文档文本内容
【第7 讲：函数的奇偶性】
一．奇函数偶函数的判断（共7 小题）
二．奇函数偶函数的性质（共12 小题）
三．奇偶函数图象的对称性（共10 小题）
四．奇偶性与单调性的综合（共9 小题）
五．抽象函数的奇偶性（共8 小题）
【知识点清单】
1．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
2．奇函数偶函数的判断
【知识点的认识】
奇函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f
（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
偶函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）
就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0 的部分的函数表达式，求它的小于0 的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0 时，f
（x）＝x2+x
题型梳理
总览
那么当x＜0 时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c 是多少？
②结合函数图象关于y 轴对称求函数与x 轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝
0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x 轴至少有几个交点．
3．奇函数偶函数的性质
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
4．奇偶函数图象的对称性
【知识点的认识】
奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m 时，
f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y 轴对称，它的特点是当f（x）＝n 时，f（﹣x）＝n．
【解题方法点拨】
由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7 和4，求函数f（x）在区
间[﹣3，﹣1]内的最值．
解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，
那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4
【命题方向】
本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函
数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x 轴交点的个数，求在更
大范围内它与x 轴的交点个数，同学们务必多多留意．
5．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是
要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f
（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，
0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图
象特点是关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
6．抽象函数的奇偶性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数
表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题
和小题为主，要引起重视．
7．抽象函数的周期性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数
表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题
和小题为主，要引起重视．
一．奇函数偶函数的判断（共7 小题）
1．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO 的比赛，其中某位同学利用函
数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A．f（x）＝x+cosx
B．f（x）＝sinx﹣xcosx
C．f ( x)= x
2+ 1
x
2
D．f（x）＝sinx+x3
2．下列函数是奇函数的是（ ）
A．f（x）＝lnx
B．f（x）＝﹣x2
C．f（x）＝3x
D．f ( x)=lg 1−x
1+ x
3．设函数f ( x)= x +
1
x +1，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f（x﹣1）+1
B．f（x+1）+1
C．f（x﹣1）﹣1
D．f（x+1）﹣1
4．已知函数f（x）＝aex﹣e﹣x（a 为常数），则（ ）
A．∀a∈R，f（x）为奇函数
B．∃a∈R，f（x）为偶函数
C．∀a∈R，f（x）为增函数
D．∃a∈R，f（x）为减函数
5．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．f（x）＝x3﹣3x2
知识讲解与常考题型
题型分类
B．f（x）＝|2x﹣1|
C．f（x）＝xtanx
D．f ( x)={
x +1，x＞0
x−1，x＜0)
6．已知函数f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，则（ ）
A．f（x+1）为奇函数
B．f ( x + 1
2 )为偶函数
C．f（x﹣1）为奇函数
D．f ( x−1
2 )为偶函数
（多选）7．已知函数f ( x)=ax−lo g2(4
x+1)(a∈R)，则（ ）
A．当a＝1 时，函数f（x）为奇函数
B．当a＝1 时，函数f（x）为偶函数
C．当a＝2 时，函数f（x）的值域为（﹣∞，0）
D．当a＝2 时，函数g（x）＝2f（x）的图象关于点(0，1
2 )成中心对称
二．奇函数偶函数的性质（共12 小题）
8．设f（x）是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当2≤x≤3 时，f（x）＝5﹣2x，则f（−3
4 ）＝（ ）
A．−1
2
B．−1
4
C．1
4
D．1
2
9．若函数f（x）＝ln|ex﹣1|+mx 为偶函数，则实数m＝（ ）
A．1
B．1
2
C．﹣1
D．−1
2
10．已知f ( x)= a−2
x
2
x +1−2
是奇函数，则a＝（ ）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
11．函数f（x）为定义在R 上的奇函数，当x＞0 时，f（x）＝log2x+2x+1，则f（﹣8）＝（ ）
A．20
B．21
C．﹣20
D．﹣21
12．函数f ( x)=lg( x +
❑√1+ x
2)+sin 2 x + 4在[﹣2025，2025]上的最大值和最小值之和为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．4050
13．已知f（x）为R 上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f ( x)=lo g2 x−4
x，则f (−1
2 )=（ ）
A．﹣3
B．3
C．﹣2
D．2
14．已知函数f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a 是偶函数，则实数a＝（ ）
A．e
B．1
C．2
D．4
15．已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f（2x﹣1）＝x，若f（m）＝﹣2，则f（m+4）＝
（ ）
A．2
B．log23
C．1
D．﹣1
16．若f ( x)= ln|a+
1
1−x |+b是奇函数，则（ ）
A．a= 1
2，b＝﹣ln2
B．a=−1
2，b＝ln2
C．a＝﹣2，b＝0
D．a＝0，b＝0
17．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），已知f（2x+1）和g
（x+2）都是偶函数，且g（2）＝1，则∑
k =0
2025
g(k )的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2025
D．﹣2025
18．已知函数f ( x)=(2 x +a)|ln( 1−x
1+ x )|是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1
D．2
19．已知函数f（x）＝（a•2x+2﹣x）sinx 是奇函数，则a＝ ．
三．奇偶函数图象的对称性（共10 小题）
20．若曲线f ( x)=
a
3
x−1+1关于点（1，﹣2）中心对称，则a＝（ ）
A．3
B．4
C．﹣3
D．﹣4
21．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，则以下函数中图象关于x＝1 对称的是（ ）
A．y＝（x﹣1）f（x﹣1）
B．y＝（x+1）f（x+1）
C．y＝xf（x）+1
D．y＝xf（x）﹣1
22．已知函数f（x）＝（x﹣a）2（x﹣b）的图象关于点（0，y0）对称，则（ ）
A．a+2b＝0
B．2a+b＝0
C．y0=( b−a
2
)
3
D．y0=( a−b
2
)
3
23．已知函数f ( x)=(a−
2
3
x+1
)x
2的图象关于原点对称，则a＝（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
24．已知函数f（x）为R 上的奇函数，若函数y＝g（x+2）与y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称，则g
（4）＝（ ）
A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣2
25．若函数f ( x)= ln x +a
x +1 + x的图象关于（2，2）对称，且a≠1，则实数a＝（ ）
A．﹣5
B．﹣1
C．0
D．5
26．已知函数f ( x)= 3 x +1
x
+e
x−e
−x，定义域为R 的函数g（x）满足g（﹣x）+g（x）＝6，若函数y＝f
（x）与y＝g（x）的图象有四个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则
∑
i=1
4
( xi+ yi)=（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
27．已知函数f（x）定义域为R，且满足f（x）＝6﹣f（﹣x），g( x)= f ( x)−f (−x)
2
+3，若f（x）的图
象与g（x）的图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑
i=1
m
( xi+ yi)=（ ）
A．0
B．m
C．2m
D．3m
28．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝2，若函数g( x)=
x
x−2与f（x）的图象的交点
为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则y1+y2+…+ym＝（ ）
A．m
2
B．m
C．2m
D．4m
29．已知函数f（x）＝ln（ex+1）+kx（k∈R）是偶函数，则（ ）
A．f（log0.20.3）＞f（log20.3）＞f（k）
B．f（k）＞f（log20.3）＞f（log0.20.3）
C．f（log20.3）＞f（log0.20.3）＞f（k）
D．f（log0.20.3）＞f（k）＞f（log20.3）
四．奇偶性与单调性的综合（共9 小题）
30．已知函数f（x）＝sin（2x﹣2）﹣e1﹣x+ex﹣1+2，（x∈R）．若f（2a2）+f（1﹣a）＜4，则实数a 的取
值范围为（ ）
A．(−1
2 ，1)
B．(−∞，−1
2 )∪(1，+ ∞)
C．(−1，1
2 )
D．(−∞，−1)∪( 1
2 ，+∞)
31．若函数f ( x)= ln 1−x
1+ x −sinx，则关于a 的不等式f（a2+a）+f（a﹣a2﹣1）＞0 的解集是（ ）
A．( 1
2 ，+∞)
B．(−∞，1
2 )
C．( 1
2 ，
❑√5−1
2
)
D．(0，1
2 )
32．定义在R 上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），且f（x）在[﹣2，2]上单调递增．设a= f ( 7
4 )，
b= f ( 7
2 )，c＝f（﹣13），则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
33．已知函数f ( x)={
e
−x−1，x ≤0
1−e
x，x＞0)，则f（2x）+f（x﹣3）＞0 的解集是（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）
D．（﹣3，+∞）
34．函数f（x）的定义域为R，对任意的x∈[1，+∞），t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立，且函
数f（x+1）为偶函数，则（ ）
A．f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（2）
B．f（﹣2）＜f（2）＜f（﹣1）
C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣2）
D．f（﹣1）＜f（2）＜f（﹣2）
35．已知函数f（x）＝3x3﹣2x+ex﹣e﹣x+1，若f（2a﹣3）+f（a2）≤2，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[﹣3，1]
B．[﹣1，3]
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
36．若定义在R 上的奇函数f（x），对∀x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2有
f ( x1)−f ( x2)
x2−x1
＞0，且f（2）
＝0，则满足xf（x﹣1）≥0 的x 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞）
B．[﹣1，0]∪[1，3]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞）
D．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
37．已知函数f ( x)= ln(
❑√x
2+1−x)−3 x +2（e 是自然对数的底数），若f（x﹣6）+f（x2）＞4，则实数
x 的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）
B．（﹣3，2）
C．（﹣∞，3）
D．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）
38．函数f ( x)={
2−lo g2(−x +2)，0≤x＜2
2−f (−x)，−2＜x＜0 )，若f（1﹣a）＜f（a），则实数a 的取值范围是（ ）
A．[−1
2 ，1)
B．( 1
2 ，+∞)
C．(−∞，1
2 )
D．( 1
2 ，2)
五．抽象函数的奇偶性（共8 小题）
39．已知f（x）是定义在R 上不恒为0 的函数，f（x+1）为奇函数，f（2x﹣1）为偶函数，则（ ）
A．f（﹣3）＝0
B．f（0）＝0
C．f（2）＝0
D．f（4）＝0
40．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x﹣1），且f（x﹣1）是奇函数，则下列结论错误
的是（ ）
A．f（﹣1）＝0
B．f（0）＝f（2）
C．f（﹣4）＝f（4）
D．f（11）＝﹣1
41．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，且f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（0）＝
1，则∑
k =0
2025
f (k )=（ ）
A．﹣2
B．1
C．0
D．﹣1
42．已知函数f（x）的定义域为R，函数y＝f（x+3）+2 是奇函数，则∑
i=1
5
f (i)=（ ）
A．﹣10
B．﹣5
C．5
D．10
43．定义在R 上的函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x+2）为奇函数，已知当0≤x≤1 时，f
（x）＝ex﹣1，则下列结论错误的是（ ）
A．f（x+4）＝f（x）
B．f（x）在区间[9，11]上单调递减
C．f ( 1
3 )＜f ( 7
4 )
D．∑
i=1
2025
f (i)=e−1
44．已知定义在R 上的函数f（x）满足f（2x+1）为奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2 对称，则
∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
45．设f（x），g（x）是定义在R 上的函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（f（x））为偶函数，则f（x）为偶函数
B．若f（f（x））为奇函数，则f（x）为奇函数
C．若f（x）为单调函数且f（g（x））为周期函数，则g（x）为周期函数
D．若f（g（x））为单调函数且g（x）为单调函数，则f（x）为单调函数
46．已知函数f（x）的定义域是R，f ( 3
2 + x)是偶函数，f（x）+f（6﹣x）＝0，当0≤x ≤3
2时，f（x）＝4x
﹣2x2，则f（2024）＝（ ）
A．﹣2024
B．2024
C．﹣2
D．2
一、单选题
1．设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知定义在
上的偶函数
满足
，且在
上为增函数，
，
，
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是定义在
上不恒为
的函数，
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
是定义在
上的偶函数，且
，若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．8
D．10
6．函数
是定义域为
的偶函数，
且
，恒有
，若
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
是定义在R 上的奇函数，且
，若对任意的
，
，均有
成
立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
课后针对训练
二、多选题
8．定义在
上的奇函数
满足
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
是
图象的一个对称中心
D．
为偶函数
三、填空题
9．已知
是奇函数，
是偶函数，且
，则
，
．
10．已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
．若对任意
，
恒成立，则实数t 的取值范围为 ．
11．已知
是定义在
上的函数，
，且函数
为奇函数，
为偶函数，则
．
12．已知
且
，若函数
为偶函数，则
．
13．已知定义在R 上的偶函数
在
上是增函数，不等式
对任意
恒成
立，则实数a 的取值范围是 ．
14．研究下列函数的对称性：
（1）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（2）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（3）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（4）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（5）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（6）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（7）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（8）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（9）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（10）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（11）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（12）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（13）若
的图象关于点
对称，则
图象的对称中心是 ；
（14）若
的图象关于直线
对称，则
图象的对称轴是 ；
（15）
的图象关于直线 对称；
（16）
的图象关于点 对称．
四、解答题
15．判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
16．已知定义域都为
的函数
与
满足：
是奇函数，
是偶函数，
.
(1)求函数
与
的解析式；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
17．①若
是偶函数，且
是偶函数，则
有何特性？
②若
是奇函数，且
是奇函数，则
有何特性？
③若
是偶函数，且
是奇函数，则
有何特性？
④若
是奇函数，且
是偶函数，则
有何特性？
18．已知定义域为
的函数
是奇函数．
(1)求实数
的值；
(2)判断并证明
的单调性；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
