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重难点专训02 三次函数的图像与性质
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
三次函数的
性
题型一：
单调
问题........................................................................................................................3
三次函数的图像
题型二：
问题............................................................................................................................4
三
三次函数的
题型
：
最值、极值问题................................................................................................................5
三次函数的
点
题型四：
零
问题............................................................................................................................6
三次函数的
题型五：
对称问题............................................................................................................................7
三次函数的
数
题型六：
切线
量问题....................................................................................................................8
三次函数
与
数的
题型七：
根
系
问题....................................................................................................................9
重难专题分层过关练..........................................................................................................................10
巩固过关...............................................................................................................................................................10
创新提升...............................................................................................................................................................11
1、三次函数的图象
对于三次函数
的判别式为
，不妨设
的两个实根是
,且
,则有以下情况：
图象
图象
2、三次函数的零点
对于三次函数
（
、
、
、
且
），其导数为
当
，其导数
有两个解
，
，原函数有两个极值
，
．
①当
时，原方程有且只有一个实根
②当
时，原方程有两个实数根
③当
时，原方程三个实数根．
3、三次方程韦达定理
若一元三次方程
存在三个实数根，则：
4、三次函数的对称性
三次函数f ( x)=ax 3+bx 2+cx +d(a>0)的图象关于点(−b
3a ,f (−b
3a ))对称，并且f '( x)在
x=−b
3a 处取得最小值，其图象关于直线x=−b
3a 对称.
5、三次函数的切线问题
对于任意三次函数
，过其图象的对称中心作切线，坐标平面会被切线与
的图象分割为
四个区域，相关结论如下：
（1）过区域II、区域III 内的任意一点及
的对称中心作
的切线，有且仅有1 条；
（2）过切线上的点或
图象上除对称中心外的点作
的切线，有且仅有2 条；
（3）过区域I、区域IV 内的任意一点作
的切线，有且仅有3 条。
6、极值点与对称中心的关系
设三次函数
的对称中心横坐标为
，若
存在两个极值点
，则
．
题型一：三次函数的
性
单调
问题
典例1-1．函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例1-2．已知三次函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程，
(2)讨论
的单调性.
变式1-1．已知三次函数
在
上单调递增，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．已知函数
．
(1)若
在点
处的切线方程为
，求
的值；
(2)求
的单调区间．
题型二：三次函数的图像问题
典例2-1．三次函数
的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
典例2-2．设三次函数
的导函数为
，函数
图象的一部分如图所示，则下列说法正确的
个数为（ ）
①函数
有极大值
②函数
有极小值
③函数
有极大值
④函数
有极小值
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变式2-1．如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连
续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（多选）已知三次函数
的导函数
的图象如图，且
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：三次函数的最值、极值问题
典例3-1．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直
方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数
在A，B 两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成
的夹角，则A，B
两点在水平方向的距离约为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3-2．已知函数
在
处的切线与直线
平行，且在区间
内存在最
小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（多选）已知三次函数
，则（ ）
A．函数
一定有两个极值点
B．当
时，
C．当
时，
的极小值为0
D．
在区间
上的值域为
变式3-2．
在
上对任意
都存在
使
，则实数
的取值范围是
．
题型四：三次函数的
点
零
问题
典例4-1．设三次函数
的导函数
，且
，则函数
的零点个
数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
典例4-2．已知三次函数
过点
，且函数
在点
处的切线
恰好是直线
．
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，若函数
在R 上有三个不同零点，求实数
的取值范围．
变式4-1．已知三次函数
的极大值是20，其导函数
的图象经过点
，
.如图所示.
(1)求
的单调区间；
(2)求a，b，c 的值；
(3)若函数
有三个零点，求m 的取值范围.
变式4-2．（多选）已知三次函数
有三个不同的零点
，函数
也有三个零点
，则（ ）
A．
B．若
成等差数列，则
C．
D．
题型五：三次函数的对称问题
典例5-1．（多选）三次函数
的性质，下列说法正确的是（ ）
A．
是
的极大值点
B．当
时， 方程
有三个实根
C．当
时，
D．
的图象关于点
对称
典例5-2．已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若函数
的图象关于点
对称，求
的值.
变式5-1．（多选）已知函数
的图象关于点
对称，则（ ）
A．
B．
是
的极小值点
C．当
时，
D．若
在
上有最小值，则
变式5-2．函数
的定义域为
，如果
，都有
恒成立，那么
的图象
关于
对称．已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
①证明：函数
图象关于
对称；
②求
的值．
题型六：三次函数的
数
切线
量问题
典例6-1．（多选）已知函数
，若过点
恰能作2 条曲线
的切线，则
的值
可以为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
典例6-2．已知函数
，
.
(1)求曲线
过点
处的切线；
(2)若过点
存在3 条直线与曲线
相切，求t 的取值范围.
变式6-1．（多选）已知函数
，其中实数
，点
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
必有两个极值点
B．当
时，点
是曲线
的对称中心
C．当
时，过点
可以作曲线
的2 条切线
D．当
时，过点
可以作曲线
的3 条切线
变式6-2．已知函数
(1)求
在区间
上的最值；
(2)若过点
存在3 条直线与曲线
相切，求的取值范围；
(3)若过点
作曲线
的切线，可以作出几条？
题型七：三次函数
与
数的
根
系
问题
典例7-1．设
，若方程
（
）有个不同的根
，
，，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例7-2．已知函数
．
(1)若
，函数
的图象能否总在直线
的下方？说明理由；
(2)若函数
在
上是增函数，求
的取值范围；
(3)设
为方程
的三个根，且
，
，
，求证：
或
．
变式7-1．已知函数
在
上为增函数，在
上为减函数，且方程
的
三个根分别为
．
（1）求实数
的取值范围；
（2）求
的取值范围．
变式7-2．（多选）设函数f (x)= x( x -b)
2，若
，直线
与函数
的图象有三个交点，其坐标分
别为A(x1,1),B(x2,1),C (x3,1)，且
，则（ ）
A．
B．若
成等差数列，则
C．
D．
巩固过关
1．（多选）已知三次函数
的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的解集为
2．已知函数
，
，若对于任意
，都存在
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若曲线
有3 条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范围为 .
4．（多选）已知函数
，则下列正确的选项有（ ）
A．
是函数
的极小值点
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．函数
在区间
上既有最大值也有最小值，则
的范围是
D．关于
的不等式
的解集为
5．对于三次函数
，定义：设
是函数
的函数
的导数，
若
有实数解
，则称点
为函数
的拐点；此时
“
”
的图象关于拐点对称
“
”
.
已知函数
的拐点为
“
”
，则点
坐标为 ，
在点
的切线为
，
若存在
，使不等式
成立，则实数
的取值范围是 .
6．（多选）设函数
．则（ ）
A．
是
的极小值点
B．
的对称中心是
C．当
时，
D．当
时，
7．若函数
的两个极值点均为正数，则实数
的取值范围为 .
8．设函数
有三个不同的零点，从小到大依次为
，则
①
②函数
的对称中心为
③过
引曲线
的切线，有且仅有1 条
④若
成等差数列，则
9．已知函数
，
，在
上的极小值也是
在
上的最小值，则实
数
的取值范围是 ．
10．设函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求
的取值范围．
创新提升
1．（多选）已知函数
，其中
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
是
的极小值点
C．若关于
的方程
有3 个不同的实数根，则
D．若对任意
都有
，则
2．（多选）三次函数
，定义：
是
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为
的拐点
“
”.某同学经探究发现：任
何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若函数
“
”
“
”
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
拐点处的切线方程为
B．当
时，
在区间
内存在最小值，则
的取值范围是
C．若经过点
可以向曲线
作三条切线，则
的取值范围是
D．对任意实数
，直线
与曲线
有唯一公共点
3．若三次函数
有三个相异且成等差的零点，则a 的取值范围为 .
