第1 讲 集合·配套讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................1
1、元素与集合........................................................................................................................ 1
2、集合间的基本关系............................................................................................................2
3、集合的基本运算................................................................................................................3
4、集合的运算性质................................................................................................................3
三、解题通法......................................................................................................................................4
考点一：集合的表示与基本运算..........................................................................................4
考点二：集合间的关系与参数求解......................................................................................4
考点三：集合的新定义与综合探究......................................................................................5
四、典题精讲......................................................................................................................................5
考点一：集合的表示与基本运算..........................................................................................5
考点二：集合间的关系与参数求解......................................................................................8
考点三：集合的新定义与综合探究....................................................................................10
五、高考真题....................................................................................................................................13
一、考情分析
1. 考查频次与题型
集合作为高中数学的起始章节和基础工具，在全国一卷（新高考Ⅰ卷）中属于高频必
考考点.在每年的高考真题中，均有一道集合题，通常出现在单项选择题的第1 题或第2 题，
分值为5 分.考查内容主要集中在集合的基本运算（交、并、补）以及集合关系的判断.
年份
题号与题型
分值
考查内容
2024 年
第1 题（单选）
5 分
三次不等式与离散集合求交集
2025 年
第2 题（单选）
5 分
正整数集合的补集运算
2026 年
第3 题（单选）
5 分
三角函数求值与交集运算
2. 命题角度与特色
核心考点：集合的基本交、并、补运算，集合包含关系的判定.
命题趋势：近年来的集合题不再局限于单一的抽象集合运算，而是更加注重与其他知
识板块的交汇融合.
试题特点：侧重“反套路、重思维”的考查，如2024 年与代数高次不等式结合，
2026 年与三角函数诱导公式及特殊角求值结合，考查代数变形与计算的基本功.
3. 备考策略
夯实基础：熟练掌握集合的交、并、补运算，深刻理解集合元素的互异性、无序性和
确定性.
突破交汇：加强集合与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数对数不等
式以及三角函数等知识的综合训练，提升跨章节解题能力.
数形结合：在处理连续型数集问题时，养成画数轴的好习惯，特别注意端点值（实心
点与空心圈）的取舍；在处理离散型数集或抽象集合关系时，善于借助Venn 图直观分析.
二、知识清单
1.元素与集合
（1） 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
· 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何
一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，给定集合 A ={1,2,3,4 ,5}，可知 1∈A，在
该集合中；6∉A，不在该集合中.
· 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出
现的.例如，集合 A ={a,b,c } 应满足 a≠b≠c.
· 无序性：组成集合的元素间没有顺序之分.例如，集合 A ={1,2,3,4 ,5} 和
B ={1,3,5,2,4 } 是同一个集合.
（2） 元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈ 和 ∉.
（3） 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（Venn 图）.
· 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫
做列举法.
· 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花
括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖
线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
（4） 常见数集和数学符号：
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
* 或 N +
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
（1） 子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合
B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作
A ⊆B（或 B⊇A），读作“A 包含于 B”（或“B 包含 A”）.
（2） 真子集：如果集合 A ⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A，我们称集合 A 是
集合 B 的真子集，记作 A ⊊B（或 B⊋A），读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A
”.
（3） 相等：如果集合 A 是集合 B 的子集（A ⊆B），且集合 B 是集合 A 的子
集（B⊆A），此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B
相等，记作 A = B.
（4） 空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ∅.∅ 是任何集合
的子集，是任何非空集合的真子集.
【防坑警示】在求含参集合的子集关系时，务必优先考虑“空集”这一特殊情况.若
A ⊆B，当 A 为空集 ∅ 时，包含关系依然成立.此时对应的方程无解或不等式解集为空，
此情况极易被遗漏，导致漏解.
3.集合的基本运算
（1） 交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为
A 与 B 的交集，记作 A ∩B，即 A ∩B ={x∣x∈A , 且 x∈B}.
（2） 并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为
A 与 B 的并集，记作 A ∪B，即 A ∪B ={x∣x∈A , 或 x∈B}.
（3） 补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合
称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 ∁U A，即
∁U A ={x∣x∈U , 且 x∉A }.
4.集合的运算性质
（1） A ∩A = A，A ∩∅=∅，A ∩B = B∩A.
（2） A ∪A = A，A ∪∅= A，A ∪B = B∪A.
（3） A ∩(∁U A )=∅，A ∪(∁U A )=U，∁U(∁U A )= A.
（4） 德·摩根定律：∁U( A ∩B)=(∁U A )∪(∁U B)，∁U( A ∪B)=(∁U A )∩(∁U B).
【知识拓展：子集个数规律】
若有限集 A 中有 n 个元素，则：
· A 的子集个数为 2
n 个.
· A 的真子集个数为 2
n-1 个.
· A 的非空子集个数为 2
n-1 个.
· A 的非空真子集个数为 2
n-2 个.
三、方法总结
考点一：集合的表示与基本运算
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
· 审清代表元素：第一步必须看清竖线前的代表元素是 x、y 还是有序数对 ( x , y). x
代表求定义域或解不等式，y 代表求值域，( x , y) 代表求两曲线交点.
· 端点精确取舍：求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于 0 和
被开方数非负.在进行交、并、补运算时，开区间的补集端点为闭，闭区间的补集端点为
开.
考法2：利用Venn 图或容斥原理求集合运算
· 德·摩根定律降维：面对复杂的补集与交并集混合运算，如 (∁U A )∩(∁U B)，应优
先利用德·摩根定律将其转化为 ∁U( A ∪B) 进行化简.
· Venn 图直观定位：对于离散型数集，画出Venn 图，从最内层的多个集合交集区域
开始，由内向外逐层推算并填入各个区域的元素.
· 容斥原理公式：解决集合基数（元素个数）问题时，直接应用公式
card( A ∪B)=card( A )+card(B)-card( A ∩B).
考法3：已知集合运算结果逆求参数
· 代入、求解、检验三步法：先根据交集结果将已知元素代入集合中列方程求解，求
出参数的所有可能值后，必须代回原集合，检验是否满足元素的互异性，并确认交集结果
是否恰好为已知集合.
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
· 等价转化交点问题：集合交集只有一个元素，等价于两曲线图象只有一个交点.常利
用分离参数法转化为方程唯一解问题，结合导数研究单调性或数形结合求解.
· 熟记子集计数公式：直接套用 2
n 或 2
n-1 计算子集或真子集个数.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
· 等价转化子集关系：熟练掌握：A ∩B = A ⇔A ⊆B ； A ∪B = B⇔A ⊆B.
· 空集排雷：处理 A ⊆B 且 A 含有参数时，必须首先分类讨论 A =∅ 的情况（如
方程判别式 Δ<0 或一次项系数为 0 导致无解），切记不能漏掉空集.
考法6：利用集合相等与互异性求参数
· 对应分类讨论：根据两个集合相等，对应元素相等列出方程组.由于对应关系不唯一，
需要分情况讨论.
· 互异性排雷：解出参数的所有可能值后，必须代回原集合中检验是否有重复元素，
排除无效解.
考点三：集合的新定义与综合探究
考法7：理解集合新运算求元素或集合
· 规则翻译与试算：面对抽象新定义，先用具体数进行试算以理解运算规则.对于坐标
或和差新定义，通过确定两个自变量范围，用枚举法或排除法列出所有可能组合，再利用
互异性去重.
考法8：基于集合新定义判断性质或求参数
· 性质推导与构造反例：新定义性质判定中，若涉及区间最值，需结合二次函数等在
动区间上的最大、最小值进行作差分析.判断全称命题时，善于构造特殊的极值反例来快
速排除错误选项.
考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值
· 利用整除性缩小范围：当集合划分涉及元素和相等时，首要切入点是计算总和
n(n+1)
2
，利用其必须被相应组数整除的特征，过滤并确定参数 n 的取值边界，进而采用
“从小到大”的枚举验证.
考法10：结合数列性质求集合元素最值
· 极端构造法：若新定义限制了集合元素之间的差值（间距），要求元素个数最多，
应使元素尽可能小且排列紧密.通常构造首项为最小自然数的等差数列模型，利用求和公
式确定元素个数的上限.
四、典题精讲
考点一：集合的表示与基本运算
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
例1.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合A ={ y ∣y = x
2}，B ={x∣2
x≤8}，则A ∩B =（
）
A. [0,3]
B. (3,+∞)
C. (0,3]
D. (-∞,3]
【答案】A
【思路】求解集合运算问题，第一步永远是看清集合的“代表元素”.集合A 的代表元素是y，且
y = x
2，所以集合A 实质上是求二次函数的值域；集合B 的代表元素是x，实质上是解指数不等式.
分别求出两个集合的区间表示后，再利用数轴求交集即可.
【解析】A ={ y ∣y = x
2}={ y ∣y ≥0}=[0,+∞).
B ={x∣2
x≤8}={x∣x ≤3}=(-∞,3].
∴A ∩B ={x∣0≤x ≤3}=[0,3].
对应选项A.
【规律】求解此类问题时，第一步看清代表元素是x还是y（区分是求定义域还是值域）；第二步
分别求出定义域、值域或不等式的解集，将其化为最简形式（通常表示为区间）；第三步利用数
轴求交集或并集，注意端点值的取舍.
考法2：利用Venn 图或容斥原理求集合运算
例2.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集U ={1,2,3,4 ,5,6}，集合A ⊆U ,B⊆U，
且满足：A ∩B ={3,5}，(∁U A )∩(∁U B)={2,4}，则下列说法正确的为（ ）
A. 4∈A
B. 6∈A ∪B
C. 集合A可能是{1,3,5,6}
D. (∁U A )∪(∁U B)={1,2,4 ,6}
【答案】BCD
【思路】面对复杂的补集与交并集混合运算，首先想到利用德·摩根定律进行化简.题目中给出的
(∁U A )∩(∁U B)可以直接转化为∁U( A ∪B)，从而轻松求出A ∪B.结合已知的交集结果，我们
就可以在全集范围内逐一判定各个元素的归属，进而对选项进行判断.
【解析】由题意知(∁U A )∩(∁U B)=∁U( A ∪B)={2,4}，
∴A ∪B ={1,3,5,6}.
对于A，∵A ∪B ={1,3,5,6}，且4∉A ∪B，∴4∉A，A 选项错误；
对于B，∵A ∪B ={1,3,5,6}，∴6∈A ∪B，B 选项正确；
对于C，已知A ∩B ={3,5}，这意味着3,5既属于A 又属于B.若A ={1,3,5,6}，当B ={3,5}时，
A ∪B ={1,3,5,6}，∁U A ={2,4 }，∁U B ={1,2,4 ,6}，此时满足所有已知条件，故C 选项正确；
对于D，∵(∁U A )∪(∁U B)=∁U( A ∩B)，又A ∩B ={3,5}，∴
(∁U A )∪(∁U B)=∁U( A ∩B)={1,2,4 ,6}，D 选项正确.
对应选项BCD.
【规律】处理复杂集合运算时，常利用德·摩根定律进行降维化简：
∁U( A ∪B)=(∁U A )∩(∁U B)，∁U( A ∩B)=(∁U A )∪(∁U B).结合Venn 图，将全集中的元
素逐一填入对应的区域，是解决此类交并补混合运算最直观的方法.
考法3：已知集合运算结果逆求参数
例3.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知a,b∈R，集合A ={1, a
b}，B ={a,b}，
若A ∩B ={2}，则b=（ ）
A. 1
B. 2
C. 2或1
D. 1
2
【答案】B
【思路】已知交集结果为{2}，说明元素2元素必然同时属于集合A 和集合B.我们可以分别让集合
A 和集合B 中含参的元素等于2，从而建立方程求解.求出参数后，千万别忘了代回原集合进行检
验，看看是否满足集合元素的互异性，以及交集是否恰好为{2}.
【解析】已知集合A ={1, a
b}，B ={a,b}，且A ∩B ={2}，
∴2∈A，即a
b =2，a=2b，此时A ={1,2}.
又2∈B，即a=2或b=2.
若a=2，则b=1，此时B ={2,1}，则A ∩B ={1,2}，与A ∩B ={2}矛盾，舍去.
若b=2，则a= 4，此时B ={4 ,2}，A ∩B ={2}，符合条件.
综上所述，b=2.
对应选项B.
【规律】逆向求参数问题的核心步骤：
一“代”：根据交集或并集的结果，确定已知元素，将其代入含参集合列出方程；
二“解”：求解方程，得到参数的所有可能取值；
三“验”：将求得的参数代回原集合，检验是否满足元素的互异性，以及运算结果是否与题意完
全一致.
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
例4.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合A ={( x , y)∣y =e
x , x∈R}，
B ={( x , y)∣y = x +a, x∈R}，A ∩B有且只有2个子集，则实数a=（ ）
A. -e
B. -1
C. 1
D. e
【答案】C
【思路】集合A ∩B有且只有2 个子集，这意味着交集里面只有1 个元素.从图形上看，集合A 和B
分别代表指数函数和直线的图象，交集只有1 个元素等价于这两个函数的图象只有一个交点.我们
可以将问题转化为方程有唯一解的问题，利用导数研究函数的单调性和极值，从而确定参数a的值.
【解析】令e
x = x +a，则a=e
x - x.
记g( x)=e
x - x，则g
'( x)=e
x -1.
当x>0时，g
'( x)>0，g( x)在(0,+ ∞)单调递增；
当x<0时，g
'( x)>0，g( x)在(-∞,0)单调递减.
且当x→+ ∞时，g( x)→+ ∞；x→-∞时，g( x)→+∞，g（0）=1.
因此a=e
x- x只有一个实数根时，a= g（0）=1.
由于A ∩B有且只有2个子集，则A ∩B只有一个元素，故a= g（0）=1.
对应选项C.
【规律】含有n个元素的集合，其子集个数为2
n，真子集个数为2
n-1.当遇到函数图象交点与集合
交集元素个数结合的问题时，常转化为方程根的个数问题.处理含参方程根的个数，最通用的方法
是分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性与极值求解.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
例5.（2024·江西上饶六校联盟·5 月模拟）（多选）设集合A ={x∣3 x
2-2 x -1=0}，
B ={x∣ax -1=0}，若A ∪B = A，则a的值可以为（ ）
A. 1
B. 0
C. - 1
3
D. -3
【答案】ABD
【思路】题目给出A ∪B = A，这实际上是隐晦地告诉我们集合B是集合A的子集.我们可以先解一
元二次方程求出集合A 的所有元素.在求参数a时，一定要警惕一个极易被忽略的陷阱——集合B可
能为空集.我们需要分B为空集和非空集两种情况进行全面讨论.
【解析】集合A ={x∣3 x
2-2 x -1=0}={- 1
3 ,1}.
由A ∪B = A可得B⊆A，则分B =∅或B ={- 1
3 }或B ={1}或B ={- 1
3 ,1}四种情况.
当B =∅时，a=0；
当B ={- 1
3 }时，满足- 1
3 a-1=0，解得a=-3；
当B ={1}时，满足a-1=0，解得a=1；
当B ={- 1
3 ,1}时，显然不符合条件.
∴a的值可以为-3,0,1.
对应选项ABD.
【规律】处理集合包含关系求参数时，必须牢记“空集是任何集合的子集”.首先进行关系转化：
A ∪B = A ⇔B⊆A，A ∩B = A ⇔A ⊆B.其次进行分类讨论，优先考虑子集为空集的情况，再考
虑子集非空的情况，避免漏解.
考法6：利用集合相等与互异性求参数
例6.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合A ={1,a,b}，B ={a
2,a,ab}，若A = B，则
a
3+b
3=＿＿＿＿＿＿.
【答案】-1
【思路】两个集合相等，意味着它们包含的元素完全一样.观察集合A and B，两者都有元素a，那
么剩下的元素必须对应相等.由于对应关系不唯一，我们需要分情况列出方程组.解出参数后，互异
性是检验解是否有效的唯一标准，必须将解代回原集合看是否有重复元素.
【解析】∵A ={1,a,b},B ={a
2,a,ab}, A = B，
∴a≠1且b≠1且a≠0且a≠b.
∴{
a
2=1
ab=b或{
a
2=b
ab=1.
当{
a
2=1
ab=b时，∵a≠1且b≠1，∴{
a=-1
b=0 ，∴a
3+b
3=-1.
当{
a
2=b
ab=1时，解得{
a=1
b=1，∵a≠1且b≠1，∴{
a=1
b=1不成立.
综上可得，a
3+b
3=-1.
【规律】解决集合相等问题，通常根据元素对应相等列出方程组.由于对应方式可能有多种，需要
进行分类讨论.解出参数后，务必将参数代回原集合，利用集合元素的互异性进行排雷检验，剔除
产生重复元素的无效解.
考点三：集合的新定义与综合探究
考法7：理解集合新运算求元素或集合
例7.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合A ={( x , y)∣x
2+ y
2≤1, x , y ∈Z }，
B ={( x , y)∣| x|≤2,| y |≤1, x , y ∈Z }，定义集合
A ⊕B ={( x1+ x2, y1+ y2)∣( x1, y1)∈A ,( x2, y2)∈B}，则A ⊕B中元素的个数为＿＿＿＿＿
＿.
【答案】31
【思路】面对新定义运算，首先要“翻译”规则.本题的新运算实质是将两个集合中点的横纵坐标
分别相加.我们可以先利用列举法找出集合A 和B 中的所有整点，然后分析相加后横纵坐标的整体
取值范围.由于某些极端坐标的组合可能无法同时取到，最后需要用排除法剔除这些不可能的组合.
【解析】由题意，A ={(0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}，
B ={( x , y)∣x∈{-2,-1,0,1,2}, y ∈{-1,0,1}}.
对于集合A ⊕B，其横坐标x1+ x2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}，纵坐标y1+ y2∈{-2,-1,0,1,2}.
但当x1+ x2=±3时，y1+ y2只能取-1,0,1，
所以A ⊕B中元素的个数为7×5-2×2=31.
【规律】解决新定义集合运算问题的关键是“读懂规则，举例试算”.对于坐标类或求和类新运算，
通常先确定各部分的最值范围，得到一个宽泛的可能集合，再利用枚举法或排除法确定最终元素
的个数，计算过程中要特别注意集合元素的互异性，做好去重工作.
考法8：基于集合新定义判断性质或求参数
例8.（2025·福建福九联盟·5 月联考）（多选）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元
素m，则定义Δ( X )= M -m.据此，下列命题中不正确的是（ ）
A. 若X ={-1,1},Y ={0,b}，且Δ( X )= Δ(Y )，则b=2
B. 若X ={x∣f ( x)≥g( x), x∈[-1,1]}, Δ( X )=2，则对任意x∈[-1,1]，都有
f ( x)≥g( x)
C. 若X =[a,a+2],Y ={ y ∣y = x
2, x∈X }，则存在实数a，使得Δ(Y )<1
D. 若X =[a,a+2],Y =[b,b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ( X ∪Y )=3
【答案】ABC
【思路】题目定义了一个集合的“极差”概念Δ( X ).我们需要将这个新定义逐一应用到各个选项
中.对于A 选项，直接计算极差即可；对于B 选项，极差为2 只能说明端点在集合内，中间的点不
一定在，可以尝试构造反例；对于C 选项，涉及二次函数在动区间上的极差，需要结合对称轴和
区间端点分类讨论求最大值和最小值；对于D 选项，考查并集的极差，只需让两个区间重合或包
含即可.
【解析】A 选项，由X ={-1,1},Y ={0,b}，可得Δ( X )=2，Δ(Y )=|b|，因为Δ( X )= Δ(Y )，所
以|b|=2，b=±2，故A 错误；
B 选项，由Δ( X )=2知，-1∈X且1∈X，则f （1）≥g（1）且f (-1)≥g(-1)，但是
f （0）≥g（0）不一定成立，例如：f ( x)= x
2-1，g( x)=- x
2，f (-1)= g(-1)=0，
f （0）=-1，g（0）=0，故B 错误；
C 选项，由X =[a,a+2]，Y ={ y ∣y = x
2, x∈X }，当a+2≤0，即a≤-2时，
Δ(Y )=a
2-(a+2)
2=- 4 a- 4≥4；当-2<a≤-1时，可得Δ(Y )=a
2≥1；当-1<a<0时，可得
Δ(Y )=(a+2)
2>1；当a≥0时，可得Δ(Y )=(a+2)
2-a
2= 4 a+ 4≥4，所以不存在实数a，使得
Δ(Y )<1，故C 错误；
D 选项，由X =[a,a+2]，Y =[b,b+3]，取b=a，可得Δ( X ∪Y )= Δ([a,a+3])=3，对任意实数
a，总存在b使之成立，故D 正确.
对应选项ABC.
【规律】处理新定义性质判断题，需严格按照定义进行逻辑推演.若涉及函数的最值差（极差），
需结合函数的单调性、对称性进行分类讨论；在判断全称命题（“对任意……”）真假时，善于
构造特殊的极值反例来快速排除错误选项.
考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值
例9.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知A ,B ,C为集合M ={1,2,⋯,n}(n∈N
*)
的非空子集，满足：
①A ∩B = A ∩C = B∩C =∅，A ∪B∪C = M；
②{x∈M ∣x =3k ,k ∈N
*}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；
③A ,B ,C中所有元素的和分别为S1,S2,S3，且S1= S2= S3.
则正整数n的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】8
【思路】题目要求将集合M划分成三个互不相交的部分，且三部分的元素和相等.这意味着M中所
有元素的总和必须是3 的倍数.我们可以利用这个必要条件，先写出总和公式，通过整除性质缩小n
的取值范围.然后采用从小到大逐一验证的方法，结合奇偶性和3 的倍数等条件，直到拼凑出满足
所有条件的最小正整数.
【解析】由①知A ,B ,C构成M的一个划分.
由②知B中全为奇数，C中全为偶数，A中包含M中所有3的倍数.
由③知S1= S2= S3，设总和为S，则S =3 S1.
由于S = n(n+1)
2
必须是3的倍数，故n只能是3k或3k +2的形式.
从小到大检验：
若n=2，S =3，S1=1，M ={1,2}，A含3的倍数（无），B全奇，C全偶，无法满足S1= S2= S3=1；
若n=3，S =6，S1=2，M ={1,2,3}，A必含3，此时S1≥3>2，不符；
若n=5，S =15，S1=5，M ={1,2,3,4 ,5}，A必含3，还需元素和为2，只能取2，即A ={2,3}.剩
下奇数1,5给B，S2=6≠5，不符；
若n=6，S =21，S1=7，M ={1,2,3,4 ,5,6}，A必含3,6，此时S1≥9>7，不符；
若n=8，S =36，S1=12，M ={1,2,3,4 ,5,6,7,8}. A必含3,6，还需元素和为3，可取1,2，此时
A ={1,2,3,6}.剩下奇数5,7给B，S2=12.剩下偶数4 ,8给C，S3=12.满足条件.
故正整数n的最小值为8.
【规律】当集合划分问题涉及元素和相等时，首要切入点是计算所有元素的总和，利用总和的整
除性质过滤参数的可能取值.随后采用“从小到大”的枚举验证法，结合集合元素的特定属性（如
奇偶性、倍数关系）进行分配试探.
考法10：结合数列性质求集合元素最值
例10.（单选）已知集合A满足：①A ⊆N，②∀x , y ∈A , x≠y，必有| x - y |≥2，③集合
A中所有元素之和为100，则集合A中元素个数最多为（ ）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
【答案】B
【思路】题目要求集合元素个数最多，且元素之间差的绝对值至少为2.为了在总和为100 的限制
下塞入尽可能多的元素，我们应该让这些元素尽可能小，且排列尽可能紧密.这自然引导我们构造
一个首项为0、公差为2 的等差数列来进行极值探究，算出前几项和，从而确定元素个数的上限.
【解析】对于条件①A ⊆N，②∀x , y ∈A , x≠y，必有| x - y |≥2，
若集合中所有的元素是由公差为2 的等差数列构成，例如\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}，集
合中有11 个元素，
又0+2+ 4 +6+8+10+12+14+16+18+20=110>100，
0+2+ 4 +6+8+10+12+14+16+18=90<100，
则该集合满足条件①②，不符合条件③，
故符合条件③的集合A中元素个数最多不能超过10 个，
故若要集合A满足：①A ⊆N，②∀x , y ∈A , x≠y，必有| x - y |≥2，③集合A中所有元素之和
为100，最多有10 个元素，
例如A ={0,2,4 ,6,8,10,12,15,18,25}.
对应选项B.
【规律】求解集合元素个数的最值问题，常采用“极端假设法”.为了使元素个数最多，应使集合
中的元素尽可能小且紧凑，通常构造等差数列模型，利用求和公式确定边界条件.
五、高考真题
1.（2024·全国一卷）（单选）已知集合A ={x∣-5< x
3<5},B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =
（ ）
A. {-1,0}
B. {2,3}
C. {-3,-1,0}
D. {-1,0,2}
【答案】A
【解析】化简集合A，由交集的概念即可得解.
∵A ={x∣-
3√5< x<
3√5},B ={-3,-1,0,2,3}，且注意到1<
3√5<2，
∴A ∩B ={-1,0}.
故选：A.
2.（2025·全国一卷）（单选）设全集U ={x∣x是小于9的正整数}，集合A ={1,3,5}，则
∁U A中元素个数为（ ）
A. 0
B. 3
C. 5
D. 8
【答案】C
【解析】根据补集的定义即可求出.
∵U ={1,2,3,4 ,5,6,7 ,8}，
∴∁U A ={2,4 ,6,7 ,8}，∁U A中的元素个数为5.
故选：C.
3.（2026·全国一卷）（单选）已知集合A ={sin 7 π
6 ,cos 5 π
3 ,tan 5 π
4 }，B ={-
❑√3
2 ,- 1
2 ,1}，
则A ∩B =（ ）
A. {-
❑√3
2 ,- 1
2}
B. {-
❑√3
2 ,1}
C. {- 1
2 ,1}
D. {-
❑√3
2 ,- 1
2 ,1}
【答案】B
【解析】∵sin 7 π
6 =sin(π + π
6)=-sin π
6 =- 1
2，
cos 5 π
3 =cos(2π - π
3)=cos π
3 = 1
2，
tan 5 π
4 = tan(π + π
4)= tan π
4 =1，
∴集合A ={- 1
2 , 1
2 ,1}.
又B ={-
❑√3
2 ,- 1
2 ,1}，
∴A ∩B ={- 1
2 ,1}.
故选：C.
