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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 重难点专题05 三元一次方程组 模块一、三元一次方程组 重难点一、三元一次方程组的定义 判定三元一次方程组抓住三大条件：一共含有三个未知数；每一个方程都是 整式方程；未知数最高次数为 1。注意不需要每个方程都同时包含三个未知数，只要方程 组整体满足条件即可。做题区分一次项与常数项，警惕未知数乘积形式，出现 xy 等次项 就不属于一次方程。 1．（25-26 八年级上·全国·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ） 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 4．（25-26 七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26 八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 重难点二、三元一次方程组的解 三元一次方程组的解，是同时满足方程组内所有方程的一组未知数的值。解 题核心思路为消元，先通过代入或加减消元消去一个未知数，转化成熟悉的二元一次方程 组。求出两个未知数后，再回代求出第三个未知数。算出结果后，务必代入全部方程逐一 检验。 1．（25-26 七年级下·甘肃天水·期中）已知 ，要使解法较为简便，应该（ ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 2．（25-26 七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组 ，若先消去 ，组成关于 、 的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．（22-23 七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组 的解为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26 七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组 消去未知数z 后，得到的二元一 次方程组是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26 八年级上·全国·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 6．（25-26 七年级下·河南周口·阶段检测）三元一次方程组 ，则 ________ 7．（25-26 七年级下·天津和平·期中）三元一次方程组 的解是___________． 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ，求a、b、c 的值． 9．（25-26 七年级下·全国·课后作业）解方程组： ． 10．（24-25 七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) ； (2) ． 模块二、三元一次方程组的应用 重难点一、阅读材料题型 三元一次方程组阅读材料题，先要读懂题干给出的新概念、新方法。提炼材 料中的运算规则，结合消元思想灵活套用。按照例题示范步骤搭建方程组，不要主观自创 规则。遇到整体求值类问题，优先考虑整体换元，避免盲目求出所有未知数，简化复杂运 算。 1．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将 看作一个整体，将①整体代入②，得 ，解得 ． 把 代入①得 ，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． (1)用这种方法解方程组 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 (2)方程组 的解为__________． 2．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，老师布置了这样一道题目：已知方程组 ，求 的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化” 方法求解．因为问题是求解 整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出 即可，即 ，接下来把 和 分别看作一个整体，采用“代入消元法”或者 “加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求出 的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知 ，求 的值． 3．（24-25 七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组 时发现，可以将①＋②得： ③，将③ 得： ④，将④ 得： ⑤，用⑤－①得： ，②－⑤得： ， 方程组的解为 ，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的 “凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于 的方程组 ，则方程组的解是________． (2)已知关于 的方程组 ，则 ________．方程组的解是________． (3)对于有理数 定义一种新的运算： ，其中 是常数，等式的右边是有理数的 运算，若 ， ，求 的值． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 4．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）【阅读感悟】已知关于 ， 的方程组 ，求代数式 和 的值． 本题常规思路是解方程组求得 ， 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其 实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过变形整体求得代数式的值，例如，由 可得 ，由 可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知关于 ， 的方程组 ，则 _______； ________； 【拓展延伸】 (2)某班组织活动购买小奖品，买10 支中性笔、4 支记号笔、2 本日记本共需42 元；买19 支中性笔、7 支记号笔、3 本日记本共需74 元．求购买1 支中性笔、1 支记号笔、1 本日记本共需多少元？ 5．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）【阅读理解】在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的 方法，化难为易． 例：已知 ，求 的值． 解： 得： ③ 得： ，所以， 的值为2． 【类比迁移】 (1)已知 ，求 的值； 【实际应用】 (2)某班级组织活动购买小奖品，买3 支铅笔、2 块橡皮、1 本笔记本共需15 元，买7 支铅笔、5 块橡 皮、3 本笔记本共需38 元，则购买15 支铅笔、15 块橡皮、15 本笔记本共需多少元？ 6．（25-26 七年级下·山东德州·期末）阅读感悟： 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 有些关于方程组的问题，我们不需要单独求出每一个未知数的具体数值，而是要得到关于这些未知数的 整体表达式的值，如以下问题： 已知实数 满足 ， ，求 和 的值． 本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组 ，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买 支铅笔、本日记本共需 元，买 支铅笔、本日记本共需 元，利用上述“整体思想”求购买5 支铅笔、5 本日记本共需多少元？ (3)对于实数 、 ，定义新运算： ，其中 、 、是常数，等式右边是通常的加法和乘 法运算．已知 ， ，那么 ． 7．（25-26 七年级下·云南昆明·期末）【感悟思想】 已知实数x，y 满足 ①， ②，求 和 的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y 的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如 可得 ； 可得 ． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 (1)已知二元一次方程组 ，则 ________， ________； (2)已知方程组： ，则 ________； 【应用思想】 (3)某班级组织活动购买小奖品，买20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需27 元，买39 支铅笔、5 块橡 皮、3 本日记本共需50 元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1 支铅笔、1 块橡皮、1 本日记 本的价格共需多少元？ 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 七年级下·四川乐山·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出 错．如果把方程组中的 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过 程： 令 ，原方程组化为 ，解得 ， 把 代入 ，得 ，解得 ， ∴原方程组的解为 ． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3 件、乙2 件、丙1 件共需315 元，购买甲1 件、乙2 件、丙3 件共需285 元，求购买甲、乙、丙三种商品各1 件共需多少钱． 重难点二、实际应用题型 三元一次方程组实际应用题，题干通常包含三组等量关系。合理设出三个未 知数，根据文字描述列出方程组，运用消元法逐步求解。最后结合现实情况筛选答案，人 数、物品数量等一般取正整数。审题梳理清楚数量关系，防止混淆条件，做完检验数值是 否符合题意。 1．（25-26 七年级下·山东泰安·期末）如图，有A，B，C 三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘 上，天平都能平衡，则一个B 砝码和一个C 砝码的质量比为（ ） 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2．（25-26 八年级下·北京怀柔·期中）如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙 件、丙件，共需 元；若购甲 件、乙 件、丙件，共需 元；现购甲件、乙件，共需（ ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 4．（25-26 七年级下·内蒙古赤峰·期末）春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装 饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5 朵红花、4 朵黄花和3 朵紫花搭配而成，乙种花 束由3 朵红花、3 朵黄花和2 朵紫花搭配而成，丙种花束由2 朵红花、1 朵黄花和1 朵紫花搭配而成．这 些花束一共用了1060 朵红花，680 朵黄花，则紫花一共用了（ ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 5．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）现有四张分别写有数字的卡片A，B，C，D．李明同学计 算出三张卡片上的数字的和．如下表： 卡片编号 A，B，C B，C，D C，D，A D，A，B 三数的和 则卡片C 上标有的数字为（ ） A． B． C． D． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 6．（2026·浙江金华·二模）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了 “幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个 数字之和都相等， 的值等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 7．（25-26 七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相 等，则 ______． 8．（25-26 七年级上·广东广州·期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛 共11 轮，胜一场记3 分，平一场记1 分，负一场记0 分．某校队所负场数是胜的场数的 ，结果共得20 分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 9．（25-26 七年级下·北京朝阳·期中）“3·28 活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每 个班级提供2000 元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公 园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需 费用如下表： 租车费用 （辆） 个人保险 （人） 纪念品套装 （套） 纪念品徽章 （个） 纪念品冰箱贴 （个） 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 （包含一个冰 箱贴和一个徽 章） 1500 元 5 元 30 元 16 元 20 元 （1）已知这个班级共有学生42 人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______ 个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一 共有______种购买方案． 10．（24-25 八年级上·四川成都·期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22 个，搭配为 A，B，C 三种盲盒各一个．其中A 盒中有2 个耳机，3 个优盘，1 个音箱；B 盒中耳机与音箱的数量之和 等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为 ；C 盒中有1 个耳机，3 个优盘，2 个音箱．经核算，A 盒的价值为145 元，B 盒的价值为245 元，则C 盒的价值为 _______元． 11．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知方程组 的解使式子 的值等于 ，求 的值． 12．（24-25 七年级下·山东德州·阶段检测）某服装厂专门安排 名工人进行手工衬衣的缝制，每件 衬衣由2 个小袖、1 个衣身、1 个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖 个，或衣身 个，或衣领 个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 13．（24-25 七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备 三种类型 的食物共310 份给需要救助的动物，现安排40 名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果 类型食物安排了16 名志愿者，那么 两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11 名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可 行的方案．
