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第7 讲 函数的性质·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.函数
的单调递减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025·河北·检测）已知函数
是
上的增函数，且关于
的不等
式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2026·郑州四中·检测）下列函数中，既满足
，又满足
的为
（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2026·安庆·二模）已知
，函数
（
）为奇函数，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2026·临沂·一模）函数
，若对任意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2025·河北·一模）已知定义在实数集上的函数
满足以下条件：①
；②
；③
. 则
（
）
A.
B.
C.
D.
7.（2026·石家庄·一模）已知定义在
上的偶函数
，满足
，且当
时，
. 若
，
，
，则
的大小关系为
（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2025·萍乡实验·一模）函数
是
上的奇函数，且当
时，函数
的部分图象如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2025·张家口·二模）已知函数
的定义域为
，当
时，
，且对于任
意的
，都有
，则（ ）
A.
B.
为偶函数
C. 当
时，
D. 当
时，
10.（2025·创新联盟·一模）已知函数
，则（ ）
A.
为偶函数
B.
的值域为
C. 不存在
，使得
D.
在
上单调递减
11.（2024·烟台·二模）定义在
上的函数
满足
，
是偶函
数，
，则（ ）
A.
是奇函数
B.
C.
的图象关于直线
对称
D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.（2024·河南·3 月检测）已知函数
（
且
），若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
在
上的最大值为＿＿＿＿
＿＿.
13.（2026·汕头·二模）已知函数
是偶函数，则
＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·江西八校·联考）已知函数
满足
对任意实数
都成立，若
，
，则
＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）已知函数
（
），且
.
（1） 求
的值，并指出函数
的奇偶性；
（2） 在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数
在
上是增函数.
16.（15 分）（2026·沧州十二校·一模）函数
是定义在
上的奇函数，且
.
（1） 求
，
的值；
（2） 判断并证明
在
的单调性.
17.（15 分）（2024·泰州海陵·期中）已知函数
，
.
（1） 判断函数
的单调性，并利用定义证明；
（2） 若
，求实数
的取值范围.
18.（17 分）（2024·遂宁·期末）定义在
上的函数
，对任意
，满足下列条
件：①
；②
.
（1） 是否存在一次函数
满足条件①②，若存在，求出
的解析式；若不存在，
说明理由；
（2） 证明：
为奇函数.
19.（17 分）（2024·蚌埠·期末）已知定义在
上的函数
，
满足：
①
；
②任意的
，
.
（1） 求
的值；
（2） 判断并证明函数
的奇偶性.
