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平行四边形的判定 题集【B】
1. 平行四边形判定的应用
【总结】：
平行四边形的判定方法：
【题型点拨】：
平行四边形判定的应用往往在：
①先判定是平行四边形，再应用其性质证明线段等、角等、直线平行、对角线互相平分等
②先判定是平行四边形，再应用其性质和其他知识（全等、勾股等）结合在一起考查，求线段长或角度
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，在平行四边形
中，
是
的中点，延长
到点
，使
，连接
，
．
求证：四边形
是平行四边形．
若
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
在平行四边形
中，
，
，
∵
是
中点．
2
（2 ）
【标注】
∴
．
又∵
，
∴
且
，
∴四边形
为平行四边形．
如图，过点
作
于点
．
在平行四边形
中，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
．
∴
，
．
在平行四边形
中，
，则
．
∴在
中，根据勾股定理知
．
【知识点】平行四边形的判定-与边有关
（1 ）
（2 ）
2. 如图，四边形
中，
垂直平分
，垂足为点
，
为四边形
外一点，且
，
．
求证：四边形
是平行四边形．
如果
平分
，
，
，求
的长．
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
．
∵
垂直平分
，垂足为
，
∴
，
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴四边形
是平行四边形．
如图，连接
交
于点
．
∵
平分
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴平行四边形
是菱形．
∵
，
，
∴
，
，
．
在
中，
．
∵
，
∴
．
解得
．
∵
垂直平分
，
∴
．
【知识点】菱形的判定-从平行四边形
（1 ）
3. 如图，平行四边形
中，
于点
，
于点
，连接
、
．
求证：四边形
是平行四边形．
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（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若
，
，
，求四边形
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
、
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
.，
∴
，
∴四边形
是平行四边形．
在
中，∵
，
，
∴
，
，
在
中，
，
∵
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】平行四边形的判定及应用
【知识点】平行四边形性质综合应用
【知识点】勾股定理
【知识点】勾股定理的综合应用
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】AAS
【思想】数形结合思想
【能力】推理论证能力
【能力】分析和解决问题能力
平行四边形
5
4.
【解析】
【标注】
如图所示，平行四边形
中，
，
分别交
、
的延长线于
、
，交
、
于
、
．求证：
．
【答案】证明见解析．
由
，
，四边形
是平行四边形，有
；
由
，
，四边形
是平行四边形，有
；
故有
，因此
，即
，得证．
【知识点】根据平行四边形边的性质计算与证明
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，平行四边形
中，
为
边的中点，把
沿
翻折，得到
，连接
并
延长交
于
．
求证：四边形
为平行四边形．
若
，且平行四边形
的面积等于
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
由题可知，
，
，
∴
，
∵
为
中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
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（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，
又∵
，
∴四边形
为平行四边形．
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
连接
交
于
点，则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】根据平行四边形边的性质计算与证明
四边形
四边形
已知三点确定平行四边形
【问题1】：
如图，在平面内找一点
，使得以
为顶点的四边形为平行四边形．
、
、
、
【解决问题】：
已知点
、
、
是平面上不共线的三点，那么，以
、
、
为顶点，
可在平面上画出个平行四边形．
作法：分别过
、
、
三点作对边
、
、
的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点．如
图，平行四边形
、
、
．
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【问题2】：
这类问题经常出现在平面直角坐标系中，
若已知点
，
，
，那该如何确定点
的坐标呢？
【解决问题】：
从平移的角度，
平移得到
，由平移坐标公式，
可得
，
；
或者
平移得到
，由平移坐标公式，
可得
，
，
移项可得
．
【解题步骤】：
所有的平行四边形存在性问题，基本都可以利用上述模型求解，更重要的是实现盲解盲算，具体步骤如
下：
①：写出或设出三个顶点的坐标；
②：以“哪两个顶点相对”（即对角线）为分类标准，分三类讨论，
利用上述模型，求出第四个顶点的坐标；
③：将第四个顶点坐标代入相应的关系式即可．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
1. 若以
、
、
三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点
不可能在第几象限（
）．
【答案】C
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【解析】
【标注】
如图所示，
点所在的象限不可能为第三象限．
【知识点】平行四边形的存在性
x
y
O
2.
x
y
O
【解析】
【标注】
如图，平面直角坐标系
中，点
，
，
其中
，若以
，
，
，
为顶
点的四边形是平行四边形，则点
的坐标为 ．
【答案】
或
以
为对角线，点
坐标为
；
以
为对角线，点
坐标为
；
以
为对角线，点
坐标为
；
∵
，
∴点
的坐标为
或
．
【知识点】平行四边形的存在性
3.
【标注】
已知
，
，
，
为平面直角坐标系上一点，若四边形
为平行四
边形，则
点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】象限内坐标的特征
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4.
【解析】
【标注】
已知一个平行四边形的三个顶点坐标为
，
，
，则它第四个顶点坐标为 ．
【答案】
或
或
设
，
，
，第四个顶点为
，
①若为平行四边形
，则
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
②若为平行四边形
，则
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
③若为平行四边形
，则
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】平行四边形性质综合应用
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，以
，
，
为顶点，构造平行四边形，下列各点中不
能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）．
【答案】C
若所求第四点和
互为对角顶点，则坐标为
，
若所求第四点和
互为对角顶点，则坐标为
，
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【标注】
若所求第四点和
互为对角顶点，则坐标为
，
故选：．
【知识点】平行四边形的存在性
