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专题14 双曲线的几何性质
题型一：由双曲线的方程求几何性质
题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程
题型三：双曲线的渐近线问题
题型四：双曲线的离心率问题（定值）
题型五：双曲线的离心率问题（最值或范围）
题型六：根据双曲线的离心率求参数
题型七：直线与双曲线的位置关系
题型八：弦长问题
题型九：三角形面积问题
题型十：中点弦和点差法
题型一：由双曲线的方程求几何性质
1．满足双曲线
的是（ ）
A．焦距是2
B．离心率是
C．渐近线是
D．实轴是4
2．双曲线
：
与双曲线
：
的（ ）
A．实轴长相等
B．焦点坐标相同
C．焦距相等
D．离心率相等
3．已知F1，F2是双曲线C：
（
，
）的两个焦点，C 的离心率为5，点
在C
上，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）关于双曲线
的以下论述中，正确的是（ ）
A．焦点在y 轴上
B．虚轴长为16
C．渐近线方程为
D．离心率为
6．（多选）已知
，且
，双曲线
与
，则下列结论错误的是
（ ）
A．它们的实轴长相等
B．它们的焦点相同
C．它们的离心率相等
D．它们的渐近线相同
题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程
7．若双曲线
与双曲线
的渐近线相同，则称双曲线
与双曲线
为“共渐双曲线”.设
为双曲线
右支上一点，
分别为双曲线
的左顶点和右焦点，
为等边三角形，双
曲线
与双曲线
为“共渐双曲线”，且双曲线
的焦距为16，则双曲线
的
标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在双曲线C 的渐近线上，且
，则双曲线C 的标准方程为 ．
10．已知双曲线
与
有相同的渐近线，且直线
过双曲线
的焦点，则双曲线
的标准方程为 .
11．（1）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
①双曲线
的渐近线方程为
，焦点在
轴上，两顶点之间的距离为4；
②双曲线
与双曲线
有共同的渐近线，并且经过点
．
（2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点
，
．
12．根据条件分别求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线
有共同渐近线，且过点
；
(2)与椭圆
有相同的焦点，其中一条渐近线为直线
.
题型三：双曲线的渐近线问题
13．直线
是双曲线
的一条渐近线，则
（ ）
A．1
B．4
C．16
D．18
14．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，过点
和
的直线与双曲
线在第一象限交于点P，若
的面积是
的3 倍，则C 的渐近线斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知双曲线
，则
的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2
B．6
C．
D．
16．已知焦点在y 轴上的双曲线
的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ）
A．1
B．
C．－4
D．1 或－4
16．已知双曲线
的离心率
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：双曲线的离心率问题（定值）
17．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与
的左、右支分别
交于
，
两点，且
，
，其中
为坐标原点，则
的离心率为（ ）
A．5
B．
C．4
D．
18．设双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
轴交于点
，与双曲
线
交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，直线过
与
交于
，
两点，若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知
、
分别是双曲线
的左、右焦点，双曲线
上存在一点
，满足
，
，则双曲线
的离心率为 ．
21．已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，以
为直径的圆与双曲线的一条渐
近线交于点
，若
，则该双曲线的离心率
.
题型五：双曲线的离心率问题（最值或范围）
22．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为
，
，且它们在第
一象限的交点为P，
是以
为底边的等腰三角形.若
，双曲线的离心率的取值范围为
，则该椭圆的焦距的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．已知双曲线
的离心率大于
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知点
为双曲线
的右焦点，过
作一条渐近线的垂线，垂足为
，若
(点
为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．已知c 是双曲线
(
，
)的半焦距，离心率为，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
26．若双曲线
的离心率为3，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
27．设
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，若
，则
的取值范围是 ．
28．已知点F 为双曲线
的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A，若
（点O 为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率
，则a 的取值范围为 ．
题型六：根据双曲线的离心率求参数
29．已知双曲线C：
的离心率
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．焦点在
轴上的双曲线
的离心率为
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
31．已知
，
是双曲线
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，若
的离
心率为
，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
32．（多选）若双曲线
的离心率是2，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
33．已知双曲线
的离心率为
，则
．
34．已知双曲线
的离心率
，圆
与双曲线E 的渐近线相
切，则
．
35．设
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，若
，则
的取值范围是 .
题型七：直线与双曲线的位置关系
36．若直线
与双曲线
有两个不同交点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．若双曲线
与直线
不相交，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
38．若直线
与双曲线
有且只有一个交点，则实数
的值是 ．
39．若直线
与双曲线
的右支只有一个公共点，则
的一个取值为 .
40．直线
与双曲线
的右支只有一个公共点，则
的取值范围为 .
41．直线
与双曲线
只有一个交点，则实数
的值为 ．
42．已知双曲线
的离心率为
，焦点F 到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)直线
与双曲线E 的左支交于不同两点，求实数k 的取值范围.
题型八：弦长问题
43．已知双曲线
的左、右顶点分别为
，
，
在
上，满足
．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线（与
轴不重合）交
于
，
两点．若
，求直线的方程．
44．双曲线
的左、右焦点分别是
，
，
在双曲线
上．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过
作直线与双曲线交于点
，若弦
的长为42，求直线
的方程．
45．已知
为坐标原点，
，
，直线
，
的斜率之积为4，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线经过点
，与
交于
，
两点，线段
中点
在第一象限，且纵坐标为4，求
.
46．已知双曲线C 和椭圆
有公共的焦点，且离心率为
．
(1)求双曲线C 的方程．
(2)经过点
作直线l 交双曲线C 于A，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程并求弦长．
47．已知双曲线
，焦点到渐近线的距离为
，且离心率为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)直线
与双曲线交于
两点，若
，求
的值．
48．已知双曲线C 的渐近线为
，且过点
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线
与双曲线C 相交于A，B 两点，O 为坐标原点，若OA 与OB 垂直，求a 的值以及弦长
．
49．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的渐近线方程为
，
(1)求双曲线C 的离心率e
(2)若直线
与C 相交于不同的两点A，B，且
，求双曲线C 的方程．
题型九：三角形面积问题
50．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，焦距为4，P 为C 上一点，
，
的面积为
(1)求C 的方程;
(2)已知点
，斜率为1 的直线l 与C 交于A，B 两点，若
的面积为
，求l 的方程.
51．已知双曲线
，点
在双曲线上，且其离心率为
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点
的直线与双曲线交于
，
两点，
的面积为
，求直线的方程
52．已知双曲线
的实轴长为
，点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设双曲线
的左焦点为
，过点
且斜率为
的直线与双曲线
的另一个交点为
，求
的面
积.
53．已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)
的左、右焦点分别为
，若过
的直线与
交于
两点. 当
两点均在
的左支上时，求
面积的取值范围.
54．已知双曲线
的离心率为2，
的顶点到渐近线的距离为
．
(1)求
的方程；
(2)已知直线
过原点，与
交于
两点，
与
交于
两点，若直线
过点
，且四边形
的面积为
，求直线
的方程.
55．双曲线
左右焦点分别为
，
，若双曲线
经过点
，
且离心率
(1)求双曲线
的方程；
(2)过
作倾斜角为
的直线交双曲线
于
、
两点，求
的面积
为坐标原点）
题型十：中点弦和点差法
56．设A，B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
57．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于
两点，若
中点的
横坐标为
，则此双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
58．过双曲线
内一点
斜率为
的直线交双曲线于
两点，弦
恰好被
M 平分，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
59．已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
60．已知双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，其渐近线方程为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若双曲线
的一弦中点为
，求此弦所在的直线方程．
61．已知
两点坐标分别为
，直线
与
斜率之积为24，过点
作直线交轨迹
于
两点.
(1)求
的轨迹方程；
(2)若
恰为弦
的中点，求直线的方程.
62．已知双曲线C：
．
(1)若直线
与双曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围；
(2)若直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，且A，B 关于点
对称，求直线l 的方程．
