第2 讲 常用逻辑用语·配套讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................1
一、充分条件、必要条件、充要条件..................................................................................1
二、全称量词与存在量词......................................................................................................2
三、含有一个量词的命题的否定..........................................................................................2
三、方法总结......................................................................................................................................3
考点1：充分条件与必要条件...............................................................................................3
考点2：全称量词与存在量词命题.......................................................................................3
考点3：根据命题真假求参数范围.......................................................................................4
四、典题精讲......................................................................................................................................4
考点1：充分条件与必要条件...............................................................................................4
考点2：全称量词与存在量词命题.......................................................................................6
考点3：根据命题真假求参数范围.......................................................................................7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考查内容
2026
-
0 分
全国一卷中未直接考查
2025
-
0 分
全国一卷中未直接考查
2024
-
0 分
全国一卷中未直接考查
2023
第7 题（单选）
5 分
充分条件与必要条件（与集合交汇）
从近年全国一卷（新高考Ⅰ卷）的情况来看，常用逻辑用语的考查频次呈现出一定的
波动性.2023 年在单选题中进行了直接考查，但近三年（2024-2026）的试卷中未出现直接
针对该考点的独立试题.
2. 命题角度与特色
核心考点：充分条件与必要条件的判断，全称量词与存在量词命题的真假判断与否定.
命题趋势：常用逻辑用语作为独立考点进行直接命题的频率有所降低.它更多地作为
数学的基础语言，自然融入到函数、导数、不等式等模块中，例如在表述恒成立与存在性
问题时使用“对任意”“存在”等量词（如2026 年全国一卷第19 题题干中自然出现的
“对任意 x0∈R”“存在”等表述）.
试题特点：当直接考查时，通常与集合、不等式、数列等知识点交汇，以单选题形式
出现，难度中等偏易，侧重考查概念的理解与等价转化.
3. 备考策略
· 夯实基础概念：准确掌握充分条件、必要条件的定义，熟练运用集合的包含关系
（小集合是大集合的充分条件）进行判断.
· 注重语言转化：重点理解“对任意（∀）”和“存在（∃）”的数学含义，熟练掌
握含量词命题的否定规则，并能将其灵活应用于函数恒成立与存在性问题的求解中.
· 关注知识交汇：在复习其他模块（如向量、三角、解析几何）时，注意梳理相关定
理和公式的成立条件，培养严谨的逻辑推理习惯，以基础题和概念题为主，不必在偏难怪
的纯逻辑题上耗费过多精力.
二、知识清单
一、充分条件、必要条件、充要条件
1. 定义
如果命题“若 p，则 q”为真（记作 p⇒q），则 p 是 q 的充分条件；同时 q 是
p 的必要条件.
2. 从逻辑推理关系上看
· 若 p⇒q 且 q⇏p，则 p 是 q 的充分不必要条件.
· 若 p⇏q 且 q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件.
· 若 p⇒q 且 q⇒p，则 p 是 q 的充要条件（也说 p 和 q 等价）.
· 若 p⇏q 且 q⇏p，则 p 不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p⇒q，则 p 是 q 的充
分条件，同时 q 是 p 的必要条件.所谓“充分”是指只要 p 成立，q 就成立；所谓“必
要”是指要使得 p 成立，必须要 q 成立（即如果 q 不成立，则 p 肯定不成立）.
3. 从集合与集合之间的关系上看
设 A ={x∣p( x)}，B ={x∣q( x)}.
· 若 A ⊆B，则 p 是 q 的充分条件（p⇒q），q 是 p 的必要条件；若 A ⊊B，则
p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件.
· 若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件.
· 若 A = B，则 p 与 q 互为充要条件.
【易错提醒】 在利用集合关系判断充分必要条件时，切记“小集合是大集合的充分条件，
大集合是小集合的必要条件”.
二、全称量词与存在量词
1. 全称量词与全称量词命题
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对 M 中的任意一个 x，有 p( x)
成立”可用符号简记为“∀x∈M , p( x)”，读作“对任意 x 属于 M，有 p( x) 成立”.
2. 存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表
示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在 M 中的一个 x0，使
p( x0) 成立”可用符号简记为“∃x0∈M , p( x0)”，读作“存在 M 中元素 x0，使
p( x0) 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三、含有一个量词的命题的否定
1. 命题的否定形式
· 全称量词命题 p:∀x∈M , p( x) 的否定 ¬ p 为 ∃x0∈M ,¬ p( x0).
· 存在量词命题 p:∃x0∈M , p( x0) 的否定 ¬ p 为 ∀x∈M ,¬ p( x).
【易错提醒】 全称量词命题与存在量词命题的否定，必须将条件中的全称量词和存在量
词互换，且只对结论进行否定，不能改变条件范围.
2. 常见的一些词语和它的否定词
原词
语
等于（=
）
大于（>）
小于（<）
是
都是
任意（所
有）
至多有
一个
至少有
两个
否定
词语
不等于（
≠）
小于等于（
≤）
大于等于（
≥）
不
是
不都
是
某个
至少有
两个
一个都
没有
三、方法总结
考点1：充分条件与必要条件
考法1：定义法与集合法判断充要关系
· 利用定义判断：明确推出的含义，是 p 成立 q 一定成立才能叫推出，而不是有可
能成立.举反例是推翻充分性或必要性最直接有效的方法.
· 利用集合关系判断：充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，
而大集合推不出小集合.借助Venn 图是极为有效的直观工具.证明必要性时，构造一个满足
条件的特殊集合是常见的解题技巧.
考法2：结合函数与方程判断充要关系
· 将条件等价转化为函数或方程的性质（如复合函数单调性的“同增异减”、三角方
程解集等），再比较参数取值集合的包含关系.
考法3：结合向量与几何判断充要关系
· 处理向量的充要条件判断时，数量积的变形（如展开、因式分解）是揭示向量垂直
或共线关系的核心手段.
考法4：根据充要关系求参数范围
· 标准流程：解不等式化为集合 → 确定集合间的包含关系 → 转化为端点值的不等
式组.
· 若不等式两根大小不确定，务必对参数进行分类讨论.
· 在求解参数取值范围时，要特别注意端点值是否能取到，避免漏解或多解.
考点2：全称量词与存在量词命题
考法1：含量词命题的否定与真假判断
· 真假判断：要判定一个全称量词命题是真命题，必须严格证明；要判断为假命题，
只要举出一个反例.要判断一个存在量词命题为真命题，只要找到一个特例使之成立即可；
否则为假命题.
· 判断超越不等式恒成立，构造函数求最值是最通用的法宝.既要通过汉字意思理解，
又要通过严格的数学推导得出结论.
考点3：根据命题真假求参数范围
考法1：二次型恒成立与存在性问题
· 解决含参二次不等式恒成立问题，切记“先看头，后看尾”.即必须优先讨论二次项
系数是否为零，再结合开口方向和判别式列出不等式组.
考法2：主元法解决恒成立问题
· 当不等式中参数的次数较低（通常为一次）而变量次数较高时，果断采用“主元
法”，将参数视为主变量，原变量视为常数，利用一次函数的单调性转化为端点最值问题.
考法3：分离参数法解决恒成立问题
· 分离参数法是解决恒成立或存在性问题的通用利器.核心原则是：a≥f ( x) 恒成立
⇔a≥f ( x)max；a≥f ( x) 有解 ⇔a≥f ( x)min.
· 正难则反：在解决求参数的取值范围问题上，若直接求解存在命题较难，可以先利
用其否定（全称命题）为真求出参数范围，再取补集.
四、典题精讲
考点1：充分条件与必要条件
考法1：定义法与集合法判断充要关系
例1.（2025·青岛·一模）设 U 为全集，A，B 是集合，则“存在集合 C 使得 A ⊆C，
B⊆∁U C”是“A ∩B = ⌀”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【思路】判断充要条件，可以从条件推结论，再从结论推条件.本题涉及集合的包含与补集关系，
借助Venn 图直观分析，或者利用集合的运算性质进行推导.
【解析】由 B⊆∁U C，得 B∩C = ⌀，而 A ⊆C，则 A ∩B = ⌀，故“存在集合 C 使得
A ⊆C，B⊆∁U C”是“A ∩B = ⌀”的充分条件；由 A ∩B = ⌀，存在一个集合 C = A，使得
A ⊆C，B⊆∁U C，∴“存在集合 C 使得 A ⊆C，B⊆∁U C”是“A ∩B = ⌀”的必要条件.故
选：C.
【规律】判断集合关系的充要条件时，Venn 图是极为有效的直观工具.同时，证明必要性时，构造
一个满足条件的特殊集合（如令 C = A）是常见的解题技巧.
考法2：结合函数与方程判断充要关系
例2.（2026·皖江名校·5 月模拟） “函数 f ( x)=lg( x
2-ax) 在区间 (2,+ ∞) 上单调递增”
是“a≤1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【思路】处理复合函数的单调性问题，需遵循“同增异减”原则，并特别注意对数函数真数大于
零的隐含条件.求出使函数单调递增的参数范围后，再与已知条件进行包含关系的对比.
【解析】f ( x)=lg( x
2-ax) 在区间 (2,+∞) 上单调递增 ⇔∀x>2, x
2-ax>0 且 a
2 ≤2，解得
a≤2.∴a≤2 是 a≤1 的必要不充分条件.
【规律】判断含参命题的充要条件，本质上是比较参数取值集合的包含关系.小集合是大集合的充
分条件，大集合是小集合的必要条件.
考法3：结合向量与几何判断充要关系
例3.（2026·天壹名校·5 月模拟） 对于平面向量 a,b，设甲：a
2=2026a⋅b，乙：a=0，
则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【思路】探究向量等式与向量为零之间的逻辑关系.对于甲条件，可通过移项提取公因式，将其转
化为向量数量积为零的形式，进而揭示向量间的垂直或零向量关系，再与乙条件进行双向推导.
【解析】对于充分性，当 a⟂(a-2026b) 时甲成立，而乙不一定成立，矛盾；对于必要性，
a=0 时 a
2=2026a⋅b=0，成立，故选B.
【规律】处理向量的充要条件判断时，数量积的变形（如展开、因式分解）是核心手段.同时，举
反例是推翻充分性或必要性最直接有效的方法.
考法4：根据充要关系求参数范围
例4. 已知集合 A ={x∣x
2- x -12≤0}，B ={x∣x
2-3mx +2m
2+m-1<0}，若“x∈A”是“
x∈B”的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. [-3,2]
B. [-1,3]
C. [-1, 5
2 ]
D. [2, 5
2 ]
【答案】C
【思路】必要不充分条件对应着集合的真子集关系.解题时需先解出两个一元二次不等式对应的集
合，特别注意集合B 中两根大小的比较，这需要对参数进行分类讨论，最后根据子集关系列出不
等式组求解.
【解析】由题意集合 A ={x∣x
2- x -12≤0}=[-3,4 ]，
B ={x∣x
2-3mx +2m
2+m-1<0}={x∣( x -m-1)( x -2m+1)<0}，若 m>2，则 2m-1>m+1，
此时 B =(m+1,2m-1)，∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊊A，∴
{
2m-1≤4
m+1≥-3
m>2
，∴2<m≤5
2；若 m<2，则 2m-1<m+1，此时 B =(2m-1,m+1)，∵“x∈A”
是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊊A，∴{
m+1≤4
2m-1≥-3
m<2
，∴-1≤m<2；若 m=2，则
2m-1=m+1，此时 B = ⌀，满足 B⊊A，综合以上可得 m∈[-1, 5
2 ].故选：C.
【规律】处理含参不等式的充要条件问题，标准流程为：解不等式化为集合 → 确定集合间的包
含关系 → 转化为端点值的不等式组.若不等式两根大小不确定，务必分类讨论.
考点2：全称量词与存在量词命题
考法1：含量词命题的否定与真假判断
例5.（2026·黄冈·一模） 已知命题 p:∀x ∈(0,+ ∞),e
x> x，则（ ）
A. p 是假命题，¬ p:∃x∉(0,+∞),e
x≤x
B. p 是假命题，¬ p:∃x ∈(0,+ ∞),e
x≤x
C. p 是真命题，¬ p:∃x∉(0,+∞),e
x≤x
D. p 是真命题，¬ p:∃x ∈(0,+ ∞),e
x≤x
【答案】D
【思路】面对含参或复杂超越函数的恒成立命题，直接判断真假较为困难.可以构造新函数，利用
导数工具研究函数的单调性与最值，从而严谨地证实或证伪全称命题.同时需牢记量词命题否定的
规则.
【解析】设 f ( x)=e
x - x，则 f
'( x)=e
x -1.由 f
'( x)>0⇒x>0；由 f
'( x)<0⇒x<0.∴函数 f ( x)
在 (-∞,0) 上单调递减，在 (0,+ ∞) 上单调递增.∴f ( x) 的最小值为 f （0）=e
0-0=1.∴
e
x - x ≥1⇒e
x≥x +1⇒e
x> x 对 x∈R 恒成立.∴∀x ∈(0,+ ∞),e
x> x 成立，即命题 p 为真命
题.∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴¬ p:∃x∈(0,+∞),e
x≤x.故选：D.
【规律】全称命题的否定需变更为存在命题，且只否定结论，不改变条件范围.判断超越不等式恒
成立，构造函数求最值是最通用的法宝.
考点3：根据命题真假求参数范围
考法1：二次型恒成立与存在性问题
例6. 若命题 P：“∃x∈R，(k
2-1)x
2+ 4(1-k )x +3≤0”是假命题，则 k 的取值范围是
（ ）
A. [1,7]
B. (1,7)
C. [-7,1]
D. (-7,1]
【答案】B
【思路】存在量词命题为假，等价于其否命题（全称量词命题）为真.转化后得到一个二次项系数
含参的不等式恒成立问题.处理此类问题，必须像条件反射一样，优先单独讨论二次项系数等于零
的情况，再利用判别式处理系数不为零的情况.
【解析】∵命题“∃x∈R，(k
2-1)x
2+ 4(1-k )x +3≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，
(k
2-1)x
2+ 4(1-k )x +3>0”是真命题.若 k
2-1=0，即 k =1 或 k =-1.当 k =1 时，不等式为
3>0，恒成立，满足题意；当 k =-1 时，不等式为 8 x +3>0，不恒成立，不满足题意.当
k
2-1≠0 时，则需要满足 {
k
2-1>0
Δ=16(1-k )
2- 4×(k
2-1)×3<0，即 {
(k -1)(k +1)>0
(k -1)(k -7)<0，解得
1<k <7.综上所述，k 的范围是 [1,7).
【规律】解决含参二次不等式恒成立问题，切记“先看头，后看尾”.即先讨论二次项系数是否为
零，再结合开口方向和判别式列出不等式组.
考法2：主元法解决恒成立问题
例7. 若命题“∃a∈[-1,3]，a x
2-(2a-1)x +3-a<0”为假命题，则实数 x 的取值范围
为（ ）
A. [-1,4 ]
B. [0, 5
3 ]
C. [-1,0]∪[ 5
3 ,4 ]
D.
[-1,0)∪( 5
3 ,4 ]
【答案】C
【思路】面对含有两个变量的不等式，常规思维是把 x 当作自变量.但观察发现，不等式中参数
a 的最高次数仅为一次.此时应转换视角，将 a 视为主元，构造关于 a 的一次函数，利用一次函
数在闭区间上恒成立的充要条件（端点值同号）来破解难题.
【解析】命题“∃a∈[-1,3]，a x
2-(2a-1)x +3-a<0”为假命题，其否定为真命题，即“
∀a∈[-1,3]，a x
2-(2a-1)x +3-a≥0”为真命题.令
g(a)=a x
2-2ax + x +3-a=( x
2-2 x -1)a+ x +3≥0，则 {
g(-1)≥0
g（3）≥0，即 {
- x
2+3 x + 4≥0
3 x
2-5 x ≥0 ，解
得 {
-1≤x ≤4
x ≥5
3 或 x ≤0，∴实数 x 的取值范围为 [-1,0]∪[ 5
3 ,4 ].故选：C.
【规律】当不等式中参数的次数较低（通常为一次）而变量次数较高时，果断采用“主元法”，
将参数视为主变量，原变量视为常数，利用一次函数的单调性转化为端点最值问题.
考法3：分离参数法解决恒成立问题
例8. 已知命题“∀x∈[1,2]，2
x+ x -a>0”为假命题，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. (-∞,5]
B. [6,+ ∞)
C. (-∞,3]
D. [3,+∞)
【答案】D
【思路】全称命题为假，说明其否定（存在命题）为真.转化后得到存在性成立的不等式.观察不等
式结构，参数 a 容易被孤立出来.通过分离参数，将问题转化为求已知函数的最值，思路清晰且
计算简便.
【解析】∵命题“∀x∈[1,2]，2
x+ x -a>0”为假命题，∴命题的否定“∃x0∈[1,2]，
2
x0+ x0-a≤0”为真命题，∴a≥(2
x+ x)min，x∈[1,2].易知函数 y =2
x+ x 在 [1,2] 上单调递增，
∴当 x =1 时，y =2
x+ x 取最小值，∴a≥2
1+1=3.∴实数 a 的取值范围为 [3,+∞).故选：D.
【规律】分离参数法是解决恒成立或存在性问题的通用利器.核心原则是：a≥f ( x) 恒成立
⇔a≥f ( x)max；a≥f ( x) 有解 ⇔a≥f ( x)min.
