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第06 讲 拓展一：平面向量的拓展应用
目录
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题............................................................................................................1
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题............................................................................................................5
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）..........................................................................9
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）........................................................................11
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）.............................................................18
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）........................................................................21
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）..........................................27
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））..........................................34
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）.........................................................42
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题
典型例题
例题1．（24-25 高一下·重庆万州·期中）已知向量
，若向量
的夹角是锐角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解
，再根据向量
的夹角是锐角与数量积与向量共线的
关系列式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为向量
，
的夹角是锐角，所以
解得
且
，所以
的取值范围是
.
故选：C.
例题2．（24-25 高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数
对应的点为
.
(1)若
为纯虚数，求
的值；
(2)设
为坐标原点，
为虚轴负半轴上任意一点，若向量
与
的夹角为锐角，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得
，再利用复数的分类，即可求解；
（2）设
，根据条件，利用向量的夹角公式，得
，即可求解.
【详解】（1）由已知得
，
为纯虚数，
，
解得
.
（2）设
，则
，
又
，
由
，
夹角为锐角得：
，且
与
不共线，
，
解得
且
，
故
的取值范围为
.
例题3．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
在
方向上的投影数量为1，求m 的值；
(3)若
，
的夹角为锐角，求m 的取值范围．
【答案】(1)18
(2)
(3)
，且
．
【分析】（1）根据向量的数量积的坐标运算得解；
（2）根据投影向量的数量的概念求解即可；
（3）转化为数量积为正，且不同向共线即可得解.
【详解】（1）若
，则
，故
，
所以
．
（2）
在
方向上的投影数量是
，
，
若
在
方向上的投影数量为1，则
，解得
．
（3）若
，
的夹角为锐角，则
，且
，
不共线，
由
，所以
，解得
，
由
，
不共线，所以
，解得
，
综上，m 的取值范围为
，且
．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量
，且
的夹角为锐角，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据夹角公式判断出
，同时需排除两向量同向共线的情况.
【详解】由夹角公式，
的夹角为锐角，即
，
即
，解得
；
当
共线时，
，解得
，
此时
满足
，此时两向量夹角为
，
于是
的夹角为锐角时，
.
故选：A
2．（24-25 高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，
．
(1)
是线段
上靠近
的三等分点，求点
的坐标；
(2)若
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标表示共线计算即可；
（2）结合坐标计算数量积利用坐标表示向量的夹角计算即可.
【详解】（1）设
，则
，
故
，
得
∴
∴
．
（2）由题意
，
又因为
与
的夹角为锐角，
所以
且
与
不共线，
则
解得
则
的取值范围为
．
3．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）已知向量
，
，
.
(1)若向量与
共线，求
的值；
(2)若向量与
的夹角为锐角，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知
，即可求出参数值；
（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是
且与
不同向共线，从而可得不等式组求解即可.
【详解】（1）由题意得，
，
，
由向量与
共线，得
， 解得
（2）由向量与
的夹角为锐角，得
，且与
不共线，
则
，
解得
，即
的取值范围为
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广西·阶段练习）若向量
与
的夹角为钝角，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由向量夹角为钝角可得两向量数量积小于0 且不反向，由此列出不等式求解即可.
【详解】因为向量
与
的夹角为钝角，
所以
且
，即
且
，
即实数
的取值范围是
，
故选：C.
例题2．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量
，
，且
与
的夹角为钝角，求实数
的取值范围.
【答案】
【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.
【详解】当
与
共线时，
，
，
此时
与
方向相反，夹角为180°，所以要使
与
的夹角为钝角，
则有
，且
与
不反向.由
得
，
由
与
不反向得
，
所以
的取值范围是
.
例题3．（24-25 高一下·天津南开·阶段练习）已知向量
，
．
(1)当
且
时，求
；
(2)当
，
与
夹角为钝角，求x 范围．
【答案】(1)
(2)
且
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；
（2）根据向量平行的坐标关系可求
，进而根据数量积为负即可求解.
【详解】（1）
，
，则
，
，
由于
可得
，
由于
，故
，
此时
，
，故
，则
，
（2）
，
，
由
，可得
，解得
，
由
可得
，
故当
与
夹角为钝角时，则
且
精练高频考点
1．（23-24 高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为钝
角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量
的夹角为钝角，由
且
与
不共线求得
的范围，再利用充分条件和必要条
件的定义判断..
【详解】由已知可得
，由
可得
，解得
，
所以由
与
的夹角为钝角可得
解得
，且
.
因此，当
时，
与
的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；
当
与
的夹角为钝角时，
，且
，即
成立，则必要性成立.
综上所述，“
”是“
与
的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B．
2．（23-24 高一下·山东济宁·期中）已知向量
，
，且
与
的夹角为
．
(1)求
；
(2)若
与
的夹角为钝角，求实数
取值的集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助向量夹角公式可得
，再借助向量模长定义计算即可得；
（2）两向量夹角为钝角，可得两向量数量积为负且不共线，计算即可得.
【详解】（1）向量
，
，可得
，
，且
，
因为
与
的夹角为
，可得
，
解得
或
（舍），
所以
，则
，
所以
；
（2）由向量
，
，
可得
，
，
由
，解得
，
当向量
与
共线时，可得
，解得
，
所以实数
的取值集合为
．
3．（24-25 高一下·广西南宁·期中）已知向量
，向量
．
(1)若
，求
与
的夹角；
(2)若
与
的夹角为钝角，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
得到
与
的夹角；
（2）根据
与
的夹角为钝角得到
且不反向共线，然后求
即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
与
的夹角为
.
（2）因为
与
的夹角为钝角，所以
，解得
，
当
与
反向共线，即
时，
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
4．（23-24 高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量
，
，
．
(1)①若
，求
；②若
，求
；
(2)若向量
与
的夹角为钝角，求x 的取值范围．
【答案】(1)①
或
；②
或
(2)
【分析】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得
；
（2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果.
【详解】（1）
，
，
①若
，则
，即
，解得
或
；
②若
，则
，解得
或
.
（2）由
，解得
或
，
又
时，
或
，
若向量
与
的夹角为钝角，则
或
或
，
故
的取值范围为
.
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量
满足：
，且
，若
，其
中
且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】由题意得
，结合
且
，将所求转换为求
的最
小值即可.
【详解】由题意得
，
等号成立当且仅当
，故
的最小值为
.
故选：D.
例题2．（24-25 高一下·浙江台州·期末）已知平面向量
，且
与
的夹角为
，若
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】根据题意，
，
故当
时，
的取最小值
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三上·河南南阳·期中）已知：
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设向量
与
的夹角为
，由
可得
，进而结合平面向量的运算律可得
，进而根据余弦函数的性质求解即可.
【详解】设向量
与
的夹角为
，
由
，得
，
所以
，
因为
，所以
，
即
，即
，
所以
的最大值为
.
故选：B.
2．（24-25 高一下·上海浦东新·期末）已知向量
，
满足
，
在
方向上的数量投影为
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据投影得到
，
，确定
，计算得到答案.
【详解】
在
方向上的数量投影为
，故
，
，
，（
），
，故
的最小值为
.
故答案为：
3．（24-25 高一下·海南海口·期末）已知向量
满足：
，且
．
(1)求向量
与
的夹角；
(2)设向量
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合条件，利用数量积的运算，得到
，再利用夹角公式，即可求解；
（2）根据条件，利用数量积的运算得
，即可求解.
【详解】（1）因为
，又
，
所以
，得到
，
所以
，又
，则
；
（2）因为
，则
，
所以当
时，
取得最小值，最小值为
.
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知
是平面向量，
是单位向量．若非零向量
与
的
夹角为
，向量
满足
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．
C．2
D．1
【答案】D
【分析】先确定向量
所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小
值．
【详解】设
，
共起点，
由
可得
得
，
如图
终点在
直径的圆上，
设
中点为
，
，
夹角为
，
因此，
的最小值为圆心
到向量
所在直线的距离2 减去半径1，为1.
故选：D.
例题2．（2025 高一·全国·专题练习）已知平面向量
满足
，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算及数量积和模长关系计算结合圆的性质求解.
【详解】如图，设
，
，
，
．
由极化恒等式得
，求得
，
所以
，所以
．
设
，
，则
，
点
在以点
为圆心，半径为
的圆上，所以
，
即
，
故选:A．
例题3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知
，
是两个单位向量，且
，若向量满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据模长公式可得
，根据向量的坐标运算
，利用
，可得点
的轨迹是以
为圆心，2 为半径的圆，求得圆心
到原点的
距离为
，从而可得答案．
【详解】已知
是两个单位向量，且
，
则
，
则
，则
，
设
分别是
轴与
轴正方向上的单位向量，
则
，
，
，
设
，则
，
因为
，
所以
，
故
中，点
的轨迹是以
为圆心，
2 为半径的圆，
圆心
到原点的距离为
，
．
故选：B．
例题4．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知
为单位向量，
满足
，则
的
最小值为
【答案】
【分析】设
，
，分析可知点
在直线
上，点
的轨迹为以
为圆心，半径为2 的圆，结合图形分析求解即可.
【详解】设
，
，
为坐标原点，
由
可知：点
在直线
上，点
在直线
上，
由
，可知点
的轨迹为以
为圆心，半径为2 的圆，
则
，
可知当且仅当点
为
，且点
为
时，
取到最小值1.
故答案为：1.
【点睛】方法点睛：对于向量问题，常常转化为几何问题，进而分析求解.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·广东湛江·阶段练习）已知平面向量
满足
，
，若
，
则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】将
的起点固定为同一点
，根据投影向量的定义可知向量
与
的终点与向量所在直线的
关系，从而表示出
，再结合图形关系分析判断即得.
【详解】不妨固定
的起点为同一点
，
因为
，所以
在方向上的投影向量恰为，即投影向量的模为，
所以向量
的终点在过的终点且垂直于的直线上（如图），
因为
，则
，即
，
同理可得向量
的终点在过
的终点且垂直于的直线上（如图
）
又
，所以
，所以
，
，
可以围成如图所示直角三角形，
故当且仅当
平行于时，
即两直线之间的距离，此时
取得最小值
.
故选：D
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知
是平面向量，
是单位向量，若非零向量
与
的夹角为
，
向量
满足
，则
的最小值是（ ）．
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意画出图示，确定点
的轨迹，然后根据图形确定
的最小值.
【详解】如图，设
，
，
，
．
由
得
，即
，
所以点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，
过点
作
的垂线，垂足为
，又
，
,则
所以
的最小值为
．
故选：C．
3．（2025 高一·全国·专题练习）已知
是平面向量，
是单位向量，若满足
，
，
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】由极化恒等式转化得
，利用投影向量的模，通过
，
求得
的范围即可．
【详解】如图，取
，因为
，
，所以可构造平行四边形
，
由投影向量的模可知
的终点
分别在垂直于
的直线
上，且
，
所以
，
．
由极化恒等式可得
，所以
，
即
，当
与
同向时等号成立．
故答案为：
.
4．（23-24 高一下·北京·期中）
与
是两个单位向量，
，则当
时，
取得最小值．
【答案】
/0.5
【分析】先由向量加法法则及其几何意义得出
与
夹角为
，再建立平面直角坐标系，用坐标进行运
算即可求解，或也可通过作图探究
最小值.
【详解】法一：因为
与
是两个单位向量，
，
所以由向量加法法则及其几何意义可知
与
夹角为
，
将
、
放置共起点位置，如图所示，建立平面直角坐标系，
则
，
，
所以
，
所以当
，
取得最小值为
.
故答案为：
.
法二：因为
与
是两个单位向量，
，
所以由向量加法法则及其几何意义可知
与
夹角为
，
将
、
与
放置共起点位置，如图所示：
则
终点始终在过
终点且平行于
所在直线上，
且当
与
垂直时
取得最小值为
，
此时
，即
.
故答案为：
.
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）
典型例题
例题1．（24-25 高三下·海南·阶段练习）设
是非零向量，且
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用
，结合向量三角不等式即可求得答案.
【详解】由题意得
，
当
和
方向相反时等号成立，
若
不共线，则设
，则
，无解；
故此时
共线，设
，
则由
可得
，
则
，两边平方解得
或
，
当
时，
和
方向相同，舍去，故
，
即得
，
，此时
的最大值为
，
故选：C
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，
，
，
，
，求
的取值范围．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设
，由
得
，作出图像，得
，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】由
得
，
建立平面直角坐标系，设
，标出各点坐标，如图1，
则有
，
即
，
整理得
，即
．
画出图形，如图2，则
，
所以
．
【点睛】
例题3．（2024 高三·全国·专题练习）已知向量
共面，且均为单位向量，
，则
的取
值范围是 .
【答案】
【分析】设
，
，再结合向量绝对值不等式即可得到答案.
【详解】如图，由题意可设
，
，则
，
因为
，再结合向量绝对值不等式
，
则当与
同向时，此时
最大，为
，
当c 与
反向时，此时
最小，为
.
故答案：
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·辽宁大连·期中）已知向量
，
满足
，
，则
的最小值是
，最大值是 ．
【答案】 6
【分析】利用向量三角不等式以及基本不等式即可求解.
【详解】解：
，
且
，
，当且仅当
与
反向时取等号. 此时
的最小值为6.
，
，当且仅当
时取到等号，
所以
的最大值为2
.
故答案为：6；2
.
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，
，为单位向量，且
，则
的最小值为
．
【答案】
【分析】先根据已知条件求出
的值，然后求出
的值，最后求出所求结果.
【详解】因为
，
，为单位向量，有
，得
，
由
，得
，
得
，所以
，
又
，所以
，
而
，
则
当且仅当
与
方向相反时“＝”成立
所以
的最小值为
．
故答案为：
.
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）
典型例题
例题1．（2024·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量
满足
，
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】C
【分析】设
，
，根据
求出
，再根据
得到
，最后根据向
量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意设
，
，
由
，所以
，则
，
又
，且
，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
时取等号，
即
的最大值为
.
故选：C
例题2．（2024 高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系
中，已知点
分别为
轴，
轴上一点，
且
，若点
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由向量的坐标运算及模的运算求出
关于变量
的表达式，
再结合三角函数值域的求法求解即可.
【详解】解：设
，则
，所以
，
，
所以
，所以
，
令
，则
.
当
时，
取得最大值
；
当
时，
取得最小值
；
故
的取值范围是
.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算及模的运算、三角函数值域的求法，属中档题.
例题3．（23-24 高一下·福建福州·期中）平面向量
满足
，且
，
则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知条件设出
的坐标，画出图形，
表示点
到点
和
的距离和等于
，由此可判断点
在线段
上，设
，得
表示
，然后利用对称和平面向量模的坐标公式可得结果．
【详解】由
，则
，
设
，设
，
，
，
因为
，
所以
，设
，
则
表示
，而
，
所以点
在线段
上，
，
设
，则
表示
，
设点
关于
的对称点为
，则点
的坐标为
，
由图可知
的最小为
的长，则
，
则
，
所以
的最小值为
，
故答案为：
．
精练高频考点
1．（2023 高三·全国·专题练习）已知平面向量
，
，满足
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
,
D．
,
【答案】A
【分析】令
，
，
，
,
，应用向量线性运算坐标表示得到
坐标，坐标公式求模，设
，应用辅助角公式及正弦型函数性质求范围即可.
【详解】设
，
，
，设
，
,
，
所以
，
所以
，
设
，
,
，则
，其中
，所以
，
所以
,
，故
,
，
所以
,
，即
,
.
故选：
2．（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）已知边长为1 的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A，D 分别在
x，y 的正半轴上（含原点O）滑动，则
的最大值是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】C
【分析】设出
，用
表示出
，结合三角函数的知识可求最大值.
【详解】解：当
与
重合时，
，此时
，
；
当
与
不重合时，设
，
，
因为
，所以
，
，
，
，
，
，
所以当
，即
时，
取得最大值3.
综上可知
的最大值为3.
故选：C.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知单位向量
的夹角为锐角且
的最小值为
，若向量
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题可知单位向量
的夹角为
，解法1、设
，根据
可得
，利用几何意义即可求解；解法2、设
，
，由
代入可得
，再利用零点存在定理即可；解法3、设
，
为
的中
点，根据极化恒等式
，再根据几何意义可解.
【详解】设
，
则
所以
，解得
，即单位向量
的夹角为
，
解法1：设
，
，
，
则
，
得
，
整理得
，
即
，
所以
．
解法2：设
，
，由
，
得
，
即
，
从而有
即
得
．
解法3：极化定理法
设
，
为
的中点，则
，
则有：
，
解得
，所以点
在以
为圆心、
为半径的圆上运动，
如图，则
，所以
．
故答案为：
.
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形
的边长为
为正八边形内的一点（含边界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积的几何意义可解问题.
【详解】过点
、
分别作
的垂线，垂足分别为点
、
，如下图所示：
其中
，故
，
当点
在线段
上时，
取最小值，
此时，
，
当点
在线段
上时，
取最大值，
此时，
，
综上所述，
.
故选：D.
例题2．（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被
用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的
摆放位置如图所示，
是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则
的最大值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】C
【分析】过C 作
交
延长线于E 点，则
，当C 位于D 点时，
取得最大值，求此时的数量积即可.
【详解】
过C 作
交
延长线于E 点，则
，
因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C 位于D 点时，
取得最大值，
此时
，
，
故选：C.
例题3．（24-25 高一下·上海宝山·期末）如图，以边长为1 的正方形
的各边为基准向外作正三角
形，构成八边形
.若点
、
在八边形的内部（含边界），则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，结合几何图形求出最小值.
【详解】要使
取到最小值，则
的夹角为钝角或平角，且它们的模尽可能的大，
因此点
应在八边形
边界上，由对称性不妨取点
为
点，
则点
在直线
上的投影在
的延长线，
当点
与
重合时，
在
上的投影向量的模最大，且与
方向相反，
此时
取得最小值，
，
，
，
所以
.
故答案为：
例题4．（24-25 高一下·山东济宁·期中）记
的内角
的对边分别为
，
，
，且
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由
得
，根据正弦定理、余弦定理化简可得
的
外接圆半径为
，根据向量数量积几何意义可知当点
与点
重合时，
有最小值.
【详解】因为
，
，且
，
则
，
利用正弦定理可得
，
整理可得
，
由余弦定理可得
，
且
，则
，
又因为
，可得
的外接圆半径为
，
可知点
在优弧
上运动（不包括端点），
过外接圆圆心
作
，当点
与点
重合时，
在
方向上的投影最小，
此时
，
，
.
根据数量积的几何意义可知：
的最小值为
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·安徽宿州·期中）在平面四边形
中，已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题设条件可得
，推出
四点共圆，化简
得
，利用向量数量积的几何意义，要求
的最小值，即求
在
方向上的投影的数量的最小值，结
合图形，可得当点
在劣弧
的中点位置时，投影的数量最小，即可求得
的最小值
【详解】
由
，
，
，可得
，
故
，又
，所以
，
以
为直径作圆
，则
四点共圆，
如图所示，故点
的轨迹是以
为弦，圆周角为
的劣弧（不含
，
两点），
于是，
，
又
表示
在
方向上的投影的数量，
由图可知，当点
在劣弧
的中点位置时，投影的数量最小，
此时，连接
交
于点
，则
，故
，
即
的最小值为
，
故
的最小值为
.
故选：C.
2．（24-25 高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10 个网格点，相邻网格点间的距离均为
1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则
的最大值与最小值的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在图形中找出使向量
在向量
上的投影取得最大值的位置，结合平面向量数量积公式计算
求解.
【详解】由
，得取
最大同时
在
上投影最大，则
取得最
大值，
如图，当
分别是最大的正三角形底边的端点，
B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时，
最大，且
在向量
上的投影也
达到最大值，
则此时
取得最大值，最大值为
；
由
，取
最大同时
在
上投影最小，则
取得最小值，
当
分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是
之间的一点时，
，此时
达到最小值，
所以
的最大值与最小值的和为
.
故选：C
3．（24-25 高一下·北京·期中）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形
的边长
为
是线段
的中点，
为正八边形内的一点（含边界），则
的最大值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量数量积的几何意义，数形结合求得答案.
【详解】过点
作直线
，交
于点
，
，如图，
，
其中
是
在直线上投影的数量，
要使
取最大值，则需使
在直线上投影的数量最大，
观察图形知，当点
在线段
上时
在直线上投影的数量最大，
而
，由对称性知
，
，
在
中，
，由
，解得
，
则
，所以
的最大值为
.
故答案为：
4．（24-25 高一下·湖北武汉·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的
是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块
面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形
的边长为4，点
是正八边形
的内部
（包含边界）任一点，则
的取值范围是 ．
【答案】
．
【分析】根据向量数量积的几何意义，
等于
在
上的投影与
的数量积，依据正八边形性
质，作出
在
上的投影再求解即可．
【详解】
如图，根据向量数量积的几何意义，
等于
在
上的投影与
的数量积，
因为正八边形，所以每个内角为
，
所以
，即
在
上投影为
，
当
在
上时， 设
与
交点为
，
为等腰直角三角形，
则
最小为
；
同理：
最大为
，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
．
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））
典型例题
例题1．（2025 高一·全国·专题练习）如图，等边
的边长为2，顶点
分别在
轴的非负半轴、
轴的非负半轴上滑动，
为
的中点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，则点的坐标，再应用数量积的运算律计算结合辅助角公式应用正弦函数值域求解
即可.
【详解】设
，则
，
，
由题意可得
，
，
所以
，其中
，
所以
的最大值为
．
故选:B．
例题2．（24-25 高一下·陕西商洛·期末）在梯形
中，
，
，
，
点E 在线段
上，则
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，以
为坐标原点，
为x 轴，以
为y 轴建立平面直角坐标系，设点
.根据
点E 在线段
上，所以设
，其中
，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可
求解.
【详解】根据题意，以
为坐标原点，
为x 轴，以
为y 轴建立平面直角坐标系如图所示，
则
，
，
，
，
所以
，
，
.
设点
.
因为点E 在线段
上，所以设
，其中
，
所以
，所以
，
所以
.
故选：D.
例题3．（24-25 高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪
生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为
正八边形
和圆
（图2），其中正八边形的中心是点
，鱼眼（黑、白两点）
，
是圆
半径的中点，且关于点
对称.若
，圆
的半径为2，当太极图转动（即圆面
及其内部点绕点
转动）时，
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】建立平面直角坐标系，写出
的坐标，再根据已知条件可得点
在以
为圆心，1 为半径的圆
上，且
关于原点对称，设出
坐标，运用平面向量数量积运算及三角恒等变换可得
，进而可求得其最大值.
【详解】如图所示建立平面直角坐标系，
因为八边形
是正八边形，所以
，则
.
因为
，则
.
由题意知，点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，且
关于原点对称，
设
，则
，
则
，
，
所以
，
其中
，
当
时，
为最大值.
故答案为：
.
例题4．（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）已知
中，
，且
的最小值为
，若P 为边AB 上任意一点，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】由题设，取
，结合平面向量基本定理，可得
为等腰直角三角形，再建立平面直
角坐标系，利用数量积的坐标运算，结合二次函数配方法求得最值即可．
【详解】取
，连接
，如图所示，
则
，
设
，则B，D，E 三点共线，
由
，可知当
时，
有最小值
，
故
，即
为等腰直角三角形，
以A 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则
，
，设
，
，
则
，
，
故
，
故当
时，可得
的最小值是
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高一下·安徽合肥·期末）已知
的内切圆圆心为
，半径
，且满足
是
内切圆上一动点，则
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
是
重心，也是内心，
是等边三角形，建立直角坐标系，写出点的坐标，设
，求出
，利用三角函数有界性求出
的取值范围.
【详解】由
，易知
是
重心，
又已知
的内切圆圆心为
，所以
也是
内心，
由三线合一可知
是等边三角形.
如图，以
为坐标原点，
所在直线为y 轴，平行于
的直线为
轴，
建立平面直角坐标系，
则
，
，
所以
，
所以
，
当
时，
取得最小值，最小值为
，
当
时，
取得最大值，最大值为
，
所以取值范围是
故选：B
2．（24-25 高一下·广东汕头·期末）已知
为直角三角形，
，
，
，
为
的中点.若点
在射线
上运动，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】以点
为原点，建立平面直接坐标系，得直线
的方程为
，设点
，利用
数量积的坐标运算得
，最后由二次函数即可求解.
【详解】由题意：以点
为原点，建立平面直接坐标系，则
，
所以直线
的方程为
，设点
，
所以
，
所以
，
当
时，
的最小值为：
.
故答案为：
.
3．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知在平面四边形
中，
，
，
，
，若
为边
上的动点，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】证明出
，可得出
，然后以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立平面直角坐标系，设点
，其中
，利用平面向量数量
积的坐标运算可求出
的取值范围.
【详解】因为
，
，
，故
，
所以
，
故
，
以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立平面直角坐标系，
则
、
、
、
，设点
，其中
，
则
，
，
所以，
，
因为
，则
，故
，
所以
，
故答案为：
.
4．（24-25 高一下·甘肃酒泉·期末）已知M、N 分别是四边形
的边
，
的中点．
(1)求证：
；
(2)若四边形
是边长为2 的正方形，点E 是边
的中点，求证：
；
(3)若四边形
是边长为2 的正方形，点E 是
边上的动点，求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)4
【分析】（1）结合图形，利用向量的加减数乘等运算和题设条件即可证得；
（2）通过建系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的充要条件即可证明；
（3）设
，则得
,利用向量的坐标计算数量积，再根据
,即可确定
的最大值.
【详解】（1）如图（1），
．
（2）以点A 为坐标原点建立如图（2）所示的平面直角坐标系，依题意，
有
，
，
，
，
，
，
则
，
，由
，可得
．
（3）由（2），设
，
，则
，
，
，
，
因为
，所以当
时，
的最大值为4．
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边
形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：
，我们称为极化
恒等式.在△
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．32
B．-32
C．16
D．-16
【答案】D
【分析】由题设有
，
代入极化恒等式求
即可.
【详解】由题设，
，
，
.
故选：D
例题2．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在边长为1 的正方形
中，
是以
为圆心，
为半径
的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解.
【详解】如图，取
的中点
，
，
而
，所以
．
故答案为：
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
是单位圆上的两点，
为圆心，且
，
是
的
一条直径，点
在圆内，且满足
，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量等式结合图形判断点
为线段
上的一点，将等式两边取平方，化简得
，求得
，再将
利用向量的线性运算和数量积运算，
化简后即可求得其范围.
【详解】
如图，因点
在圆内，且满足
，
由平面向量基本定理，可知点
为线段
上的一点，
因
，且
是
的一条直径，
将等式两边取平方：
，因
，则
.
由图知，
，
故
的取值范围是
.
故选：C
2．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，
，我们称为极化恒
等式. 已知在
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．
B．16
C．
D．8
【答案】A
【分析】可以把三角形补形为平行四边形，
,利用已知条件求解即可.
【详解】由题设，
可以补形为平行四边形
，
由已知得
．
故选：A．
3．（25-26 高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了
太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2 所示，其中正八边形的中心与圆心重合，
是正八边
形的中心，
是圆
的一条直径，且正八边形
内切圆的半径为
，
.若
点
是正八边形
边上的一点，求
的取值范围.
【答案】
【分析】根据向量的加减法化简，结合模长及数量积的运算律计算求解.
【详解】如图，连接
.
因为
，
，
所以
.
因为正八边形
内切圆的半径为
，
，
所以
.
因为
，所以
，所以
，
即
的取值范围是
.
