以及三角形两边之和大于第三边的性质便可解决这个问题．请结
合小明研究问题的思路，解决下列问题：
图
完成上面问题的解答．
如果在图中，
，延长
到
，使得
，延长
到
，使得
，连结
，如图，请猜想线段
与线段
之间的数量关系．并加以证明．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，证明见解析．
如图，延长
至点
，并使得
，
又∵
，
∴四边形
为平行四边形，∴
，
在
中，
，
即
，
∴
．
2
图
（2 ）如图，在
上取一点
并使得
，
∵
，且
，
，
∴
，
即
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
与
互相平分，
又∵
为
中点，
∴
为
中点，
∴
，
∴
，
在
与
中，
，
≌
，
∴
，
3
【标注】
∴
．
【知识点】平行四边形与全等综合
图
（1 ）
图
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平行四边形
中，
，过点
作
，且
，连接
、
，
、
分别为
、
的中点，连接
．
如图，若点
在
上，
与
交于点
，试探究线段
与线段
的数量关系及
与
满足的等量关系，请直接写出你的结论．
如图，若点
在线段
上，当点
在何位置时，你在（）中得到的结论仍然成立，写出
你确定的点
的位置，并证明（）中的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
点
是线段
的中点，（）中得到的结论仍然成立，证明见解析．
，
．
点
是线段
的中点（或其它等价写法）．
如图， 分别连接
、
．
∵ 四边形
是平行四边形，
∴
，
，
，
∴
．
4
【标注】
∵
，
∴
．
∴
． ①
∵
，
∴
．
∴
．
即
． ②
又
， ③
由①②③得
≌
．
∴
，
．
∵
、
分别为
、
的中点，
∴
，
．
同理可得
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】平行四边形与全等综合
3. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图，图，图中，
，
是
的中线，
，垂足为
．像
这样的三角形均为“中垂三角形”．设
，
，
．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
图
图
特例探索：
如图，当
，
时，
，
．
如图，当
，
时，
，
．
归纳证明：
请你观察（）中的计算结果，猜想
，
，
三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图
证明你发现的关系式．
如图，在平行四边形
中，点
，
，
分别是
，
，
的中点，
，
，
．求
的长．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
;
．
．
如图，连接
，则
是
的中位线，
∴
，
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∵
，
∴
也是等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，
6
图
图
图
图
方法一：
方法二：
（2 ）
方法一：
（3 ）
∴
．
如图，连接
，则
是
的中位线，
∵
，
，
，
∴
，
，
∵
且
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
．
．
如图，连接
，设
，
，则
．
∵
且
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
如图，连接
，
设
，
∴
，
，
由（）同理可得，
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
如图，延长
，
交于点
，延长
，
交于点
，延长
，
分别交
，
于点
，
，连接
．
7
方法二：
∵四边形
是平行四边形，
∴
且
，
且
，
∵
，
是分别是
，
的中点，
∴
≌
≌
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
是
的中点；
∵
且
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
、
分别是
、
的中点，
∴
且
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
由
得：
，
，
∴
，
∴
，
∴
是
的中点；
∴
是“中垂三角形”，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，连接
，
交于
，
与
交于点
，设
与
的交点为
，
∵点
、
分别是
、
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∵四边形
是平行四边形，
8
图
【标注】
∴
，
，
∴
，
∵
，
分别是
，
的中点，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形．
【知识点】与三角形有关的新定义
