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重难点专训03 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式
方
解题
法及技巧提炼............................................................................................................................1
式
题型通法及变
提升............................................................................................................................2
柯西不等式
式
题型一：利用
求整
的最值............................................................................................................2
柯西不等式
式
题型二：利用
求分
的最值............................................................................................................3
柯西不等式
式
题型三：利用
求根
的最值............................................................................................................6
柯西不等式
式
题型四：利用
求三角函数
的最值................................................................................................7
柯西不等式
题型五：利用
求变量范围（值）....................................................................................................8
反柯西不等式
题型六：利用
求最值..................................................................................................................10
权方和不等式
题型七：利用
求最值..................................................................................................................11
重难专题分层过关练..........................................................................................................................13
巩固过关......................................................................................................................................13
创新提升......................................................................................................................................19
一、柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac +bd )2（a,b,c,d∈R ，当且仅当ad =bc 时，等号成立）.
2．二维形式的柯西不等式的变式
（1）√a2+b2⋅√c2+d2≥|ac+bd|（a,b,c,d∈R ，当且仅当ad =bc 时，等号成立）.
（2）√a2+b2⋅√c2+d2≥|ac|+|bd|（a,b,c,d∈R ，当且仅当ad =bc 时，等号成立）.
（3）(a+b)(c+d)≥(√ac+√bd )2（a,b,c,d≥0，当且仅当ad =bc 时，等号成立）.
3．柯西不等式的一般情形：
，当且仅当
时，等号成立．
4．柯西不等式的向量形式：
，当且仅当
是零向量，或存在实数
，使
时，
等号成立．
二、反柯西不等式
1．
2 ．设
；
均为实数，
或
，则有
．当且仅当
，
成比例时取等．
三、权方和不等式
1．二维形式：已知
x, y ,a,b∈R
，则有a
x + b
y ≥(√a+√b)
2
x+ y
（当且仅当x: y=√a:√b
时，等号成
立）.
2．一般形式：设
ai,bi∈R+
（
i=1,2,
，
…
n
），实数
m>0
，则∑
i=1
n a
im+1
b
im
≥(∑
i=1
n
ai)
m+1
(∑
i=1
n
bi)
m ，当且仅当
a1
b1
= a2
b2
= …= an
bn
时等号成立. 称之为权方和不等式. m
为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的
幂多一次.
题型一：
柯西不等式
式
利用
求整
的最值
典例1-1．已知
，且
，则
的最小值为 ．
典例1-2．设实数
，
满足
，求证：
.
变式1-1．若实数x、y、z 满足
（a 为常数），求
的最小值．
变式1-2．已知
，求
的最小值．
题型二：
柯西不等式
式
利用
求分
的最值
典例2-1．已知
，
都在区间
内，且
，则函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2-2．已知正数a，b，c，d 满足
，证明：
(1)
；
(2)
.
变式2-1．已知
、
、
，且满足
，则
的最小值为 .
变式2-2．已知
．
(1)若
，证明
与中至少有一个小于0；
(2)若
均为正数，求
的最小值．
题型三：
柯西不等式
式
利用
求根
的最值
典例3-1．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现
的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅
当
时即
时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3-2．已知x，y 为正实数，
，求函数
的最大值．
变式3-1．求函数
的最大值．
变式3-2．求函数
（
）的最大值．
题型四：
柯西不等式
式
利用
求三角函数
的最值
典例4-1．
的最小值为 .
变式4-1．已知
为正数，且满足
，求证：
．
变式4-2．求
的最小值．
题型五：
柯西不等式
利用
求变量范围（值）
典例5-1．设
，
，
，且
.
（1）求
的最小值；
（2）若
成立，求实数
的取值范围.
典例5-2．已知
，求证：
.
变式5-1．已知
，且
．
（1）求
的最小值；
（2）若
成立，求
的取值范围．
变式5-2．已知实数a，b，c，d，e 满足
则e 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
题型六：
反柯西不等式
利用
求最值
典例6-1．
的最小值为 ．
变式6-1．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选
修课．在某次主题是向量与不等式的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式
“
”
（二维）；当向量
时，有
，即
，当且
仅当
时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：
，当且仅当
时等号成立，并取名为类柯西不等式．根据前面
“
”
的结论可知：当
时，
的最小值是 ．
题型七：
权方和不等式
利用
求最值
典例7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：
设a，b，x，y>0，则
，当且仅当
时等号成立．根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
典例7-2．权方和不等式是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪
“
”
80 年代初命名的．其具体内容为：设
，则
，当且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：
设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
变式7-2．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知
为正数，
，当且仅当
时，等号成立.若x 为锐角，则
的最小值为
.
巩固过关
1．函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正
数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
3．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是
由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数
学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数
和
，有
.
②等式条件：当且仅当
时，等号成立.
例：已知
，由柯西不等式
，可得
.运用柯西不等式，判
断以下正确的选项有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．已知
，
，则
的最小值为 ．
5．存在正数
使得不等式
成立，则
的最大值是 .
6．求函数
（x，
）的最大值．
7．设正数
，
，满足
．
(1)求
的最小值；
(2)求证：
．
8．设正数
，
，满足
．
(1)求
的最小值；
(2)求证：
．
9．某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数
，
满足
，求
的最大值.
解：由权方和不等式得
，
所以
的最大值是5.
10．利用二维柯西不等式：
，求
的最大值，并写
出等号取到的条件；
11．在
中，若
，
，求：
的最小值；
12．正实数
满足
，求证：
．
创新提升
1．（多选）已知
，
，且不等式
恒成立，则
的取值可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．正实数
满足
，求证：
．
3．已知
，
，
，求a 的最大值．
4．若
均为锐角，且满足
.求证:
.
