第39 讲 复数 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................1
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：复数的概念..............................................................................................................3
考点二：复数的相等与共轭复数..........................................................................................4
考点三：复数的运算..............................................................................................................5
考点四：复数的模..................................................................................................................6
考点五：复数的几何意义......................................................................................................7
考点六：与复数有关的最值问题..........................................................................................7
考点七：复数的三角形式......................................................................................................8
四、高考真题......................................................................................................................................9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2026
第9 题 多选
题
6 分
直接
复数的概念、模长、共轭复数及四则运算综合
2025
第1 题 单选
题
5 分
直接
复数的乘法运算与虚部的概念
2024
第2 题 单选
题
5 分
直接
复数的除法运算与解复数方程
近三年全国一卷对复数知识点的考查频率极高，每年均有一道独立的选择题直接考查.
题目多出现在试卷的前段，整体难度较低，属于必拿的基础得分题.
2. 命题角度与特色
（1） 聚焦基本概念与核心运算.真题主要围绕复数的代数形式展开，重点考查四则
运算（尤其是除法运算中的分母实数化）、虚部与实部的概念辨析、共轭复数以及模长的
计算.
（2） 题型呈现多样化趋势.除了传统的单选题直接计算外，2026 年出现了多选题形
式，在一道题中综合考查了复数的多个基础概念与性质，对知识掌握的全面性提出了要求.
3. 备考策略
（1） 夯实基础概念.必须清晰界定复数的实部、虚部（注意虚部不含虚数单位）、
共轭复数、模长等基本概念，避免概念混淆导致的失分.
（2） 熟练掌握代数运算.高度熟练复数的加、减、乘、除四则运算法则，特别是除
法运算中分子分母同乘共轭复数的技巧，确保计算准确无误.
二、知识清单
1. 复数的概念
（1） i叫虚数单位，满足i
2=-1，当k ∈Z时，i
4 k =1，i
4 k +1=i，i
4 k +2=-1，i
4 k +3=-i.
（2） 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，记作a+bi∈C.
① 复数z =a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚
部；b=0⇔z∈R，Z点组成实轴；b≠0，z叫虚数；b≠0且a=0，z叫纯虚数，纯虚数对应
点组成虚轴（不包括原点）.两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
② 两个复数a+bi，c +d i(a,b,c ,d ∈R)相等⇔{
a=c
b=d（两复数对应同一点）.
③ 复数的模：复数a+bi(a,b∈R)的模，也就是向量⃗OZ的模，即有向线段⃗OZ的长度，
其计算公式为| z|=|a+bi|=
❑√a
2+b
2，显然，| ´z|=|a-bi|=
❑√a
2+b
2，z⋅´z =a
2+b
2.
2. 复数的加、减、乘、除的运算法则
（1） (a+bi)±(c +d i)=(a±c)+(b±d )i.
（2） (a+bi)⋅(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc)i.
① (a+bi)⋅(a-bi)= z⋅´z =a
2+b
2=| z|
2（注意z
2≠| z|
2）.
②z + ´z =2a.
③ 其中| z|=
❑√a
2+b
2，叫z的模；´z =a-bi是z =a+bi的共轭复数(a,b∈R).
（3） a+bi
c +d i = (a+bi)⋅(c -d i)
(c +d i)⋅(c -d i) = (ac +bd)+(bc -ad)i
c
2+d
2
（c
2+d
2≠0）.
（4） 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算
法则）都适用于复数.
（5） 常用复数运算结论：
① (1+i)
2=2i，(1-i)
2=-2i.
② 1+i
1-i =i，1-i
1+i =-i，1
i =-i.
③i
n+i
n+1+i
n+2+i
n+3=0(n∈Z ).
（6） 共轭复数与模的运算性质：
① z1± z2= z1± z2，z1⋅z2= z1⋅z2，(
z1
z2)= z1
z2
( z2≠0).
② | z1 z2|=| z1|| z2|，|
z1
z2|=| z1|
| z2| ( z2≠0)，|z
n|=| z|
n(n∈N
*).
③|| z1|-| z2||≤| z1± z2|≤| z1|+| z2|.
3. 复数的几何意义
（1） 复数z =a+bi(a,b∈R)对应平面内的点Z(a,b).
（2） 复数z =a+bi(a,b∈R)对应平面向量⃗OZ.
（3） 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点
都表示复数.
（4） 复数z =a+bi(a,b∈R)的模| z|表示复平面内的点Z(a,b)到原点的距离.
4. 复数的三角形式
（1） 复数的三角表示式：一般地，任何一个复数z =a+bi都可以表示成
r(cosθ+isinθ)形式，其中r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在射线
（射线OZ）为终边的角，叫做复数z =a+bi的辐角.r(cosθ+isinθ)叫做复数z =a+bi的三角
表示式，简称三角形式.
（2） 辐角的主值：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π
的整数倍.规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作arg z，即0≤arg z<2π.
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.
（3） 三角形式下的两个复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主
值分别相等.
（4） 复数三角形式的乘法运算：
① 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，
即r1(cosθ1+isinθ1)⋅r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
② 复数乘法运算的三角表示的几何意义：复数z1, z2对应的向量为⃗O Z1,⃗O Z2，把向量⃗
O Z1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把⃗O Z1绕点O按顺时针方向旋转角
|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是积z1 z2.
（5） 复数三角形式的除法运算：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的
模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即
r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2
[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
5. 实系数一元二次方程的复数根
（1） 对于实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a,b,c∈R ,a≠0)，当Δ=b
2- 4 ac<0时，
方程在复数集C内有两个互为共轭的虚数根，即x =-b±
❑√4 ac -b
2i
2a
.
（2） 韦达定理在复数集中依然成立：若x1, x2为方程a x
2+bx +c =0的两个根，则
x1+ x2=- b
a，x1 x2= c
a.
三、典题精练
考点一：复数的概念
考法1：复数的分类与概念辨析
例1.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数z =a+bi，a,b∈R，且b≠0，下列说法正
确的是（ ）
A. z - ´z是纯虚数
B. z
2是实数
C. z⋅i是虚数
D. 若| z|=1，则z + 1
z 是实数
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数
例2.（2025·江西·检测）已知复数z满足| z|=2，若´z为纯虚数，则z =＿＿＿＿＿＿.
考法3：复数对应点所在象限的判断
例3.（2024·广东·检测）若(2+i)z =i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位
于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【考点一 方法总结】
1. 概念辨析与参数求解：处理复数概念问题（如实数、纯虚数），核心方法是“设
元法”或直接化简，将其化为标准代数形式z =a+bi(a,b∈R).
（1） 若z为实数，则b=0.
（2） 若z为纯虚数，则a=0且b≠0（切记不可遗漏虚部不为0 的条件）.
2. 几何意义与象限判断：复数z =a+bi(a,b∈R)与复平面内的点(a,b)一一对应.判
断所在象限时，必须先通过复数的四则运算化简为标准形式，再根据实部和虚部的正负号
确定.
考点二：复数的相等与共轭复数
考法4：利用复数相等求参数或复数
例4.（2025·安徽淮北·二模）若3( z + ´z)+ 4( z - ´z)=6+8i，则| z|=（ ）
A. ❑√2
B. ❑√3
C. 2
D. 2❑√2
考法5：共轭复数的概念与性质判断
例5.（2026·江苏南通·检测）（多选）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（
）
A. 若z∈R，则z = ´z
B. 若z
2∈R，则z∈R
C. 若
(1+i)z =1-i，则| z|=1
D. 若z
2+1=0，则z =i
考法6：实系数一元二次方程的复数根
例6.（2026·山东·一模）已知a,b为实数，虚数1-i是方程x
2+ax +b=0的根，则ab的值为（
）
A. - 4
B. -2
C. 2
D. 4
【考点二 方法总结】
1. 复数相等方程的解法：处理含有z与´z的方程，通用方法为“设元法”，设
z =a+bi(a,b∈R)，代入化简后利用复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚
部）转化为实数方程组求解.
2. 共轭复数的性质应用：判断抽象复数命题时，可利用特例法（如取纯虚数、实数
等）排除错误选项.推导时需熟记z∈R⇔z = ´z等核心性质.
3. 实系数方程的虚根性质：实系数一元二次方程若有虚数根，则两根必然成对出现
且互为共轭复数.解题时优先利用韦达定理（两根之和与两根之积）建立实数方程，避免
繁琐的复数代入运算.
考点三：复数的运算
考法7：复数的代数形式四则运算
例7.（2025·安徽·一模）（多选）若z
z +3为纯虚数，则复数z可以为（ ）
A. -12-6i
5
B. -3+2i
2
C. -12+8i
5
D. -3+3i
2
考法8：解复数方程
例8.（2025·广东·联考）已知复数z =1-i，则´z( z -i)=（ ）
A. -1+3i
B. 3-i
C. 1+i
D. -1-i
考法9：复数运算与共轭、模长的综合
例9.（2026·广东佛山·二模）（多选）设z1，z2为复数，若z1 z2=i，则（ ）
A. z1= ´z2
B. | z1|=
1
| z2|
C. | z1+ z2|= ❑√2
D. ´z1⋅´z2=-i
考法10：复数幂的周期性与数列求和
例10.（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）已知{zn}是由复数组成的数列，zn+1=( zn-3)⋅i
2026
（i为虚数单位），且z1=1+i，则（ ）
A. z2= 1+3i
2
B. z2+ z3=3
C. | z1- z2+ z3- z4+⋯- z2026|=1013 ❑√5
D. 若| z - z2025|=1，则| z - z2026|的最小值为❑√5-1
【考点三 方法总结】
1. 整体代换法：当已知某个复杂的复数分式为纯虚数（或实数）时，除了常规的设
z = x + y i外，直接设该整体等于ai（a≠0）或a，再反解z往往能大幅简化运算.
2. 抽象复数运算技巧：判断抽象复数的模长、共轭关系时，特例法是快速排除错误
选项的利器.严格证明则需熟练运用性质，如| z1 z2|=| z1|| z2|、z1 z2= ´z1⋅´z2等.
3. 周期性与降幂：遇到含有i的高次幂或复数数列问题，第一步是利用i的周期性（
i
4 k =1等）进行降幂化简.对于递推数列，常通过计算前几项寻找周期规律，进而解决大项
数求和问题.
考点四：复数的模
考法11：直接利用代数形式求模
例11.（2026·安徽·检测）已知复数4 -3i与-2+i分别对应向量⃗OA与⃗OB，其中O为坐标原点，
则|⃗AB|=＿＿＿＿＿＿.
考法12：利用复数方程求模
例12.（2026·安徽·联考）已知虚数z满足| z|
2⋅(2 ´z -1)=2- 4 z，则|2 z -3|=（ ）
A. 3
B. 4
C. 2❑√3
D. ❑√11
考法13：复数模的综合运算与性质
例13.（2025·江西·模拟）（多选）已知复数z满足| z|= ❑√6，则下列结论正确的是
（ ）
A. z可能为1- ❑√6i
B. z ´z =6
C. z的实部与虚部之积不大于 3
D. z在复平面内对应的点可能是(2,❑√2)
考法14：复数模的最值（非几何法）
例14.（2026·湖北襄阳·二模）已知z1=1+i, z2=-1+i，若w = λ z1+(1- λ)z2,( λ∈R)，则
|w |的最小值为（ ）
A. 1
B. ❑√2
C. 2
D. 1
2
【考点四 方法总结】
1. 模长计算与转化技巧：
（1） 熟练运用公式| z|
2= z⋅´z，它是复数方程中消去共轭符号、实现降次与转化的
重要工具.
（2） 解复杂复数方程求模时，除了设元法，应优先观察方程结构，尝试两边同时取
模长或同乘共轭复数进行整体变形.
2. 模长的最值求法（代数法）：当不便于使用几何意义时，将复数化为标准代数形
式，写出模长的表达式，利用配方法（转化为二次函数最值）或基本不等式求解.
考点五：复数的几何意义
考法15：复数运算与对应点所在象限
例15.（2025·广东·检测）（多选）已知i为虚数单位，复数z满足z = 1+5i
1+i ，则（ ）
A. z的实部为3
B. z的虚部为2i
C. z⋅´z =13
D. ´z在复平面内
对应的点在第四象限
考法16：复数与平面几何及向量的结合
例16.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数3- ❑√3i对应的向量绕原点沿顺时针方向
旋转π /3，则旋转后的向量对应的复数为（ ）
A. -2❑√3i
B. 3+ ❑√3i
C. 2❑√3i
D. -3+ ❑√3i
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）
例17.（2025·江西·联考）（多选）已知方程{
|2+3i- z|=1,
| z - 4 -k |=| z -3i-k |有且仅有一个复数解z，
则实数k的可能取值有（ ）
A. 1
8
B. 15
8
C. - 19
8
D. 65
4
【考点五 方法总结】
1. 代数形式的标准化：分析复数的几何意义（如对应点所在象限）前，必须通过分
母实数化等四则运算，将其化为最简的a+bi形式.
2. 模的几何意义转化：
（1） | z - z0|=r表示复平面内以点Z0为圆心、r为半径的圆.
（2） | z - z1|=| z - z2|表示复平面内以Z1,Z2为端点的线段的中垂线.
将复数方程转化为解析几何图形，结合数形结合思想可极大简化运算.
3. 乘法的旋转意义：复数z对应的向量绕原点逆时针旋转θ角，得到的新向量对应的
复数为z(cosθ+isinθ)；若顺时针旋转，则角度取-θ.
考点六：与复数有关的最值问题
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值
例18.（2026·湖北黄冈·检测）已知z∈C，且| z -1|=1，i为虚数单位，则| z -2i|的最大
值是（ ）
A. ❑√5+1
B. ❑√5-1
C. 2
D. ❑√5
考法19：复数新定义问题
例19.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形
如z =a+bi+c j+d k的数为四元数，其中a,b,c ,d都是实数，i, j ,k都是虚数单位，这些虚数
单位满足i
2= j
2=k
2=-1.其中z的模为| z|=
❑√a
2+b
2+c
2+d
2，z的共轭四元数记作
´z =a-bi-c j -d k．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：
(a1+b1i+c1 j+d1k )+(a2+b2i+c2 j+d2k )=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2) j+(d1+d2)k.对于四元
数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：ij =- ji =k , jk =-kj =i，ki=-ik = j．
（1）若z =1+2i+3 j+ 4 k，求z⋅´z的值；
（2）已知四元数zn=an+bni+cn j+dnk．
（i）若an=(
1
2)
n
,bn=
1
n
2+n
,cn=sin nπ
2 ,dn= (-1)
n-1
n
，求证：| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|<2；
（ii）若数列{an},{bn},{cn},{dn}均为正项数列，且| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|= L（L为常数），求
证：| z1|
2+| z2|
2+| z3|
2+⋯+| zn|
2≥L
2
n ．
【考点六 方法总结】
1. 几何法求最值模型：形如“已知| z - z0|=r，求| z - z1|的最值”问题，应转化为圆
上动点到定点的距离问题.设定点到圆心的距离为d，则最大值为d +r，最小值为|d -r |.
2. 新定义问题的应对策略：核心是“以新化旧”，严格遵循题目定义的新运算法则
（如不满足交换律等），切忌主观臆断.在证明不等式环节，常需回归传统的代数工具
（如基本不等式、放缩法等）.
考点七：复数的三角形式
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转
例20.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数z1=cosα +isinα，z2=cos β -isin β，
z3=cos(α + β)+isin(α + β)，z4=1，复数z1, z2, z3, z4在复平面内对应的点分别为P1, P2, P3, A，
则下列说法中正确的是（ ）
A. |⃗O P1|=|⃗O P2|
B. | z1- z4|=| z2- z4|
C. ⃗OA ⋅⃗O P3=⃗O P1⋅⃗O P2
D. ⃗OA ⋅⃗O P1=⃗O P2⋅⃗O P3
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用
例21.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：
(cosθ+isinθ)
n=cosnθ+isinnθ，设z =cos π
3 +isin π
3 .
（1）证明：| z1 z2|=| z1|| z2|；
（2）若ω= z + a
z ∈R，求a的值；
（3）证明：| z
2025- z
2026|=| z
2026- z
2027|.
【考点七 方法总结】
1. 三角形式与向量的桥梁：复数的三角形式z =r(cosθ+isinθ)直接给出了复数的模r
和辐角θ.在处理涉及向量数量积的综合题时，将其转化为坐标形式(r cosθ ,r sinθ)是解题
的关键.
2. 棣莫弗定理的应用：棣莫弗定理是处理复数高次幂的终极武器.使用时需先将复数
化为标准的三角形式r(cosθ+isinθ)，再直接应用公式[r(cosθ+isinθ)]
n=r
n(cosnθ+isinnθ)
进行化简.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第2 题）若z
z -1 =1+i，则z =（ ）
A. -1-i
B. -1+i
C. 1-i
D. 1+i
2.（2025·全国一卷·第1 题）(1+5i)i的虚部为（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 6
3.（2026·全国一卷·第9 题）（多选）设z =3+2i，则（ ）
A. ´z =3-2i
B. | z|=5
C. z
2=5+12i
D. z +3
z -i ∈R
