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第4 讲 基本不等式及其应用· 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1. 基本不等式......................................................................................................................... 2
2. 几个重要的不等式.............................................................................................................2
3. 均值定理............................................................................................................................. 3
4. 常见求最值模型.................................................................................................................3
三、方法总结......................................................................................................................................3
考点一：基本不等式的理解与证明......................................................................................3
考点二：基本不等式求最值..................................................................................................4
考点三：基本不等式的综合应用..........................................................................................5
四、典题精练......................................................................................................................................5
考点一：基本不等式的理解与证明......................................................................................5
考点二：基本不等式求最值..................................................................................................7
考点三：基本不等式的综合应用..........................................................................................8
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考查内容
2026
第18 题解答
题
约4
分
间接考查（在解析几何题中利用基本不等式求正切值最小
值）
2025
第19 题解答
题
约4
分
间接考查（在导数综合题中利用多元基本不等式放缩求最
值）
2024
第18 题解答
题
约3
分
间接考查（在导数题中利用基本不等式求导函数的最小
值）
近三年全国一卷中，基本不等式均未以独立试题直接考查，而是作为核心代数变形与
放缩工具，自然融入到解析几何、导数等解答题的压轴环节中.
2. 命题角度与特色
核心考点：基本不等式的结构识别、条件验证（一正、二定、三相等）及最值求解.
命题趋势：近三年未直接考查，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.基本不
等式已完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求面积、斜率、角度的最值，或导函数的
最值）的关键步骤.
试题特点：隐蔽性极强.例如2026 年第18 题，在求出正切值表达式后，需识别出“对
勾函数”结构并自然使用基本不等式；2024 年第18 题，在求导后需利用基本不等式对二
次分式结构进行放缩求出最小值.在2025 年第19 题的另解中，甚至出现了利用五元基本不
等式进行高阶放缩的极端考法.
3. 备考策略
· 强调作为基础工具的重要性，建议在复习解析几何、导数等模块时同步强化基本不
等式的应用意识.
· 熟练掌握凑配法、换元法、“1”的代换等代数变形技巧，确保在综合题中能快速构
造出使用基本不等式的条件.
· 严格养成检验“等号成立条件”的习惯，避免在解答题关键步骤中因取不到等号而
失分.
二、知识清单
1. 基本不等式
如果a>0,b>0，那么
❑√ab≤a+b
2 ，当且仅当a=b时，等号成立.其中，a+b
2 叫作a,b的
算术平均数，❑√ab叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.
· 基本不等式1：若a,b∈R，则a
2+b
2≥2ab，当且仅当a=b时取等号；
· 基本不等式2：若a,b∈R
+，则a+b
2
≥❑√ab（或a+b≥2❑√ab），当且仅当a=b时取等
号.
【易错提醒】基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，
“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.连续使用不等式
要注意取等条件必须一致，否则无法同时取到最值.
2. 几个重要的不等式
· a
2≥0(a∈R),❑√a≥0(a≥0),|a|≥0(a∈R).
· 基本不等式：如果a,b∈R
+，则a+b
2
≥❑√ab（当且仅当“a=b”时取“=”）.
· 特例：a>0,a+ 1
a ≥2；a
b + b
a ≥2（a,b同号）.
· 其他变形：
① a
2+b
2≥(a+b)
2
2
（沟通两和a+b与两平方和a
2+b
2的不等关系式）
② ab≤a
2+b
2
2
（沟通两积ab与两平方和a
2+b
2的不等关系式）
③ ab≤(
a+b
2 )
2
（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）
④ 重要不等式串：
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
（a,b∈R
+）即调和平均值 ≤ 几何
平均值 ≤ 算数平均值 ≤ 平方平均值（注意等号成立的条件）.
3. 均值定理
已知x , y ∈R
+.
· 如果x + y = S（定值），则xy ≤(
x + y
2 )
2
= S
2
4 （当且仅当“x = y”时取“=”）.即“和
为定值，积有最大值”.
· 如果xy = P（定值），则x + y ≥2❑√xy =2❑√P（当且仅当“x = y”时取“=”）.即“积
为定值，和有最小值”.
4. 常见求最值模型
· 模型一：mx + n
x ≥2❑√mn（m>0,n>0），当且仅当x = ❑√
n
m时等号成立.
· 模型二：mx +
n
x -a =m( x -a)+
n
x -a +ma≥2❑√mn+ma（m>0,n>0），当且仅当
x -a= ❑√
n
m时等号成立.
· 模型三：
x
a x
2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2❑√ac+b（a>0,c>0），当且仅当x = ❑√
c
a时等号成
立.
· 模型四：x(n-mx)= mx(n-mx)
m
≤1
m ⋅(
mx +n-mx
2
)
2
= n
2
4 m（m>0,n>0,0< x< n
m），当
且仅当x = n
2m时等号成立.
三、方法总结
考点一：基本不等式的理解与证明
考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件
· 处理含不等式的充要条件判断时，举反例是说明不充分或不必要的快捷手段；证明
成立则需利用不等式的性质或基本不等式进行严密推导.
· 应用基本不等式求最值或判断大小关系时，必须严格检验“一正、二定、三相等”
三个条件是否同时满足，切忌盲目套用公式.
考法2：利用几何意义理解基本不等式
· 基本不等式的几何证明常依赖于圆、直角三角形等基本图形.
· 通过将代数式赋予几何意义（如线段长、面积等），利用几何图形的固有性质（如
斜边大于直角边、半径大于半弦等）可直观得出不等关系结论.
考法3：利用基本不等式证明不等式
· 证明不等式时，若条件为乘积形式，常将其代入目标式中转化为和的形式再进行放
缩.
· 多次连用基本不等式并相乘或相加时，必须确保各不等式取等号的条件能够同时满
足.
· 若涉及一次式与平方和的关系，柯西不等式是极其有力的工具，需注意构造对应系
数.
考点二：基本不等式求最值
考法4：利用直接法求和与积的最值
· 处理“和积混合”的等式条件时，牢记两个核心转化：一是将x + y替换为2❑√xy求积
的范围；二是将xy替换为( x + y)
2
4
求和的范围.转化后解一元二次不等式即可.
· 灵活运用基本不等式的各种变形形式（如a
2+b
2≥(a+b)
2
2
）是快速判断和求解的关键.
考法5：利用凑配法求最值
· 对于形如a x
2+bx +c
dx +e
的分式求最值，通用做法是令分母为t，将分子用t表示，分离常
数后转化为At + B
t +C的形式，最后利用基本不等式求解.
· 通过观察分母特征，提取常数构造出和为定值的两项，再利用基本不等式是解决此
类题目的标准流程.
考法6：利用“1”的代换求最值
· “乘1 法”是解决条件最值问题的经典技巧.当遇到ax +by =c求m
x + n
y 的最值，或已
知m
x + n
y =c求ax +by的最值时，均可构造“1”代入展开并应用基本不等式.
· 遇到“和等于积”的条件，优先考虑两边同除以积，转化为倒数和为定值的形式，
再利用“乘1 法”求解.
考法7：利用换元法与消元法求最值
· 消元法是求最值的基本方法之一，将双变量问题转化为单变量问题后，再利用基本
不等式求解.
· 处理齐次多项式的比值问题，常通过分子分母同除以最高次项转化为单变量问题.若
转化后仍较复杂，可寻找整体结构进行二次换元，并结合函数的单调性（如对勾函数）求
解最值.
考点三：基本不等式的综合应用
考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值
· 基本不等式与指数结合时，利用指数运算法则将和转化为指数上的乘积，如
a
x+a
y≥2
❑√a
x + y进行转化.
· 与对数结合时，利用对数运算法则将和转化为积，再利用基本不等式求真数的最值.
· 与三角函数结合时，常利用平方和为1（如sin
2 x +cos
2 x =1）的隐藏条件进行“1”
的代换与凑配.
考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合
· 处理恒成立问题时，常先通过分离参数或判别式法得到参数满足的约束条件，再在
此约束下利用基本不等式求最值.
· 若涉及不同次幂的乘积，可考虑拆项并使用多元基本不等式（如三元基本不等式）
进行放缩构造.
考法10：利用基本不等式解决实际问题
· 在解决实际优化问题时，建立正确的函数模型是第一步，常涉及平均成本、总利润、
总造价等模型的构建.
· 应用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否符合实际意义（即是否在
自变量的取值范围内）.若不在范围内，则需结合函数的单调性在边界处取得最值.
四、典题精练
考点一：基本不等式的理解与证明
考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件
例1.（2026·随州·三模）已知a>0，b>0，则“a+b>2”是“1
a + 1
b <2”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
考法2：利用几何意义理解基本不等式
例2.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形，在等
腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设
AD =a，BD =b，用该图形能证明的不等式为（ ）
A. a+b
2
≥❑√ab(a>0,b>0)
B. 2ab
a+b ≤❑√ab(a>0,b>0)
C. a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
D. a
2+b
2≥2ab(a>0,b>0)
考法3：利用基本不等式证明不等式
例3.（2024·河南·阶段练习）已知x，y，z为正数，证明：
（1）若xyz =2，则1
x + 1
y + 1
z ≤x
2+ y
2+ z
2
2
；
（2）若2 x + y +2 z =9，则x
2+ y
2+ z
2≥9.
考点二：基本不等式求最值
考法4：利用直接法求和与积的最值
例4.（多选）已知x>0，y >0，且x + y - xy +3=0，则下列说法正确的是（ ）
A. 3< xy ≤12
B. x + y ≥6
C. x
2+ y
2≥18
D. 0< 1
x + 1
y ≤1
3
考法5：利用凑配法求最值
例5.若x>1，则x
2+2 x +2
x -1
的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法6：利用“1”的代换求最值
例6.（2026·十堰·一模）已知正数x , y满足x + y = xy，则x + 4 y的最小值为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
考法7：利用换元法与消元法求最值
例7.已知x>0, y >0，求
2 xy
x
2+ 4 y
2 +
xy
x
2+ y
2的最大值.
考点三：基本不等式的综合应用
考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值
例8.（2026·铜陵·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若x<1，则函数y = x +
1
x -1的最小值为3
B. 若x +2 y =3，则2
x+ 4
y的最小值为
4 ❑√2
C. 函数y =
2
sin
2 x
+
1
cos
2 x 的最小值为3+2❑√2
D. 若x>0, y >0，且x +2 y =2，则
( xy )max = 1
2
考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合
例9.（2026·常德·一模）已知实数b>0，若对任意的x∈R，x
2-ax +2-b≥0恒成立，则ab
的最大值为（ ）
A. 4 ❑√6
9
B. 8 ❑√6
9
C. 10 ❑√6
9
D. 4 ❑√6
3
考法10：利用基本不等式解决实际问题
例10.（2024·孝感·开学考试）截至2022 年12 月12 日，全国新型冠状病毒的感染人数突
破44200000 人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
【图片】
（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验
阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t )（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的
变化用指数模型c(t )=c0e
-kt描述，假定某药物的消除速率常数k =0.1（单位：h
-1），刚注
射这种新药后的初始血药含量c0=2000 mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于
1000 mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有
疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln 2≈0.693，ln3≈1.099）
（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面
积为48a平方米（a>0），侧面长为x米，且x不超过8，房高为4 米.房屋正面造价400
元/平方米，侧面造价150 元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多
少时，总价最低？
