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专题12 椭圆的几何性质
题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质
题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程
题型三：求椭圆的离心率的值
题型四：求椭圆的离心率的最值或范围
题型五：根据椭圆离心率求参数
题型六：直线与椭圆的位置关系
题型七：直线与椭圆相切
题型八：弦长
题型九：中点弦和点差法
题型十：椭圆中三角形面积问题
题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质
1．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
．若
，点
是
上的任意一点，
则
的最大值为（ ）
A．
B．6
C．
D．
2．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为A，点M 在C 上，若
周长
的最大值为8，则C 的焦距为 ．
3．短轴长为2，离心率
的椭圆的两焦点为
，
，过
作直线交椭圆于A，B 两点，则
的周
长为 .
题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程
4．点
为椭圆
的两个焦点，若椭圆
上存在点
，使得
，则椭圆
方程可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．与椭圆
有相同焦点，且短轴长为2 的椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆
周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆
的对称轴为坐标轴，焦点在
轴上，且椭圆C 的离
心率为
，面积为
，则椭圆C 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知椭圆
的离心率为
，且过点
，则椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆
：
的离心率为，左、右焦点分别为
，
，
在
上，
轴，
，写出一个
的方程为 ．
9．（1）求与椭圆
的焦点相同，且经过点
的椭圆的标准方程.
（2）求与椭圆
离心率相同，且经过点
的椭圆的标准方程.
10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点
；
(2)经过两点
和
；
(3)经过
两点.
(4)过点
且与椭圆
有相同焦点.
题型三：求椭圆的离心率的值
11．已知
是椭圆
的两个焦点，
为
上一点，且
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
、
分别为椭圆C 的左、右焦点，过
的直线与C 交于A、B 两点，
，且
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．椭圆
的左，右焦点分别为
、
，右顶点为A，点P 为第一象限内椭圆上一点，
满足
，
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，过点
且斜率为
的直线与椭圆C
在第一象限交于点M，若
，则椭圆C 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
点A 在C 上，点B 在y 轴上，
，
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知双曲线C:
的一条渐近线l 与椭圆E:
交于A，B 两点，若
（
是椭圆的两个焦点），则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．如图，已知
，
是椭圆
的左、右焦点，过
的直线与E 交于点M，N 两点，
垂直平分
，若
，则
的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：求椭圆的离心率的最值或范围
18．已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若该椭圆上存在不同两点
，
，使
得
，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
19．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，若以
为圆心，
为半
径作圆
，过椭圆上一点
作此圆的切线，切点为
，若
恒成立，则该椭圆离心率的取
值范围为 .
20．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，若以
为圆心，
为半径作圆
，过
椭圆上一点P 作此圆的一条切线，切点为T，且
的最小值不小于
，则椭圆的离心率e 的取值
范围是 ．
21．设椭圆
的一个焦点为
，
为
内一点，若
上存在一点
，
使得
，则椭圆
离心率的取值范围是 ．
22．已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，其中
，直线
与椭圆C 交于P，Q 两点，记
的面积为S，若
时，
，则椭圆C 的离心
率的取值范围为 .
23．已知椭圆
的焦距为2c，若直线
恒与椭圆
有两个不同的公
共点，则椭圆
的离心率范围是 .
题型五：根据椭圆离心率求参数
24．设椭圆
的离心率分别为
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．如果椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
26．已知椭圆E：
的离心率的取值范围是
，其左右焦点分别是
，
，若P 为
椭圆上位于y 轴右侧的一点，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
27．已知
，
为椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为
，M 为椭圆上一动点，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．若椭圆
比椭圆
更扁，则椭圆
的长轴长的取值范围是 ．
29．若椭圆
的离心率为
，则椭圆
的长轴长为 .
30．已知椭圆
的离心率
，则实数m 的取值范围是 ．
题型六：直线与椭圆的位置关系
31．已知直线
，椭圆
，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
32．直线
与椭圆
的交点个数为（ ）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
33．（多选）无论k 为何值，直线
和椭圆
交点情况有可能为（ ）
A．没有公共点
B．一个公共点
C．两个公共点
D．无法确定
34．直线
与椭圆
的公共点个数为 ．
35．直线
和曲线
的位置关系为 .
题型七：直线与椭圆相切
36．已知椭圆
，直线
，则椭圆
上的点到直线的距离的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．已知
是椭圆
上动点，则
点到直线
的距离的最大值为 .
38．长为3 的线段
的两个端点
和
分别在
轴和
轴上滑动，点
为线段
靠近点
的三等分点，
则点
的轨迹方程为 .若直线的方程为
，则点
到直线的距离的最小值为
.
39．已知点P（x，y）是椭圆
上任意一点，则点P 到直线l：
的最大距离为 .
题型八：弦长
40．已知椭圆
的一个焦点是
，过原点的直线与
相交于点
，
，
的面积是
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
41．已知直线
与椭圆
交于A，B 两点，点F 是椭圆C 的左焦点，若
，
，则
．
42．已知直线
与椭圆
相交于M，N 两点，则MN 的长为 ．
43．已知椭圆
的方程为
，
、
为其左、右焦点．
(1)求椭圆
的离心率；
(2)若直线
被椭圆
截得的线段长为
，求
的值．
44．已知动点
与平面上两定点
，
连线的斜率的积为定值
，试求：
(1)动点
的轨迹
的方程；
(2)求直线
与（1）中曲线
相交所得弦的弦长.
45．已知离心率为
的椭圆
的顶点所构成的四边形的面积为
，过右焦点且斜率
为1 的直线交C 于M，N 两点．
(1)求C 的方程；
(2)求
.
题型九：中点弦和点差法
46．已知椭圆
，过点
的直线交椭圆于A，B 两点，且P 为线段
的中点，则直线
的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
47．已知椭圆
的离心率为
，过点
的直线与椭圆
交于A，B 两点，且满
足
，则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
48．已知椭圆
，直线与椭圆
相交于
两点.若线段
的中点为
，则直线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
49．已知椭圆
过点
的直线与椭圆
交于
、
两点，
为线段
的中点，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
50．已知椭圆
的中心为坐标原点，一个焦点为
，过
的直线与椭圆
交于
两点．若
的
中点为
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
51．已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线与椭圆相交于
两点，线段
中
点的坐标为
，则此椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
52．若椭圆
的一条弦AB 的中点为
，则直线AB 的斜率为 ．
53．已知椭圆
内一点
，直线与椭圆
交于
两点，且
为线段
的中点，则
．
题型十：椭圆中三角形面积问题
54．已知椭圆E：
（
）的左、右焦点分别为
，
，且过点
．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过椭圆E 的左焦点
且斜率为1 的直线与椭圆E 交于A，B 两点，求
的面积．
55．已知椭圆
经过
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线
交椭圆
于不同两点
，
，
是坐标原点，求
的面积．
56．在平面直角坐标系中，椭圆
：
的离心率为
，焦距为
.
(1)求椭圆
的方程.
(2)若过椭圆
的左焦点，倾斜角为
的直线与椭圆交于
，
两点，求
的面积.
57．已知椭圆
过点
，且离心率
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若P 是椭圆C 上一点，
是椭圆的两个焦点，且
，求
的面积.
58．已知平面内一动点
到点
的距离与它到直线
的距离之比为
，过点
的直线与动点
的轨迹
相交于
两点．
(1)求动点
的轨迹
的方程．
(2)是否存在直线，使得
的面积为
？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
59．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，且
，P 是C 上一点，且
的最大值为
．
(1)求C 的方程；
(2)已知Q 为C 的上顶点，过点Q 的直线l 交C 于另一点M，若
与
的面积相等，求l 的方程．
60．过椭圆
的焦点的直线交椭圆于
两点，求
面积的最大值．
