专题04
直线的方程压轴题（解析版）
1.直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋
转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直
线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．
2.直线的斜率
(1)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．常用k 表示，即k＝tanα.
(2)过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，当x1≠x2 时，斜率公式k＝tanα＝y2－y1
x2－x1
；当x1＝x2 时，直线的斜率
不存在，此时直线的倾斜角为90°.
3.直线方程的五种基本形式
名称
方程
适用范围
点斜式
)
(
0
0
x
x
k
y
y
不含直线x＝x0
斜截式
b
kx
y
不含垂直于x 轴的直线
两点式
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
1
b
y
a
x
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
0
c
by
ax
平面直角坐标系内的直线都适用
4.两条直线的位置关系
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0(A2B2≠0 时，A1
A2
≠B1
B2
)
垂直
k1＝－1
k2
或k1k2＝－1
A1A2＋B1B＝0(当B1B2≠0 时，A1
B1
·A2
B2
＝－1)
平行
k1＝k2 且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0
B2C1－B1C2≠0 或
A1B2－A2B1＝0
A2C1－A1C2≠0 (当A2B2C2≠0，记为A1
B1
＝
A2
B2
≠C1
C2
)
重合
k1＝k2 且b1＝b2
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)
(当A2B2C2≠0，记为A1
B1
＝A2
B2
＝C1
C2
)
5.两条直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
两条直线的交点坐标就是方程组
A1x＋B1y＋C1＝0，
A2x＋B2y＋C2＝0
的解，
若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
6.平面上的几种距离：
(1) 两点间的距离：平面上的两点A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) 间的距离公式：d(A ，B) ＝AB ＝
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（x1－x2）2＋（y1－y2）2.
(2) 点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝|Ax1＋By1＋C|
A2＋B2
.
(3) 两条平行线间的距离：两条平行线Ax＋By＋C1＝0 与Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝|C1－C2|
A2＋B2.
类型一直线的倾斜角和斜率
例1(1).设点
3
(2,
)
A
､
( 3, 2)
B
，若直线l 过点
(1,1)
P
且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（
）
A．
3
4
k
或
4
k
B．
3
4
k
或
1
4
k
C．
3
4
4
k
D．
3
4
4
k
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：
依题意，
3 1
2 1
3
4,
2 1
3 1
4
PA
PB
k
k
，
要想直线l 过点
(1,1)
P
且与线段AB 相交，
则
3
4
k
或
4
k ，
故选：A
(2).直线
2
1
2
1
0
a
x
ay
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
π
0, 4
B．π π
,
4 2
C．π 3π
,
4
4
D．
π
3π
0,
,π
4
4
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
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【详解】由题意知,若a = 0 ,则倾斜角为
π
2
,
若
0
a
,则
2
1
1
2
2
2
a
a
k
a
a
,
①当
0
a
时，
1
1
2
1
2
2
2 2
a
a
a
a
(当且仅当
1
a 时，取“ ”)，
②当a<0 时，
1
1
2
1
2
2
2
2
a
a
a
a
(当且仅当
1
a 时，取“ ”)，
, 1
1,
k
，故
π π
π 3π
,
,
4 2
2
4
，
综上，
π 3π
,
4
4
，
故选：C.
(3).已知直线1 :
1
0
l
x
y
，动直线
2 :
1
0
R
l
k
x
ky
k
k
，则下列结论错误的是（
）
A．存在k ，使得2l 的倾斜角为2
；
B．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点；
C．对任意的k ，1l 与2l 都不重合；
D．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直；
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立1l 与2l 的方程，由(2
1)
0
k
x
恒有解判断B；取
1
2
k
时，1l 与2l 重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D.
【详解】解：当
0
k
时，2l 的倾斜角为2
，此时2l 的方程为
0
x
，故A 正确；
联立方程组
1
0
1
0
x
y
k
x
ky
k
，得(2
1)
0
k
x
，此方程恒有解，
故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，B 正确；
当
1
2
k
时，
1
1
1
1
k
k
k
，此时1l 与2l 重合，故C 错误；
因为1 :
1
0
l
x
y
的斜率为1，当
0
k
时，1l 与2l 不垂直；
当
0
k
时，2l 的斜率
1
1
1
1
k
k
k
，所以对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，D 正确；
故选：C.
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(4).已知直线斜率为k，且1
3
k
，那么倾斜角的取值范围是（
）
A．
3
0,
,
3
2
4
B．
3
0,
,
3
4
C．
3
0,
,
6
2
4
D．
3
0,
,
6
4
【答案】B
【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.
【详解】解：直线l 的斜率为k，且1
3
k
，
∴1
tan
3
，
[0, )
.
∴
3
0,
,
3
4
.
故选：B.
练习题
例2(1).直线
5
cos
sin
0,
0, 6
x
y
的斜率的取值范围为（
）
A．
, 3
B．
2,
C．
,0
0, 3
D．
,2
【答案】A
【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.
【详解】由
5
cos
sin
0,
0, 6
x
y
可得直线的斜率为：
cos
sin
k
.
当
2
时，
0
k
；
当
5
0,
,
2
2
6
时，
1
tan
k
，
因为
5
0, 6
，所以
3
tan
,
0,
3
,
所以
,
1
ta
0,
n
0
3
k
；
所以
, 3
k
.
故选：A
(2).1949 年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均
各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以
大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4 分别是大星中心点与四颗小星中心点的连
接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（
）
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A．0°
B．1°
C．2°
D．3°
【答案】C
【分析】根据5 颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3 作x 轴的平行线O3E 并确定∠OO3E 的大小，即可知
AB 所在直线的倾斜角.
【详解】∵O，O3 都为五角星的中心点，
∴OO3 平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，
过O3 作x 轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.
故选：C
(3).设直线1
1
1
1
:
0
l
a x
b y
c
（
1a 、
1b 不同时为零），2
2
2
2
:
0
l
a x
b y
c
（
2a 、
2b 不同时为零），则“ 1l 、2l 相
交”是“
1 2
2 1
a b
a b
”的（
）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】分
1
2
,
b b 均不为0 和
1
2
,
b b 有且只有一个为0 两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.
【详解】当直线斜率都存在即
1
2
,
b b 均不为0 时，若“ 1l 、2l 相交”，则两直线的斜率不相等，得
1
2
1
2
a
a
b
b
，
即
1 2
2 1
a b
a b
，当直线斜率有一个不存在即
1
2
,
b b 有且只有一个为0 时，
1 2
2 1
a b
a b
也成立，故充分性成立；
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反之，
1
2
,
b b 均不为0 时，若“
1 2
2 1
a b
a b
”，则
1
2
1
2
a
a
b
b
，则两直线的斜率不相等，即1l 、2l 相交，1
2
,
b b 有且
只有一个为0 时，1l 、2l 也相交，故必要性成立；综上，则“ 1l 、2l 相交”是“
1 2
2 1
a b
a b
”的充要条件，
故选：C.
(4).已知直线
:
1
2
0
l x
a
y
，2 : 3
0
l
bx
y
，且1
2
l
l
，则
2
2
a
b
的最小值为（
）
A．1
4
B．
1
2
C．
2
2
D．13
16
【答案】A
【分析】由两直线垂直得到
1
3
a
b
，再代入消元利用二次函数的性质求解.
【详解】解：1
2
l
l
，则
3
1
0
b
a
，∴
1
3
a
b
，
所以
2
2
2
2
1
3
a
b
b
b
2
4
2 3
1
b
b
，
二次函数的抛物线的对称轴为
2 3
3
2 4
4
b
，
当
3
4
b
时，
2
2
a
b
取最小值1
4 .
故选：A．
(5).直线sin
2
0
x
y
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
0,π
B．
π
3π
0
,π
4
4
,
C．
π
0, 4
D．
π
π
0,
,π
4
2
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得1
tan
1
.分两种情况
π
0, 2
时以及
π ,π
2
时，结合
正切函数的性质求解即可得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为.
因为，1
sin
1
，
sin
k
，所以，1
1
k
.
又
tanθ
k =
，则1
tan
1
.
当
π
0, 2
时，
tan
f
单调递增，解1
tan
1
，可得
π
0
4
；
当
π ,π
2
时，
tan
f
单调递增，解1
tan
1
，可得3π
π
4
.
综上所述，
π
3π
0
,π
4
4
,
.
故选：B.
类型二直线的方程
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例2(1).设A 、B 是y 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA
PB
，若直线PA 的方程为
1
0
x
y
，则
直线PB 的方程为（
）
A．
5
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．2
7
0
x
y
D．
3
0
x
y
【答案】A
【分析】根据直线PA 的方程，确定出PA 的倾斜角，利用PA
PB
且A 、B 在y 轴上，可得PB 的倾斜角，
求出P 的坐标，然后求出直线PB 的方程．
【详解】解：由于直线PA 的方程为
1
0
x
y
，故其倾斜角为45，
又|
| |
|
PA
PB
，且A 、B 是y 轴上两点，故直线PB 的倾斜角为135，
又当
2
x
时，
3
y ，即
(2,3)
P
，
直线PB 的方程为
3
(
2)
y
x
，即
5
0
x
y
．
故选：A．
(2).已知
1
1
1
,
P a b 与
2
2
2
,
P a b
是直线
2
y
kx
（k 为常数）上两个不同的点，则关于1
1
1
:
2
0
l
a x
b y
和
2
2
2
:
2
0
l
a x
b y
的交点情况是（
）
A．无论k ，
1P ，
2P 如何，总有唯一交点B．存在k ，
1P ，
2P 使之有无穷多个交点
C．无论k ，
1P ，
2P 如何，总是无交点
D．存在k ，
1P ，
2P 使之无交点
【答案】A
【分析】根据
1,
P
2P 在直线
2
y
kx
可得
2
1,2
i
i
b
ka
i
，从而可得1
2
,
l l 有唯一交点，从而可得正确的选
项.
【详解】因为
1
1
1
,
P a b 与
2
2
2
,
P a b
是直线
2
y
kx
（k 为常数）上两个不同的点，
所以
2
1,2
i
i
b
ka
i
即
1 2
0
1,2
i
i
a
k
b
i
，
故
,1
k
既在直线1l 上，也在直线2l 上.
因为
1
1
1
,
P a b 与
2
2
2
,
P a b
是两个不同的点，故1l 、2l 不重合，
故无论k ，
1P ，
2P 如何，总有唯一交点
,1
k
.
故选：A.
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(3).数学家欧拉在1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线
已知ABC
的顶点
2,0 ,
0,4
A
B
，若其欧拉线的方程为
2
0
x
y
，则顶点C 的坐标为
A．
4,0
B．
3, 1
C．
5,0
D．
4, 2
【答案】A
【分析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和
欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐
标
【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为2
4
,
3
3
m
n
代入欧拉线方程得：
2
4
2
0
3
3
m
n
整理得：m-n+4=0 ①
AB 的中点为（1，2），
4
0
2
0
2
AB
k
AB 的中垂线方程为
1
2
1
2
y
x
，
即x-2y+3=0．联立
2
3
0
2
0
x
y
x
y
解得
1
1
x
y
∴△ABC 的外心为（-1，1）．
则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
联立①②得：m=-4，n=0 或m=0，n=4．
当m=0，n=4 时B，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是（-4，0）．故选A
(4).已知点
( 1,0),
(1,0),
(0,2)
A
B
C
，直线
(
0)
y
kx
b k
将ABC
分割成面积相等的两部分，则实数b 的取值
范围为（
）
A．
2
0, 3
B．
0,1
C．
2
1
,1
2
D．(2
2,1)
【答案】D
【分析】计算直线与BC 和x 轴的交点，计算
2
ABC
S
△
，考虑当M 在点O与点A 之间（包括点A ）和当M 在
点A 的左侧两种情况，根据坐标之间的关系得到不等式，解得答案.
【详解】
1
2
2
2
2
ABC
S
，由已知得
:
1
2
BC
y
l
x
，由
1
2
y
x
y
kx
b
得，
2
2(
)
,
2
2
b
b
k
N
k
k
，
0
k
，直线y
kx
b
与x 轴交于
,0
b
M
k
，
当M 在点O与点A 之间（包括点A ）时，
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1
0
b
k
，0
b
k
，
则有
1
2(
)
1
1
2
2
2
2
MBN
b
k
b
S
k
k
△
，所以，
2
2(1
)
b
k
b
，
0
k
，故
2
0
2(1
)
b
b
，所以，
1
b，又
2
2(1
)
b
b
b
，
2
3
b
，故2
1
3
b
；
当M 在点A 的左侧时，
1
2
0
2
b
k
b
k
解得0
2
k
b
，
:
1
2
AC
y
l
x
，
由
1
2
y
x
y
kx
b
得
2 2
2
,
2
2
b
b
k
P
k
k
，此时，
2
4 |
2 | 1
| (2
)(2
) |
b
k
NP
k
k
，
点C 到直线y
kx
b
的距离
2
| 2
|
1
b
d
k
，
2
2
1
4 |
2 | 1
| 2
|
1
2
| (2
)(2
) |
1
CPN
b
k
b
S
k
k
k
△
，得
2
2
2(2
)
4
b
k
，
则有
2
4
2
2
2
k
b
，所以，
2
2
b
，
又0
2
k
b
，
2
2
k
b
，故
2
2
4
2(2
)
b
b
，
2
3
b
，即
2
2
2
3
b
.
综上所述：实数b 的取值范围(2
2,1)
.
故选：D.
练习题
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(1).(多选题)在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（
）
A．每一条直线都有点斜式方程
B．方程
1
2
y
k
x
与方程
1
2
y
k x
可表示同一条直线
C．直线l 过点
0
0
0
,
P x
y
，倾斜角为90，则其方程为
0
x
x
D．直线
3
1
y
k x
恒过点
1,3
【答案】CD
【分析】根据直线方程各种形式的意义求解即可.
【详解】直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以A 错误；
点(
)
2, 1
-
不在方程
1
2
y
k
x
所表示的直线上，所以B 错误；
倾斜角为90的直线，过
0
0
0
,
P x
y
，直线方程为
0
x
x
，C 正确；
由直线的点斜式方程知，不论k 为何值，直线恒过点
1,3
，故D 正确.
故选：CD
(2).已知直线l 与曲线
3
2
3
4
1
y
x
x
x
相交，交点依次为D、E、F，且
5
DE
EF
，则直线l 的方程
为（
）
A．
3
2
y
x
B．
2
1
y
x
C．
2
3
y
x
D．
3
2
y
x
【答案】B
【分析】根据函数的对称性得曲线的对称中心为
11，，则
11
E
，，设
3
2
,
3
4
1
D x x
x
x
，由
5
DE
，
得到
2
3
2
2
(
1)
(
3
4
2)
5
x
x
x
x
，通过换元求出x 值，则得到D 的坐标，最后写出直线方程即可.
【详解】
3
2
3
3
4
1
(
1)
1
1
y
x
x
x
x
x
，
设
3
f x
x
x
，其定义域为R ，关于原点对称，
且
3
3
f
x
x
x
x
x
f x
，
故函数
f
x 为奇函数，且其对称中心为
0,0 ，
将
f
x 向右平移1 个单位，向上平移1 个单位，则得到
3
(
1)
1
1
y
x
x
，
曲线
3
2
3
4
1
y
x
x
x
的对称中心为
11，，
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由
5
DE
EF
，可知点E 为对称中心，故E 的坐标为
11，，
不妨设
3
2
,
3
4
1
D x x
x
x
，
则由
5
DE
，得
2
3
2
2
(
1)
(
3
4
2)
5
x
x
x
x
，
即
2
3
2
(
1)
[(
1)
1 ]
5
x
x
x
，
令
1
x
t
，则
2
3
2
6
4
2
(
)
5
2
2
5
0
t
t
t
t
t
t
，
即
6
4
4
2
4
2
2
2
3
2
5
0
1
3
5
1
0
t
t
t
t
t
t
t
t
，
2
4
2
1
3
5
0
t
t
t
，
1.
t
当
1
t 时，
1
2
x
t
，
2 3 .
A
，
又l 过
11
E
，，则
3 1
2
2 1
AE
k
，直线l 的方程为
2
1
y
x
，
当
1
t 时，
1
0
x
t
，
0
1 .
A
，
又l 过
11
E
，，则
3 1
2
2 1
AE
k
，直线l 的方程为
2
1.
y
x
综上，直线l 的方程为
2
1.
y
x
故选：B.
(3).从点
(2,1)
A
出发的一束光线依次经过直线1
1
5
:
3
2
x
y
l
和2 :
(2
5) (
1)
l
y
x
反射后回到点A ．设
1l 和2l 上反射点分别为P 和Q ，求直线PQ的方程．
【答案】3
3
0
x
y
【分析】根据题意，可得出直线1l 和2l 斜率，设
(2,1)
A
关于1l 对称点
( , )
B x y ，根据点关于直线对称的性质和
中点坐标公式，即可求出B 的坐标，同理求出C 的坐标，结合条件可知B ，C ，P ，Q 四点同在一条直线上，
最后利用两点式方程求出直线PQ的方程.
【详解】解：由题可知，1l 和2l 的斜率分别为：
1
2
1
5 ,
2
5
2
k
k
，
设
(2,1)
A
关于1l 对称点
( , )
B x y ，则
1
AB
l
，
所以AB 的中点坐标为
2
1
,
2
2
x
y
，且在1l 上，
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则
2 5
1
1
5
1
5
1
2
6 5
1
1
5
2
3
3
5
2
2
2
y
x
x
y
x
y
2 5
6 5
,3
5
5
B
，
同理得
(2,1)
A
关于2l 对称点
5
3 5
1
,
5
5
C
，
由于从点
(2,1)
A
出发的一束光线依次经过直线1l 和2l 反射后回到点A ，
则B ，C ，P ，Q 四点同在一条直线上，
则
3 5
5
1
5
5
6 5
3 5
2 5
5
3
1
5
5
5
5
y
x
，即3
3
0
x
y
，
所以，直线PQ方程为3
3
0
x
y
.
(4).过点
2
1
P
，
的直线l 分别交
1 (
0)
2
y
x x
与
2 (
0)
y
x x
于
,
A B 两点.
(1)设AOB
的面积为24
5 ，求直线l 的方程；
(2)当PA PB
最小时，求直线l 的方程.
【答案】(1)
11
12
2
y
x
；
(2)3
7
0
x
y
.
【分析】(1)设所求直线l 的方程,分别与直线
1
2
y
x
与
2
y
x
联立，得出交点A、B 的纵坐标，根据三角形
的面积公式得出方程，求解可得所求直线的方程；
(2)设直线l 的参数式方程，分别代入直线
1
2
y
x
与
2
y
x
中，得出|
|
PA 、|
|
PB ，从而得出|
| |
|
PA
PB
，运
用三角函数的恒等变形得出其最小值，由（1）得出交点的纵坐标可求解出满足题意的值，得出直线的方程.
【详解】（1）设
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，直线:
2
l x
my
m
，
由
2
1
2
x
my
m
y
x
化简得A 点的纵坐标
1
2
0
0
2
m
y
x
m
，
由
2
2
x
my
m
y
x
，化简得B 点的纵坐标
2
2
4
0
1
2
m
y
m
0
x
，
所以，
AOB
1
2
2
4
24
(
2)
2
2
1
2
5
m
m
S
m
m
m
，化简得
2
2
(11
2)
0,
11
m
m
，
故直线l 的方程为：
11
12
2
y
x
；
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（2）设直线l 的倾斜角为,所以直线l 的参数方程为:
2
cos
1
sin
x
t
y
t
（t 为参数），
将直线l 的参数方程分别代入
1
2
y
x
与
2
y
x
得：
1
2
4
3
|
|
| |
|,|
| |
| |
|,
2sin
cos
sin
2cos
PA
t
PB
t
4
3
12
|
| |
| |
|
2sin
cos
sin
2cos
3sin
cos
2cos 2
PA
PB
，
所以
24
24
|
| |
| |
|
5sin(2
)
5
PA
PB
，
由（1）得
2
2
2
2
1
1
1
4 1
|
|
2
2
1
1
1
| 2
|
m
PA
my
m
y
m
y
m
，
2
2
2
3 1
|
|
1
1
|1
2
|
m
PB
m
y
m
，
当
2
2
12 1
24
|
| |
|
5
2
3
2
m
PA
PB
m
m
时，化简得
2
3
0
m
或
2
3
1
0
m
，解得
1
3
m
或
3
m .
因为点A 在第一象限，所以
1
2
0
2
m
y
m
，所以2
2
m
，所以
1
3
m
，
所以直线:3
7
0
l
x
y
.
故得解.
类型三直线的交点与距离
例3(1).若过定点A 的动直线
0
x
my
和过定点B 的动直线
3
0
mx
y
m
交于点
,
P x y ，则PA PB
的
最大值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA
PB
；
再利用基本不等式放缩即可得出|
| |
|
PA
PB
的最大值．
【详解】解：由题意可知，动直线
0
x
my
经过定点
(0,0)
A
，
动直线
3
0
mx
y
m
即
(
1)
3
0
m x
y
，经过点定点
(
)
1,3
B
，
注意到动直线
0
x
my
和动直线
3
0
mx
y
m
始终垂直，P 又是两条直线的交点，
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则有PA
PB
，
2
2
2
|
|
|
|
|
|
10
PA
PB
AB
．
故
2
2
|
|
|
|
|
| |
|
5
2
PA
PB
PA
PB
（当且仅当|
| |
|
5
PA
PB
时取“ ” )
故选：B ．
(2).人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离
测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
曼哈顿距离
1
2
1
1
,
d A B
x
x
y
y
，余弦距离
,
1 cos
,
e A B
A B
，其中
cos
,
cos
,
A B
OA OB
（O
为坐标原点）．已知
2,1
M
，
,
1
d M N ，则
,
e M N 的最大值近似等于（
）
（参考数据：
2
1.41
，
5
2.24
．）
A．0.052
B．0.104
C．0.896
D．0.948
【答案】B
【分析】根据题意分析可得N 在正方形ABCD的边上运动，结合图象分析
,
OM ON
的最大值，即可得结果.
【详解】设
,
N x y ，
由题意可得：
,
2
1
1
d M N
x
y
，即
2
1
1
x
y
，
可知
2
1
1
x
y
表示正方形ABCD，其中
2,0 ,
3,1 ,
2,2 ,
1,1
A
B
C
D
，
即点N 在正方形ABCD的边上运动，
因为
2,1 ,
,
OM
ON
x y
，由图可知：
当
cos
cos
M
N
OM ON
，
，
取到最小值，即OM ON
，
最大，点N 有如下两种可能：
①点N 为点A，则
2,0
ON
，可得
4
2 5
cos
,
cos
,
5
5
2
M N
OM ON
；
②点N 在线段CD 上运动时，此时ON
与DC
同向，不妨取
1,1
ON
，
则
3
3 10
cos
,
cos
,
10
5
2
M N
OM ON
；
因为3 10
2 5
10
5
，
所以
,
e M N 的最大值为
2 5
1
0.104
5
.
故选：B.
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(3).我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
相关的代数问题，可以
转化为点
,x y 与点
,a b 之间的距离的几何问题.已知点
1
1
,
M x y
在直线1 :
2
l
y
x
，点
2
2
,
N x
y
在直线
2 :
l
y
x
上，且
1
MN
l
，结合上述观点，
2
2
1
2
2
2
1
2
4
5
x
y
x
y
的最小值为（
）
A．7 2
2
B．11 2
2
C．
41
2
D．5
【答案】D
【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点
1
1
,
M x y
到点
0,4
A
的距离与点
2
2
,
N x
y
到点
5,0
B
的距
离和，过点A 作
1
AC
l
，垂足为C ，证明AM
CN
，由CN
NB
CB
求目标函数最小值.
【详解】由已知
2
2
1
1
4
x
y
表示点
1
1
,
M x y
到点
0,4
A
的距离，
2
2
2
2
5
x
y
表示点
2
2
,
N x
y
到点
5,0
B
的距离，
所以
2
2
2
2
1
1
2
2
4
5
x
y
x
y
MA
NB
，
过点A 作
1
AC
l
，垂足为C ，
因为直线1l 的方程为
2
0
x
y
，
0,4
A
，
所以
0
4
2
2
1 1
AC
，
又直线1 :
2
l
y
x
与直线2 :
l
y
x
平行，
1
MN
l
，
所以
2
0
2
1 1
MN
，
所以
//
,
MN AC MN
AC
，
所以四边形AMNC 为平行四边形，
所以AM
CN
，
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所以
2
2
2
2
1
1
2
2
4
5
x
y
x
y
CN
NB
，
又CN
NB
CB
，
当且仅当
,
,
C N B 三点共线时等号成立，
所以当点N 为线段CB 与直线2l 的交点时，
2
2
1
2
2
2
1
2
4
5
x
y
x
y
取最小值，最小值为CB ，
因为过点
0,4
A
与直线1l 垂直的直线的方程为
4
y
x
，
联立
4
2
y
x
y
x
，可得
1
3
x
y
，
所以点C 的坐标为
1,3 ，所以
2
2
5 1
0
3
CB
，
所以
2
2
1
2
2
2
1
2
4
5
x
y
x
y
的最小值为5，
故选：D.
(4).已知实数
1
x ，
2
x ，
1y ，
2y 满足
2
2
1
1
4
x
y
，
2
2
2
2
4
x
y
，
1
2
1
2
0
x x
y y
，则
1
1
2
2
4
4
x
y
x
y
的最
大值是（
）
A．6
B．8
C．6 2
D．12
【答案】D
【分析】采用数形结合法，将所求问题转化为
,
A B 两点到直线
4
0
x
y
的距离和的
2 倍，结合梯形中位
线性质和三角形三边关系可求.
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【详解】
由
2
2
1
1
4
x
y
，
2
2
2
2
4
x
y
，1
2
1
2
0
x x
y y
，可知，点
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
在圆上，由
1
2
1
2
0
x x
y y
OA
OB
，
即OAB
为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式
4
2
x
y
d
可理解为点到直线
4
0
x
y
的距离，变
形得
4
2
x
y
d
，即所求问题可转化为
,
A B 两点到直线
4
0
x
y
的距离和的
2 倍，作AM
l
于
M AN
l
于N ，AB 中点为E ，MN 中点为F ，由梯形中位线性质可得，
2
AM
BN
EF
，作OT
EF
于
T ，OC
l
于C ，连接OE ，则EF
ET
TF
ET
OC
EO
OC
，当且仅当T 与O重合，
,
,
E O T
C 三点
共线时，EF 有最大值，由点到直线距离公式可得
4
2 2
2
OC
，由几何性质可得
2
OE
，
max
3 2
EF
OC
OE
，此时
2
6 2
AM
BN
EF
，故
1
1
2
2
4
4
x
y
x
y
的最大值为
2 6 2
12
.
故选：D
(5).已知直线:
0
l ax
by
c
和点
0
0
(
,
)
P x
y
，点P 到直线l 的有向距离( , )
d P l 用如下方法规定：若
0
b
，
0
0
2
2
|
||
|
( , )
b ax
by
c
d P l
b a
b
，若
0
b
，
0
( , )
ax
c
d P l
a
．
(1)已知直线1 :3
4
12
0
l
x
y
，直线2 : 2
3
0
l
x
，求原点O到直线1
2
,l l 的有向距离
1
2
( , ), ( , )
d O l
d O l
；
(2)已知点
(2,1)
A
和点
(3, 1)
B
，是否存在通过点A 的直线3l ，使得
3
( , )
2
d B l
？如果存在，求出所有这样的
直线3l ，如果不存在，说明理由；
(3)设直线4 : cos
2 sin
2
0
l
x
y
，问是否存在实数
0
t
，使得对任意的参数都有：点
1
2
(
,0),
( ,0)
F
t
F t
到4l 的有向距离
1
4
2
4
,
,
,
d F l
d F l
满足
1
4
2
4
,
,
1
d F l
d F l
？如果满足，求出所有满足条件的实数t ；如
果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
1
12
( , )
5
d O l
，
2
3
( , )
2
d O l
(2)
1
0
y
或4
3
5
0
x
y
(3)存在，
3
t
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【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可.
(2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程.
(3)分sin
0
和sin
0
，分别计算出
1
4
2
4
,
,
,
d F l
d F l
，然后根据题意
1
4
2
4
,
,
1
d F l
d F l
可得出关于t 和的等量关系，进行求出t 的结果.
【详解】（1）由直线1 :3
4
12
0
l
x
y
，直线2 : 2
3
0
l
x
，根据点到直线的有向距离公式得，
1
2
2
| 4 || 0
0 12 |
12
( , )
5
4 3
( 4)
d O l
，
2
2 0
3
3
( , )
2
2
d O l
；
即
1
12
( , )
5
d O l
，
2
3
( , )
2
d O l
（2）当直线3l 的斜率不存在时，直线3l 的方程为
2
0
x
，
此时
3
1 3
2
( , )
1
2
1
d B l
，舍去；
当直线3l 的斜率存在时，直线3l 的方程为
1
(
2)
y
k x
，
化为
1
2
0
kx
y
k
，
假设
3
2
|1|| 3
1 1
2 |
( , )
2
1
1
k
k
d B l
k
，则
2
3
4
0
k
k
，解得
0
k
或4
3 ．
所以存在直线3l 的方程为
1
0
y
或4
3
5
0
x
y
；
（3）当sin
0
时，直线4 : cos
2
0
l
x
，
1
4
2
4
cos
2
cos
2
,
,
,
cos
cos
t
t
d F l
d F l
，
由
1
4
2
4
2
(
cos
2)( cos
2)
,
,
1
cos
t
t
d F l
d F l
，整理得
2
2
2
4
cos
cos
t
，
2
2
sin
cos
1
，
2
3
t ，
0
t
，即
3
t
，
当sin
0
时，直线4 : cos
2 sin
2
0
l
x
y
，
得
1
4
2
4
2
2
2
2
2sin
cos
2
2sin
cos
2
,
,
,
(2sin
) cos
4sin
(2sin
) cos
4sin
t
t
d F l
d F l
a
，
由
1
4
2
4
2
2
( cos
2)(
cos
2)
,
,
1
cos
4sin
t
t
d F l
d F l
，
即
2
2
2
2
2
4
cos
cos
4sin
4
3cos
t
，
2
2
2
4
cos
4
3cos
t
或
2
2
2
4
cos
3cos
4
t
，解得
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2
3
t 或
2
2
(
3)cos
8
t
，
由题意对任意的参数都有
1
4
2
4
,
,
1
d F l
d F l
恒成立，所以
3
t
，
综上所述，存在实数
0
t
满足题目条件，即
3
t
练习题
(1).定义：在平面直角坐标系xOy 中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、
Q 两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0 外一定点，点N 是直线ax+by+c＝0 上一动点，
则M、N 两点的“垂直距离”的最小值为（
）
A．
0
0
ax
by
c
max a b
，
B．
0
0
2
2
ax
by
c
a
b
C．
0
0
ax
by
c
a
b
D．|ax0+by0+c|
【答案】A
【分析】设N（t
c
a
a
，
t
b
），则M、N 两点的“垂直距离”为：
|
0
t
c
x
a
a
|+|
0
t
y
b
|
0
0
0
0
t
c
ax
y
t
ax
by
c
a
b
max a b
，
．由此能求出M、N 两点的“垂直距离”的最小值．
【详解】由题意，点
0
0
,
M
x
y
是直线
0
ax by
c
+
+
=
外一定点，点N 是直线
0
ax by
c
+
+
=
上一动点，可设
(
,
)
t
c
t
N a
a
b
，
则
,
M N 两点的“垂直距离”为：
0
0
0
0
0
0
max(
,
)
t
c
ax
y
t
ax
by
c
t
c
t
x
y
a
a
b
a
b
a
b
所以
,
M N 两点的“垂直距离”的最小值为
0
0
max(
,
)
ax
by
c
a
b
．
故选A．
(2).已知直线1l ：
2
0
x
y
，2l ：
2
0
x
y
，直线3l 垂直于1l ，2l ，且垂足分别为A，B，若
4 0
C ，，
4 0
D
，，
则CA
AB
BD
的最小值为（
）
A．10
2 2
B．8
2
C．2 10
2 2
D．8
【答案】C
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【分析】根据条件设出直线l3 的方程
2
x
y
m
，求出点A，B 坐标，用m 表示出CA
AB
BD
，再借助
几何意义即可计算得解.
【详解】因直线3l 垂直于1l ，2l ，则设直线l3 的方程为：
2 (
R)
x
y
m m
，
由
2
2
x
y
m
x
y
得点
(
1,
1)
A m
m
，由
2
2
x
y
m
x
y
得点
(
1,
1)
B m
m
，而
4 0
C ，，
4 0
D
，，
于是得
2
2
2
2
(
3)
(
1)
2 2
(
3)
(
1)
CA
AB
BD
m
m
m
m
，
而
2
2
2
2
(
3)
(
1)
(
3)
(
1)
m
m
m
m
表示动点
,
(
)
M m m 到定点
( 3, 1)
E
与
(3,1)
F
的距离的和，
显然，动点
,
(
)
M m m 在直线y
x
上，点
( 3, 1)
E
与
(3,1)
F
在直线y
x
两侧，因此，|
|
|
| |
| 2 10
ME
MF
EF
，
当且仅当点M 是直线y
x
与线段EF：
1
3
3
3
y
x
x
的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得
2
2
2
2
(
3)
(
1)
(
3)
(
1)
m
m
m
m
取最小值2 10 ，
所以，当直线l3 方程为：
0
x
y
时，CA
AB
BD
取最小值2 10
2 2
.
故选：C
(3).已知两定点
3, 8
A
，
10,4
B
及两平行直线1 :3
4
10
0
l
x
y
，2 :3
4
15
0
l
x
y
，试在直线1l ，2l 上
分别求出点P，Q，使得
1
PQ
l
，且折线段APQB 的长度最短，并写出此时三条折线所在直线的方程．
【答案】
2, 4
P
，
5,0
Q
，直线AP，PQ，QB 的方程分别为4
5
28
0
x
y
，4
3
20
0
x
y
，4
5
20
0
x
y
．
【分析】由对称性作出图象，解交点可得直线的方程．
【详解】（如图）作点B 关于L2 的对称点B′，作点A 关于L1 的对称点A′，
再在AA′的延长线上取点M，使得A′M 等于两平行线L1、L2 之间的距离d，
连结B′M 与L2 的交点为Q，过Q 作QP 垂直L1 于点P，
可得图中的点P、Q 就是所求作的点．
结合已知可求得P（2，﹣4），Q（5，0），
可得直线的方程分别为AP：4x﹣5y﹣28＝0
PQ：4x﹣3y﹣20＝0，QB：4x﹣5y﹣20＝0
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类型四能力提升创新题
1.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点
1
(
2
,
)
P a
的所
有直线中
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有(
2)
n n
条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
【答案】C
【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可求解．
【详解】解：设一条直线上存在两个有理点
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，由于
1
(
2
,
)
P a
也在此直线上，
当
1
2
x
x
时，则
1
2
x
x
a
为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当
1
2
x
x
时，直线的斜率存在，且有
2
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
x
x
x
a
，
又
2x
a
为无理数，而
2
1
2
1
y
y
x
x
为有理数，所以
2
1
0
2
y
，
所以
2
1
1
2
y
y
，
所以满足条件的直线只有一条，且直线的方程是
1
2
y
，所以只有C 选项正确.
故选：C．
2.设直线系
: cos
(
2)sin
1(0
2 )
M x
y
，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于x 轴时，
0
或；
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（2）当
6
时，直线倾斜角为120；
（3）M 中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点P 不在M 中任意一条直线上．
其中正确的是（
）
A．①②
B．③④
C．②③
D．②④
【答案】D
【分析】由直线斜率不存在可判断（1），由直线斜率与倾斜角的关系可判断（2），化简消参可知直线系M 表
示圆
2
2
(
2)
1
x
y
的切线的集合，故不经过某一定点，由点(0,2) 不在直线上可知（4）正确.
【详解】
: cos
(
2)sin
1(0
2 )
M x
y
，
（1）当直线垂直于x 轴时，则sin
0
，解得
0
或或2，故（1）错误；
（2）当
6
时，直线方程为：
3
4
0
x
y
，
斜率
3
k
，即tan
3
，倾斜角120，故（2）正确；
（3）由直线系
: cos
(
2)sin
1(0
2 )
M x
y
可令
=cos
=2+sin
x
y
，消去可得
2
2
(
2)
1
x
y
，
故直线系M 表示圆
2
2
(
2)
1
x
y
的切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意，存在定点(0,2) 不在直线系M 中的任意一条上，故（4）正确；
故选：D．
3.若对一个角
0,2π
，存在角
2π
0,
满足
cos
cos
cos
，则称为的“伴随角”.有以下
两个命题：
①若
π π
,
3 2
骣
琪
Î 琪
琪
桫
，则必存在两个“伴随角”
2π
0,
；
②若
π
0, 3
，则必不存在“伴随角”
2π
0,
；
则下列判断正确的是（
）
A．①正确②正确；
B．①正确②错误；
C．①错误②正确；
D．①错误②错误.
【答案】B
【分析】将已知方程变形为
cos
1 cos
sin
sin
cos
，则
cos ,sin
为直线
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cos
1
sin
cos
x
y
与单位圆
2
2
1
x
y
的交点.用圆心到直线的距离解决问题
【详解】将已知方程变形为
cos
1 cos
sin
sin
cos
，
则
cos ,sin
为直线
cos
1
sin
cos
x
y
与单位圆
2
2
1
x
y
的交点.
考虑圆心到直线的距离
2
2
cos
cos
1
1
sin 2
2
(cos
1)
( sin )
2sin
2sin
2
2
d
t
t
，其中
sin 2
t
.
对于①，若
π π
,
3 2
骣
琪
Î 琪
琪
桫
，则
1
2
,
2
2
t
，于是
1
1
0,
2
2
d
t
t
，即
1
d ，
直线与圆必有两个不同交点，
cos ,sin
为直线
cos
1
sin
cos
x
y
与单位圆
2
2
1
x
y
的交点，
故必存在两个“伴随角”
2π
0,
，即①正确；
对于②若
π
0, 3
，则
1
0, 2
t
，于是
1
1 ,
2
2
d
t
t
，
即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”
2π
0,
，即②错误；
综上，①正确②错误，
故选:B.
4.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”
对应着数学曲线中的双纽线.在xOy 平面上，把与定点
1
2
,0 ,
,0
F
a
F
a
距离之积等于
2
0
a
a
的动点的轨
迹称为双纽线.曲线C 是当
2 2
a
时的双纽线，P 是曲线C 上的一个动点，则下列是关于曲线C 的四个结
论，正确的个数是（
）
①曲线C 关于原点对称
②曲线C 上满足
1
2
PF
PF
的P 有且只有一个
③曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过4
④若直线y
kx
与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为
, 1
1,
A．1
B．2
C．3
D．4
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【答案】D
【分析】根据题意求轨迹方程.将
(
,
)
P
x
y
代入曲线方程即可判断①；根据点P 在y 轴上，解得点P 的坐
标即可判断②；根据曲线方程可得
2
2
16
x
y
，结合
2
2
OP
x
y
即可判断③；直线与曲线联立，根据方
程的解即可判断④.
【详解】设
,
P x y ，则
2
2
2
2
1
2
(
)
,
(
)
PF
x
a
y
PF
x
a
y
，
根据双纽线的定义可得：
2
1
2
PF PF
a
，即
2
2
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
x
a
y
a
，
对①：曲线C 上任一点
,
P x y 关于原点的对称点为
(
,
)
P
x
y
，
用(
,
)
x
y
替换方程中的( , )
x y 得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
x
a
y
x
a
y
x
a
y
x
a
y
a
即
(
,
)
P
x
y
也在曲线C 上，所以曲线C 关于原点中心对称，故①正确；
对②：若曲线C 上点P 满足
1
2
PF
PF
，则点P 在y 轴上，即
0
x
，
把
0
x
代入曲线方程得：
2
2
2
2
2
2
2
a
y
a
y
a
y
a
，解得
0
y
，
即点P 满足
1
2
PF
PF
，则
0,0
P
，
所以这样的点仅有一个，故②正确；
对③：若
2 2
a
，则
2
2
2
2
(
2 2)
(
2 2)
8
x
y
x
y
，
即
2
4
2
2
2
2
8
8
64
y
y
x
x
，则
2
2
2
2
2
16
x
y
x
y
，
当
2
2
0
x
y
，即P 不是坐标原点时，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
2
16 1
16
x
y
y
x
y
x
y
x
y
，当且仅当
x
0,y=0，即
4,0
P
时等号成立，
即
2
2
4
OP
x
y
；
当
2
2
0
x
y
时，则
2
2
0
OP
x
y
；
综上所述：曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过4，故③正确；
对④：∵直线y
kx
与曲线C 一定有公共点
0,0
O
，
若直线y
kx
与曲线C 只有一个交点，将y
kx
代入方程中，方程无非零解，
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联立方程
2
2
2
2
2
16
y
kx
x
y
x
y
，消去y 整理得
2
2
2
2
1
16 1
0
x
k
x
k
，
可得
2
2
2
1
16 1
0
k
x
k
无非零解，则
2
1
0
k
，
解得
1
k 或
1
k ，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据方程
2
2
2
2
2
16
x
y
x
y
，化简可得
2
2
2
2
2
2
16 x
y
x
y
x
y
，结合不等式分析运算；
（2）再处理直线与曲线的交点问题时，一般通过联立方程分析判断.
5.在平面直角坐标系中,定义
1
2
1
2
,
max
d A B
x
x
y
y
，
为两点
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
、
的“切比雪夫距离”，
又设点P 及l 上任意一点Q ,称
,
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作
,
d P l ，给出下列四个
命题:
①对任意三点
, ,
A B C ，都有
,
,
,
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
3
d P
l
，
；
③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】D
【分析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；
②设点Q 是直线
2
1
y
x
上一点，且
( ,2
1)
Q x
x
，可得( ,
)
{|
3|
d P Q
max
x
，| 2
2 |}
x
，讨论|
3|
x
，| 2
2 |x
的
大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；
③根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假.
【详解】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设
1
(
A x ，
1)
y 、
2
(
B x ，
2)
y ，
3
(
C x ，
3)
y
，如图，结合三角
形的相似可得( ,
)
d C A ，( ,
)
d C B ，( ,
)
d A B 为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
若B ，C 或A ，C 对调，可得( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，
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由矩形CMNK 或矩形BMNK ，( ,
)
( ,
)
( ,
)
d C A
d C B
d A B
；
则对任意的三点A ，B ，C ，都有( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
，故①正确；
②设点Q 是直线
2
1
y
x
上一点，且
( ,2
1)
Q x
x
，
可得( ,
)
{|
3|
d P Q
max
x
，| 2
2 |}
x
，
由|
3|
| 2
2 |
x
x
，解得
5
1
3
x
，即有
( ,
) |
3|
d P Q
x
，
当
5
3
x
时，取得最小值4
3 ；
由|
3| | 2
2 |
x
x
，解得
5
3
x
或
1
x ，即有( ,
) | 2
2 |
d P Q
x
，
( ,
)
d P Q 的范围是4
( ,
)
3 ，无最值；
综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为4
3 ；故②正确；
③由题，到原点O的“切比雪夫距离”的距离为1 的点
,
P x y 满足
,
max
,
1
d O P
x
y
，即
,
1,
x
y
x
或
,
1,
x
y
y
，显然点P 的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
1.直线l 过点
1,2
M
，且与以
4, 1
P
、
3,0
Q
为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围
是
．
【答案】
1
,
1,
2
【分析】作出图形，求出
MP
k
、
MQ
k
，观察直线l 与线段PQ的交点运动的过程中，直线l 的倾斜角的变化，
可得出直线l 的取值范围.
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【详解】如下图所示：设过点M 且与x 轴垂直的直线交线段PQ于点A ，设直线l 的斜率为k ，
且
2 1
1
1
4
PM
k
，
2
0
1
1 3
2
QM
k
，
当点B 从点P 移动到点A （不包括点A ）的过程中，直线l 的倾斜角为锐角，
此时，
1
MP
k
k
；
当点B 从点A （不包括点A ）移动到点Q 的过程中，直线l 的倾斜角为钝角，
此时，
1
2
MQ
k
k
.
综上所述，直线l 的斜率的取值范围是
1
,
1,
2
.
故答案为：
1
,
1,
2
.
2.已知直线l 经过点
1,0
P
且与以
2,1
A
，
3, 2
B
为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范
围为
．
【答案】
3
[0,
]
[
, )
4
4
【详解】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为，则
3
tan
1
4
当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为，则
tan
1
4
综合：直线l 经过点
P 1,0 且与以
A 2,1 ，
B 3, 2
为端点的线段AB有公共点时，直线l 的倾斜
角的取值范围为
3
0,
,
4
4
3.(多选题)下面说法中错误的是（
）
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A．经过定点
0
0
0
,
P x
y
的直线都可以用方程
0
0
y
y
k x
x
表示
B．经过定点
0,
A
b 的直线都可以用方程y
kx
b
表示
C．不经过原点的直线都可以用方程
1
x
y
a
b
表示
D．经过任意两个不同的点
1
1
1
,
P x y 、
2
2
2
,
P
x
y
的直线都可以用方程
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
表
示
【答案】ABC
【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对即得答案.
【详解】对A，过点
0
0
0
,
P x
y
且垂直于x 轴的直线不能用方程
0
0
y
y
k x
x
表示，故A 错误；
对B，经过定点
0,
A
b 且垂直于x 轴的直线不能用方程y
kx
b
表示，故B 错误；
对C，不仅过原点的直线不可以用方程
1
x
y
a
b
表示，
而且垂直于两坐标轴的直线也不能用方程
1
x
y
a
b
表示，故C 错误；
对D，当两个不同的点
1
1
1
,
P x y 、
2
2
2
,
P x
y
的连线不垂直于坐标轴时，
直线方程为
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
，即
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
，
当直线
1
2
PP 斜率为0 或者斜率不存在时，也适合方程
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
，
所以经过任意两个不同的点
1
1
1
,
P x y 、
2
2
2
,
P x
y
的直线都可以用方程
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
表示，
故D 正确.
故选：ABC.
4.(多选题)下列说法正确的是（
）
A．
2
3
R
y
ax
a
a
直线必过定点
2,3
B．直线
1
2
y
x
在y 轴上的截距为1
C．直线
3
3
0
x
y
的倾斜角为30°
D．点
2, 3
A
，
3, 2
B
，直线:
1
0
l mx
y
m
与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是
3
4
m
，
或
4
m
【答案】AD
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【分析】根据直线过定点、截距、倾斜角、直线与线段有公共点的知识对选项进行分析，从而确定正确答
案.
【详解】A 选项，
2
3
2
3
y
ax
a
a x
，
所以直线过定点
2,3 ，A 选项正确.
B 选项，直线
1
2
y
x
，即
2
1
y
x
，
纵截距为1
，B 选项错误.
C 选项，直线
3
3
0
x
y
的斜率为
3
3
，
倾斜角为150，C 选项正确.
D 选项，直线:
1
0
l mx
y
m
，即
1
1
0
x
m
y
过定点
1,1 ，斜率为m
，
画出图象如下图所示，由图可知
3 1
2 1
m
或
2 1
3
3 1
4
m
，
解得
3
4
m
，或
4
m
，所以D 选项正确.
故选：AD
5.已知抛物线
2
2
x
y
上一点P ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA ，PB 分别交抛物线于不同的两点A ，B ，
已知直线AB 的斜率为－2，则点P 的横坐标为（
）
A．2
B．
2
C．1
D．
2
【答案】A
【分析】设出
, ,
P A B 三点的坐标，由斜率坐标公式，利用点在抛物线上，结合题中条件，得到
1
2
4
x
x
，
同理得到
0
1
2
PA
x
x
k
，
2
0
2
PB
x
x
k
，利用倾斜角互补，得到两斜率互为相反数，化简得到
1
2
0
2
x
x
x
，
进而求得
0
2
x
，得到结果.
【详解】设
0
0
,
P
x
y
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
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则
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
AB
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
，故
1
2
4
x
x
，
同理
0
1
2
PA
x
x
k
，
2
0
2
PB
x
x
k
，
0
1
2
0
1
2
0
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
，
所以
0
2
4
x
，
0
2
x
，
故选：A.
6.“
1
m ”是“直线1l ：
4
1
0
m
x
my
与直线2l ：
2
2
0
mx
m
y
互相垂直”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定直线方程求出1
2
l
l
的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】依题意，1
2
(
4)
(
2)
0
l
l
m m
m m
，解得
0
m
或
1
m ，
所以“
1
m ”是“直线1l ：
4
1
0
m
x
my
与直线2l ：
2
2
0
mx
m
y
互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
7.已知直线l ：
2
1
1
0
m
x
m
y
m
经过定点P，直线l经过点P，且l的方向向量
3,2
a
，则直线l
的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．2
3
5
0
x
y
C．3
2
5
0
x
y
D．3
2
5
0
x
y
【答案】A
【分析】直线l 方程变为
2
1
0
x
y
m
x
y
，可得定点P
1,1
.根据l的方向向量
3,2
a
，可得斜率
为2
3 ，代入点斜式方程，化简为一般式即可.
【详解】
2
1
1
0
m
x
m
y
m
可变形为
2
1
0
x
y
m
x
y
，
解
0
2
1
0
x
y
x
y
得
1
1
x
y
，即P 点坐标为
1,1
.
因为
2
3,2
3 1,3
a
，所以直线l的斜率为2
3 ，又l过点P
1,1
，
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代入点斜式方程可得
2
1
1
3
y
x
，整理可得2
3
5
0
x
y
.
故选：A.
8.过点
1,2
P
作直线l ，若点
2,3
A
、
4, 5
B
到它的距离相等，则直线l 的方程为（
）
A．4
6
0
x
y
或
1
x
B．3
2
7
0
x
y
C．4
6
0
x
y
或3
2
7
0
x
y
D．3
2
7
0
x
y
或
1
x
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：①//
l AB ；②直线l 过线段AB 的中点.求出两种情况下直线l 的斜率，利用点斜式
可得出直线l 的方程.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若//
l AB ，则直线l 的斜率为
3
5
4
2
4
AB
k
k
，
此时，直线l 的方程为
2
4
1
y
x
，即4
6
0
x
y
；
②若直线l 过线段AB 的中点
3, 1
M
，则直线l 的斜率为
2 1
3
1 3
2
k
，
此时，直线l 的方程为
3
2
1
2
y
x
，即3
2
7
0
x
y
.
综上所述，直线l 的方程为4
6
0
x
y
或3
2
7
0
x
y
.
故选：C.
9.已知直线l：2
3
1
0
x
y
，点
1, 2
A
.求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3
2
6
0
x
y
关于直线l 的对称直线m′的方程；
(3)直线l 关于点A 对称的直线l′的方程.
【答案】(1)
33 4
,
13 13
A
(2)9
46
102
0
x
y
(3) 2
3
9
0
x
y
【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解之可
得答案；
（2）在直线m 上任取一点M ，利用（1）的做法求得对称点M ，再求出m 与l 的交点N，由m′经过M ，
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N 两点，利用点斜式即可求得直线m′的方程；
（3）法一：在l 上任取两点，由中点坐标公式得到它们的对称点，再由点斜式即可求得直线l′的方程；
法二：任取l′上一点
( , )
Q x y ，求得其对称点
(
2
,
4
)
Q
x
y
，代入直线l 的方程即可求得直线l′的方程.
【详解】（1）设
,
A x y
，由l：2
3 +1=0
x
y
得
2
1
3
3
y
x
，
则
+2
2
×
=
1
+1
3
1
2
2×
3×
+1=0
2
2
y
x
x
y
，解得
33
=
13
4
=13
x
y
，故
33
4
,
13 13
A
.
（2）在直线m 上取一点，如
2,0
M
，则
2,0
M
关于直线l 的对称点必在m′上，
设对称点为
,
M
a b
，则
+2
+0
2×
3×
+1=0
2
2
0
2
×
= 1
2
3
a
b
b
a
，解得
6
=13
30
= 13
a
b
，即
6
30
,
13 13
M
，
设m 与l 的交点为N，则由
2
3 +1=0
3
2
6=0
x
y
x
y
，解得
4,3
N
，
又m′经过点
4,3
N
，故
30
3
9
13
=
=
6
46
4
13
m
k
，
所以直线m′的方程为
9
3=
4
46
y
x
，即9
46 +102=0
x
y
.
（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0 上任取两点，如
)
1,1 ,
(
)
3
(4,
P
N
，则P，N 关于点A 的对称点P′，N′均在直线
l′上.
由中点坐标公式可得
(
3,
5),
(
6,
7)
P
N
，故
5+7
2
=
=
3+6
3
lk
所以l′的方程为
2
5
3
3
y
x
，即2
3
9=0
x
y
.
法二：设
( , )
Q x y 为l′上任意一点，
则
( , )
Q x y 关于点
1,
2
A
的对称点为
(
2
,
4
)
Q
x
y
，
因为Q′在直线l 上，所以2(
2
)
3(
4
)+1=0
x
y
，
即直线l′的方程为2
3
9=0
x
y
.
10.如图，已知
(6,6 3)
A
，
(0,0)
B
，
(12,0)
C
，直线:(
3)
2
0
l
k
x
y
k
．
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(1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线l 等分ABC
的面积，求直线l 的一般式方程；
(3)若
(2,2 3)
P
，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）
反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．
【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2,2 3) ；
(2) 3
17
36 3
0
x
y
；
(3) 2
3
10
0
x
y
．
【分析】（1）整理得到(
2)
( 3
)
0
k x
x
y
，从而得到方程组，求出定点坐标；
（2）求出定点
(2,2 3)
P
在直线AB 上，且|
| 8
AM ，由
1
2
AMD
ABC
S
S
得到
3
|
|
|
| 9
4
AD
AC
，设出
0
0
(
,
)
D x
y
，
由向量比例关系得到D 点坐标，得到直线方程；
（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点
1,
P
2P ，得到
1 2
2 3
3
P P
k
，由对称性得
2 3
3
PK
k
，写成
直线方程.
【详解】（1）直线:(
3)
2
0
l
k
x
y
k
可化为(
2)
( 3
)
0
k x
x
y
，
令
2
0
3
0
x
x
y
，解得
2
2 3
x
y
，故直线l 经过的定点坐标为(2,2 3) ；
（2）因为
(6,6 3)
A
，
(0,0)
B
，
(12,0)
C
，所以|
| |
| |
| 12
AB
AC
BC
，
由题意得直线AB 方程为
3
y
x
，
故直线l 经过的定点
(2,2 3)
M
在直线AB 上，所以
2
2
|
|
6
2
6 3
2 3
8
AM
，
设直线l 与AC 交于点D ，所以
1
2
AMD
ABC
S
S
，
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即1
1
1
|
||
| sin
|
||
| sin
2
2
2
AM
AD
A
AB
AC
A
，所以
3
|
|
|
| 9
4
AD
AC
，
设
0
0
(
,
)
D x
y
，所以
3
4
AD
AC
，即
0
0
3
(
6,
6 3)
(6, 6 3)
4
x
y
，
所以
0
21
2
x
，
0
3 3
2
y
，所以
21 3 3
(
,
)
2
2
D
，
将D 点坐标代入直线l 的方程，解得
18 3
17
k
，
所以直线l 的方程为
3
17
36 3
0
x
y
；
（3）设P 关于BC 的对称点
1(2, 2 3)
P
，关于AC 的对称点
2( , )
P m n ，
直线AC 的方程为
0
12
6 12
6 3
0
y
x
，即
3
12
y
x
，
直线AC 的方程为
3(
12)
y
x
，所以
2 3
3
1
2
2 3
2
3
12
2
2
n
m
n
m
，
解得
14,
6 3
m
n
，所以
2(14,6 3)
P
，
由题意得
1
2
,
, ,
P K I P 四点共线，
1 2
2 3
3
P P
k
，由对称性得
2 3
3
PK
k
，
所以入射光线PK 的直线方程为
2 3
2 3
(
2)
3
y
x
，
即2
3
10
0
x
y
．
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11.在直角坐标系中，已知射线
:
0(
0)
OA x
y
x
，过点
(3,1)
P
作直线分别交射线OA ，x 轴正半轴于点A ､B .
（1）当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；
（2）求
·
PAPB 的最小值.
【答案】（1）
4
0
x
y
；（2）4( 2
1)
.
【分析】（1）设
1
(
A x ，
1)
x ，
2
(
B x ，0) ，根据中点坐标建立关系可求得
,
A B ，再由两点式即可求出；
（2）可得直线斜率不存在时，
·
2
PA PB
，斜率存在时，设出直线方程，利用距离公式可求出
2
2
1
1
1
PA PB
k
k
，令
1
0
k
m
，讨论m 正负即可求出.
【详解】（1）由题意，设
1
(
A x ，
1)
x ，
2
(
B x ，0) ，且
1
x ，
2 0
x ；
当AB 的中点为P 时，有
1
2
1
2 3
0
2 1
x
x
x
，
解得
1
2
x
，
2
4
x
，
(2,2)
A
，
(4,0)
B
，
直线AB 的方程为
2
2
4
2
0
2
x
y
，
化为一般式为
4
0
x
y
；
（2）当斜率不存在时，
3,3 ,
3,0
A
B
，此时
·
2 1
2
PA PB
，
当k 存在时，设直线AB 的方程为：
1
(
3)
y
k x
. (
1
0)
k
k
或
直线AB 与
0(
0)
x
y
x
相交：可得
3
1
(
1
k
A k
，3
1)
1
k
k
，
直线AB 与x 轴正半轴相交与B ，可得
3
1
( k
B
k
，0)
那么：
2
2
2
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
1
k
k
k
PA PB
k
k
k
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1
4
4
1
2
2
1
(
1)
(
1)
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k k
k
k
，
令
1
0
k
m
，可得
2
2
1
1
2
1
(
1)
1
2
k
m
k
m
m
m
，
当
0
m
时，由于
2
2 2
m
m
，
·
PAPB 的最小值为：
4 2
4
4 2
4
4(1
2)
2 2
3
3
2 2
；
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当且仅当
2
m
时取等号.即
2
1
k
，舍去.
当
0
m
时，由于
2
2 2
m
m
，
·
PAPB 的最小值为：4 2
4
4( 2
1)
2 2
3
；
当且仅当
2
m
时取等号.即
2
1
k
.
故得
·
PAPB 的最小值为：4( 2
1)
(当且仅当
2
m
时取等号.即
2
1)
k
.
12.已知直线
: 2
1
1
5
1
0
l
m
x
m
y
m
，且与坐标轴形成的三角形面积为S.求：
（1）求证：不论m 为何实数，直线l 过定点P；
（2）分别求
3
S
和
5
S
时，所对应的直线条数；
（3）针对S的不同取值，讨论集合l 直线l 经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为S中的元素个数.
【答案】（1）定点
2,1
P
，见解析；（2）
3
S
时，2 条直线，
5
S
时，4 条直线；（3）①0
4
S
时，2
条直线；
②
4
S
时，3 条直线；
③
4
S
时，4 条直线.
【分析】（1）直线方程化为
(2
5)
(
1)
0
m
x
y
x
y
，令
2
5
0
1
0
x
y
x
y
求得直线l 所过的定点；
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与,x y 轴的交点，计算对应三角形的面
积，由此求得直线条数；
（3）由题意得
2
(2
1)
2
k
Sk
，讨论
0
k
和
0
k
时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得
出集合{ |l 直线经过P 且与坐标轴围成的三角形面积为}
S 中元素的个数．
【详解】（1）直线(2
1)
(
1)
5
1
0
m
x
m
y
m
可化为
(2
5)
(
1)
0
m
x
y
x
y
，
令
2
5
0
1
0
x
y
x
y
，解得
2
1
x
y
，
∴不论m 为何实数，直线l 过定点
(2,1)
P
.
（2）由题意知，直线的斜率k 存在，且
0
k
，
设直线方程为
1
(
2)
y
k x
，则直线与x 轴的交点为
1
2
,0
A
k
，与y 轴的交点为
(0,1
2 )
B
k ；
∴
AOB
的面积为
2
1
1
1
(2
1)
|
| |
|
2
|1 2 |
2
2
2 |
|
k
S
OA
OB
k
k
k
；
令
3
S
，得
2
(2
1)
6 |
|
k
k
，
0
k
时，方程化为
2
4
10
1
0
k
k
，
解得
10
84
8
k
，有两个正根，即有两条直线；
0
k
时，方程化为
2
4
2
1
0
k
k
，
12
0
，方程无实数根，即无直线；
综上知，
3
S
时有两条直线；
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令
5
S
，得
2
(2
1)
10 |
|
k
k
，
0
k
时，方程化为
2
4
14
1
0
k
k
，
解得
14
180
8
k
，有两个正根，即有两条直线；
0
k
时，方程化为
2
4
6
1
0
k
k
，解得
6
20
8
k
，有两个负根，即有两条直线；
综上知，
5
S
时有四条直线；
（3）由题意得，
2
(2
1)
2 |
|
k
S k
，
0
k
时，方程化为
2
4
(2
4)
1
0
k
S
k
，
解得
2
(
2)
4
4
S
S
S
k
，有两个正根，即有两条直线；
0
k
时，方程化为
2
4
(4
2 )
1
0
k
S k
，
4 (
4)
S S
，0
4
S
时，
，方程无实数根，此时无直线；
4
S
时，
0
，方程有一负根
1
2
k
，此时有一条直线；
4
S
时，
0
，解得
2
(2
)
4
4
S
S
S
k
，方程有两负根，即有两条直线；
综上知，0
4
S
时有两条直线；
4
S
时有三条直线，
4
S
时有4 条直线；
所以0
4
S
时，集合{ |l 直线经过P 且与坐标轴围成的三角形面积为}
S 中的元素有2 个；
4
S
时，集合{ |l 直线经过P 且与坐标轴围成的三角形面积为}
S 中的元素有3 个；
4
S
时，集合{ |l 直线经过P 且与坐标轴围成的三角形面积为}
S 中的元素有4 个．
13.如图，设直线1l ：
0
x
，2l ：3
4
0
x
y
．点A 的坐标为
3
1
4
a
a
，
．过点A 的直线l 的斜率为k，且与1l ，
2l 分别交于点M，
(
N M，N 的纵坐标均为正数)．
（1）设
1
a ，求
MON
△
面积的最小值；
（2）是否存在实数a，使得
1
1
OM
ON
的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明
理由．
【答案】（1）
1
2 ；（2）存在；
2
a ．
【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l 的方程，再利用两条直线的交点坐标得
0
M
a
k
，
和
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4
4
3
3
4
3
4
3
k
a
k
a
N
k
k
，
，再结合题目条件得
3
4
k
，当
1
a 时，得直线OA 的方程为
0
x
y
，
01
M
k
，
和
4
4 3
3
4
3 4
3
k
k
N
k
k
，
，以及
2
OA
，再利用点到直线的距离公式得点M 和N 到直线OA 的距
离，从而得
MON
△
面积
2
2 1
3
4
k
S
k
，令
3
4
t
k
，则
0
t
，从而得S
1
1
2
8 t
t
，再利用基本不等式求最值，计算得结论；
(2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得OM
a
k
和
5
3
4
a
k
ON
k
，计算
4 2
1
1
5
k
OM
ON
a
k
，
由2
0
k
得结论．
【详解】(1)因为直线l 过点
3
1
(
)
4
A
a
a
，
，且斜率为k，
所以直线l 的方程为
1
y
k x
a
．
因为直线l 与1l ，2l 分别交于点M，N，所以
3
4
k
，
因此由
0
1
x
y
k x
a
得
0
x
y
a
k
，即
0
M
a
k
，
，
由
3
4
0
1
x
y
y
k x
a
得
4
4
4
3
3
3
4
3
k
a
x
k
k
a
y
k
，即
4
4
3
3
4
3
4
3
k
a
k
a
N
k
k
，
．
又因为M，N 的纵坐标均为正数，
所以
0
3
3
0
4
3
a
k
k
a
k
，即
0
4
3
0
a
k
k
，
而
3
4
a
，因此
3
4
k
．
又因为当
1
a 时，直线OA 的方程为
0
x
y
，
01
M
k
，
，
4
4 3
3
4
3 4
3
k
k
N
k
k
，
，且
2
OA
，
所以点M 到直线OA 的距离为
2 1
1
2
2
k
k
，
点N 到直线OA 的距离为
4
4
3
3
2 1
2
1
4
3
4
3
2 4
3
2 3
4
2
k
k
k
k
k
k
k
k
，
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因此
MON
△
面积
2
2 1
2 1
2 1
1
2
2
2
2 3
4
3
4
k
k
k
S
k
k
．
令
3
4
t
k
，则
0
t
且
3
4
t
k
，
因此
2
2
3
2 1
1
4
8
t
t
S
t
t
1
1
1
1
1
2
2
2
8
8
2
t
t
t
t
，
当且仅当
1
t
t
，即
1
t 时，等号成立，
所以S 的最小值为
1
2 ，即
MON
△
面积的最小值为1
2．
(2)存在实数
2
a
，使得
1
1
OM
ON
的值与k 无关．
由(1)知：
0
M
a
k
，
，
4
4
3
3
4
3
4
3
k
a
k
a
N
k
k
，
，且
0
4
3
0
a
k
k
，
因此OM
a
k
，
5
3
4
a
k
ON
k
，
所以
4 2
1
1
1
3
4
5
5
k
k
OM
ON
a
k
a
k
a
k
．
又因为2
0
k
，所以当
2
a
时，
1
1
OM
ON
为定值4
5 ，
因此存在实数
2
a
，使得
1
1
OM
ON
的值与k 无关．
14.在平面直角坐标系内，对于任意两点
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，定义它们之间的“曼哈顿距离”为
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
.
（1）求线段
2( ,
0)
x
y
x y
上一点
( , )
M x y 到原点
(0,0)
O
的“曼哈顿距离”；
（2）求所有到定点
( , )
Q a b 的“曼哈顿距离”均为2 的动点围成的图形的周长；
（3）众所周知，对于“欧几里得距离”
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
，有如下三个正确的结论：
①对于平面上任意三点
, ,
A B C ，都有AB
AC
CB
;
②对于平面上不在同一直线上的任意三点
, ,
A B C ，若
2
2
2
AB
AC
CB
，则ABC
是以
C
为直角的直角
三角形；
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③对于平面上两个不同的定点
,
A B ，若动点P 满足PA
PB
，则动点P 的轨迹是线段
,
A B 的垂直平分线；
上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由.
【答案】（1）2；（2）8 2 ；（3）①正确，②错误，③错误，理由见解析
【解析】（1）直接根据新定义计算；
（2）不妨取Q 点为原点，求出所有到定点
( , )
Q a b 的“曼哈顿距离”均为2 的动点围成的图形，然后再求图形
的周长．
（3）用“曼哈顿距离”表示出三个命题的条件，代入检验判断三个命题是否正确．
【详解】（1）因为
( , )
M x y 在线段
2( ,
0)
x
y
x y
上，所以
0,
0
x
y
，
0
0
2
MO
x
y
x
y
；
（2）不妨设Q 点就是原点（否则把Q 到平移到原点，不改变图形的周长），
若
( , )
M x y 在第一象限（含,x y 轴正半轴），则
0
0
2
MO
x
y
x
y
，因此点
( , )
M x y 在线段
2( ,
0)
x
y
x y
上，其长度为2 2 ，根据对称性，它在第二象限、第三象限、第四象限的部分（含相应坐
标轴上的点）都是一条线段，长度均为2 2 ，所以总长度为2 2
4
8 2
．
（3）对平面上任意三点
1
1
2
2
3
3
( ,
), (
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
C x y
，“曼哈顿距离”为：
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
，
1
3
1
3
AC
x
x
y
y
，
2
3
2
3
BC
x
x
y
y
①由绝对值的性质显然有
2
3
1
3
1
2
x
x
x
x
x
x
,
2
3
1
3
1
2
y
y
y
y
y
y
,
所以AC
BC
AB
，
1
3
2
x
x
x
且
1
3
2
y
y
y
（或不等号全部改变方向）时等号成立．①正确；
②
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
2 (
)(
)
AB
x
x
y
y
x
x
y
y
，
2
2
2
2
2
2
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
(
)
(
)
(
)
(
)
2 (
)(
)
2 (
)(
)
AC
BC
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
1
2
1
2
2 (
)(
)
x
x
y
y
与
1
3
2
3
1
3
2
3
2 (
)(
)
2 (
)(
)
x
x
x
x
y
y
y
y
不一定相等，因此不能得出“欧几里得距离”这个
传统意义上的勾股定理的形式，不能判断ABC
是直角三角形．②错误；
③不妨设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
( , )
P x y ，由PA
PB
得
1
1
2
2
x
x
y
y
x
x
y
y
，
平方后得
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
(
)
(
)
2(
)(
)
(
)
(
)
2(
)(
)
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
，
显然
1
1
2(
)(
)
x
x
y
y
＝
2
2
2(
)(
)
x
x
y
y
不一定成立，因此
2
2
2
2
1
1
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
x
x
y
y
也不一定成
立，即不能得出“欧几里得距离”相等，P 不一定在线段AB 的垂直平分线上．③错误．
版小初高资料
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