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第二章 平面解析几何（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若直线的斜率为
，则的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由斜率
（
直线的倾斜角）求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为
，因为直线的斜率是
，所以
，
又因为
，所以
，即直线的倾斜角为
．
故选：C
2．圆
的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】使用圆的一般方程
的圆心公式
.
【详解】使用圆的一般方程
的圆心公式
，其中
， 圆心坐标为
．
故选：B.
3．抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由抛物线的标准方程可得结果.
【详解】依题意得
，所以
，所以
，又抛物线开口向左，
所以抛物线
的准线方程为
．
故选：B.
4．若直线：
与直线
：
平行，则
（ ）
A．4
B．1
C．1 或-4
D．-1 或4
【答案】D
【分析】根据直线一般方程的平行关系求
的值，并代入检验即可.
【详解】依题意得，
，
得
，
解得
或
，
若
时，直线
与直线
平行，符合题意；
若
时，直线
与直线
平行，符合题意；
综上所述：
或
．
故选：D
5．过直线l：
上一点P 作圆M：
的两条切线，切点分别为A，B，若
的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
最大有
且圆心
到直线l 的距离最短，利用圆的切线性质得
，再
应用点线距离公式列方程求参数值.
【详解】当
时，圆心
到直线l 的距离最短，
最大，
因为
的最大值为
，
在
，
中，
，
，所以
，
当
最大时，圆心M 到直线l 的距离为4，即
，解得
（舍）或
．
故选：C
6．已知抛物线
的焦点为
，若
上一点
到
轴的距离为3，到
的准线的距离为
4，则直线
的倾斜角为（ ）
A．60°
B．60°或120°
C．30°
D．30°或150°
【答案】B
【分析】根据抛物线的准线方程结合已知条件解出
，进而得到
点坐标，再利用斜率公式求解即可.
【详解】过
上一点
作准线的垂线，垂足为
，与
轴的交点为
，连接
，
由题意可得
，
，的方程为
，
所以
，解得
，所以
的方程为
，则
，且
，
当
时，
的斜率
，此时
的倾斜角为60°；
当
时，
的斜率
，此时
的倾斜角为120°；
所以直线
的倾斜角为60°或120°，
故选：B
7．如图，假定一个弹珠（设为质点
，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径
）的中心
为右
焦点的椭圆
，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点
到小球表面最近的距离
是5，弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心
的距离是
时，弹珠由于外力作用
发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率
为“变轨系数”，若使弹珠和小球不会发生碰
撞，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依据题意得到椭圆的方程，然后联立
，得到
，设直线方程，最后根据
到
直线距离大于1 计算可得.
【详解】设椭圆
的方程为
由题意，得
；
，所以
设
，
到原点距离为
的圆的方程为
联立
，所以
，
设直线方程为
，即
，
弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心
到直线
的距离大于圆半径1，
所以
，解得
，
故选：A．
8．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线
绕其顶点分别逆时针旋转
后所得的三条曲线及抛物线
围成的，则下列说法错误的是（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点
的距离的最大值为
C．四叶图的面积小于6
D．动直线
被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
【答案】D
【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方
程，求出点A 的坐标，即得四叶图上的点到点
的距离的最大值
；对于CD，由图像对称性，当与
平行的直线分别与抛物线相切时的弦取得最大，利用导数几何意义可求切点
，根据对称性再得到
，即可求弦长最大值，又第一象限花瓣一半的面积小于
与
的差，所以求出
与
的差，即可判断阴影区域面积小于6.
【详解】由题知
，开口向右的抛物线方程为
，焦点
，
所以开口向上的抛物线方程为
，即
，故A 正确；
又
，所以
，
所以四叶图上的点到点
的距离的最大值
，故B 正确；
，且在第一象限的区域关
对称，直线
与直线
垂直，
所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与
平行的直线分别与抛物线相切时，
设切点为
，开口向上的抛物线方程为
，
又
，所以切点
，由对称可得切点
，
此时弦长最大值
，故D 错误；
切线
的方程为
，与
轴交点
，
过点
的切线方程为
，与
轴交点
，与切线
的交点
，
由图知第一象限花瓣一半的面积小于
与
的差，
，
所以阴影区域面积小于
，故C 正确；
故答案为：D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．平行于直线
0，且与它距离为
的直线方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】设与直线
平行的直线方程为
，然后由平行直线距离公式可得答案.
【详解】由题意，设与直线
平行的直线方程为
，由两平行直线间的距离公
式可得
，解得
或
，故所求直线方程为
或
．
故选：AD
10．下列结论正确的是（ ）
A．椭圆
的焦点坐标是
B．双曲线
的顶点坐标是
C．抛物线
的准线方程是
D．双曲线
的离心率
【答案】BCD
【分析】由题意，根据椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与性质依次判断选项即可.
【详解】A：在椭圆
中，因为
，
，
则
，且焦点在
轴上，故A 错误；
B：在双曲线
中，
，顶点在y 轴上，
所以双曲线的顶点为
，故B 正确；
C：抛物线
的准线为
，故C 正确；
D：双曲线
中，
，则
，
所以双曲线的离心率为
，故D 正确．
故选：BCD．
11．已知
，
，
为平面上的动点，定义运算：
，其中
．（ ）
A．若运算*为加法，则
点的轨迹为椭圆
B．若运算*为减法，则
点的轨迹为双曲线
C．若运算*为乘法，则
点的轨迹为直线
D．若运算*为除法，则
点的轨迹为圆
【答案】AD
【分析】根据题目新定义的条件，结合曲线的定义分别分析即可.
【详解】对于A，若运算*为加法，则有
，
因为
，所以
，
所以根据椭圆的定义知，
的轨迹是以A，B 焦点，实轴长为
的椭圆，
故选项A 正确；
对于B，若运算*为减法，则有
，
当
时，
点的轨迹不存在，
故选项B 错误；
对于C，若运算*为乘法，则有
，
，
设
，则由
有，
，
两边平方得：
，其中
，
所以方程不可能表示直线，所以
点的轨迹不是直线，
故选项C 错误；
对于D，若运算*为除法，则有
，
设
，由
，即
，
即
，
两边平方：
，
整理得：
，
因为
，所以
，
所以
，
由
，
因为
，所以
，
所以
，
所以点
的轨迹是圆，故选项D 正确，
故选：AD．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若点
在圆
外，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据条件，得
，即可求解.
【详解】因为点
在圆
外，
则
，解得
，
故答案为：
.
13．设
为抛物线
：
的焦点，点
为
上一点，过
作
轴的垂线，垂足为
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点
的坐标
，进而求得
，再根据
解得
，
．法一：根据两角互补和余弦公式解得结果；法二：计算得到
，
，在
中，由余弦定理计算得到结果．
【详解】因为抛物线
，所以
，所以抛物线的焦点
的坐标为
．
设
，如图，由抛物线的定义可知
，又
，
所以
，解得
，故
．
方法一：设
为原点，则
．
方法二：
，所以
，
在
中，由余弦定理得
．
故答案为：
.
14．在平面直角坐标系
中，动点
到
、
两点的距离的平方和为10，则
的取
值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意计算化简得出点
的轨迹是以原点
为圆心，半径
的圆，将
看作是点
与点
连线的斜率
，利用直线与圆的位置关系求得
的取值范围，即可得解.
【详解】由动点
到点
距离的平方和为10，得
，
则点
的轨迹方程为
，点
的轨迹是以原点
为圆心，半径
的圆，
可看作是点
与点
连线的斜率
，
设直线
，即
，则圆心
到直线的距离
，
由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离
，整理得
，解得
或
，
所以
的取值范围为
．
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．求过两条直线
和
的交点，且分别满足下列条件的直线的方程：
(1)与直线
平行；
(2)与直线
垂直．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】解法1：（1）求出直线的交点，利用线线平行斜率相等即可求解；（2）利用线线垂直斜率关系
即可求解；
解法2：（1）（2）设出两条直线
和
的交点的直线的方程为
，利用平行、垂直关系即可求解.
【详解】（1）解法1：联立方程
，得两条直线的交点为
，所以直线过点
．
因为直线与直线
平行，所以
，即
，所以直线的方程为
．
解法2：设过两条直线
和
的交点的直线的方程为
，
即
．
因为直线与直线
平行，所以
，解得
，
所以直线的方程为
，即
．
（2）解法1：因为直线与直线
垂直，所以
，即
，所以直线的方程为
．
解法2：设过两条直线
和
的交点的直线的方程为
，
即
．
因为直线与直线
垂直，所以
，解得
，
所以直线的方程为
，即
．
16．已知圆C：
关于直线
对称，且过点
．
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)若直线l 过点
，且与圆C 交于A，B 两点，满足
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
，
．
(2)
或
．
【分析】（1）由圆的一般式方程
可得圆心为
，用两点之间的距离得到
径,即可得到结果.
（2）首先将直线分为斜率不存在时与斜率存在时，再利用弦长公式
即可得到直线方程.
【详解】（1）根据题意，圆C：
的圆心为
，
因为圆C 关于直线
对称，所以点C 在直线
上，可得
，即
，
由点
在圆C 上，可得
，解得
，所以
，
圆心为
，半径
．
（2）由（1）得圆C 的标准方程为
，
①当直线l 的斜率不存在时，直线l：
，交圆C 于点
，
，此时
，符合题意；
②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为
，即
．
若圆心
到直线l 的距离为d，则
，解得
．
所以
，解得
，所以直线l 的方程为
．
综上：直线l 的方程为
或
．
17．（1）过点
的直线与椭圆
相交于
两点，若
为线段
的中点，求直线
的方
程．
（2）已知双曲线
，经过点
能否作一条直线，使与双曲线交于
，且点
是线段
的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）不存在这样的直线，理由见解析
【分析】（1）设直线与椭圆的交点为
，代入椭圆方程，利用点差法可求出直线的斜
率，从而可求出直线方程；
（2）设
，代入双曲线方程，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，然
后将直线方程代入双曲线方程检验即可.
【详解】（1）设直线与椭圆的交点为
．
因为
，所以点
在椭圆
内，
为
的中点，
．
又
两点在椭圆上，则
，
两式相减得
，
于是
，
，即
，
故所求直线的方程为
，即
．
（2）设存在被点
平分的弦
，且
，
则
，
，
两式相减，得
，
故直线
．
由
，消去
得
，
．
这说明直线
与双曲线不相交，
故被点
平分的弦不存在，即不存在这样的直线．
18．已知平面内的动点
与两个定点
，
的距离的比为
，记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程，并说明其形状；
(2)若过点
的直线与曲线
交于
两点，求
的取值范围；
(3)已知
，过直线
上的动点
分别作曲线
的两条切线
，
（
为切点），证
明：直线
过定点，并求该定点坐标．
【答案】(1)
，曲线
是以
为圆心，2 为半径的圆．
(2)
(3)证明见解析，定点
．
【分析】（1）设
，根据条件得
，化简，即可求解；
（2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心
到直线
的距离为
，利用几何关系可知
，再利用弦长公式，即可求解；
（3）根据条件可得
在以
为直径的圆上，求出以线段
为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的
求法，求得直线QR 的方程为
，即可求解.
【详解】（1）设
，由
，得
，
化简得
，即
，
故曲线
是以
为圆心，
为半径的圆．
（2）设圆C：
，将点
代入圆C 的方程等号左侧，得
，
故点
在圆
的内部．
设圆心
到直线
的距离为
，所以
．
又
，
，所以
，所以
，
当直线
过圆心时，
，此时
最大，
故
的取值范围为
．
（3）如图，由题意知，
与圆相切，
为切点，
则
，
，则
四点共圆，且
在以
为直径的圆上，
因为
，
，所以
的中点为
，
，
以线段
为直径的圆的方程为
，
整理得，
，①
又
在曲线
：
②上，
②
①，得
，所以直线
的方程为
．
当
时，
，则直线
恒过定点
．
19．已知椭圆
的上焦点
也是抛物线
的焦点，
的上顶点为
，下顶点
为
，且
.
(1)求
的方程.
(2)过点
作一条斜率为
的直线，与
交于
，
两点，与
交于
，
两点.
（i）若
为定值，求的值.
（ii）是否存在实数
，使得
的面积恰好是
的面积的3 倍？若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得
，然后求出
，可得椭圆方程；
（2）（i）设的方程为
，分别联立椭圆方程和抛物线方程消元，利用弦长公式求出
和
，然后利用韦达定理化简即可得解；
（ii）根据
分析可知，若存在满足题意的
，则
，然后作出比较可解.
【详解】（1）由
的方程可知
，所以
的半焦距
，
又
，所以
，故
的方程为
；
（2）设
，
，
，
，
由题意可得的方程为
，与
的方程联立，得
，
消去
得
，
，
所以
，
，
故
，
将与
的方程联立，得
，
消去
得
，
，
所以
，故
，
（i）要使
为定值，则
，解得
，
此时
为定值
；
（ii）不存在，理由如下：
由已知可得
，则点
到的距离是点
到的距离的3 倍，
要使
的面积恰好是
的面积的3 倍，则必须满足
，
而
，
即
，故不存在满足条件的实数
.
