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期中考试压轴题专练
第一章整式的乘除
1．（23-24 七年级上·福建泉州·期中）某网店实行优惠购物，优惠规定如下：
如果一次性购物在
元
以内，按标价给予九折优惠；
如果一次性购物超过
元的，可以先享受“天猫”每满
元减
元的
优惠政策（满
元减
元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．某顾客在该网店
两次购物的商品标价共计
元，若第一次购物商品标价为
元，且少于第二次购物商品的标价，则该顾
客两次购物的实际付款总额不可能为（ ）元
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了列代数式，整式的运算，根据题意先求出
的范围，再分类讨论即可，解题的关键是
读懂题意，理解优惠方案及分类讨论思想的应用．
【详解】解：由题意可得：
，
解得：
，
当
时，则
，
两次购物的实际付款共为：
元；
当
时，则
，
两次购物的实际付款共为：
元；
当
时，则
，
两次购物的实际付款共为：
（元）；
∴
可能，
不可能，
故选：
．
2．（23-24 八年级上·重庆渝中·阶段练习）若有两个整式
，
．下列结论中，正确的有
（ ）
①当
为关于
的三次三项式时，则
；
②当多项式
乘积不含
时，则
；
③
；
④当
能被
整除时，
；
⑤若
或
时，无论和
取何值，
值总相等，则
．
A．①②④
B．①③④
C．③④⑤
D．①③④⑤
【答案】C
【分析】求出
，可得当
时，
为关于
的三次三项式，此时
，故说法①错
误；求出
，再由多项式
乘积不含
，可得
，解得：
，故说法②错误；当
时，
可得
，当
时，可得
，故③说法正确；设
，可得
，从而得到
，故④说法正确；根据当
或
时，无
论和
取何值，
值总相等，可得
且
，故⑤说法正确，即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
当
时，
为关于
的三次三项式，此时
，故说法①错误；
∵多项式
乘积不含
，
∴
，解得：
，故说法②错误；
当
时，
，
即
，
当
时，
，
即
，
∴
，故③说法正确；
∵
能被
整除，
∴可设
，
∵
∴
，
即
，
∴
，
∴
，故④说法正确；
当
时，
，
当
时，
，
∵当
或
时，无论和
取何值，
值总相等，
∴
且
，
解得：
，故⑤说法正确；
故选：C
【点睛】本题考查了整式的加减与乘法，熟练掌握整式混合运算法则是解题关键．
3．（22-23 七年级下·重庆北碚·期中）给定一个正整数m，任意两个整数a 与b 分别除以m 所得的余数相
同，我们就说a，b 对m 同余，记作
．例如：
，
，记作
．
①
②若
，则
③若
，则
④若
（
，a，b，c，d 为整数），则
以上说法正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】按照新定义分别对各说法进行判断即可．
【详解】解：∵
，
，二者余数不同，
∴①错误，故不符合要求；
∵
，
∴记
，
，其中
均为正整数，则
，
，
∴
，
，
∴整数
与
分别除以3 所得的余数和
分别除以3 所得的余数相同，
∴
，
∴②正确，故符合要求；
∵
，
记
，
，
，
，其中
均为正整数，则
，
，
，
，
∴
，
，
∴整数
、
分别除以7 所得的余数和
除以7 所得的余数相同，
∴
，
∴③正确，故符合要求；
∵
，
∴整数
与
分别除以9 所得的余数相同，
∴
，
∴④正确，故符合要求；
综上，②③④正确，共3 个；
故选C．
【点睛】本题考查了新定义的运算，多项式乘多项式等知识．解题的关键在于理解题意．
4．（23-24 七年级上·福建厦门·期中）如图，长为y
，宽为x
的大长方形被分割为7 小块，除阴影
A，B 外，其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为
，下列说法中正确的有
．（填写序号）
①小长方形C 的较长边为
；
②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为
；
③若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；
④当
时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．
【答案】①③④
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为
，说法①符合题
意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B 的较短边长，将其相加可得出阴影A 的较
短边和阴影B 的较短边之和为
，说法②不符合题意；由阴影A，B 的相邻两边的长度，利用
长方形的周长计算公式可得出阴影A 和阴影B 的周长之和为
，结合x 为定值可得出说法③符合题
意；由阴影A，B 的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A 和阴影B 的面积之和为
，代入
可得出说法④符合题意．
【详解】解：∵大长方形的长为y
，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为
，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为
，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A 的较短边为
，
阴影B 的较短边为
，
∴阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为
，说法②不符合题意；
∵阴影A 的较长边为
，较短边为
，
阴影B 的较长边为
，较短边为
，
∴阴影A 的周长为
，
阴影B 的周长为
，
∴阴影A 和阴影B 的周长之和为
，
∴若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A 的较长边为
，较短边为
，
阴影B 的较长边为
，较短边为
，
∴阴影A 的面积为
，
阴影B 的面积为
，
∴阴影A 和阴影B 的面积之和为
，
当
时，
，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减
的运算法则是解题的关键．
5．（22-23 七年级上·江苏连云港·期中）矩形
内放入两张边长分别为a 和
的正方形纸片，按
照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为
；按照图②放置，矩形
纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为
；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积
为
，已知
，
，设
，则
．
【答案】7
【分析】利用面积的和差表示出
，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到
，从而求解．
【详解】解：由
，
可得：
，
由图①得：
，
由图②得：
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题
简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
6．（22-23 七年级下·山东菏泽·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已
知点H 为AE 的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为
8，图2 的阴影部分面积为6，则图1 的阴影部分面积为 ．
【答案】19
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：
，根据完全平方和公
式得到
，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去
和
的面积，即可求
出阴影部分的面积．
【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，
根据题意可得：
，
，
，
，
是
得中点，
，
，
，
．
故答案为：19．
【点睛】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键．
7．（23-24 八年级上·四川内江·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1 的三种纸片，
种纸片是
边长为
的正方形，
种纸片是边长为
的正方形，
种纸片是长为
、宽为
的长方形，并用
种纸片一
张，
种纸片一张，
种纸片两张拼成如图2 的大正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：
之间的等量关系
(2)若要拼出一个面积为
的矩形，则需要
号卡片1 张，
号卡片2 张，
号卡片 张．
(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：
，求
的值；
②已知：
，求
的值．
【答案】(1)
(2)3；
(3)①；②
．
【分析】（1）根据图形得出答案即可；
（2）根据多项式乘多项式法则进行计算即可；
（3）①先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可；
②先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可．
本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式等知识点，能熟记完全平方公式是解此题的关键，
，
．
【详解】（1）解：
．
故答案为：
；
（2）
，
要拼出一个面积为
的矩形，则需要
号卡片1 张，
号卡片2 张，
号卡片3 张．
故答案为：3；
（3）①
，
又
，
，
解得：
；
②
，
，
，
解得：
．
8．（23-24 八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一
个数学等式．
(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x 满足
，可设
，
，则
，
．则
______．
(3)若x 满足
，则
的值为______；
(4)小玲想利用图2 中x 张A 纸片，y 张B 纸片，z 张C 纸片拼出一个面积为
的大长方形，则
______；
(5)如图3，已知正方形
的边长为x，E，F 分别是
、
上的点，且
，
，长方形
的面积是24，分别以
、
为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面
积，即可得到等式；
（2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果；
（3）根据（2）中的方法可得到结果；
（4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，
计算其和即可；
（5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果．
【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即
；
方法二：阴影部分也可以看作边长为
的面积减去两个长为
，宽为
的长方形面积，即
，
两种方法可得出：
；
（2）解：由（1）可得
，
∵
，
，
∴
；
（3）解：设
，
，
∵x 满足
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的值为
；
（4）解：
，
A 纸片的面积为
，B 纸片面积为
，C 纸片面积为
，
根据
可知要拼出一个面积为
的大长方形，需要3 张A 纸片，1 张B 纸片，4 张C
纸片，
则
；
（5）解：由图知
，
，
∴
，
∵长方形
的面积是24，
∴
，
设
，
，
则
，
，
由
，得
，
∴
，
∴
，
即
，
∴阴影部分的面积为
．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟
练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键．
9．（23-24 八年级上·四川内江·期中）阅读下列解答过程：已知：
，且满足
．求：
的值．
解：
，
，即
．
．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知
，且满足
，求：
(1)
的值；
(2)
的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用．
（1）先将
整理得
，再仿照阅读内容求出
的值，
最后再根据完全平方公式求出
的值即可；
（2）先求出
的倒数得
，再将（1）中所求得的
的值整体代入即
可．
熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键．
【详解】（1）
，
整理得：
，
，
；
（2）
的倒数为
，
，
．
10．（23-24 八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b 定义运算：
（其中m、n 为常
数），如
．
(1)填空：当
，
时，
__________；
(2)若
，
，求
的值．
【答案】(1)3
(2)81
【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出
，
，可得结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：3；
（2）
，
，
，
，
整理得：
，
，解得：
，
．
【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆
用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．
11．（23-24 八年级上·湖南衡阳·期中）阅读下面问题 ：你能化简
吗？我们不妨
先从简单情况入手， 发现规律，归纳结论．
(1)先填空：①
．
②
．：
③
．
④由此猜想
．
(2)利用得出的结论计算：
【答案】(1)
，
，
，
．
(2)
【分析】（1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④；
（2）根据（1）中规律可将式子变形为
进而即可求解；
【详解】（1）解：①根据平方差公式
，
②
，
③
，
④由①、②、③规律可得
．
故答案为：
，
，
，
．
（2）
【点睛】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的
关键．
12．（23-24 八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，
若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，
例如
，所以
和
与
和
都是“幸福数对”.
解决如下问题：
(1)请判断
与
是否是“幸福数对”？并说明理由：
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为
，个位数字为
，且
；另
一个数的十位数字为，个位数字为
，且
，试说明
，
，，
之间满足怎样的数量关系，并写
出证明过程；
(3)若有一个两位数，十位数字为
，个位数字为
；另一个两位数，十位数字为
，个位数字为
．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数．
【答案】(1)
与
是“幸福数对”，理由见解析
(2)
；证明见解析
(3)
和
【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“幸福数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
（1）根据定义即可得到答案；
（2）根据定义得：
，化简得
；
（3）根据定义列等式，化简解方程可得
的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∴
与
是“幸福数对”
（2）解：
理由如下，依题意，
，
，
，
，
，
∴
．
即
（3）解：由（2）可得
即
∴
解得：
，
则
，
；
，
∴这两个两位数分别为：
和
．
13．（23-24 八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式
与
的和为常数，则称
与
互为
“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如
与
互为“对消多项
式”，它们的“对消值”为．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与
；
与
；
与
(2)多项式
与多项式
（
，
为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消
值”；
(3)关于
的多项式
与
互为“对消多项式”，“对消值”为．若
，
，求代数式
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)它们的“对消值”为
；
(3)代数式
的最小值是
．
【分析】此题考查了求代数式值的能力，
( )运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
(
)先运用题目中的定义求得
，
的值，再代入求解；
( )先求得
，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．
【详解】（1）∵
，
,
，
∴
组多项式不是互为“对消多项式”，
组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为：
；
（2）
，
，
∵
与
互为“对消多项式”，
，
，
，
，
∴它们的“对消值”为
；
（3）
，
，
，
∵
与
互为“对消多项式”且“对消值”为，
∴
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，
∴代数式
的最小值是
．
14．（23-24 八年级上·广东广州·期末）阅读理解：
条件①：无论代数式A 中的字母取什么值，A 都不小于常数M；
条件②：代数式A 中的字母存在某个取值，使得A 等于常数M；
我们把同时满足上述两个条件的常数M 叫做代数式A 的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当
时，
（满足条件②）
是
的下确界．
又例如：
，
由于
，所以
，（不满足条件②）
故4 不是
的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求
的下确界．
(2)若代数式
的下确界是1，求m 的值．
(3)求代数式
的下确界．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型、运算，
（1）根据题干示例的方法计算即可作答；
（2）根据题意设
，根据
可得
，解方
程即可求解；
（3）将x 看作常数进行配方，可将
变型为
，问题随之得
解．
【详解】（1）
，
，
（满足条件①）
当
时，
（满足条件②）
是
的下确界．
（2）∵代数式
的下确界是1，
∴设
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
，
即：
；
（3）
，
，
，
（满足条件①）
当
，
，即
，
时，
（满足条件②）
是
的下确界．
15．（23-24 七年级上·北京西城·期中）阅读理解：
我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10 个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时
采用“逢十进一”的原则，比如：
，（这里我们规定：a≠0 时，
），又如：
．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用
到的数码只有两个：0 和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的
运算也和十进制数的运算类似．
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：
，
所以103 用二进制数码表示是1100111，记为
；
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：
，所以
可以表
示成二进制小数
，记为
．
这里还可以把分子1 和分母8 都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到
的二进制小数表示：
由于
，
，所以
，而
可以类比十进制数一样做除法，只
是商和余数都只能是0 或1：
，所以
；
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：
，由
，可知
．
问题解决：
(1)将十进制数35 化成二进制数为：（______）．二进制小数
化为十进制分数是______．
(2)将十进制分数化成二进制小数：
；
．
(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将
化为分数形式．
设
（A） 则
（B）．
得：
即
，于是得到
．
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数．
请二进制循环小数
化成十进制分数，保留计算过程．
【答案】(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
．
【分析】（1）根据十进制与二进制间的关系求解即可；
（2）根据十进制与二进制间的关系求解即可；
（3）
，进而得
，根据二进制与十进制间的关系解方程即可．
【详解】（1）解：
，
∴
，
，
故答案为：
，
；
（2）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：
，
；
（3）解：设
，则
，
∴
，
即
．
【点睛】本题主要考查了乘方，二进制与十进制间的转化，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，熟
练掌握二进制与十进制的转化方法是解题的关键．
第二章相交线与平行线
16．（23-24 八年级上·浙江宁波·期中）如图，点
为长方形
边
上的一点，连接
，
，
与
分别交于点
和点
，四边形
的面积为
，
的面积为
，
的面
积为
，图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积
公式证明
是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
∴
．
故选：
．
17．（22-23 七年级下·浙江温州·期中）如图，已知
，点
，
分别在
，
上，点
，
在
两条平行线
，
之间，
与
的平分线交于点
．若
，
，则
的度数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】过点
，
，
作
的平行线，容易得出
，
和
是角平分线，所
以
，进一步求
即可．
【详解】解：如图所示，过点
，
，
作
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
和
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
即
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判
定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．
18．（22-23 七年级下·安徽合肥·期中）如图，
，
平分
，
平分
，则
与
的数量关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先过点E 作
，过点F 作
，由
，即可得
，然后根据
两直线平行，同旁内角互补，解答即可．
【详解】解：如图，过点E 作
，过点F 作
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，用到的知识点为：两直线平行内错角相等，角平分
线的性质．
19．（23-24 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，
，
平分
，
，已知
，则
度．
【答案】115
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，．如图所示，连接
，过点C 作
，
先根据角平分线的定义和平行线的性质证明
，再由平行线的性质证明
，同理可得
，
，由此推出
，再由
，推出
，根据
，推出
，再由
，推出
，即
．
【详解】解：如图所示，连接
，过点C 作
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
同理可得
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
故答案为：
．
20．（23-24 七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知
，点
是
上方一点，点
分别在
直线
、
上，连结
、
，
平分
，
交
的反向延长线于点
，若
，且
，则
度数为 ．
【答案】
/52 度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点
作
，过
作
，设
，
，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线
构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
【详解】如图，过点
作
，过
作
，
设
，
，
∵
，
交于
，
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
21．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，
，
的平分线与
的平分线交
于点M，
，
，
，则
．
【答案】
/88 度
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作
平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；
过点
、
、
分别作
，根据平行线的传递性得出
，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【详解】过点
、
、
分别作
，
∵
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
22．如图，已知
，∠BCF＝∠BCG，CF 与∠BAH 的平分线交于点F，若∠AFC 的余角等于
2∠ABC 的补角，则∠BAH 的度数是 ．
【答案】
/
度
【分析】首先设
，
，过点
作
，过点
作
，根据平行线的性质，
可得
，
，又由
的余角等于
的补角，可得方程：
，继而求得答案．
【详解】解：如图，
设
，
，
，
与
的平分线交于点
，
，
，
，
，
过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的余角等于
的补角，
，
解得：
，
，
故答案为：
．
【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，
注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A
点出发，沿
运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x，△APE 的面积为函数y，则当
y＝
时，x 的值等于 ．
【答案】
或
【分析】根据
点的运动轨迹，分析出当
在
或
上均有可能，再根据
的面积为
分类讨论计
算即可．
【详解】（1）当
在
上时，如图：
∴
（2）当
在
上时，如图：
∴
故答案为：
或
【点睛】本题考查动点问题与三角形面积求算，不规则图形面积求算通常采用割补法，同时注意分类讨论．
24．（23-24 七年级上·河北石家庄·期中）如图（1）所示，线段
与线段
重合，点
是它们的中点，
保持
不动，将
绕点
顺时针旋转
）；射线
从与射线
重合开始，绕点
逆时
针旋转
（至多旋转到与射线
重合为止）．
在此基础上，我们给出如下定义：比较
与
的大小，若
，则将其中较小角的度
数定义为
对
的“迷你角度”；若
，则将
或
的度数定义为
对
的“迷你角度”．
(1)当
时，
①如图（2）所示，若
，求
对
的“迷你角度”是多少度；
②若
对
的“迷你角度”为
，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出
的值是多少．
(2)若
时，
对
的“迷你角度”是
，请直接写出
的值，不用说明理由．
【答案】(1)①
②
；
(2)
或
【分析】（1）①根据“迷你角度”的定义计算即可；②分为当
是
对
的“迷你角
度”时和当
是
对
的“迷你角度”时，分别画图计算即可；
（2）分为当
是
对
的“迷你角度”和当
是
对
的“迷你角
度”， 当
时，分别计算即可；
【详解】（1）
，
①如图（2）所示，若
，
则
，
对
的“迷你角度”是
；
②若
对
的“迷你角度”为
，
则
或
，
当
是
对
的“迷你角度”时，如图，
，
；
当
是
对
的“迷你角度”时，如图，
，
；
综上，
或
；
（2）
设
则
对
的“迷你角度”是
，
①当
是
对
的“迷你角度”，
在
之间时，
如图，
，
，
，
则
，
，符合要求；
当
是
对
的“迷你角度”，
在
之间时，
如图，
，
，
，
则
，
，不符合要求；
②当
是
对
的“迷你角度”，
在
之间时，如图，
，
，
；
则
，
，故符合题意；
当
是
对
的“迷你角度”，
在
之间时，
如图，
，
；
则
，
，故不符合题意；
③当
时，
对
的“迷你角度”是
，
此时
，不符合题意；
综上，
或
．
【点睛】该题主要考查了角度计算的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论解题
思想解答．
25．（22-23 七年级下·重庆江津·期中）如图，已知
，
、
分别在
、
上，点
在
、
之间，连接
、
．
(1)当
，
平分
，
平分
时：
①如图1，若
，求
的度数；
②如图2，在
的下方有一点
，
平分
，
平分
，求
的度数；
(2)如图3，在
的上方有一点
，若
平分
．线段
的延长线平分
，则当
时，请直接写出
与
的数量关系．（用含
的式子表示）
【答案】(1)①
；②
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，
（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
（2）过点
作
，则
，设
，
，
，根据平行线的性质求得
，从而求解．
掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：①如图，分别过点
，
作
，
，
，
，
，
，
，
同理可得
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
故答案为：
；
②如图，过点
作
，
，
恰好平分
，
恰好平分
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知
，
；
（2）结论：
；
理由：
在
的上方有一点
，若
平分
，线段
的延长线平分
，设
为线段
的延
长线上一点，
，
，
设
，
，
如图，过点
作
，则
，
，
，
，
，
，
由（1）可知
，
，
，
，
，
．
26．（22-23 七年级下·河北石家庄·期中）已知
，定点E，F 分别在直线
，
上，在平行线
，
之间有一动点P，满足
．
(1)如图1，当P 点在
的左侧时，若
，
，则
；
(2)如图2，当P 点在
的右侧时，猜想
，
满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P 在
左侧，且
，
和
的角平分线
，
交于点Q，
与
的角平分线交于点
，
与
的角平分线交于点
，
与
的角平分线交于
点
；以此类推，请直接写出
的度数．
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
(3)
【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，
角平分线的定义是解决问题的关键．
（1）过点
作
，证
，则
，
，从而得
，再根据
，
可得
的度数；
（2）过点
作
，证
，则
，
，从而得
，由此可得
，
，
满足的数量关系；
（3）由（2）可知
，由
得
，由角平分线定义得
，由（1）得
，再由角平分线定义得
，则
，同理：
，
…，以此类推：
，据此可得
的度数．
【详解】（1）过点P 作
，如图1 所示：
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
即
，
∵
，
，
∴
，
故答案为：
．
（2）
，
，
满足的数量关系是：
，理由如下：
过点P 作
，如图2 所示：
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
（3）由（2）可知：
，
∵
，
∴
，
∵
，
分别平分
，
，
∴
，
由（1）可知：
，
∵
，
分别平分
，
，
∴
，
∴
，
同理：
，
…，以此类推：
，
∴
．
27．（22-23 七年级下·江苏无锡·期中）如图，
，点E 在
上，点G 在
上．
(1)如图1，在
、
上分别取点M、N，连接
，点F 在
上，已知
平分
，
平分
，若
，
，求
，
的度数．
(2)如图2，
平分
，
平分
，反向延长
交
于K，设
，请通过计算，用
含x 的代数式表示
．
(3)如图3，已知
，
，
平分
，
平分
，请直接写出
与
的数量关系_________________
【答案】(1)
；
(2)
(3)
（或
）
【分析】（1）作
，可得
，再利用角平分线求出结果；
（2）设
，求出
，再利用角平分线及平行的性质求得
，最后根据
即可求解；
FEB
GH
CGF
GH
EK
EFG
x
EKG
90
FHG
60
FGH
FK
EFH
GK
CGH
AEF
FKG
72
36
1
90
2 x
1
135
2
FKG
AEF
2
270
AEF
FKG
∥
FP
AB
72
GFE
FGH
CGH
y
180
2
FEB
x
y
90
2
x
EMG
y
EKG
EMG
MGK
（3）过点
作
，由角平分线求得
、
，最后利用
整理式子即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
平分
，
，
；
（2）如图，设
交
于点M，
平分
，
设
，则
，
由（1）得，
，
，
平分
，
，
，
，
，
F
∥
FP
AB
1
15
2
KFH
EFG
1
30
2
CGK
CGF
180
FKG
KFG
FGK
∥
FP
AB
30
EFP
AEF
AB
CD
∥
CD
FP
∥
42
GFP
CGF
30
42
72
GFE
GFP
EFP
FH
MFE
1
2
MFH
MFE
FK
MFG
1
2
MFK
MFG
1
1
1
36
2
2
2
HFK
MFK
MFH
MFG
MFE
GFE
EK
CD
GH
CGF
FGH
CGH
y
2
CGF
y
2
AEF
EFG
CGF
x
y
180
(
2
180
)
2
FEB
x
y
x
y
EK
FEB
1
90
2
2
x
KEB
FEB
y
AB
CD
∥
90
2
x
EMG
KEB
y
MGK
CGH
y
在
中，
；
（3）如图，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
，
．
GMK
△
90
90
2
2
x
x
EKG
EMG
MGK
y
y
F
∥
FP
AB
AB
CD
∥
AB
FP
CD
∥
∥
AEF
EFP
PFG
CGF
90
FHG
60
FGH
30
HFG
FK
EFH
KG
CGH
1
1
1
30
15
2
2
2
KFH
EFH
EFG
EFG
1
1
1
60
30
2
2
2
CGK
CGH
CGF
CGF
1
1
30
30
2
2
FGK
CGK
CGF
CGF
CGF
CGF
1
1
15
30
15
2
2
KFG
KFH
HFG
EFG
EFG
180
FKG
KFG
FGK
1
1
180
15
30
2
2
EFG
CGF
1
1
180
15
30
2
2
EFG
CGF
1
135
2
EFG
CGF
1
135
2
AEF
1
135
2
FKG
AEF
【点睛】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的
关键．
28．（22-23 七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，直线
，直线
分别交
于
点，
，点
在线段
上（不在端点处），点
在直线
上，点
在直线
上，连接
．
(1)如图1，点
在线段
上，若
，则
的度数为_________；
(2)如图2，点
在线段
上，点
为直线
与
之间区域的一点，点
在线段
上（不与端点重
合），连
．若
，求
的度数；
(3)如图3，
于点
，点
在射线
上运动（
不与
重合），
与
的角
平分线所在直线交于点
与
的角平分线所在直线交于点
与
的角平分线交于
点
，直接写出
与
的数量关系．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
，证明见解析
【分析】（1）设
延长线交
于点S，根据平行线的性质得出
，再根据余角得出
的度数即可；
（2）过点K 作
，交
于点W，设
，
，根据平行线
的性质得出
，根据四边形内角和为
求出
的值即可；
MN
PQ
∥
AB
MN
PQ
、
A B
、
90
ABP
D
BQ
C
AB
E
MN
CD
CE
、
C
AB
,
65
EC
CD
AEC
CDB
C
AB
K
MN
PQ
E
AN
EK
KD
、
1
1
60 ,
,
3
3
ECD
NEK
CEN
KDQ
CDQ
EKD
DH
AB
,
H EC
CD
C
HA
C
H
AEC
CDB
,
G
AEC
CDQ
,
F
FGD
GFD
T
FEN
CDG
、
FGT
25
100
1
1
2
2
FGT
FEN
CDG
EC
PQ
65
CSD
AEC
CDB
KW
MN
∥
AB
1
3
NEK
CEN
a
1
3
KDQ
CDQ
b
EKD
a
b
360
a
b
（3）过点C 作
交
于点O，根据角平分线的性质和平行线的性质得出角的关系即可．
【详解】（1）解：设
延长线交
于点S，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
是直角三角形，
∴
，
故答案为：
；
（2）过点K 作
，交
于点W，
∴
，
，
设
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
即
，
∴
的度数为
；
CO
PQ
∥
ED
EC
PQ
MN
PQ
∥
65
AEC
65
CSD
AEC
EC
CD
CDS
90
90
65
25
CDB
CSD
25
KW
MN
∥
AB
ENK
EKW
EKD
KDQ
1
3
NEK
CEN
a
1
3
KDQ
CDQ
b
3
CEN
a
3
CDQ
b
EKD
a
b
2
CEK
a
2
CDK
b
60
ECD
360
ECD
CEK
CDK
EKD
60
2
2
360
a
b
a
b
100
a
b
EKD
100
（3）过点C 作
交
于点O，
在四边形
中，
，
∵
与
的角平分线所在直线交于点G，
与
的角平分线所在直线交于点F，
与
的角平分线交于点T，
∴
，
，
∵
，
∴
，
在四边形
中，
，
∴
，
即
，
∴
，
即
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和垂线的性质是解得关
键．
29．已知
CO
PQ
∥
ED
GDFT
GTF
TGD
TFD
GDF
AEC
CDB
AEC
CDQ
FGD
GFD
1
1
2
2
GTF
TGD
TFD
GDF
EGD
EFD
GDF
1
1
90
2
2
GDF
CDQ
CDB
OC
MN
PQ
∥
∥
ECD
ECO
OCD
AEC
CDB
EGCD
1
1
2
2
ECD
EGD
AEC
CDB
1
1
2
2
AEC
CDB
EGD
AEC
CDB
1
1
2
2
EGD
AEC
CDB
FEN
CDG
1
1
1
2
2
2
FGT
EGD
FEN
CDG
1
1
2
2
FGT
FEN
CDG
AB
CD
∥
(1)如图1，若
，可得
= ；
(2)如图2，若
，
平分
，则
= ；
(3)如图3，在（2）的条件下，如果
，则
= ；
(4)尝试解决下面问题：如图4，
，
是
的平分线，
，求
的度数．
(5)拓展延伸：如图2，已知
，
，
平分
，
，则
= ；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题主要利用平行线的性质，垂直的定义和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键．
（1）
与
是两平行直线
、
被
所截得到的内错角，所以根据两直线平行，内错角相
等即可求解；
（2）根据角平分线的定义求解即可；
（3）根据互余的两个角的和等于
，计算即可；
（4）先根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义求出
的度数，再利用互余的两个角的和
等于
即可求出．
（5）先根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义求出
的度数，再利用互余的两个角的和等
于
即可求出．
【详解】（1）∵
，
故答案为：
；
（2）
平分
60
ABC
BCD
60
ABC
CM
BCD
BCM
CN
CM
BCN
40
B
CN
BCE
CN
CM
BCM
AB
CD
∥
60
ABC
CM
BCD
CN
CM
BCN
60
30
60
20
60
BCD
ABC
AB
CD
BC
90
BCN
90
BCM
90
,
60
AB
CD
ABC
∥
60 ,
BCD
ABC
60
,
60 ,
AB
CD
ABC
∥
Q
60 ,
BCD
ABC
CM
,
BCD
故答案为：
；
（3）∵
，
∴
，
∵
，
∴
；
故答案为：
；
（4）∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
是
的平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
（5）∵
，
∴
，
又∵
是
的平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
30．如图，
，点
，
，
，
不在同一条直线上．
(1)如图，求证：
1
30 ;
2
BCM
DCM
BCD
30
CN
CM
90
NCM
30
BCM
90
30
60
BCN
NCM
BCM
60
AB
CD
∥
180
B
BCE
40
B
180
180
0
1
4
40
BCE
B
CN
BCE
1
1 140
70
2
2
BCN
BCE
CN
CM
90
BCN
BCM
90
90
70
20
BCM
BCN
AB
CD
∥
60
BCD
B
CM
BCD
1
1
60
30
2
2
BCM
BCD
CN
CM
90
BCN
BCM
90
90
30
60
BCN
BCM
AB
CD
∥
A
E
B
C
1
180
E
C
A
(2)如图
，直线
，
交于点
，且
，
．
①试探究
与
的数量关系；
②如图
，延长
交射线
于点
，若
，
，则
的度数为 用
含
的式子表示．
【答案】(1)见解析
(2)①
；②
【分析】（1）过E 作
，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）①设
，由（1）知，
，过P 作
，根据平行线的性质即可得到结论；
②过P 作
，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，过E 作
，
，
，
，
，
∴
，即
；
（2）解：∵
，
，
∴设
，由（1）知，
，
如图2，过P 作
，
2
FA
CP
P
1
3
BAF
BAE
1
3
DCP
DCE
E
APC
3
CE
PF
Q
AE
PC
∥
α(0
α
22.5 )
BAQ
PQC
(
α
)
180
3
E
APC
180
8a
EF
AB
∥
3
3
BAF
x
BAE
x
DCP
y
DCE
y
，
，
，
180
180
3
E
C
A
y
x
PG
CD
PG
CD
EF
AB
∥
AB
CD
∥
AB
EF
CD
∥
∥
AEF
A
180
C
FEC
180
E
AEF
FEC
A
C
180
E
C
A
1
3
BAF
BAE
1
3
DCP
DCE
3
3
BAF
x
BAE
x
DCP
y
DCE
y
，
，
，
180
180
3
E
C
A
y
x
PG
CD
，
，
，
，
，即
；
②如图3，过P 作
，
，
，
，
，由①知，
，
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
31．汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情
况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，
两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是
秒，灯B 转动的速度是
秒，且a、b 满足
，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即
，且
．
AB
CD
∥
AB
PG
∥
GPA
BAF
x
GPC
PCD
y
APC
y
x
180
3
180
3
E
y
x
APC
PG
CD
BAQ
2
QAE
AE
PC
∥
2
QAE
APC
180
3
180
6
AEC
APC
180
6
2
180
8
PQC
AEC
QAE
180
8a
/
a
/
b
2
3
4
0
a
b
a
b
PQ
MN
∥
45
BAN
(1)
，
；
(2)若灯B 射线先转动30 秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，求A 灯转动几秒时，两灯的
光束第一次互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C，
①用含t 的代数式表示
②过C 作
交PQ 于点D，则在转动过程中，探究
与
有怎样的数量关系．
【答案】(1)3，1
(2)A 灯转动15 秒时，两灯的光束第一次互相平行；
(3)①
；②
，见解析
【分析】（1）根据
，
可得
，进而得出a、b 的
值；
（2）由（1）可知，灯A 转动的速度是
秒，灯
转动的速度是
秒，设灯A 转动
秒时，两灯光第一
次互相平行，由平行线性质可知
，解方程求得x 的值即可；
（3）①过点C 作
，则
由
得到
，则
可得
，经过秒，
，得到
；
②由题意可知，
，即
，得到
，再得到
，即可得到结论．
a
b
BCA
CD
AC
BAC
BCD
(180
2 )t
3
2
BAC
BCD
2
3
4
0
a
b
a
b
2
|
3| 0,(
1)
0
a
b
3
0,
1
0
a
b
-
=
-
=
3 /
B
1 /
x
3
30
x
x
CH
MN
∥
,
NAC
ACH
PQ
MN
∥
PQ
CH
∥
,
PBC
BCH
BCA
NAC
PBC
t
3
PBC
t
MAC
t
，
(180
2 )
BCA
t
3
135
t
45
t
45
3(
45)
BAC
CAN
t
90
2(
45)
BCD
BCA
t
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∴
；
故答案为：3，1；
（2）解：由（1）可知，灯A 转动的速度是
秒，灯
转动的速度是
秒，
设灯A 转动
秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可知
，
解得
；
∴A 灯转动15 秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）解：①过点C 作
，
则
∵
，
∴
，
∴
∴
，
即
，
经过秒，
，
故答案为：
；
②
，理由如下：
由题意可知，点
一定在
的右侧，
，即
，
，
2
3
4
0
a
b
a
b
2
3
0
4
0
a
b
a
b
，
3
0
4
0
a
b
a
b
，
3
1
a
b
，
3 /
B
1 /
x
3
30
x
x
15
x
CH
MN
∥
NAC
ACH
PQ
MN
∥
PQ
CH
∥
,
PBC
BCH
BCA
ACH
BCH
NAC
PBC
BCA
NAC
PBC
t
,
3
PBC
t
MAC
t
180
180
3
(180
2 )
BCA
NAC
PBC
MAC
PBC
t
t
t
(180
2 )t
3
2
BAC
BCD
C
AB
3
135
t
45
t
45
BAN
45
45
(180
3 )
3(
45)
BAC
CAN
t
t
CD
AC
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，非负数的性质以及角的和差关系的运用，
解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质和数形结合．
32．已知
．
知识回顾（1）如图，点
在两平行线之间，试说明：
．
知识应用（2）如图
，
、
分别平分
、
，利用
中的结论，试说明：
；
（3）如图
，直接写出
、
、
、
四个角之间的数量关系．
知识拓展（4）如图
，若
，
，
、
分别平分
、
，那么
______
；只要直接填上正确结论即可
（5）如图
，若
、
、
三个角的和是
，
、
分别平分
、
，那么
______
用含
的式子表示
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
；（4）
【分析】
过点
作
，利用猪脚模型进行计算，即可解答；
利用
的结论可得得：
，
，再利用角平分线的定义可
得
，
，然后进行计算即可解答；
90
90
180
2
2(
45)
BCD
BCA
t
t
3
2
BAC
BCD
AB
CD
[
]
1
E
BED
ABE
EDC
[
]
2
BP
DP
ABE
EDC
1
1
2
BPD
BED
2
BPD
BED
PBE
PDE
[
]
3
145
BEF
135
EFD
BP
DP
ABE
CDF
BPD
(
)
4
BEF
EFG
FGD
n
BP
DP
ABE
CDG
BPD
(．
n
)
50
1
180
2 n
1
E
EM
AB
∥
2
1
BED
ABE
CDE
BPD
ABP
CDP
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDE
根据角平分线的定义可得
，
，再利用
的结论，从而进行计算可得
，再利用
的结论可得
，然后进行计算即可解答；
过点
作
，过点
作
，从而可得
，然后利用平行线的性质可得
，从而可得
，再利用平行线的性质可得
，
，从而可得
，最后利用角平分线的定义可得
，
，从而利用
的结论可得
，进行计算即可
解答；
过点
作
，过点
作
，过点
作
，利用
的解题思路进行计算即可解
答．
【详解】解：
过点
作
，
，
，
，
，
，
；
由
得：
，
，
、
分别平分
、
，
，
，
3
1
2
EBP
ABE
1
2
EDP
CDE
1
1
2
PBE
PDE
BED
2
1
2
BPD
BED
4
E
//
EM
AB
F
FN
AB
AB
EM
FN
CD
180
MEF
NFE
100
BEM
DFN
ABE
BEM
CDF
DFN
100
ABE
CDF
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDE
1
1
2
BPD
ABP
CDP
ABE
CDE
5
E
EM
AB
∥
F
FN
AB
G
GH
AB
∥
4
1
E
EM
AB
∥
ABE
BEM
∥
AB
CD
CD
EM
CDE
DEM
BED
BEM
DEM
BED
ABE
CDE
2
1
BED
ABE
CDE
BPD
ABP
CDP
BP
DP
ABE
EDC
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDE
BPD
ABP
CDP
，
即
；
，
理由：
、
分别平分
、
，
，
，
，
由
得：
，
，
即
；
过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
1
1
2
2
ABE
CDE
1
2
ABE
CDE
1
2
BED
1
2
BPD
BED
3
BPD
PBE
PDE
BED
BP
DP
ABE
EDC
1
2
EBP
ABE
1
2
EDP
CDE
1
1
2
2
PBE
PDE
ABE
CDE
1
2
ABE
CDE
1
2
BED
2
1
2
BPD
BED
1
1
2
2
BPD
PBE
PDE
BED
BED
BED
BPD
PBE
PDE
BED
4
E
EM
AB
∥
F
FN
AB
∥
AB
CD
AB
EM
FN
CD
EM
FN
∥
180
MEF
NFE
145
BEF
135
EFD
，
，
，
，
，
，
、
分别平分
、
，
，
，
，
故答案为：
；
过点
作
，过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、
分别平分
、
，
，
，
100
BEM
DFN
BEF
EFD
MEF
NFE
AB
EM
FN
CD
ABE
BEM
CDF
DFN
100
ABE
CDF
BP
DP
ABE
CDF
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDE
BPD
ABP
CDP
1
1
2
2
ABE
CDE
1
2
ABE
CDE
1 100
2
50
50
5
E
EM
AB
∥
F
FN
AB
G
GH
AB
∥
∥
AB
CD
AB
EM
FN
GH
CD
EM
FN
∥
FN
GH
∥
180
MEF
NFE
180
NFG
HGF
BEF
EFG
FGD
n
360
BEM
DGH
BEF
EFG
FGD
MEF
NFE
NFG
HGF
n
BP
DP
ABE
CDG
1
2
ABP
ABE
1
2
CDP
CDG
BPD
ABP
CDP
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
33．（22-23 七年级下·山东潍坊·期中）现有一块含
角的直角三角尺
，
是直角，其顶点
在直线上，请你解决下列问题：
(1)如图1，请直接写出
、
的数量关系；
(2)如图2，分别过点
、
作直线的垂线，垂足分别为
、
，请写出图中分别与
、
相等的角，
并说明理由；
(3)如图3，
平分
，将直角三角尺
绕着点
旋转，当
时，请直接写出
与直线所
成锐角的度数．
【答案】(1)
，理由见解析；
(2)
，理由见解析；
(3)
，理由见解析．
【分析】（1）由平角的定义可得
、
和
的和为
，可求得
与
的关系，
（2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论，
（3）由平行线的性质可得
，再利用（1）中的关系可求出
的大小即可，
【详解】（1）
，理由如下：
点
在直线上，
，
，
，
1
1
2
2
ABE
CDG
1
2
ABE
CDG
1
360
2 n
1
180
2 n
1
180
2 n
30
AOB
AOB
O
l
1
2
A
B
l
C
D
1
2
AC
OAB
AOB
O
AC
l
∥
OB
l
1
2 90
＝
1
,
2
OBD
OAC
＝
＝
60
1
2
AOB
180
1
2
1
OAC
2
1
2
90*
O
l
1
2
180
AOB
90
AOB
1
2
180
90
90
故答案为：
．
（2）
，
，理由如下：
由（1）得
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）
，理由如下：
如图，
平分
，
，
，
，
，
由（1）可知，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了平角的定义及直角三角形的两锐角互余，以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解
题的关键．
34．（22-23 七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，直线
直线
，直线
分别交直线
、直线
于点H、G，
求证：
．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．
1
2
90
1
OBD
2
OAC
1
2
90
BD
l
2
90
OBD
1
2
2
OBD
1
OBD
AC
l
1
90
OAC
1
2
2
OAC
2
OAC
60
AC
OAB
60
OAB
1
30
2
OAC
OAB
l
AC
∥
1
OAC
2
90
1
90
30
60
60
CD∥
AB
FE
CD
AB
180
BGE
CHG
“如图2，点N 在射线
上，点M 在射线
上，点Q 在射线
上，点P 在射线
上，连结
，
且
，探究直线
与直线
之间的位置关系并说明理由；”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接
，
使
平分
，
，若给出
与
一定的数量关系，则图3 中所有已
经用字母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，若
，求∠PMH 的度数并说明理由．”
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）
，理由见解析
【分析】（1）根据
等角代换即可证明；
（2）延长
，交于点K，由题意
得
，又
，可得
，又
，结合三角形外角的性质可得
，
即可求解；
（3）分别作
，
，再由平行公理的推论得
，又由
结合
平分
求得
，再由已知
，借助方程的思想
，再通过角之间的转换，由
即可求
解．
【详解】解：（1）如图1，
HF
GE
HC
GA
,
NQ MP
270
NQC
APM
NQ
MP
KH
KH
NKM
180
KHE
CHE
FHC
APK
17
7
FHC
APE
50
PMH
CD
AB
∥
,
NQ MP
CD
AB
∥
CHF
AGF
180
AGF
AGE
180
CHF
AGE
270
NQC
APM
90
QNH
PMG
MT
AB
∥
KR
AB
∥
MT
AB
CD
KR
∥
∥
∥
90
NKM
KH
NKM
45
MKH
NKH
17
7
FHC
APE
17 ,
7
DHG
NHC
x
MPG
APK
x
PMH
TMH
TMP
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
（2）如图2，
延长
，交于点K，
∵
，
∴
．
又
，
∴
．
又∵
，
，
又
，
∴
．
∴
．
∴
．
（3）解：如图3，
CD
AB
∥
CHG
AGE
180
AGE
BGE
180
BGE
CHG
,
NQ MP
CD
AB
∥
CHF
AGF
180
AGF
AGE
180
CHF
AGE
NQC
QNH
CHF
APM
PMG
AGE
270
NQC
APM
90
QNH
PMG
90
NKM
NQ
MP
过M 作
，过K 作
，
∵
，
∴
．
∵
平分
，
∴
．
∵
，
∴可设
．
又
，
∴
．
∴
平分
．
∴
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
即
．
MT
AB
∥
KR
AB
∥
CD
AB
∥
MT
AB
CD
KR
∥
∥
∥
KH
NKM
45
MKH
NKH
17
7
FHC
APK
17 ,
7
DHG
NHC
x
MPG
APK
x
180 ,
180
KHE
CHE
DHE
CHE
KHE
DHE
HE
KHD
17
KHM
DHG
x
34
KHD
x
180
34
KHQ
x
CD
KR
∥
180
34
RKH
KHQ
x
MT
AB
KR
∥
∥
7 ,
17
TMP
MKR
MPG
x
TMH
MHD
x
45
MKH
180
34
7
45
RKH
MKR
x
x
5
x
PMH
TMH
TMP
17
7
10
50
PMH
x
x
x
50
PMH
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定和平行公理的推论，需要熟练掌握角之间的转化是关键．
35．（22-23 七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线
，一副三角尺（
）按如图①放置，其中点
在直线
上，点
，
均在直线
上，且
平分
．
(1)求
的度数．
(2)如图②，若将三角形
绕点
以每秒
度的速度逆时针方向旋转（
的对应点分别为
，
），
设旋转时间为（s）（
）；
①在旋转过程中，若边
，求的值；
②若在三角形
绕点
旋转的同时，三角形
绕点
以每秒
度的速度顺时针方向旋转（
的对
应点为
，
）请求出当边
时的值．
【答案】(1)
；
(2)①
；②
或
．
【分析】
利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
首先证明
，由此构建方程即可解决问题．
分两种情形：如图
中，当
时，延长
交
于
根据
构建方程即可解决
问题．如图
中，当
时，延长
交
于
根据
构建方程即可解决问
题．
【详解】（1）解：如图
中，
PQ
MN
∥
90 ,
30 ,
ABC
CDE
ACB
BAC
60 ,
45
DCE
DEC
E
PQ
B
C
MN
CE
ACN
DEQ
ABC
B
4
,
A C
F
G
t
0
45
t
∥
BG
CD
t
ABC
B
CDE
E
3
,
C D
H
K
BG
HK
∥
t
60
7.5s
4.5s
180 s
7
1
2 ①
30
GBC
DCN
②
③
//
BG HK
KH
MN
.
R
GBN
KRN
1
③
//
BG HK
HK
MN
.
R
180
GBN
KRM
①
，
，
平分
，
，
，
，
，
；
（2）解：
如图
中，
，
，
，
，
，
，
在旋转过程中，若边
，的值为
；
如图
中，当
时，延长
交
于
，
30
ACB
180
150
ACN
ACB
CE
ACN
1
75
2
ECN
ACN
PQ
MN
∥
180
QEC
ECN
105
QEC
105
45
60
DEQ
QEC
CED
①
②
//
BG CD
GBC
DCN
30
DCN
ECN
ECD
∵
30
GBC
4
30
t
7.5
t
s
∥
BG
CD
t
7.5s
②
③
//
BG HK
KH
MN
R
，
，
，
，
，
；
如图
中，当
时，延长
交
于
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为
或
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．
//
BG HK
∵
GBN
KRN
60
3 ,
QEK
t
K
QEK
KRN
90
(60
3 )
30
3
KRN
t
t
4
30
3
t
t
4.5
t
s
1
③
//
BG HK
HK
MN
R
//
BG KR
180
GBN
KRM
60
3 ,
QEK
t
EKR
PEK
KRM
120
(180
60
3 )
3
KRM
t
t
4
3
180
t
t
180
7
t
s
t
4.5s
180 s
7
36．（22-23 七年级下·四川成都·期中）如图，直线
，点E、F 分别在
上，点M 为两平行
线内部一点．
(1)如图1，探究
的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若
和
的角平分线交于点N，且
，直接利用（1）中的结论，求
的度数；
(3)如图3，点G 为直线CD 上一点，连接
并延长交直线
于点Q，在线段
上取一点P，连接
，
使
，在射线
取一点H，连接
，使
，设
，求
的度
数（用含
的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点
作
，利用平行线的性质可得
，
，由
，等
量代换可得结论；
（2）利用（1）中的结论以及角平分线的定义解答即可；
（3）设
，
，则
，
，设
交
于
．证明
，求出
即可解决问题．
【详解】（1）
，理由如下：
过点
作
，如图：
，
，
，
AB
CD
、
AB
CD
1
2
M
、
、
MEB
MFD
100
ENF
M
GM
AB
MG
PF
2
5
PFG
MFG
PF
EH
2
5
BEH
BEM
EMF
H
1
2
M
160
M
2
72
5
H
M
ML
AB
∥
1
3
2
4
3
4
EMF
BEH
x
PFG
y
5
2
BEM
x
5
2
MFG
y
EH
CD
K
H
x
y
x
y
1
2
M
M
ML
AB
∥
∥
AB
CD
ML
AB
∥
ML
AB
CD
∥
∥
，
，
，
；
（2）由（1）中的结论可得：
，
，
，
，
，
分别平分
和
，
，
，
，
，
即
；
（3）设
，
，则
，
，设
交
于
，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
1
3
2
4
3
4
EMF
1
2
M
M
AEM
CFM
ENF
BEN
DFN
100
ENF
100
BEN
DFN
EN
FN
MEB
DFM
2
BEM
BEN
2
DFM
DFN
2
2 100
200
BEM
DFM
BEN
DFN
M
AEM
CFM
180
180
BEM
DFM
360
BEM
DFM
360
200
160
160
M
BEH
x
PFG
y
5
2
BEM
x
5
2
MFG
y
EH
CD
K
∥
AB
CD
DKH
BEH
x
HFK
PFG
y
DKH
H
HFK
H
x
y
EMF
AEM
MFG
5
5
180
2
2
EMF
x
y
2
72
5
x
y
2
72
5
H
【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题．
37．（22-23 七年级下·广东深圳·期中）如图1，
，
的平分线交
于点
，
．
(1)试说明
；
(2)如图2，若
，
的平分线交
于点
、交射线
于点
．求
的度数；
(3)如图3，线段
上有一点
，满足
，过点
作
．若在直线
上取一点
，
使
，请直接写出
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
的值是7 或
【分析】（1）由
，得
，又
平分
，有
，故
；
（2）
平分
，
，知
，而
，有
，根据
，得
，又
平分
，得
，即得
；
（3）根据题意，分两种情况：①当
在
的下方时，设
，由
，知
，
，可得
，从而
，即得
，
，故
；②当
在
的上方时，
同理得：
，
，故
．
AD
BC
∥
BAD
BC
G
90
BCD
BAG
BGA
50
ABG
BCD
AD
E
GA
F
AFC
AG
P
2
ABP
PBG
C
CH
AG
∥
AG
M
PBM
DCH
ABM
GBM
20
ABM
GBM
1
5
AD
BC
∥
GAD
BGA
AG
BAD
BAG
GAD
BAG
BGA
CF
BCD
90
BCD
45
GCF
AD
BC
∥
45
AEF
GCF
50
ABG
180
50
130
DAB
AG
BAD
65
BAG
GAD
65
45
20
AFC
M
BP
3
ABC
x
2
ABP
PBG
2
ABP
x
PBG
x
3
90
2
BCH
AGB
x
3
2
DCH
PBM
x
7
2
ABM
ABP
PBM
x
3
1
2
2
GBM
x
x
x
:
7
ABM
GBM
M
BP
3
1
2
2
2
ABM
ABP
PBM
x
x
x
3
5
2
2
GBM
x
x
x
1
5
1
:
:
2
2
5
ABM
GBM
x
x
【详解】（1）证明：
，
，
平分
，
；
（2）解：
平分
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
；
（3）解：根据题意，分两种情况：
①当
在
的下方时，如图所示：
，设
，
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交
于点
，
，
，
，
AD
BC
GAD
BGA
AG
BAD
BAG
GAD
BAG
BGA
CF
BCD
90
BCD
45
GCF
AD
BC
45
AEF
GCF
50
ABG
180
50
130
DAB
AG
BAD
65
BAG
GAD
GAD
AFC
AEF
65
45
20
AFC
M
BP
2
ABP
PBG
3
ABC
x
2
ABP
x
PBG
x
CH
AG
∥
BCH
AGB
AD
BC
∥
BCH
AGB
HAG
180
BAD
ABC
BAD
BC
G
1
2
BCH
AGB
HAG
BAD
1
180
3
3
90
2
2
2
x
BCH
AGB
HAG
BAD
x
90
BCD
，
，
，
；
②当
在
的上方时，如图所示：
，设
，
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交
于点
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，
的值是7 或
．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线、垂直等定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
38．（22-23 七年级下·陕西西安·期中）已知：直线
分别交直线
，
于点G，H，且
．
3
3
90
(90
)
2
2
DCH
PBM
x
x
3
7
2
2
2
ABM
ABP
PBM
x
x
x
3
1
2
2
GBM
x
x
x
7
1
:
:
7
2
2
ABM
GBM
x
x
M
BP
2
ABP
PBG
3
ABC
x
2
ABP
x
PBG
x
CH
AG
∥
BCH
AGB
AD
BC
∥
BCH
AGB
HAG
180
BAD
ABC
BAD
BC
G
1
2
BCH
AGB
HAG
BAD
1
180
3
3
90
2
2
2
x
BCH
AGB
HAG
BAD
x
90
BCD
3
3
90
(90
)
2
2
DCH
PBM
x
x
3
2
2
1
2
ABM
ABP
PBM
x
x
x
3
5
2
2
GBM
x
x
x
1
5
1
:
:
2
2
5
ABM
GBM
x
x
ABM
GBM
1
5
EF
AB
CD
180
AGH
DHF
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，点M，N 分别在射线
，
上，点P，Q 分别在射线
，
上，连接
，
，且
，分别延长
，
交于点K，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，若
平分
，且
平分
，若
，
请直接写出
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）对顶角相等，得到
，进而得到
，即可得证；
（2）过K 作
，则
，推出
，即
，即可得证；
（3）过M 作
，过K 作
，易得
，设
，
，推
出
，求出x 的值，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵
，
又∵
，
∴
，
∴
；
（2）证明：如图，由（1）知，
，
过K 作
，
∵
，
AB
CD
∥
GE
HF
GA
HC
MP
NQ
90
MPG
NQH
MP
NQ
MK
NK
KH
KH
MKN
HE
KHD
5
DHG
MPG
KMN
60
DHF
EHC
180
AGH
EHC
KO
AB
∥
KO
CD
∥
90
MKO
NKO
90
MKN
MT
AB
∥
KR
AB
∥
MT
AB
CD
KR
∥
∥
∥
5
DHG
x
MPG
x
180
10
45
RKH
MKR
x
x
180
AGH
DHF
DHF
EHC
180
AGH
EHC
AB
CD
∥
AB
CD
∥
KO
AB
∥
AB
CD
∥
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
则
，
即
．
（3）如图，过M 作
，过K 作
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴设
，
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
．
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
KO
CD
∥
KO
AB
∥
MPG
MKO
KO
CD
∥
NQH
NKO
90
MPG
NQH
90
MKO
NKO
90
MKN
MK
NK
MT
AB
∥
KR
AB
∥
AB
CD
∥
MT
AB
CD
KR
∥
∥
∥
KH
MKN
45
MKH
NKH
5
DHG
MPG
5
DHG
x
MPG
x
HE
KHD
5
KHM
DHG
x
10
KHD
x
180
10
KHQ
x
CD
KR
∥
180
10
RKH
KHQ
x
MT
AB
KR
∥
∥
TMP
MKR
MPG
x
5
TMH
MHD
x
45
MKH
180
10
45
RKH
MKR
x
x
∴
，
∵
，
∴
.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义，垂直的定义，解决本题的
关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角．
第三章 变量之间的关系
39．（22-23 七年级下·河南郑州·期中）如图1，在直角
中，
，点
是
的中点，动点
从点
沿出发沿
运动到点
，设点
的运动路程为
，
的面积为
，
与
的图象如图2 所
示，则
的面积为（ ）
A．9
B．12
C．16
D．32
【答案】C
【分析】由图象可知：当
时，
等于3，由此可得出
的长，进而得出
的长；当
时，面积
最大，且面积发生转折，此时点
和点
重合，可得
，由直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：由图象可知：当
时，
，
，即
，
解得
，
点
是
的中点，
，
当
时，面积发生转折，此时点
和点
重合，
，
在
中，
，
，
，
．
故选：C
【点睛】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广
泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决
本题的关键是利用分类讨论的思想求出
和
的长．
40．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1 的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为
15
x
KMN
TMH
TMP
5
4
60
KMN
x
x
x
ABC
90
C
D
BC
P
C
CA
AB
B
P
x
PCD
y
y
x
ABC
3
x
y
CD
BC
8
x
P
A
8
AC
3
x
3
CP
1
3
2
PCD
S
PC CD
1
3
3
2
CD
2
CD
D
BC
4
BC
8
x
P
A
8
AC
Rt
ABC
△
90
C
4
BC
8
AC
1
1
8
4
16
2
2
ABC
S
AC BC
AC
BC
顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为
，它各边上格点的个数之和为
.
探究一：图中①—④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应
关系如表：
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…
与
之间的关系式为：________.
探究二：图中⑤—⑧的格点多边形内部都只有2 个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对
应格点多边形的面积
）：
多边形的序号
⑤
⑥
⑦
⑧
…
多边形的面积
…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…
与
之间的关系式为：________.
猜想：当格点多边形内部有且只有
个格点时，
与
之间的关系式为：_______.
【答案】探究一：
；探究二：完整的表格信息见详解，
；猜想：
.
【分析】探究一：通过观察可以看出多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即
；
探究二：用“切割法”将⑤—⑧中图形分割成几个三角形或者矩形即可求出其面积，
通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点的个数和的一半加1，即
，
猜想：观察可发现⑤—⑧多边形内部都有2 个格点，面积在探究一的基础上加1，结合探究一、二可得出
解析式
【详解】探究一：当S=2 时，x=4；当S=2.5 时，x=5；…..通过观察多边形的面积等于各边上格点个数的一
半，即
；
探究二：表格填写如下
S
x
S
x
S
x
S
S
x
S
x
n
S
x
0.5
S
x
0.5
1
S
x
0.5
1
x
n
0.5
S
x
0.5
1
S
x
0.5
S
x
多边形的序号
⑤
⑥
⑦
⑧
…
多边形的面积
3
3.5
4
5
…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…
通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即
；
猜想：比较探究二与探究一，图形面积加1，图形内部格点个数加2，也就是多边形内部格点数每增加n 个，
面积就比原来多了n-1，故S 与x 的关系式为
.
【点睛】本题主要考查变量之间的关系中的用表格表示变量之间的关系和用关系式表示变量之间的关系，
解答本题的关键是要理解原图（表格）的变化规律，然后将它用关系式表示出来.
S
x
0.5
1
S
x
0.5
1
S
x
n
