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1
轴对称【章节复习】压轴题--等腰三角形的存在性
【C13】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，点
为
上的点，且
，点
在边
上由
点向
点运动，点
的速度为
，同时，点
在边
上由
点向
点运动．
如果点
的运动速度与点
的运动速度相等，经过秒后，
与
是否全等？请说
明理由．
如果点
的运动速度为
，当点
运动几秒后，可得到等边三角形
？
【答案】（1 ）
（2 ）
≌
．
秒．
由题意可知，
，
，
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
当点
运动秒后，可得到等边三角形
．
2
【标注】
∴
．
由题意可知：
，
．
∴
．
∴
．
∴当点
运动
秒后，可得到等边三角形
．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，
，现有两点
、
分别从点
、点
同时出发，沿三
角形的边运动，已知点
的速度为
，点
的速度为
．当点
第一次到达
点时，
、
同时停止运动．
点
、
运动几秒后，
、
两点重合？
点
、
运动几秒后，可得到等边三角形
？
当点
、
在
边上运动时，能否得到以
为底边的等腰三角形
？如存在，请求
出此时
、
运动的时间．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
、
在
边上运动时，可以得到以
为底边的等腰三角形．
设点
、
运动秒后，
、
两点重合，
，
解得：
．
设点
、
运动秒后，可得到等边
，如图①，
，
，
3
图
（3 ）
【标注】
∵三角形
是等边三角形，
∴
，
解得
，
∴点
、
运动秒后，可得到等边三角形
．
图
当点
、
在
边上运动时，可以得到以
为底边的等腰三角形，
由（）知
秒时
、
两点重合，恰好在
处，
如图②，假设
是等腰三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
设当点
、
在
边上运动时，
、
运动的时间秒时，
是等腰三角形，
∴
，
，
，
，
解得：
．故假设成立．
∴当点
、
在
边上运动时，能得到以
为底边的等腰三角形
，此时
、
运动的时间为
秒．
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】AAS
【能力】推理论证能力
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，
为等边三角形，
，点
为轴上一动点，且位于
点上
方，以
为边作等边
，延长
交轴于点
．
求证：
．
的度数是 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
当
点运动时，猜想
的长度是否发生变化？并说明理由．
在（）的条件下，在轴上存在点
，使得
为等腰三角形，请写出点
的坐
标： ．（直接写出答案，不需要说明理由）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
证明见解析．
的长度不会发生变化．
，
∵
，
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
≌
，
∴
．
∵
，
∴
，
在
中，
，
，
5
（4 ）
【标注】
∴
，
∴
的长度不会发生变化．
，
．
【知识点】坐标系中的动点问题（非函数）
x
y
O
备用图
x
y
O
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，以线段
为边在第四象限内作等边三角形
，点
在正半轴上一动点（
），连接
，以线段
为边在第四象限内作等边
，
连接
并延长，交轴于点
．
与
全等吗？判断并证明你的结论．
当点
运动到什么位置时，以
，
，
为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1 ）
（2 ）
全等，证明见解析．
当点
的坐标为
时．
∵
，
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∵
≌
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
6
【标注】
∴以
，
，
为顶点的三角形是等腰三角形时，
和
是腰，
∵在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当点
的坐标为
时，以
，
，
为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】象限内坐标的特征
