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专题14 双曲线的几何性质
题型一：由双曲线的方程求几何性质
题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程
题型三：双曲线的渐近线问题
题型四：双曲线的离心率问题（定值）
题型五：双曲线的离心率问题（最值或范围）
题型六：根据双曲线的离心率求参数
题型七：直线与双曲线的位置关系
题型八：弦长问题
题型九：三角形面积问题
题型十：中点弦和点差法
题型一：由双曲线的方程求几何性质
1．满足双曲线
的是（ ）
A．焦距是2
B．离心率是
C．渐近线是
D．实轴是4
【答案】D
【分析】根据双曲线方程确定焦距、离心率、渐近线、实轴，即可得.
【详解】由双曲线
，则
、
、
，
所以焦距为
，离心率为
，渐近线斜率为
，实轴长为4.
故选：D
2．双曲线
：
与双曲线
：
的（ ）
A．实轴长相等
B．焦点坐标相同
C．焦距相等
D．离心率相等
【答案】C
【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，
即可做出判定.
【详解】设双曲线
的实半轴，虚半轴，半焦距分别为
.
由双曲线
的方程可得：
,
.
双曲线
的实轴长分别是
,
,与参数t 和m 有关，所以实轴长不一定相等，故A 错误；
因为双曲线
的焦点在x 轴上，双曲线
的焦点在y 轴上，所以焦点坐标不同，故B 错误；
因为
，∴
∴
，即两个双曲线的焦距相等，故
C 正确；
因为离心率
，
，
，
不一定相等，故离心率不一定相等，故D 错误.
故选：C.
3．已知F1，F2是双曲线C：
（
，
）的两个焦点，C 的离心率为5，点
在C
上，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】当
时，得
，要由
，解得
，故当
时，即可得到答案.
【详解】设
的焦距为
，离心率为．当
时，由平面几何知识得
，解得
．∵
，∴
．根据双曲线
上点的横坐标的
取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当
时，实数
的取值范围是
．
故选：D.
4．设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用坐标计算
，再利用
进行消元，解关于
的不等式.
【详解】点
在
上，则
，且
或
，
因
，则
，
，
则
，
解得
，故
或
.
故选：B
5．（多选）关于双曲线
的以下论述中，正确的是（ ）
A．焦点在y 轴上
B．虚轴长为16
C．渐近线方程为
D．离心率为
【答案】ACD
【分析】由
有
，逐项验证即可求解.
【详解】由
有
，所以双曲线的焦点在
轴上，故A 正确；
由
，所以虚轴长为
，故B 错误；
由
得
，故C 正确；由
，所以
，即
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
6．（多选）已知
，且
，双曲线
与
，则下列结论错误的是
（ ）
A．它们的实轴长相等
B．它们的焦点相同
C．它们的离心率相等
D．它们的渐近线相同
【答案】BD
【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项．
【详解】对于A，由题意可知双曲线
的长轴长均为
，所以它们的实轴长相等，故A 正确；
对于B，双曲线
的焦点分别在
轴和y 轴上，所以它们的焦点不相同，故B 错误；
对于C，双曲线
的焦距均为
，所以它们的离心率均为
，即它们的离心率相等，故C
正确；
对于D，双曲线
的渐近线分别为
和
，
因为
，所以它们的渐近线不相同，故D 错误.
故选：BD
题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程
7．若双曲线
与双曲线
的渐近线相同，则称双曲线
与双曲线
为“共渐双曲线”.设
为双曲线
右支上一点，
分别为双曲线
的左顶点和右焦点，
为等边三角形，双
曲线
与双曲线
为“共渐双曲线”，且双曲线
的焦距为16，则双曲线
的
标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意，结合双曲线定义，可得
，，结合
，可得
，即得渐近线，进而可得
，结合焦距即可求解.
【详解】
由题意：
，
设
为双曲线的左焦点，由双曲线的定义
，故
，
由于
，
化为
，故
，
则
进而可得
，
故双曲线
的渐近线方程为
，
因此
的渐近线方程为
，即
，
由于焦距为
，解得
，
故
的方程为
.
故选：C
8．已知双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设双曲线方程为
，将
代入，求出
，可求双曲线的标准方程．
【详解】因为双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，
所以设双曲线方程为
，
将
代入，可得
，则
，
所求双曲线的标准方程是
．
故选：D．
9．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在双曲线C 的渐近线上，且
，则双曲线C 的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据
可得，根据点
在渐近线上可得
，求出
后可得标准方程.
【详解】设半焦距为，
因为
，故
，
故
，而渐近线方程为
，故
，
而
，故
，故双曲线的标准方程为：
.
故答案为：
10．已知双曲线
与
有相同的渐近线，且直线
过双曲线
的焦点，则双曲线
的标准方程为 .
【答案】
【分析】抓住共渐近线即渐近线斜率一样，焦点与有关，结合
可解.
【详解】设双曲线
的半焦距为，直线
过双曲线
的焦点，所以双曲线
的右焦点为
，
所以
.因为
的渐近线方程为
，所以
.
结合
，解得
，所以双曲线
的标准方程为
.
故答案为：
.
11．（1）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
①双曲线
的渐近线方程为
，焦点在
轴上，两顶点之间的距离为4；
②双曲线
与双曲线
有共同的渐近线，并且经过点
．
（2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点
，
．
【答案】（1）①
；②
；（2）
【分析】（1）①根据渐近线得到
，根据距离得到
，进而得到答案．②设双曲线方程为
，
，代入点坐标，计算得到答案；
（2）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程．
【详解】（1）①已知双曲线
的焦点在
轴上，
所以可设
的标准方程为
，
又
的渐近线方程为
，所以
，即
，
由
的两顶点之间的距离为4，得
，所以
，
．
故双曲线
的标准方程为
；
②因为
与双曲线
有共同的渐近线，
所以可设
为：
，
，
因为
过点
，则
，解得
，
故双曲线
的标准方程为
．
（2）设椭圆方程为
，则
经过两点
，
，
，
，
，
椭圆方程为
．
12．根据条件分别求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线
有共同渐近线，且过点
；
(2)与椭圆
有相同的焦点，其中一条渐近线为直线
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件设双曲线方程为
，再利用双曲线过点
，即可求出结
果；
（2）先利用椭圆的方程得出双曲线的焦点
，得出
，再利用条件得到
，即可求
出结果.
【详解】（1）由题可设所求双曲线方程为
，
由题意可知
，解得
,
故所求双曲线的标准方程为
.
（2）由椭圆
，可得椭圆两焦点为
，
设双曲线方程为
，
所以双曲线的两焦点为
，得到
，
又
为双曲线的一条渐近线，所以
，即
，
又
，解得
，
所以双曲线C 的方程为
.
题型三：双曲线的渐近线问题
13．直线
是双曲线
的一条渐近线，则
（ ）
A．1
B．4
C．16
D．18
【答案】D
【分析】根据渐近线的求法可直接求解.
【详解】令双曲线方程等号右侧的1 变为0，可得双曲线的渐近线方程为
，
又直线
是双曲线的一条渐近线，所以
，解得
．
故选：D.
14．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，过点
和
的直线与双曲
线在第一象限交于点P，若
的面积是
的3 倍，则C 的渐近线斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由直线
的方程和
得P 点坐标，再由P 点在C 上求出
即可由渐近线的定义
得解.
【详解】设
，因为
，
，所以直线
的方程为
，
又
，所以
，得
，
又点P 在直线
上，所以
，则
，所以
,
所以
，解得
，故所求渐近线斜率为
.
故选：C
15．已知双曲线
，则
的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2
B．6
C．
D．
【答案】B
【分析】求出右焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】因为
，所以
，
可得右焦点坐标为
，其中一条渐近线方程为
，
右焦点到其渐近线的距离为
.
故选：B.
16．已知焦点在y 轴上的双曲线
的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ）
A．1
B．
C．－4
D．1 或－4
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解.
【详解】因为双曲线
的焦点在y 轴上，
所以
，
，所以
，即
.
又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以
，
即
，解得
或
（舍）.
故选：C.
16．已知双曲线
的离心率
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据双曲线离心率及
之间的关系，求出
即可得解.
【详解】∵
，则
，
∴
，
所以双曲线渐近线方程为
．
故选：D.
题型四：双曲线的离心率问题（定值）
17．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与
的左、右支分别
交于
，
两点，且
，
，其中
为坐标原点，则
的离心率为（ ）
A．5
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义表示出线段长，根据勾股定理，可得答案.
【详解】
由题意得
，而后根据题意可知
，
，
在
中，
得
，
从而
，即
.
故答案为：
.
18．设双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
轴交于点
，与双曲
线
交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先设直线方程
，然后将
的坐标表示出来，进而根据已知条件可以得到
的关系，然后将
点代入双曲线方程，化简即可求得离心率.
【详解】依题意，设直线
方程为
，则
.
因为
，
,
所以
为
的中点，那么
.
所以
.
又
，所以
，解得
①.
将点
代入双曲线方程得：
②.
将①代入②得
，方程两边同时除以
，
得到
，解得
.
又
，所以
.
故选：B.
19．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，直线过
与
交于
，
两点，若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，结合双曲线的定义及
得
，再由
和余弦定理得到齐次式，即可得离心率.
【详解】设
，则
，
所以
，则
，
由
，则
，故
，
综上，
，
由
，则
，
所以
，可得
，
所以
.
故选：C
20．已知
、
分别是双曲线
的左、右焦点，双曲线
上存在一点
，满足
，
，则双曲线
的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】由题意得出
，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的定义可得出
，然后利用余弦定理可得出
、的等量关系，由此可求得双曲线
的离心率的值.
【详解】显然点
是线段
的中点，则
，
即
，
因
，
，
解得
，
由余弦定理可得
，
即
，故
，即
，
则
.
故答案为：
.
21．已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，以
为直径的圆与双曲线的一条渐
近线交于点
，若
，则该双曲线的离心率
.
【答案】
/
【分析】取
为渐近线
上一点，易知
，设
，结合
和余弦定理得到
，进而有
，结合双曲线参数关系得到齐次式，即可得离心
率.
【详解】如图，不妨取
为渐近线
上一点，由直径所对的圆周角为直角，
所以
，又
为
的中点，则
，
因为
，设
，则
，
因为
，所以
，
在
和
中
，
所以
，所以
，
则
为锐角，
，即
，则
，
所以
.
故答案为：
题型五：双曲线的离心率问题（最值或范围）
22．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为
，
，且它们在第
一象限的交点为P，
是以
为底边的等腰三角形.若
，双曲线的离心率的取值范围为
，则该椭圆的焦距的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设椭圆的焦距为
，双曲线的实轴长为
，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求
出的范围，进而可得出答案.
【详解】解：设椭圆的焦距为
，双曲线的实轴长为
，
则
，
双曲线的半实轴长为
，则
，
又双曲线的离心率的取值范围为
，
所以
，所以
，
所以
，即该椭圆的焦距的取值范围是
.
故选：B.
23．已知双曲线
的离心率大于
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得
的范围．
【详解】当双曲线实轴在
轴上时，
，解得
，
此时
，所以
，
解得
，所以
，
当双曲线实轴在
轴上时，
，解得
，不符合题意.
综上，解得
.
故选：A．
24．已知点
为双曲线
的右焦点，过
作一条渐近线的垂线，垂足为
，若
(点
为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
再根据
(点
为坐标原点)的面积为2，即得
，解不等式
即得解.
【详解】解：取双曲线的渐近线为
，即
的方程为
，
直线
的方程为
，
联立
，解得
，即
，
又
解得
的取值范围为
故选：D.
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出
代入离心率的公式即得解）；
（2）方程法（由已知得到关于的方程，解方程即得解）.要根据已知条件选择合适的方法求解.
25．已知c 是双曲线
(
，
)的半焦距，离心率为，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据双曲线半焦距化简
，接着根据基本不等式求最值即可.
【详解】因为c 是双曲线
(
，
)的半焦距，
所以
，
则
，
当且仅当
时，等号成立.
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线简单的几何性质，比如顶点，焦点，焦距，实轴长，虚轴长等等需要熟记.
26．若双曲线
的离心率为3，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【解析】由双曲线的离心率为3 和
，求得
，化简
，结合基本不
等式，即可求解.
【详解】由题意，双曲线
的离心率为3，即
，即
，
又由
，可得
，
所以
，
当且仅当
，即
时，“
”成立.
故选：D.
【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：
1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；
2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；
3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足
基本不等式中的“正、定、等”的条件.
27．设
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心
率，根据
及
即可求得
的范围．
【详解】解：由题意知椭圆的
，双曲线的
，
则椭圆与双曲线共焦点，设
，则
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
解得
，即
，
又
，且
，
，
故
的取值范围是
．
故答案为：
28．已知点F 为双曲线
的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A，若
（点O 为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率
，则a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先根据
（点O 为坐标原点）的面积为2 找到
，再根据
，找到
，最后联立求解a 的取值范围即可.
【详解】由题意可知：点F 到渐近线的距离等于
，
从而
即
，
又
，所以
，
则
，又
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有
两种方法：
求出a，c，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
题型六：根据双曲线的离心率求参数
29．已知双曲线C：
的离心率
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】运用离心率公式计算即可.
【详解】若曲线C：
表示双曲线，且
，
则双曲线标准方程为
，
，
则
，即
.
故选：A.
30．焦点在
轴上的双曲线
的离心率为
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】利用双曲线标准方程及离心率公式求解.
【详解】因为双曲线方程为
，
所以
，
，
，
因为离心率为
，所以
，
解得：
，所以
.
故选：C.
31．已知
，
是双曲线
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，若
的离
心率为
，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出
，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为
，由双曲线的定义可得
，
所以
，
；
因为
,由余弦定理可得
，
整理可得
，所以
，
即
,解得
或
,又因为
,即
.
故选：A
32．（多选）若双曲线
的离心率是2，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】BC
【分析】根据双曲线的解析式，确定
取值范围，分
和
两种情况结合双曲线离心率列出方程
解得
即可.
【详解】因为双曲线方程为
，所以有
，
解得
或
；双曲线离心率为
若
，则有
，
，双曲线离心率为
，
即
，解得
；
若
，则有
，
，双曲线离心率为
，
即
，解得
；所以
或
.
故选：BC
33．已知双曲线
的离心率为
，则
．
【答案】
或
【分析】直接利用双曲线的方程，求出
，
，，利用离心率公式求解即可．
【详解】解：双曲线
，
当焦点在
轴时，
，
，
可得
，
双曲线
的离心率为
，
，即
，解得
，
当焦点在
轴时，
，
，
可得
，
双曲线
的离心率为
，
，
可得
，即
，可得
．
故答案为：
或
．
34．已知双曲线
的离心率
，圆
与双曲线E 的渐近线相
切，则
．
【答案】
【分析】根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式得
，根据离心率公式求得
，
等量关
系，即可求解．
【详解】解：由题可知双曲线其中一条渐近线方程
，即
，
因为其与圆
相切，
故可得：
①，
又
，所以
，
因为
，所以
②，
②代入①得
，
则
．
故答案为：
．
35．设
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，若
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断椭圆与双曲线共焦点，再由
结合
求解可得.
【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为
，
由题意知椭圆的
，双曲线的
，则椭圆与双曲线共焦点，
设
，则
，
，设
，则
，解得
，即
，
又
，且
，故
的取值范围是
.
故答案为：
题型七：直线与双曲线的位置关系
36．若直线
与双曲线
有两个不同交点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出
的范围．
【详解】解：双曲线
的渐近线方程为
，
直线
与双曲线
有两个不同的交点，
又直线过原点，则
则
的取值范围是
.
故选：B．
37．若双曲线
与直线
不相交，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合双曲线的渐近线即可得解.
【详解】双曲线
的渐近线方程为
，
因为双曲线
与直线
不相交，
所以
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B.
38．若直线
与双曲线
有且只有一个交点，则实数
的值是 ．
【答案】
【分析】由直线恒过定点
，直线不可能与双曲线相切，只能直线平行与渐近线.
【详解】由于直线恒过定点
，所以直线不可能与双曲线相切．要满足有且只有一个交点，直线必须
平行于双曲线的渐近线，渐近线方程为
，所以
，
解得
故答案为：
39．若直线
与双曲线
的右支只有一个公共点，则
的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）.
【分析】由题，若直线
与双曲线的右支只有一个公共点，则渐近线比直线更陡，即
，求出
的取值范围，即可得出答案.
【详解】若直线
与双曲线
的右支只有一个公共点，
则
，解得：
.
故
的一个取值可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
40．直线
与双曲线
的右支只有一个公共点，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解.
【详解】直线过定点
，直线与双曲线图象如图所示，
又双曲线的两条渐近线为
，
因为直线
与双曲线
的右支只有一个公共点，
所以由图可知，
，
故答案为：
41．直线
与双曲线
只有一个交点，则实数
的值为 ．
【答案】
或
【分析】对直线
是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数
的值.
【详解】易知双曲线
的左、右顶点为
，渐近线方程为
；
显然直线
过定点
，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时
；
当直线与渐近线不平行时，此时
，
联立
，整理可得
，
因此
，解得
.
综上可得，实数
的值为
或
.
故答案为：
或
42．已知双曲线
的离心率为
，焦点F 到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)直线
与双曲线E 的左支交于不同两点，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）双曲线离心率
（为双曲线的半焦距），焦点
到渐近线
（即
）的距离
，且
.再根据已知条件求出
，
的值，从而得到双曲线的标准方程.
（2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数
的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定
的取值范围.
【详解】（1）因为双曲线
的离心率
，可得
，即
.
又因为焦点
到渐近线
的距离为，
根据点到直线距离公式
，而
，所以
，则
.
由
且
，
，可得
，解得
.
所以双曲线
的标准方程为
.
（2）将直线
代入双曲线方程
，得到
，展开可得
，
整理得
.
因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以
.
由
，解得
.
对于
，即
，解得
.
由
，（结合
），所以
，解得
.
由
，解得
，即
或
.
综合以上条件，取交集得
.
则实数k 的取值范围为
.
题型八：弦长问题
43．已知双曲线
的左、右顶点分别为
，
，
在
上，满足
．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线（与
轴不重合）交
于
，
两点．若
，求直线的方程．
【答案】(1)
；
(2)
或
．
【分析】（1）根据斜率乘积得
，再代入
即可得其曲线方程；
（2）设直线
，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到
的表达式即可得到方程，解
出即可.
【详解】（1）由题意
，故
．解得
．
将
代入
得
，所以
，
故双曲线
的方程为
．
（2）过点
的直线（与
轴不重合），故设直线
．
设
，联立
，整理得：
，
且
，
故
，
故
．
即
，
则
，
即
，
解得
或
，即
或
：
故的方程为：
或
．
44．双曲线
的左、右焦点分别是
，
，
在双曲线
上．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过
作直线与双曲线交于点
，若弦
的长为42，求直线
的方程．
【答案】(1)
(2)
或
．
【分析】（1）根据点在双曲线上，结合双曲线定义得出
，结合焦点坐标得出双曲线
方程；
（2）先设直线方程
，再联立方程组应用弦长公式结合韦达定理计算求参即可得出直线方程.
【详解】（1）因为双曲线
的左、右焦点分别是
，
，
在双曲线
上，
所以
．
所以
，
，
．
所以双曲线
的方程为
．
（2）若直线的斜率为0，则
长度为6，不符合题意．
当直线斜率不为0 时，设直线
，与双曲线
联立，得
．
当
时，
恒成立，
设
，
，
因为
的长为42，
，
所以
，解得
或
．
所以直线的方程为
或
．
45．已知
为坐标原点，
，
，直线
，
的斜率之积为4，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线经过点
，与
交于
，
两点，线段
中点
在第一象限，且纵坐标为4，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出动点坐标为
，根据斜率之积为4 列出等式，化简即可.
（2）首先直线斜率存在且经过点
，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知
条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可.
【详解】（1）设点
的坐标为
，因为
，
，所以
，
化简得：
.所以
的方程为
.
（2）当直线
的斜率不存在时，显然不符合题意；
设
，
，直线
方程为
，
与
联立得：
，
由
且
，解得
且
，
由韦达定理得
，
因为线段
中点
在第一象限，且纵坐标为
，
所以
，解得
或
（舍去），
所以直线
为
，所以
，
所以
.
46．已知双曲线C 和椭圆
有公共的焦点，且离心率为
．
(1)求双曲线C 的方程．
(2)经过点
作直线l 交双曲线C 于A，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程并求弦长．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程；
（2）首先利用点差法求直线的斜率，并求解直线方程，与双曲线方程联立，代入弦长公式，即可求解.
【详解】（1）由题意得椭圆
的焦点为
，
，
设双曲线方程为
，
则
，
∴
，
解得
，
双曲线方程
;
（2）把
，
分别代入双曲线
，两式相减，得
，
把
，
，代入，得
，
，
直线的方程为
，即
把
代入
，消去y 得
，
.
47．已知双曲线
，焦点到渐近线的距离为
，且离心率为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)直线
与双曲线交于
两点，若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线
关系可求得
，由此可得双曲线方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得
的值.
【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为
，设焦点坐标为
，
焦点到渐近线的距离
，
又离心率
，
，解得：
，
双曲线
的方程为：
.
（2）由
得：
，
则
，解得：
且
，
设
，则
，
，
，
即
，解得：
或
，均满足
且
，
或
.
48．已知双曲线C 的渐近线为
，且过点
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线
与双曲线C 相交于A，B 两点，O 为坐标原点，若OA 与OB 垂直，求a 的值以及弦长
．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为
，代入
可求得
，整理可得结果；
（2）联立直线与双曲线的方程，设
，
，故可得
，
，利用
列等式可求得
，然后利用弦长公式求
即可
【详解】（1）由双曲线渐近线方程为
，可设双曲线方程为：
，
又双曲线过点
，
双曲线的方程为：
（2）设
，
，联立
，化为
．
∵直线
与双曲线C 相交于A，B 两点，∴
，化为
．
∴
，
（*）
∵
，∴
．∴
，
又
，
，∴
，
把（*）代入上式得
，化为
．满足
．∴
．
由弦长公式可得
49．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的渐近线方程为
，
(1)求双曲线C 的离心率e
(2)若直线
与C 相交于不同的两点A，B，且
，求双曲线C 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线C 的渐近线方程结合
即可求出双曲线C 的离心率；
（2）联立直线与双曲线C 的方程，由弦长公式代入求解即可.
【详解】（1）可设双曲线C 的方程为
，则其渐近线方程为
，
所以
，
所以离心率
；
（2）设
，则由
得
，
所以
，
因为
，
所以
，得
，
故双曲线C 的方程为
．
题型九：三角形面积问题
50．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，焦距为4，P 为C 上一点，
，
的面积为
(1)求C 的方程;
(2)已知点
，斜率为1 的直线l 与C 交于A，B 两点，若
的面积为
，求l 的方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据余弦定理和面积公式列方程求解即可；
（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示
的面积即可求解.
【详解】（1）由题意可知，
，
在
中，由
，得
，
由
，解得
，
又由余弦定理得，
，
化简得
，即
，
，从而
，
所以，双曲线方程为
.
（2）
设直线l 的方程为
，与双曲线相交于
，
，
联立
化简可得
，
由
，可得
，
，
，
所以，
，
设点
到直线l 的距离为d，则
，
故
，解得
故l 的方程为
.
51．已知双曲线
，点
在双曲线上，且其离心率为
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点
的直线与双曲线交于
，
两点，
的面积为
，求直线的方程
【答案】(1)
(2)
与
【分析】（1）根据题意得到关于双曲线参数
的方程组，解之即可得解；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理与弦长公式将
的面积化为关于
的方程组，解之即可
得解.
【详解】（1）因为双曲线
，点
在双曲线上，且其离心率为
，
所以
，解得
，
所以双曲线的标准方程为
（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为
，
联立
，消去
,得
，
则
且
，即
且
，
设
，则
，
又
，
即
，则
，
整理得
，即
，
又
，所以
，解得
，
所以直线的方程为
与
.
52．已知双曲线
的实轴长为
，点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设双曲线
的左焦点为
，过点
且斜率为
的直线与双曲线
的另一个交点为
，求
的面
积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线实轴长得到
，代入
，求出
，得到双曲线方程；
（2）写出直线
的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到
，求
出点
到直线
的距离，从而求出三角形面积.
【详解】（1）由已知双曲线的实轴长为
，即得
，
所以双曲线方程为
，
又双曲线过点
，则
，解得
，
则双曲线方程
；
（2）由已知直线
，即
，
联立直线与双曲线，即
，
得
，
，
且
，
，
则弦长
又
为双曲线
的左焦点，
，
所以点
的坐标为
，
点
到直线
的距离为
，
所以
的面积
，
所以
的面积为
.
53．已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)
的左、右焦点分别为
，若过
的直线与
交于
两点. 当
两点均在
的左支上时，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到
、
、的方程
组，求出
、
即可得解；
（2）设直线
的方程为
，
，
，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定
理，由
两点均在
的左支求出
，再由
，利用换元法及函数的单调性计
算可得.
【详解】（1）椭圆
即
，所以椭圆
的焦点坐标为
，
又双曲线
的渐近线为
，
故依题意可得
，解得
，所以双曲线
的方程为
；
（2）依题意直线
的斜率存在时不为
，所以可设直线
的方程为
，
设
，
，
由
，可得
，
由
得
，
所以
，
，
则
，
，
因为
两点均在
的左支上，所以
，解得
，即
，
所以
，
令
，则
，
，
所以
，
因为
在
上单调递减，所以
，所以
，
所以
.
54．已知双曲线
的离心率为2，
的顶点到渐近线的距离为
．
(1)求
的方程；
(2)已知直线
过原点，与
交于
两点，
与
交于
两点，若直线
过点
，且四边形
的面积为
，求直线
的方程.
【答案】(1)
；
(2)直线
的方程为
或
.
【分析】（1）根据双曲线的离心率得双曲线的渐近线方程，再根据顶点到渐近线的距离求得
的值，从而
得
的值，即可得双曲线的方程；
（2）由题可设直线
，
，则
，联立直线
与双曲
线方程得交点坐标关系，再根据四边形
的面积求得
的值，即可得直线
的方程.
【详解】（1）双曲线
的离心率为
，则
，
所以
，故双曲线的渐近线方程为
，即
，
双曲线的顶点
到渐近线
的距离为
，则
，
故
，
所以双曲线
的方程为
；
（2）已知直线
过原点，与
交于
两点，
与
交于
两点，
则
关于原点对称，
关于原点对称，
由题可设直线
，
，则
，
联立
，
则
且
，
得
或
，
所以
，
点
到直线
的距离为
，
所以四边形
的面积
，
则
，整理得
，
解得
或
，所以
或
，
所以直线
的方程为
或
.
55．双曲线
左右焦点分别为
，
，若双曲线
经过点
，
且离心率
(1)求双曲线
的方程；
(2)过
作倾斜角为
的直线交双曲线
于
、
两点，求
的面积
为坐标原点）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出
，即可得解；
（2）先求出直线的方程，求出原点
到直线的距离，联立方程，利用韦达定理求出
，再根
据弦长公式求出
，进而可得出答案.
【详解】（1）因为双曲线
经过点
，
所以
，解得
，则双曲线
的方程为
（2）由（1）知
，所以直线的方程为
，
即
，此时原点
到直线的距离
不妨设
，联立
，消去
并整理得
，
此时
，由韦达定理得
所以
则
的面积
【点睛】
题型十：中点弦和点差法
56．设A，B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设点
坐标，由点差法分析得到
，然后将各个选项代入等式后求得
，然后得到
直线方程，验证直线方程与曲线是否存在交点即可.
【详解】设
，
，则中点坐标为
∴
，则
，
∴
，
A 选项知
，则
，则直线
，则
整理得
，
此时
，这样的
点不存在，舍去；
B 选项知
，则
，则直线
，则
整理得
，此时
，这样的
点不存在，舍去.
C 选项知
，则
，则直线
，则
整理得
，此时
，这样的
点存在.
A 选项知
，则
，则直线
，因为
，所以直线
是曲线的
一条渐近线，故这样的
点不存在，舍去.
故选：C.
57．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于
两点，若
中点的
横坐标为
，则此双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得.
【详解】根据焦点坐标可设标准方程为
，且
；
设
，可得
，
两式相减可得
；
由直线
与双曲线交于
两点，且
中点的横坐标为
，
可得斜率
，且中点坐标为
；
所以
，即
；
解得
，所以双曲线的方程是
.
故选：D
58．过双曲线
内一点
斜率为
的直线交双曲线于
两点，弦
恰好被
M 平分，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，代入双曲线方程作差，结合
，利用斜率公式列式可得
，即可求解离心率.
【详解】设
，由题意可得
，且
，
又因为
，所以
，
即有
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
故选：C.
59．已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
、
，由
，利用点差法求解.
【详解】解：设
、
，
若
轴，则线段
的中点在
轴上，不合乎题意，
因为线段
的中点坐标为
，则
，
则
，两式相减得
，
则
，
因为
，所以，
，
所以，
，解得
，
因此，双曲线
的标准方程为
.
故选：D.
60．已知双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，其渐近线方程为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若双曲线
的一弦中点为
，求此弦所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题设得到
和
，解出
，即可求解；
（2）设弦的两端分别为
，
，利用点差法得到
，再利用条件，可得
，即可求解.
【详解】（1）因为椭圆
的焦点为
，
， 所以
，则
①，
又双曲线的渐近线为
，所以
，即
②，由①②，解得
，
所以双曲线
的方程为
．
（2）设弦的两端分别为
，
．
则有
，两式作差得
，整理得到
，
因为弦中点为
，所以
，
故直线的斜率
，
则所求直线方程为
，即
．
61．已知
两点坐标分别为
，直线
与
斜率之积为24，过点
作直线交轨迹
于
两点.
(1)求
的轨迹方程；
(2)若
恰为弦
的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
，（
）．
(2)
【分析】（1）设
，根据斜率公式可得
，化简即可得出答案．
（2）根据点差法即可作差化简，求解斜率，由点斜式求解直线方程即可得出答案．
【详解】（1）设
，
由题意知，
，
，
化简整理得
，
所以点
的轨迹方程为
，（
）．
（2）设
,
，
,
，
,且
，
所以
，
所以
，故
所以
，
所以直线的方程为
，即
．
62．已知双曲线C：
．
(1)若直线
与双曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围；
(2)若直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，且A，B 关于点
对称，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解；
（2）由点差法求解直线方程．
【详解】（1）双曲线C 的渐近线方程为
，要使直线
与双曲线C 有公共点，则有
，即实数k 的取值范围为
．
（2）设点
，
．∵点
恰好为线段AB 的中点，
∴
，
．
由
，两式相减可得，
，
即
，∴
，
∴直线l 的斜率
，
∴直线l 的方程为
，
即
．
