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第06 讲 拓展一：平面向量的拓展应用
目录
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题............................................................................................................1
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题............................................................................................................3
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）..........................................................................4
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）..........................................................................5
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）...............................................................6
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）..........................................................................7
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）............................................8
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））..........................................10
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）.........................................................11
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题
典型例题
例题1．（24-25 高一下·重庆万州·期中）已知向量
，若向量
的夹角是锐角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数
对应的点为
.
(1)若
为纯虚数，求
的值；
(2)设
为坐标原点，
为虚轴负半轴上任意一点，若向量
与
的夹角为锐角，求
的取值范围.
例题3．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
在
方向上的投影数量为1，求m 的值；
(3)若
，
的夹角为锐角，求m 的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量
，且
的夹角为锐角，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，
．
(1)
是线段
上靠近
的三等分点，求点
的坐标；
(2)若
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围．
3．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）已知向量
，
，
.
(1)若向量与
共线，求
的值；
(2)若向量与
的夹角为锐角，求
的取值范围.
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广西·阶段练习）若向量
与
的夹角为钝角，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量
，
，且
与
的夹角为钝角，求实数
的取值范围.
例题3．（24-25 高一下·天津南开·阶段练习）已知向量
，
．
(1)当
且
时，求
；
(2)当
，
与
夹角为钝角，求x 范围．
精练高频考点
1．（23-24 高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为钝
角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（23-24 高一下·山东济宁·期中）已知向量
，
，且
与
的夹角为
．
(1)求
；
(2)若
与
的夹角为钝角，求实数
取值的集合．
3．（24-25 高一下·广西南宁·期中）已知向量
，向量
．
(1)若
，求
与
的夹角；
(2)若
与
的夹角为钝角，求实数
的取值范围．
4．（23-24 高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量
，
，
．
(1)①若
，求
；②若
，求
；
(2)若向量
与
的夹角为钝角，求x 的取值范围．
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量
满足：
，且
，若
，其
中
且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．
例题2．（24-25 高一下·浙江台州·期末）已知平面向量
，且
与
的夹角为
，若
，则
的最小值为 .
精练高频考点
1．（24-25 高三上·河南南阳·期中）已知：
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·上海浦东新·期末）已知向量
，
满足
，
在
方向上的数量投影为
，则
的最小值为 ．
3．（24-25 高一下·海南海口·期末）已知向量
满足：
，且
．
(1)求向量
与
的夹角；
(2)设向量
，求
的最小值．
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知
是平面向量，
是单位向量．若非零向量
与
的
夹角为
，向量
满足
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．
C．2
D．1
例题2．（2025 高一·全国·专题练习）已知平面向量
满足
，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
例题3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知
，
是两个单位向量，且
，若向量满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题4．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知
为单位向量，
满足
，则
的
最小值为
精练高频考点
1．（24-25 高一下·广东湛江·阶段练习）已知平面向量
满足
，
，若
，
则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知
是平面向量，
是单位向量，若非零向量
与
的夹角为
，
向量
满足
，则
的最小值是（ ）．
A．1
B．
C．
D．
3．（2025 高一·全国·专题练习）已知
是平面向量，
是单位向量，若满足
，
，
，则
的最小值是 ．
4．（23-24 高一下·北京·期中）
与
是两个单位向量，
，则当
时，
取得最小值．
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）
典型例题
例题1．（24-25 高三下·海南·阶段练习）设
是非零向量，且
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，
，
，
，
，求
的取值范围．
例题3．（2024 高三·全国·专题练习）已知向量
共面，且均为单位向量，
，则
的取
值范围是 .
精练高频考点
1．（24-25 高一下·辽宁大连·期中）已知向量
，
满足
，
，则
的最小值是
，最大值是 ．
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，
，为单位向量，且
，则
的最小值为
．
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）
典型例题
例题1．（2024·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量
满足
，
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
例题2．（2024 高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系
中，已知点
分别为
轴，
轴上一点，
且
，若点
，则
的取值范围是 .
例题3．（23-24 高一下·福建福州·期中）平面向量
满足
，且
，
则
的最小值为 ．
精练高频考点
1．（2023 高三·全国·专题练习）已知平面向量
，
，满足
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
,
D．
,
2．（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）已知边长为1 的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A，D 分别在
x，y 的正半轴上（含原点O）滑动，则
的最大值是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知单位向量
的夹角为锐角且
的最小值为
，若向量
满足
，则
的取值范围是 ．
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形
的边长为
为正八边形内的一点（含边界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被
用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的
摆放位置如图所示，
是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则
的最大值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
例题3．（24-25 高一下·上海宝山·期末）如图，以边长为1 的正方形
的各边为基准向外作正三角
形，构成八边形
.若点
、
在八边形的内部（含边界），则
的最小值为 .
例题4．（24-25 高一下·山东济宁·期中）记
的内角
的对边分别为
，
，
，且
，
，则
的最小值为 .
精练高频考点
1．（24-25 高一下·安徽宿州·期中）在平面四边形
中，已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10 个网格点，相邻网格点间的距离均为
1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则
的最大值与最小值的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·北京·期中）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形
的边长
为
是线段
的中点，
为正八边形内的一点（含边界），则
的最大值为 .
4．（24-25 高一下·湖北武汉·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的
是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块
面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形
的边长为4，点
是正八边形
的内部
（包含边界）任一点，则
的取值范围是 ．
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））
典型例题
例题1．（2025 高一·全国·专题练习）如图，等边
的边长为2，顶点
分别在
轴的非负半轴、
轴的非负半轴上滑动，
为
的中点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·陕西商洛·期末）在梯形
中，
，
，
，
点E 在线段
上，则
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
例题3．（24-25 高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪
生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为
正八边形
和圆
（图2），其中正八边形的中心是点
，鱼眼（黑、白两点）
，
是圆
半径的中点，且关于点
对称.若
，圆
的半径为2，当太极图转动（即圆面
及其内部点绕点
转动）时，
的最大值为 .
例题4．（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）已知
中，
，且
的最小值为
，若P 为边AB 上任意一点，则
的最小值是 .
精练高频考点
1．（24-25 高一下·安徽合肥·期末）已知
的内切圆圆心为
，半径
，且满足
是
内切圆上一动点，则
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·广东汕头·期末）已知
为直角三角形，
，
，
，
为
的中点.若点
在射线
上运动，则
的最小值为 .
3．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知在平面四边形
中，
，
，
，
，若
为边
上的动点，则
的取值范围为 .
4．（24-25 高一下·甘肃酒泉·期末）已知M、N 分别是四边形
的边
，
的中点．
(1)求证：
；
(2)若四边形
是边长为2 的正方形，点E 是边
的中点，求证：
；
(3)若四边形
是边长为2 的正方形，点E 是
边上的动点，求
的最大值．
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边
形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：
，我们称为极化
恒等式.在△
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．32
B．-32
C．16
D．-16
例题2．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在边长为1 的正方形
中，
是以
为圆心，
为半径
的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则
的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
是单位圆上的两点，
为圆心，且
，
是
的
一条直径，点
在圆内，且满足
，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，
，我们称为极化恒
等式. 已知在
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．
B．16
C．
D．8
3．（25-26 高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了
太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2 所示，其中正八边形的中心与圆心重合，
是正八边
形的中心，
是圆
的一条直径，且正八边形
内切圆的半径为
，
.若
点
是正八边形
边上的一点，求
的取值范围.
