专题05 二次函数与一元二次不等式压轴题
1. 二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴方程是___________，顶点为_____________．
(2) 两根式：y ＝a(x －x1)(x －x2)(a≠0) ，图象的对称轴方程是___________ ，与x 轴的交点为
___________________．
(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h(a≠0)，图象的对称轴方程是______，顶点为______．
2. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系
(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x 轴交点的横坐标是方程__________的实根．
(2)当
0
4
0
2
ac
b
a
时，恒有f(x)>0；当
0
4
0
2
ac
b
a
时，恒有f(x)<0.
3. 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况
(1)若－b
2a∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝
)
2
(
a
b
f
.
(2)若－b
2a[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．
另外，当二次函数的图象开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，
当二次函数的图象开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．
4. 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根
_______________
有两个相等的实数根
_______________
____________
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
___________________
____________
_____
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
______________
____
___
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题型一
二次函数的解析式及最值
例1.（1）设二次函数
2
( )
(
2)
3
2
f x
a
x
ax
在R 上有最大值，最大值为
m a ，当
m a 取最小值时，
a （
）
A．0
B．1
C．
1
2
D．
2
（2）．已知y 是x 的二次函数，该函数的图象经过点
0,5
1,2
3,2
A
B
C
、
、
；
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图象，回答下列问题：
①当1
4
x
时，y 的取值范围是________；
②当
3
m
x
m
时，求y 的最大值（用含m 的代数式表示）：
③是否存在实数m、n（其中
2
m
n
），使得当m
x
n
时，m
y
n
?
若存在，请求出m、n、若不存在，请说明理由．
练习题：
（1）.已知平面直角坐标系xOy ，一次函数
3
3
4
y
x
的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数
3
2
y
x
的
图象上，且MO
MA
．二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过点A 、M ．
(1)求线段AM 的长；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数
3
3
4
y
x
的
图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C 的坐标．
题型二
二次函数求参数
例2.（1）设
I
M 表示函数
2
4
2
f x
x
x
在闭区间I 上的最大值．若正实数
．．．a 满足
0,
,2
2
a
a
a
M
M
，则正
实数a 的取值范围是（
）
A．
1
2
3, 2
B．2
3,1
C．2,2
3
D．2
3,4
（2）.已知函数
2
y
x
bx
c
只有一个零点，不等式
2
0
x
bx
c
m
的解集为
0
0
,
2
x
x
，则m 的值为
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
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(3)已知不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为{
2
3}
x
x
∣
，且对于
1,5
x
，不等式
2
2
0
bx
amx
c
恒成立，
则m 的取值范围为（
）
A．
,4 3
B．
,4 3
C．
13,
D．
,13
练习题：
(1).已知函数
2
,
R
f x
x
ax
b a b
的值域为
0,
，若关于x 的不等式
f
x
c
的解集为
,
6
m m
，
则实数c 的值为(
)
A．9
B．8
C．0
D．6
(2).已知函数
2
( )
,( ,
)
f x
x
ax
b a b
R
的值域为[0,
)
,若关于x 的不等式
( )
c
f x ＜的解集为(m,m 8)
,则实数
c 的值为（
）.
A．24
B．12
C．20
D．16
(3).已知函数
2
2
3
6
f
x
ax
a
x
a
R
．
(1)若
0
f x
的解集是
2
3
，
，
，求实数a 的值．
(2)若
2
0
f x
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)当
1
a 时，函数
5
3
f
x
m
x
m
在
2 2
, 有解，求
2
3
m 的取值范围．
题型三
一元二次不等式
例3(1)．设实数a
b
c
d
、、、
满足a
b
且c
d
，若关于x 的不等式(
)(
)
0
x
a x
b
x
的解集是开区间( , )
c d ，
则关于x 的不等式(
)(
)
0
x
c x
d
x
的解集是开区间（
）
A．( , )
a b
B．(
,
)
b
a
C．( , )
c d
D．(
,
)
d
c
(2)．一元二次不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为
2
3
x
x
，则不等式
2
0
cx
bx
a
的解集为（
）
A．
1
1
,
,
3
2
B．1 1
,
3 2
C．
1
1
,
,
2
3
D．
1
1
,
2
3
(3).已知关于x 的不等式
2
1
1
0
ax
a
x
a
R
-
，
．
（1）若不等式的解集为
1
1
2
x
x
，求a ；
（2）当a
R
时，解此不等式．
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练习题：
(1).设, ,
a b cR ，若不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
1
2
x
x
，则不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为（
）
A．
1
,
[1,
)
2
B．(
, 2]
[1,
)
C．
1 ,1
2
D．[ 2,1]
(2)．已知实数
1
2
,
,
,
x x m n 满足
1
2,
x
x m
n
，且
1
1
0
m
x
n
x
，
2
2
0
m
x
n
x
，则下列结论正确的
是（
）
A．
1
2
m
x
x
n
B．
1
2
m
x
n
x
C．
1
2
x
m
x
n
D．
1
2
x
m
n
x
(3).解不等式
2
1
1
0
ax
a
x
.
题型四
能力创新题
1.定义：若函数
F x 在区间
,a b 上的值域为
,a b ，则称区间
,a b 是函数
F x 的“完美区间”，另外，定义
区间
F x 的“复区间长度”为
2 b
a
，已知函数
2
1
f
x
x
，则（
）
A．
1,1
是
f
x 的一个“完美区间”
B．1
5 1
5
,
2
2
是
f
x 的一个“完美区间”
C．
f
x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3
5
D．
f
x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3
2 5
2．高斯
1777 1855
是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯
被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设
,
x
R
用
x 表示不超过x 的最大整数，则
y
x
称为高斯函数，例如：
2.3
2,
2.1
3,
已知函数
2
2
2,
0,2
f x
x
x
x
.设函数
y
f
x
的值域为集合D ，则D 中所有正整数元素个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
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3.设二次函数
2
,
R
f
x
x
bx
c b c
．
(1)若c
b
，且
f
x 在
0,2 上的最大值为
2
c
，求函数
f
x 的解析式；
(2)若对任意的实数b，都存在实数
0
1,2
x
，使得不等式
0
0
f
x
x
成立，求实数c 的取值范围．
1．“关于x 的不等式
2
2
0
x
ax
a
的解集为R ”的一个必要不充分条件是（
）
A．0
1
a
B．
1
0
3
a
C．0
1
a
D．a<0 或
1
3
a
2．已知函数
2
2
f x
ax
x
的定义域为区间[m，n]，其中,
,
a m n
R
，若f（x）的值域为[-4，4]，则n
m
的
取值范围是（
）
A．[4，4
2 ]
B．[2
2 ，8
2 ]
C．[4，8
2 ]
D．[4
2 ，8]
3．若关于x 的不等式
2
4
2
0
x
x
a
在区间(1,4) 内有解，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,2)
B．(
, 2)
C．( 6,
)
D．(
, 6)
4.（多选题）已知不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为|
1
x x 或
3
x
，则下列结论正确的是（
）
A．
0
c
B．
2
4
0
a
b
c
C．
0
cx
a
的解集为
1
|
3
x x
D．
2
0
cx
bx
a
的解集为|
1
x x 或
1
3
x
5．（多选题）已知关于x 的不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为
, 2
3,
，则（
）
A．a<0
B．不等式
0
bx
c
的解集为
|
6
x x
C．4
2
0
a
b
c
D．不等式
2
0
ax
bx
a
的解集为
1 1
,
3 2
6．已知函数
2
2
( )
2(
2)
f x
x
a
x
a
，
2
3
( )
2(
2)
8
g x
x
a
x
a
．设
1
max
,
H
x
f
x
( )
g x
．
2
min
,
H
x
f x
g x
（其中
max
,p q 表示p，q 中较大值，
min
,p q 表示
p，q 中较小值），记
1
H
x 的最小值为A，
2
H
x 的最大值为B，则A
B
（
）
A．16
B．16
C．8a
D．8
16
a
7．已知不等式
2
0
ax
bx
c
+
<
+
的解集为{ | 2
3}
x
x
，则
=
b
c
，
36
2
b
c
a
的最小值是
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8．在R 上定义运算
:
(1
)
x
y
x
y
.已知不等式: (
)
(
)
2
x
a
x
a
①若
2
a
时，上述不等式的解集为
；
②若上述不等式对任意实数
1,2
x
恒成立，则a 的范围为
.
9．（1）解关于x 的不等式
2
3
3
0
x
a
x
a
，a R ；
（2）当
4,
x
时，不等式
2
3
3
9
x
a
x
a
恒成立，求实数a 的取值范围.
10．已知二次函数
2
0, ,
R
f x
ax
bx
c a
b c
满足条件：①
0
f x
的解集为
| 1
3
x
x
；②
f
x
的最大值为4.
(1)求a，b，c 的值；
(2)在区间
1,1
上，二次函数
f
x 的图象恒在一次函数
4
y
x
m
图象的下方（无公共点），求实数m 的
取值范围.
11．已知函数
2
1
1
1
f x
m
x
m
x
m
．
(1)若不等式
1
f x 的解集为R，求m 的取值范围；
(2)解关于x 的不等式
1
f x
m
x
；
(3)若不等式
0
f x
对一切
1 1
,
2 2
x
恒成立，求m 的取值范围．
12．已知二次函数
2
f x
ax
bx
c
，且满足条件：①不等式
0
f x
的解集为{ 1
2}
x
x
∣
；②函数
y
f x
的图象过点
3,2 ．求：
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)设
g x
f x
mx
，若函数
g x 在区间
1,2 上的最小值为3，求实数m 的值．
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