第31 讲 ω 的取值范围与最值问题 · 分类练习
考点一：零点与交点问题..................................................................................................................1
考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围.......................................................1
考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围...............................................1
考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围...............................................................2
考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值.......................................................................2
考点二：单调问题..............................................................................................................................2
考法5：根据给定单调区间求参数范围...............................................................................2
考法6：结合单调性与对称性求参数范围...........................................................................3
考点三：最值问题..............................................................................................................................3
考法7：恒等变换化简求最值...............................................................................................3
考法8：结合区间最值与相位范围求参数...........................................................................3
考法9：结合最值与对称轴、零点求参数...........................................................................4
考点四：极值问题..............................................................................................................................4
考法10：根据区间内极值点个数求参数范围.....................................................................4
考法11：结合极值点与周期、对称性求参数.....................................................................4
考点五：对称性问题..........................................................................................................................4
考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数.....................................................................4
考点六：性质的综合问题..................................................................................................................5
考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式.............................................5
考法14：结合图象平移或绝对值综合判断函数性质.........................................................5
考点一：零点与交点问题
考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围
1.（2025·江苏高邮·一模）已知函数f ( x)=2cos(ωx - π
6 )(ω>0)，若在区间(0, 4
3 π ]内恰好存
在三个不同的x0，使得f ( x0)= ❑√3，则f ( x)的最小正周期不可能为（ ）
A. 2π
3
B. 8 π
11
C. 8 π
9
D. 8 π
7
2.（2025·衡水中学·检测）已知函数f ( x)=2sin(ωx + π
4 )- ❑√3(ω>0)在[0, π
2 ]上有三个零点，
则ω的取值范围为（ ）
A. [ 25
6 , 29
6 )
B. [ 23
6 , 31
6 )
C. [ 25
6 , 29
6 ]
D. [ 23
6 , 31
6 ]
3.（2026·浙江稽阳·4 月联考）已知函数f ( x)=asin x +cos2 x在(0,nπ )内恰好有2027 个零点，
则实数a与正整数n的值分别为（ ）
A. a=1,n=1351
B. a=-1,n=1351
C. a=1,n=1350
D. a=-1,n=1350
4.（2026·百师联盟·一模）已知函数f ( x)=sin(ωx + π
3 )+cos(ωx + π
2 )(ω>0)，若y = f ( x)在
x∈(0,2π )部分的图象与直线y =- 1
2恰好产生了三个交点，则ω的取值范围为（ ）
A. ( 13
12 , 7
4 ]
B. ( 7
6 , 5
3 ]
C. ( 5
4 , 19
12 ]
D. ( 4
3 , 3
2 ]
5.（2026·广东佛山·检测）若函数f ( x)=sin ωx(ω>0)在区间[ π ,3 π ]上至少有2 个零点，则
ω的最小值是＿＿＿＿＿＿.
考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围
6.（2024·新南方联盟·4 月联考）设函数f ( x)=acosωx(a≠0,ω>0)，若将f ( x)的图象向左
平移π
3ω个单位长度后在[0, π
2 ]上有且只有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A. [ 7
3 , 13
3 )
B. [2,4)
C. [ 7
3 ,4)
D. [2, 13
3 )
7.（2025·湖北黄冈·9 月调研）已知函数f ( x)= 4 sin(ωx + π
3 )cosωx - ❑√3(ω>0)的最小正周期
为π.
（1）求ω的值；
（2）将函数f ( x)的图象先向左平移π
6 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
y = g( x)的图象，若g( x)在区间[0,m]上有且仅有3 个零点，求m的取值范围.
考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围
8.（2026·河北衡水·4 月检测）若π
2 为函数f ( x)=sin(ωx + π
6 )(ω>0)的一个零点，且f ( x)的
最小正周期T ∈(π ,2π )，则ω的值为（ ）
A. 5
6
B. 4
3
C. 5
3
D. 7
3
考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值
9.（2026·山东枣庄·一模）记函数f ( x)=3sin x - 4 cos x - 4 , x∈[0,π ]的两个零点为x1和x2，
则sin( x1+ x2)=（ ）
A. cos x1+ x2
2
=- 3
5
B. sin x1+ x2
2
= 4
5
C. cos( x1+ x2)=- 7
25
D.
sin( x1+ x2)=- 24
25
10.（2026·山东潍坊·一模）若函数f ( x)= 4 sin x cos x - 4 ❑√3cos
2 x +2❑√3在区间(0,m)有且仅
有两个零点，则实数m的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考点二：单调问题
考法5：根据给定单调区间求参数范围
11.（2026·名校协作体·二模）已知函数f ( x)=sin
2( ωx
2 + π
4 )(ω>0)在区间[- π
2 , 2π
3 ]上单调递
增，则ω取值范围为（ ）
A. (0, 3
4 ]
B. (0,1]
C. [ 3
4 ,1]
D. [1,+∞)
12.（2026·黄骅中学·一模）函数f ( x)=2sin(ωx + π
6 )(ω∈R)恒有f ( x)≤f (2π )，且f ( x)在
[- π
6 , π
3 ]上单调递增，则ω=＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·湖南衡阳·一模）已知ω>0，函数f ( x)=cosωx + ❑√3sin ωx在区间(0, π
3 )上单调递
增，则ω的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考法6：结合单调性与对称性求参数范围
14.（2026·安徽淮南·二模）已知函数f ( x)的定义域为R，y = f ( x)-sin x为偶函数，
y = f ( x)+2cos x为奇函数，则f ( x)的最大值为＿＿＿＿＿＿.
15.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx + π
4 )(ω>0)在区间[0,π ]上有且仅有4
条对称轴，则下列四个结论正确的是（ ）
A. f ( x)在区间(0,π )上有且仅有3 个不同的零点
B. f ( x)的最小正周期可能是π
4
C. ω的取值范围是[ 13
4 , 17
4 )
D. f ( x)在区间(0, π
15 )上单调递增
16.（2026·浙江桐乡·检测）若函数f ( x)= ❑√3sin ωx -cosωx(ω>0)满足f ( x)= f (π - x)，且在
(0, π
3 )有唯一零点，则ω的最大值为（ ）
A. 10
3
B. 3
C. 2
D. 4
3
考点三：最值问题
考法7：恒等变换化简求最值
17.（2026·湖北黄冈·4 月模拟）已知函数f ( x)=2cos(ωx + π
4 )(ω>0)，若∃x1, x2∈[0,π ]，
f ( x1)f ( x2)=- 4，则ω的最小值为（ ）
A. 3
4
B. 5
4
C. 7
4
D. 11
6
18.（2025·江西新余·二模）函数f ( x)=sin( x - π
6 )cos x的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法8：结合区间最值与相位范围求参数
19.（2026·楚天协作体·12 月联考）已知函数f ( x)=sin ax(a>0)在[- π
4 , π
3 ]上的最小值为-1，
那么实数a的最小值为（ ）
A. 3
4
B. 3
2
C. 2
D. 3
20.（2025·衡水中学·检测）（多选）已知函数f ( x)=2sin ωx cosωx -2sin
2ωx +1(ω∈N
*)在
( π
12 , π
3 )上有最大值，无最小值，则（ ）
A. f ( x)为奇函数
B. f ( x)在( π
4 , π
2 )上单调递增
C. x = π
8 是f ( x)离y轴距离最近的对称轴
D. f ( x)的最小正周期为π
考法9：结合最值与对称轴、零点求参数
21.（2026·金科大联考·2 月联考）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π
2 )的最小正周期
为T，且π <T ≤4 π
3 ，f ( x)≤|f ( π
3 )|，则f ( x)在( π
6 , 5 π
9 ]上的值域为＿＿＿＿＿＿.
考点四：极值问题
考法10：根据区间内极值点个数求参数范围
22.（2025·南阳一中·三模）已知函数f ( x)=sin(ωx + π
6 )(ω>0)在区间(0, π
2 )内恰有一个极值
点，则ω的取值范围是（ ）
A. ( 2
3 , 8
3 ]
B. [ 1
3 , 5
3 )
C. ( 2
3 , 8
3 )
D. [ 1
3 , 8
3 )
23.（2026·浙江温州·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx + π
4 )(ω>0)在区间(0, π
2 )内恰有一个极值
点，则ω可能的取值为（ ）
A. 1
4
B. 1
2
C. 2
D. 4
考法11：结合极值点与周期、对称性求参数
24.（2024·上饶六校·5 月模拟）已知函数f ( x)=sin ωx + ❑√3cosωx(ω>0)在区间(0,π )上恰有
两个极值点x1, x2，则f ( x1+ x2)的值为（ ）
A. 1
B. ❑√3
C. - ❑√3
D. 2
考点五：对称性问题
考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数
25.（2026·山东聊城·二模）已知ω≠0，函数f ( x)=2cos(ωx + π
6 )在区间(0, π
2 )内恰有三条对
称轴和两个极大值点，则（ ）
A. - 19
3 <ω≤- 13
3
B. 13
3 ≤ω< 19
3
C. - 19
3 ≤ω<- 13
3
D. - 17
3 ≤ω<- 11
3
26.（2025·金科新未来·5 月联考）（多选）已知函数f ( x)=sin(ωx + π
6 )(0<ω<2)的图象关
于直线x = π
2 对称，则（ ）
A. f ( x)在(0,4 π )上有3 个零点
B. f ( x)在(0,4 π )上有3 个极值点
C. f ( x)的图象关于点( 5 π
4 ,0)对称
D. f ( x)的图象关于直线x = 3 π
2 对称
27.（2026·河南濮阳·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π
2 )，x =- π
8 是y = f ( x)的
零点，直线x = 3 π
8 为y = f ( x)图象的一条对称轴，且函数f ( x)在区间( π
12 , 5 π
24 )上单调，则ω
的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考点六：性质的综合问题
考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式
28.（2026·前黄高中·检测）已知函数f ( x)=sin ωx cos(ωx + π
3 )(ω>0)的最小正周期为2π，
若函数f ( x)在区间( x1, x2)上单调递减，且2f ( x1)+2f ( x2)+ ❑√3=0，则| x1+ x2|的最小值为
（ ）
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 4 π
3
29.（2025·衡水中学·检测）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)在区间( π
6 , π
2 )单调，其中ω为正整数，
|φ|< π
2 ，且f ( π
2 )= f ( 2π
3 ).
（1）求y = f ( x)图象的一条对称轴；
（2）若f ( π
6 )=
❑√3
2 ，求φ.
考法14：结合图象平移或绝对值综合判断函数性质
30.（2026·北斗星盟·5 月联考）（多选）已知函数f ( x)=2 x
3-3 x
2+(1-a)x +b，则下列结
论正确的是（ ）
A. 当a=1时，若f ( x)有三个零点，则b的取值范围是(0,1)
B. 当a=1且x∈(0,π )时，f (sin x)<f (sin
2 x)
C. 若f ( x)满足f (1- x)=2- f ( x)，则a-2b=2
D. 若f ( x)存在极值点x0，且f ( x0)= f ( x1)，其中x0≠x1，则2 x0+ x1= 3
2
